KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN MOMENTS METHOD DAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR; SUATU TERAPAN DATA PARUH WAKTU DAN DATA SIMULASI SEBAGAI PERBANDINGAN SKRIPSI REHDAMENTA S TARIGAN 080803067 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015
KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN MOMENTS METHOD DAN MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATOR; SUATU TERAPAN DATA PARUH WAKTU DAN DATA SIMULASI SEBAGAI PERBANDINGAN SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains REHDAMENTA S TARIGAN 080803067 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015
iii PERSETUJUAN Judul : Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan Kategori : Skripsi Nama : Rehdamenta S NomorIndukMahasiswa : 080803067 Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen Fakultas : Matematika : Matematikadan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Disetujui di Medan, Juli 2015 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2, Pembimbing 1, Dr. Pasukat Sembiring, M.Si Dr. Open Darnius Sembiring, M.Sc NIP. 19511227198503 1 002 NIP. 1964104199103 1 004 Disetujui oleh DepartemenMatematika FMIPA USU Ketua, Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D NIP. 196209011988031 002
iv PERNYATAAN KAJIAN ESTIMASI PARAMETER BERDISTRIBUSI GAMMA DENGAN PENDUGA METODE MOMEN DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM; SUATU TERAPAN DATA PARUH WAKTU DAN SIMULASI SEBAGAI PERBANDINGAN SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 2015 Rehdamenta S Tarigan
v PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulissampaikan kepada bapak Dr. Open Darnius Sembiring, M.Sc., dan kepada bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si. selaku pembimbing penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas, padat dan professional telah diberikan kepada saya telah diberikan kepada saya agar tulisan ini dapat terselesaikan. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si., Ph.D dan ibu Dra. Mardiningsih, M.Si., Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah seperjuangan. Akhirnya, tidak terlupakan bapak, ibu dan adikadikku yang membantu memotivasi dengan tiada henti-hentinya. Semoga Tuhan Yang Maha Esa memberi apa yang dibutuhkan dalam hidupnya.
vi ABSTRAK Estimasi adalah suatu proses untuk menemukan karakteristik yang dapat menggambarkan suatu keadaan secara efektif dan efisien. Karakteristik yang diperoleh bisa bernilai yang sebenarnya atau nilai pendekatan. Dalam prakteknya, hasil estimasi merupakan nilai pendekatan terhadap keadaan yang sebenarnya. Metode estimasi momen dan maksimum likelihood diterapkan kedalam distribusi gamma. Tahapan penyelesaian menghasilkan karakteristik yang disebut dengan parameter rr dan λ. Pada kedua estimasi momen diperoleh rr = 4.09016193, λ = 0.002513199, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 647569.9189. Estimasi maksimum menghasilkan rr = 3.860568854, λ = 1627.475, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 687313.0827. Berdasarkan bangkitan data pada R, diperoleh nilai ekspektasi dan varians yang mendekati nilai ekspektasi dan varians yang diestimasi pada data sebelumnya. Data tersebut dibangkitkan dengan n=100 dan n=1000 selanjutnya dengan menentukan nilai rr dan λ yang dimodifikasi selanjutnya dibandingkan ekspekstasi dan varians sebanyak 40 data bangkitan yang dimodifikasi.
vii ABSTRACT Estimation is a process finding charakteristics and process in describe a phenomen effectively and efficiently. Charakteristics can be an approximation number or true one. Practically, the yield of estimation was an approaching number into the true phenomen. Moments method and maximum likelihood estimation applied into gamma distribution. The solving steps result characteristics called with parametrics rr dan λ. Moments estimaton yield rr = 4.09016193, λ = 0.002513199, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 647569.9189. Maximum likelihood estimation yield rr = 3.860568854, λ = 1627.475, E[X] = 1627.475 dan V[X] = 687313.0827. Based on generating data in R programme, the result expectation dan variance number that aprocahing expectation and variance in the estimation at data before. The data generating with 100 times and 1000 times, next finding expectation and variance with modification rr and λ about 40 times. Based on the generating data finally by compare the result expectation and variance.
viii DAFTAR ISI Halaman Persetujuan iii Pernyataan iv Penghargaan v Abstrak vi Abstract vii Daftar Isi viii Daftar Tabel ix Daftar Gambar x Daftar Lampiran xi Bab 1 Pendahuluan 1.1 LatarBelakang 1 1.2 RumusanMasalah 4 1.3 BatasanMasalah 4 1.4 TujuanPenelitian 4 1.5 KontribusiPenelitian 4 1.6 MetodologiPenelitian 5 1.7 TinjauanPustaka 6 Bab 2 LandasanTeori 2.1 Probabilitas Dasar 9 2.2 Peubah Acak 10 2.2.1 peubah acak diskrit 10 2.2.2 pubah acak kontinu 11 2.3 Ekspektasi dan Varians 11 2.3.1Ekspektasi 14 2.3.2Varians 14 2.4 Distribusi Gamma dan Turunan Kalkulus 15 2.4.1 Distribusi dan Fungsi gamma 17 2.5 Estimasi 25 2.5.1 Moments estimator 25 2.5.1.1 Prosedur Metode Moments 26 2.5.2 Maximum Likelihood Estimator 27 2.5.2.1 Prosedur Metode MLE 28 2.5.3 Sifat-sifat Estimator 29 Bab 3 Hasil dan Pembahasan 31 3.1 Metode Moments Estimator 31 3.2 Metode Maximum Likelihood Estimator 39 3.3 Aplikasi terhadap data 45 3.3.1 Aplikasi Estimasi Moments 45 3.3.2 Aplikasi Estimasi Maksimum Likelihood 48 3.4 Simulasi Data 52 Bab 4 Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 54 4.2 Saran 55 DaftarPustaka 56
ix DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Data umur hidup bola lampu 44 Tabel 3.2 Perhitungan data 44 Tabel 3.3 Tabel bangkitan data LAMPIRAN A Tabel 3.4 Tabel bangkitan data LAMPIRAN B Tabel 3.4 Tabel bangkitan data LAMPIRAN C
x DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1 Karakteristik Kurva Distribusi Gamma 7 Gambar 3.1 Plot distribusi gamma dengan rr = 4.0901 dan λλ = 0.0025 50 Gambar 3.2 Plot distribusi gamma dengan rr = 3.86 dan λλ = 0.0023 51
xi DAFTAR LAMPIRAN LAMPIRAN A LAMPIRAN B LAMPIRAN C LAMPIRAN D xii xiii xiv xv