SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 27 Metode Perbaka ASM pada Masalah Trasportas Tak Sebag T - 35 Solkh Departee Mateatka FSM Uverstas Dpoegoro sol_erf@yahooco Abstrak Masalah trasportas adalah asalah pedstrbusa barag dar beberapa suber ke beberapa tuua dega tuua utuk euka baya pegra Salah satu etode lagsug utuk eyelesaka asalah trasportas adalah etode ASM Metode etkberatka pada sel baya tereduks yag berla dega deks terkecl Telah dtuukka bahwa etode ASM eberka solus optal utuk asalah trasportas sebag, aka tetap utuk asalah trasportas tak sebag tdak selalu eberka solus optal Oleh karea tu, perlu adaya perbaka Paper egka perbaka dar etode ASM utuk eyelesaka asalah trasportas tak sebag da euukka keoptala solus yag dhaslka Dperoleh hasl bahwa solus yag dperoleh dega etode perbaka ASM pada asalah trasportas tak sebag erupaka solus optal Kata kuc: Trasportas Tak Sebag, Metode Perbaka ASM I PENDAHULUAN Masalah trasportas erupaka asalah pedstrbusa barag dar beberapa suber (persedaa atau ) ke beberapa tuua (pertaa atau dead) dega tuua utuk euka baya trasportas atau eaksuka keutuga [] Tuua utaa trasportas adalah eetuka bayakya barag yag optal yag aka dagkut dar beberapa suber ke beberapa tuua sehgga euka total baya trasportas Serg perkebaga, etode utuk ecar solus asalah trasportas ead beraga Mula dar etode ecar solus fsbel awal, yatu etode Pook Barat Laut, etode Baya Terkecl, da etode VAM dega dlautka ecar solus optal akhr egguaka etode Steppg Stoe atau etode MODI [,2] hgga etode lagsug tapa ecar solus fsbel awal Beberapa etode lagsug yag berhasl dkebagka dataraya Metode Zero Negbourg [3], Metode Zero Suffx [4], Metode Zero Pot [5], Metode Expoetal Approach [6], Metode ASM [7] da sebagaya Karakterstk dar beberapa etode etkberatka pada baya hasl reduks yag berla ol Pada etode Zero Negbourg da Zero Suffx dhtug la rata-rata sektar agka yag buka berla, keuda pegalokasa bergatug pada la rata-rata terbesar Sedagka pada etode Zero Pot dperhatka pertaa da persedaa pada sel dega baya tereduks yag bersagkuta Berbeda dega etode Expoetal Approach, etode eetapka pealt ekspoesal pada setap sel baya yag berla Pealt ekspoesal adalah bayakya agka pada bars ke- da kolo ke- sela agka yag terplh Pegalokasa pada sel dega pealt ekspoesal terkecl Jka terdapat pealt ekpoesal terkecl yag saa, aka pegalokasa bergatug pada rata-rata pertaa da persedaa terkecl utuk sel yag bersesuaa Hapr serupa dega etode Expoetal Approach, etode ASM yag dperkealka oleh Abdul Quddoos, Dr Shakeel Javad, da Prof Mohd Masood Khald uga eetapka deks pealt e utuk setap sel- yag berla, yag aa deks pealt e adalah bayakya agka pada bars ke- da kolo ke- da tdak terasuk agka yag terplh pada sel- Pegalokasa pada sel dega deks pealt terkecl Jka terdapat deks pealt terkecl yag saa, aka pegalokasa bergatug pada hasl peulaha dar baya tereduks pada bars ke- da kolo ke- dar sel- yag bersagkuta dega hasl peulaha terbesar Jka ash terad kesaaa, aka elh sel- (sel yag elk dek e terkecl yag saa) yag elk rata-rata persedaa da pertaa terkecl PT-249
