APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM REGRESI NONPARAMETRIK SKRIPSI FIKA KHAIRANI

Transkripsi

1 APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM REGRESI NONPARAMETRIK SKRIPSI FIKA KHAIRANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

2 APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM REGRESI NONPARAMETRIK SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains FIKA KHAIRANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015

3 PERSETUJUAN Judul : Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi Nonparametrik Kategori : Skripsi Nama : Fika Khairani Nomor Induk Mahasiswa : Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Ekstensi Departemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Diluluskan di Medan, Agustus 2015 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2, Pembimbing 1, Dr. Open Darnius, M.Sc Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP NIP Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP

4 PERNYATAAN APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM REGRESI NONPARAMETRIK SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dari ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Agustus 2015 Fika Khairani

5 PENGHARGAAN Tiada kata yang pantas diucapkan sebagai pembuka, selain ucapan syukur Penulis kepada Allah SWT. Segala puji hanya bagi-nya yang senantiasa memberikan kesehatan dan nikmat kepada semua manusia, termasuk Penulis, sehingga penyusunan skripsi dengan judul Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi Nonparametrik ini dapat diselesaikan dengan baik. Terimakasih Penulis sampaikan kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen pembimbing 1 sekaligus Ketua Departemen di FMIPA USU dan Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc selaku dosen pembimbing 2 yang telah banyak membantu dan meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu ulolo, M.Si dan Bapak Dr. Pasukat Sembiring, M.Si selaku dosen penguji. Terimakasih juga kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU, serta Pegawai FMIPA USU. Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa membalas kebaikan-kebaikan mereka. Teruntuk keluarga tercinta, Ibunda Khairiyani, Ayahanda Sofian, adinda Nurlia Hafni, Uswatun Khairi, Mifta Khairina, Muhammad Syafriansyah, dan Muhammad Syafriandi, serta sahabat-sahabat terbaik Penulis, PS.Poemer, terimakasih atas doa dan dukungan yang senantiasa diberikan sampai saat ini. Mudah-mudahkan keberkahan, keridhoan, serta hidayah-nya senantiasa melimpahi kita semua. Medan, Agustus 2015 Penulis, Fika Khairani

6 APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM REGRESI NONPARAMETRIK ABSTRAK Regresi spline truncated merupakan salah satu model dengan pendekatan nonparametrik, yang merupakan modifikasi dari fungsi polinomial tersegmen. Bentuk estimator spline sangat dipengaruhi oleh nilai parameter penghalus λ yang pada hakekatnya adalah penentuan lokasi titik-titik knot. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji penggunaan metode kuadrat terkecil dengan pendekatan matriks dalam menentukan estimator regresi spline linier dua titik knot, serta menentukan metode yang terbaik sebagai kriteria dalam penentuan titik knot yang optimal, yakni MSE dan GCV. Dari hasil analisis dan pembahasan didapat bahwa estimator regresinya dapat diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil melalui pendekatan matriks. Penggunaan metode kuadrat terkecil mengasumsikan bentuk fungsi spline dan memberikan kemudahan interpretasi melalui model statistik. Sedangkan dari hasil perhitungan data tegangan output sensor polimer diketahui bahwa pemilihan model regresi spline terbaik dengan menggunakan metode MSE(λ) sebesar 0, dan GCV(λ) sebesar 1, Setiap trial error hasil minimal kedua metode bersama-sama secara konstan menunjukkan letak titik knot yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa kedua metode memiliki efektivitas yang sama dalam menetukan letak titik knot yang optimal. Namun, jika dilihat dari nilai yang dihasilkan, nilai MSE(λ) adalah nilai yang paling minimum dan bisa dianggap sebagai metode yang terbaik karena efisien dan lebih mudah penggunaanya dalam regresi spline linier. Kata kunci : Regresi nonparametrik, spline truncated, kuadrat terkecil, MSE, GCV

7 SPLINE TRUNCATED APPLICATION IN NONPARAMETRIC REGRESSION ABSTRACT Spline truncated regression is one of the nonparametric approach model that has been modified from segmented polynomial.the estimator form of spline is being strongly influenced by λ as the value of smoothing parameter which is essentially determining the location of knots. This research aims to examines the usage of the least squares method with a matrix approach in order to determines estimator the spline linear regression two knots well as to recognize the best method as the criteria for the optimal knots, specifically MSE and GCV. As the result of this research, it shows if the regression estimator can be solved with the least squares method through a matrix approach. The usage of the least squares method assume the form of spline functions and provide the easier interpretation way through statistical models. Meanwhile from the data output voltage cencorship polymer, it discovered that the selection of the best spline regression model using MSE (λ) is equal to and GCV (λ) is equal to The minimum result of both methods constantly showed the same knot point location in every trial error. It is indicated if the result shows that both methods have the same effectiveness in determining the optimal location of the point knots. However, refering to the value result, the value of MSE (λ) is the minimum value and it could be recognized as the best method since it is quite efficient and easier to be used in spline linear regression. Keyword: Nonparametric regression, spline truncated, least square, MSE, GCV

8 DAFTAR ISI PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN Halaman i ii iii iv v vi viii ix x BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Analisis Regresi Regresi Nonparametrik Fungsi Spline Polynomial Truncated Fungsi Spline Linier Regresi Spline Pemilihan Model Regresi Spline dengan yang Optimal Metode Kuadrat Terkecil Matriks Defenisi Matriks Trace Matriks Tranpos Matriks Matriks Identitas Matriks Idempoten Matriks Simetri Invers Matriks Matriks Invertible 15 BAB 3 METODE PENELITIAN Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik Menerapkan Model Spline pada Data untuk Estimasi Pola Hubungan Variabel Terikat dan Variabel Bebas 17 BAB 4 ANALISIS DAN PEMBAHASAN Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik 18

9 4.1.1 Persamaan Regresi Spline Linier dengan Penurunan Terhadap Persamaan Regresi Spline Linier dengan Penurunan Terhadap Pendekatan metode kuadrat terkecil dengan metode matriks Optimasi dengan MSE Optimasi dengan GCV Menerapkan Model Spline pada Data Simulasi untuk Estimasi Pola Hubungan Variabel Terikat dan Variabel Bebas Plot Antara Variabel Terikat dan Variabel Bebas Estimasi Regresi Spline Linier Pemilihan Model Regresi Spline Linier Terbaik Pengujian Model Regresi Spline Linier Terbaik Interpretasi Model Regresi Spline Truncated Linier 33 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran 36 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

10 DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman Tabel 4.1 Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Satu Titik Knot Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Dua Titik Knot Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot Titik Knot Optimum Satu dan Dua Titik Knot Analisis Variansi Model Spline Linier Dua Titik Knot 32

11 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman Gambar 2.1 Fungsi Spline Linier dengan Satu Titik Knot pada Plot Pengaruh Waktu (menit) Terhadap Tegangan (mv) Plot Normalitas Residual Kurva Estimasi Regresi Spline Linier dengan Dua Titik Knot 33

12 DAFTAR LAMPIRAN Nomor Judul Halaman Lampiran 1 Data Pengamatan Pengaruh Waktu (menit) Terhadap Tegangan Output Sensor Polimer (milivolt) 38 2 Program Regresi Spline dengan Software Aplikasi Matlab R2007b Nilai MSE dan GCV dari Percobaan Sebanyak p 45 4 Uji Simultan Model Regresi Spline Truncated Linier Terbaik dengan Menggunakan SPSS Uji Normalitas dengan Uji Kolmogorov-Smirnov 50