Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat)
Oleh : Nego Linuhung, M.Pd
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Di Sekolah Dasar (SD) Apakah yang dimaksud? Faktor Faktor Prima; dan Faktorisasi
di Sekolah Dasar (SD) Faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang habis untuk membagi bilangan itu. Faktor prima suatu bilangan adalah bilangan prima yang terkandung dalam faktor bilangan itu. Faktorisasi adalah bentuk perkalian bilangan-bilangan prima suatu bilangan.
Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) di Sekolah Dasar (SD) 1. Carilah FPB dari 18 dan 24 Jawab: 18 = 2 x 3 x 3. (faktorisasi) 24 = 2 x 2 x 2 x 3 (faktorisasi) FPB dari 18 dan 24 = 2 x 3 = 6. 2. Carilah FPB dari 24, 36, dan 40. Jawab: 24 = 2 x 2 x 2 x 3. (faktorisasi) 36 = 2 x 2 x 3 x 3. (faktorisasi) 40 = 2 x 2 x 2 x 5. (faktorisasi) FPB dari 24, 36, dan 40 = 2 x 2 = 4.
Cara menentukan FPB: Tuliskan bilangan itu dalam bentuk perkalian faktor prima (faktorisasi) Ambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu. Jika faktor yang sama dari setiap bilangan, tetapi banyaknya berbeda, ambil faktor yang sedikit. Latihan: Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) di Sekolah Dasar (SD) Cari FPB dari: 18, 20, dan 24 32, 48, dan 80
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) di Sekolah Dasar (SD) Contoh: 1. Carilah KPK dari 12 dan 18 Jawab: 12 = 2 x 2 x 3 = 2 2 x 3 (faktorisasi) 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 3 2 (faktorisasi) KPK dari 12 dan 18 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 2 x 3 2 = 4 x 9 = 36 2. Carilah KPK dari 15, 20, dan 30. Jawab: 15 = 3 x 5 = 3 x 5 (faktorisasi) 20 = 2 x 2 x 5 = 2 2 x 5 (faktorisasi) 30 = 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5 (faktorisasi) KPK dari 15, 20, dan 30 = 2 2 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60
Tentukan KPK dan FPB dari 24, 30, dan 42!
Cara I 24 = 2 x 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 42 = 2 x 3 x 7 KPK dari 24, 30, dan 42 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 8 x 3 x 5 x 7 = 840 FPB dari 24, 30, dan 42 = 2 x 3 = 6.
Cara II 24 30 42 2 2 2 3 5 7 12 15 21 6 15 21 3 15 21 1 5 7 1 1 7 1 1 1 KPK dari 24, 30, dan 42 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 8 x 3 x 5 x 7 = 840 FPB dari 24, 30, dan 42 = 2 x 3 = 6.
Soal: Ada 3 buah lampu, merah, kuning, dan hijau. Mula-mula ketiga lampu itu menyala serentak bersamaan. Kemudian, lampu merah menyala setiap 4 detik, lampu kuning menyala setiap 5 detik, dan lampu hijau menyala setiap 6 detik. Tiap berapa detik ketiga lampu itu menyala bersamaan?
Keterbagian Definisi: Bilangan bulat b disebut terbagi oleh bilangan bulat a, jika ada bilangan bulat x sehingga b=ax, dapat ditulis sebagai a b untuk a membagi b atau b terbagi a. Catatan: istilah membagi dan terbagi di sini diartikan membagi habis atau terbagi habis sehingga tidak ada sisa (tak bersisa) Untuk b = ax, maka a di sebut faktor b, atau pembagi b. b di sebut juga kelipatan a. x di sebut hasil bagi (untuk a 0)
Keterbagian Contoh: 4 membagi 24 atau 24 terbagi 4 karena ada bilangan x, sehingga 24 = 4.x (dimana x = 6, merupakan hasil bagi). 4 tidak membagi 35 karena tidak ada bilangan x, sehingga 35 = 4.x (tidak ada nilai x yang memenuhi)
Algoritma Pembagian Teorema: Untuk bilangan bulat sebarang m dan n dengan n>0, ada bilangan bulat q dan r sehingga: m = qn + r dengan 0 r < n. dimana bilangan r disebut sisa pembagian m oleh n dan q disebut sisa hasil bagi m oleh n.
Pembagi Bersama Istilah pembagi bersama di SD sering disebut faktor persekutuan Defenisi: Suatu bilangan bulat a disebut pembagi bersama b dan c, jika a membagi b dan a membagi c (a b dan a c) Tiap bilangan bulat tak nol hanya memiliki sejumlah terbatas pembagi saja (faktor saja), sehingga banyaknya pembagi bersama untuk b dan c hanya ada sejumlah terbatas saja, kecuali untuk kasus b = c = 0. Bilangan 1 akan membagi tiap bilangan. Maka 1 merupakan pembagi bersama dua bilangan bulat sembarang a dan b sehingga tiap pasang bilangan bulat akan selalu memiliki pembagi bersama (faktor persekutuan).
Pembagi Bersama Tentukan faktor pembagi bersama dari 45 dan 36! Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45; Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36; Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9
Teorema Euclidean Teorema 1 (Teorema Euclidean). Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m = nq + r, dengan 0 r < n. (1) Contoh: 1987 dibagi dengan 97 memberikan hasil bagi 20 dan sisa 47: 1987 = 97 20 + 47 22 dibagi dengan 3 memberikan hasil bagi 8 dan sisa 2: 22 = 3( 8) + 2 tetapi 22 = 3( 7) 1 salah karena r = 1 tidak memenuhi syarat 0 r < n.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (FPB greatest common divisor atau gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d a dan d b. Bila c a dan c b, maka d c Dalam hal ini kita nyatakan bahwa FPB(a, b) = d.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Penjelasan di atas dapat disajikan sebagai berikut: Teorema: Jika (a,b) = d, yaitu d FPB untuk a dan d maka berlaku d membagi a dan d membagi b. jika ada c yang membagi a dan b, maka c d. Contoh 1. Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45; Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36; Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9 FPB(45, 36) = 9
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Teorema. Misalkan m dan n bilangan bulat, dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga m = nq + r, 0 r < n. maka FPB(m, n) = FPB(n, r) Contoh 2: m = 60, n = 18, 60 = 18 3 + 6 maka FPB(60, 18) = FPB(18, 6) = 6