ISBN 978-62-7343-2-9 (Cetak) 978-62-7343-3-6 (O-le) Sebaga besar beberapa etode lagsug tersebut telah berhasl eberka solus optal pada asalah trasportas sebag, sedagka utuk asalah trasportas tak sebag belu tetu eghaslka solus optal Utuk eperbak keleaha telah dkebagka etode perbakaya sepert etode proved Zero Negbourg [8], etode proved zero pot [9], etode proved zero suffx [], etode proved expoetal approach [] Metode-etode apu eyelesaka asalah trasportas tak sebag Pada [7] dbahas etode ASM utuk eyelesaka asalah trasportas pada kasus euka baya Keuda eksstes keoptalaya telah dtuukka utuk asalah trasportas sebag da algortaya dperluas utuk trasportas kasus aksu [2] Hal yag saa, etode ASM uga belu tetu eberka solus optal utuk asalah trasportas tak sebag Oleh karea tu, perlu dka perbaka dar etode ASM sedeka hgga dapat eberka solus optal utuk asalah trasportas tak sebag Dseldk keoptala dar etode perbaka ASM da dterapka pada cotoh sulas II HASIL DAN PEMBAHASAN Baga eyaka asalah trasportas bak trasportas sebag aupu trasportas tak sebag Metode yag dguaka utuk eyelesaka asalah trasportas adalah etode perbaka ASM yag erupaka perbaka atau odfkas dar etode ASM [7] Keuda dtuukka bahwa etode perbaka ASM eberka solus optal utuk asalah trasportas tak sebag Metode dapat dguaka utuk eyelesaka asalah trasportas bak sebag aupu tak sebag bak utuk kasus euka baya atau eaksuka keutuga A Masalah Trasportas Msalka terdapat suber da tuua Suatu barag x aka dagkut dar suber =, 2,, ke tuua =,2,, dega baya agkut per ut sebesar c, aka ulah barag sebesar x dkrka dar pusat suber a ke pusat tuua b Model trasportas secara uu sebaga berkut: M z dega kedala = = c x = x = a, =, 2,, ; x = b, =, 2,, ; x, =, 2,, ; =, 2,, Masalah trasportas dkataka sebag (balaced) apabla ulah persedaa saa dega ulah pertaa, yatu a = b da ka tdak aka dkataka tdak sebag = Pada trasportas tak sebag dapat dsebagka dega cara eabahka duy sebesar a b atau = b a = Defs [3] Hpua x, =, 2,, ; =, 2,, yag eeuh kedala pada asalah trasportas dsebut solus fsbel Defs 2 [3] Solus fsbel dkataka solus optal ka euka total baya trasportas Utuk ea asalah trasportas epuya solus fsbel aka trasportasya harus sebag, sepert dberka teorea berkut Teorea 3 (Eksstes) [3] Masalah trasportas elk solus fsbel ka da haya ka erupaka asalah trasportas sebag, yatu a = b = Bukt: ( ) Dketahu asalah trasportas elk solus fsbel Msalka x = { x =, 2,, ; =, 2,, } solus fsbel dar asalah trasportas, aka eeuh PT-25
SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 27 x = a, =, 2,, ; x = b, =,2,, ; x, =, 2,, ; =, 2,, = Oleh karea tu dperoleh Jad, a = b = x = a da = ( ) Dketahu asalah trasportas sebag, yatu x = b = = a = b Msalka x λb = =, dega adalah faktor proporsoal utuk suber da harus ddstrbuska seuaya Karea x = λb aka x = = λ b, lebh laut a x = λb = b b = Oleh karea tu, dperoleh a x = ( b ) = a, =,2,, da = = b = Jad ada x { x,2,, ;,2,, } a x = ( b ) = b, =, 2,, b = = = = erupaka solus fsbel asalah trasportas Jad asalah trasportas sebag elk solus fsbel ( ) = = P z c x dega kedala = x = a, =, 2,, x = b, =, 2,, x, =, 2,, ; =,2,, ( ) = ( ) P z c u v x dega kedala = = x = a, =, 2,, x = b, =, 2,, x, =, 2,, ; =,2,, daa u, v blaga rl Utuk ea setap asalah trasportas elk solus optal, dberka teorea berkut Teorea 4 [4] Sebarag solus optal asalah trasportas ( P ) erupaka solus optal dar asalah trasportas ( P ) = = = solus optal dar ( P ) aka, Bukt: Dabl sebarag x { x,2,, ;,2,, } Karea ( ) z = c u v x = c x u x v x ua da trasportas ( P ) = = = = v b tdak bergatug pada = Teorea 5 [4] Jka { x, 2,, ;, 2,, } ( c u v ) x, aka = z u a v b = x uga solus optal utuk asalah = = solus fsbel dar asalah trasportas ( P) da, utuk seua da, daa da adalah blaga rl sedeka sehgga u dar asalah trasportas ( ) optal dar asalah trasportas ( P ) Bukt: Dabl sebarag { x, 2,, ;, 2,, } P berla, aka { x, 2,, ;, 2,, } = = adalah solus = = solus fsbel dar ( P ), aka PT-25
ISBN 978-62-7343-2-9 (Cetak) 978-62-7343-3-6 (O-le) x = a, =,2,, da x = b, =,2,, = Karea ( c u v ) da eeuh Karea =,, da ( ) z = c u v x =, aka = ( ) = = = + c u v x z c x a u b v = = = x = a, =, 2,, ; x = b, =,2,, ; x, =, 2,, ; =,2,, = = z = c x = a u + b v x = a, =,2,, ; = da eeuh aka berart { x, 2,, ;, 2,, } aka { x,2,, ;, 2,, } x = b, =,2,, ; x, =,2,, ; =,2,,, = = solus optal dar Berdasarka Teorea 4, = = solus optal dar B Metode Perbaka ASM Metode Perbaka ASM erupaka etode lagsug yag erupaka perbaka dar etode ASM Kelebha dar etode adalah dapat dguaka utuk eyelesaka asalah trasportas tak sebag da eberka solus optal Metode uga dapat dguaka bak utuk kasus u aupu kasus aksu Lea 6 Dberka z Bukt: Msalka aks z = a Jad, aks z ( z) = = c x,,,, =, aka aks z ( z) c x = aks z = a aks z = a a x, x z a x, x z a x, x z a y, y z a = ( z) Lagkah-lagkah atau algorta etode Perbaka ASM Algorta egacu pada [7], [9], da [] Mebetuk Tabel Trasportas Sebag Utuk asalah trasportas kasus u baya c tetap, sedagka kasus aksu dubah ead c Mebuat tabel trasportas sebag dega eabahka duy pada bars atau kolo dega baya awal 2 Reduks Tabel Trasportas dega duy Jka bars duy yag dtabahka, aka ke lagkah ke-3 Keuda eggat baya duy dega baya terbesar dar hasl reduks bars Selautya ke lagkah ke-4 keuda lagkah ke-3 Jka kolo duy yag dtabahka, aka ke lagkah ke-4 Keuda eggat duy dega baya terbesar dar hasl reduks kolo Selautya ke lagkah ke-3 keuda lagkah ke-4 3 Reduks Bars Megurag setap etr bars dega asg-asg baya terkeclya, yatu c u 4 Reduks Kolo Megurag setap etr kolo dega asg-asg baya terkeclya, yatu c u v 5 Megecek Bars Persedaa da Kolo Pertaa Megecek apakah setap b a pada kolo da apakah setap a b pada bars yag baya tereduksya ( c u v = ) Jka kods terpeuh ke lagkah ke-8 Jka tdak ke lagkah ke-6 PT-252
SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 27 6 Mebuat Gars Horsotal da Vertkal Mebuat gars horsotal da vertkal seu ugk pada bars da kolo yag berla sedeka sehgga baya yag tdak eeuh pada lagkah ke-5 tdak tertutup 7 Revs Agka Nol pada Gars Horsotal da Vertkal Melh baya terkecl pada sel yag tdak terlewat gars Megurag seua baya pada sel yag tdak terlewat gars dega baya terplh terkecl da eabahka dega baya terplh terkecl pada setap sel yag terlewat dua gars Kebal ke lagkah ke-5 8 Peetapa deks Meetapka deks e utuk setap sel- yag berla, yag aa deks e adalah bayakya agka pada bars ke- da kolo ke- da tdak terasuk agka yag terplh pada sel- 9 Pegalokasa Melh agka ol dega deks e terkecl da egalokaska sel dega ulah terbesar yag ugk dega elhat persedaa da pertaa sel yag yag bersagkuta Jka terdapat deks ' e terkecl yag saa (lebh dar satu), aka eghtug asg-asg ulah c = c u v pada bars ke- da kolo ke- dar sel- yag bersagkuta (sel yag elk dek e terkecl yag saa) da egalokaska sebesar ugk pada sel dega hasl peulaha terbesar Jka ash terad kesaaa, aka elh sel- (sel yag elk dek e terkecl yag saa) yag elk rata-rata persedaa da pertaa terkecl Perbaka Tabel Trasportas Mebuat tabel trasportas baru utuk perhtuga selautya dega egabaka bars atau kolo yag pertaa atau persedaaya telah terpeuh Megecek apakah tabel trasportas baru elk palg sedkt satu agka pada setap bars da kolo Jka tdak, kebal ke lagkah ke-3 da ke-4 keuda ke lagkah ke-5 Megulag lagkah ke-8 sapa lagkah ke- sedeka sehgga seua pertaa terpeuh da seua persedaa habs Dberka asalah trasportas tak sebag ( ) P z c x 2 dega kedala = = = x a, =,2,, ; x = b, =,2,, ; =,2,, ; =,2,, a b ; = x, Teorea 7 Solus yag dperoleh dega etode perbaka ASM utuk sebarag asalah trasportas P erupaka solus optal tak sebag ( ) 2 Bukt: Dberka sebarag asalah trasportas tak sebag ( P 2 ) (kasus u dega a b ) Hal berart peabaha bars duy sebesar = asalah trasportas sebag ( P ) Msalka u la terkecl dar bars ke- da b a, sehgga dperoleh = v la terkecl dar kolo ke- (kecual bars duy) Reduks bars-kolo dperoleh c u v, utuk seua da Meetapka deks pada setap sel berla da egalokaska sebesar ugk pada deks terkecl Dperoleh solus { x,2,, ;, 2,, } = = utuk asalah trasportas yag atrks bayaya, dega x utuk c u v = da x = utuk c u v Oleh karea ( ) z = c u v x = = da eeuh kedala ( P ) aka eurut Teorea 5, { x, 2,, ;, 2,, } = = solus optal dar asalah trasportas PT-253
ISBN 978-62-7343-2-9 (Cetak) 978-62-7343-3-6 (O-le) C Sulas Nuerk Dberka cotoh pegguaa etode perbaka ASM pada trasportas tak sebag dega kasus dead lebh besar atau saa dega Coto Masalah Trasportas Tak Sebag Sub er A B C Dea d Tuua (dala rbua 5 8 2 2 3 4 4 7 9 3 6 7 25 4 35 Peabaha duy pada bars Tuua (dala rbua sup ply 6 45 6 A 5 8 2 6 B 4 7 45 C 9 3 6 6 Duy 5 Dead 7 25 4 35 7 Reduks Bars Tuua (dala rbua A 5 8 2 6 B 9 3 6 45 C 6 8 3 6 Duy 5 Dead 7 25 4 35 7 Peggata baya duy dega baya tereduks bars terbesar Tuua (dala rbua A 5 8 2 6 B 9 3 6 45 C 6 8 3 6 Duy 9 9 9 9 5 Dead 7 25 4 35 7 Reduks kolo Tuua (dala rbua A 5 6 B 4 4 45 C 5 6 Duy 4 6 9 7 5 Dead 7 25 4 35 7 Reduks bars Tuua (dala rbua A 5 6 B 4 4 45 C 5 6 Duy 2 5 3 5 Dead 7 25 4 35 7 Kolo pertaa tdak eeuh b a da bars ketga uga tdak eeuh a b Sehgga ebuat gars horzotal da vertkal Tuua (dala rbua A 5 6 B 4 4 45 C 5 6 Duy 2 5 3 5 Dead 7 25 4 35 7 Revs agka ol Tuua (dala rbua A 6 6 B 3 3 45 C 5 6 Duy 3 6 3 5 Dead 7 25 4 35 7 Dperoleh b a da a b eeuh PT-254
SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 27 Peetua deks Tuua (dala rbua A 3 6 2 6 B 3 2 3 45 C 4 5 3 3 6 Duy 2 3 6 3 5 Dead 7 25 4 35 7 Pegalokasa ke deks terkecl da peetua deks kebal Tuua (dala rbua A 3 2 6 B 3 25 3 2 C 4 3 3 6 Duy 2 6 3 5 Dead 7 4 35 7 Pegalokasa ke deks terkecl da peetua deks kebal Tuua (dala rbua A 3 2 6 B 25 2 C 4 2 3 6 Duy 2 6 3 5 Dead 7 2 35 7 Tuua (dala rbua A 2 2 6 B 25 2 C 3 2 3 6 Duy 5 Dead 65 2 35 7 Tuua (dala rbua Persed aa A 2 2 6 B 25 2 C 2 2 2 4 Duy 5 Dead 65 35 7 Tuua (dala rbua A 6 B 25 2 C 2 35 5 Duy 5 Dead 65 7 Pegalokasa ke deks terkecl da dperoleh solus optal Tuua (dala rbua A 6 B 25 2 C 5 2 35 Duy 5 Dead 7 Dperoleh solus optal dega baya total z = 735 Jka dselesaka dega progra POM for Wdows PT-255
ISBN 978-62-7343-2-9 (Cetak) 978-62-7343-3-6 (O-le) III SIMPULAN DAN SARAN Metode perbaka ASM erupaka perbaka atau pegebaga dar etode ASM yag dapat dguaka utuk eyelesaka asalah trasportas tak sebag bak pada kasus euka baya aupu eaksuka keutuga Metode eberka solus optal utuk asalah trasportas tak sebag Metode perbaka ASM cukup sederhaa da udah utuk daplkaska DAFTAR PUSTAKA [] Sswato, Operato Research Jakarta: Erlagga, 26 [2] W L Wsto, Operatos Research Applcatos ad Algorts, 4th ed, New York : Duxbury, 24 [3] K Thagaraa, H Saravaa, ad P Nataraa, Fdg o Optal Soluto for Trasportato Proble- Zero Neghbourg Method, Ultra Scets, vol 25A, pp 28 284, July 23 [4] M R Fegade, V A Jadhav, ad A A Muley, Solvg Fuzzy Trasportato Proble Usg Zero Suffx ad Robust Rakg Methodology, IOSR Joural of Egeerg (IOSRJEN), vol 2, pp 36 39, July 22 [5] Gaurav Shara, S H Abbas, ad V K Gupta, Optu Soluto of Trasportato proble wth the help of Zero Pot Method, Iteratoal Joural of Egeerg Research & Techology (IJERT), vol, pp 6, July 22 [6] S Ezhl Vaa ad S Rekha, A New Method for Obtag a Optal Soluto for Trasportato Proble, Iteratoal Joural of Egeerg ad Advaced Techology (IJEAT), vol 2, pp 369 37, Jue 23 [7] A Quddoos, S Javad, ad M M Khald, A New Method for Fdg a Optal Soluto for Trasportato Probles, Iteratoal Joural o Coputer Scece ad Egeerg (IJCSE), vol 4, pp 27 274, July 22 [8] D Nofta S, Metode Iproved Zero Neghbourg pada Masalah Trasportas, Skrps, Searag: Uverstas Dpoegoro, 26 [9] A Edward Sauel, Iproved Zero Pot Method (IZPM) for the Trasportato Probles, Appled Matheatcal Sceces, vol 6, pp 542-5426, May 22 [] P Jayaraa ad R Jahrhussa, Fuzzy Optal Trasportato Probles by Iproved Zero Suffx Method va Robust Rak Techques, Iteratoal Joural of Fuzzy Matheatcs ad Systes, vol 3, pp 33-3, July 23 [] D A Hdayat, Metode Iproved Expoetal Approach dala Meetuka Solus Optu pada Masalah Trasportas, Skrps, Searag: Uverstas Dpoegoro, 26 [2] A R Septaa, Metode ASM dala Meetuka Solus Optal pada Masalah Trasportas, Skrps, Searag: Uverstas Dpoegoro, 27 [3] S Mohaaselv ad K Gaesa, Fuzzy Optal Soluto to Fuzzy Trasportato Proble: A New Approach, Iteratoal Joural o Coputer Scece ad Egeerg (IJCSE), vol 4, pp 367 375, March 22 [4] P Pada ad G Nataraa, A New Algorth for Fdg a Fuzzy Optal Soluto for Fuzzy Trasportato Probles, Appled Matheatcal Sceces, vol 4, pp 79 9, May 2 PT-256