BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1
KATA PENGANTAR ب س م االله الر ح م ن الر ح ي م Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-nya yang begitu melimpah. Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam. Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Sistem Bilangan Real, Limit Barisan dan Limit Fungsi. Semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam pembelajaran Analisis Real 1 bagi mahasiswa Pendidikan Matematika Metro, September 2015 Penyusun 2
DEFINISI BAB I SISTEM BILANGAN REAL Operasi biner pada himpunan A adalah fungsi dari A x A ke A. Terdapat 2 operasi biner utama dalam sistem bilangan real. Yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (.) Teorema 1.1 Sifat Aljabar dari Pada himpunan bilangan real R terdapat dua operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.). Dua operasi biner tersebut mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (A1) (a+b) + c = a + (b+c), (sifat assosiatif dari penjumlahan) (A2) (eksistensi elemen nol) (A3) ( ) (Eksistensi elemen negatif) (A4) (M1) ( ) ( ) (M2) (Sifat komutatif dari penjumlahan) (Sifat asosiatif dari perkalian) (Eksistensi elemen satuan) (M3) (Eksistensi invers) (M4) (Sifat komutatif dari perkalian) 3
(D) ( ) ( ) ( ) (Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan) Kesembilan teorema diatas dikenal dengan Aksioma Lapangan (Field) Teorema 1.2 (a) Jika maka BUKTI: z + a = a, dengan menambahkan a pada kedua ruas, diperoleh: (z+a) + (-a) = a + (-a) Pada ruas kanan: (z+a) + (-a) = z + (a+(-a)) = z + 0 = z Pada ruas kiri: (a) + (-a) = 0 Jadi dapat disimpulkan bahwa z = 0 (b) Jika BUKTI: Diketahui Terdapat = 1 Kedua ruas dikalikan dengan, sehingga diperoleh: ( ) Ruas kanan: ( ) ( ) Ruas kiri: = 1 Sehingga dapat disimpulkan bahwa 4
Teorema 1.3 (a) Jika, dengan menambahkan pada kedua ruas diperoleh: ( ) ( ) ( ) Pada ruas kiri: ( ) ( ) ( ) Pada ruas kanan: ( ) Jadi dapat disimpulkan bahwa (b) Jika Diketahui, Berdasarkan sifat M4, Jika kedua ruas dikalikan, maka diperoleh: ( ) Ruas kanan : ( ) ( ) Ruas kiri : ( ) Sehingga dapat disimpulkan bahwa: 5
Teorema 1.4 Misalkan diberikan sebarang, maka: (a) Persamaan mempunyai penyelesaian tunggal ( ) Misalkan ( ), maka (( ) ) ( ( )) Mengakibatkan bahwa ( ) merupakan penyelesaian dari persamaan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa penyelesaian tersebut tunggal. Misalkan adalah penyelesaian lain dari persamaan tersebut, maka dan jika pada kedua ruas ditambahkan a, Maka diperoleh: ( ) ( ) ( ) Ruas kiri: ( ) ( ) ( ) Jadi dapat disimpulkan bahwa = ( ) Teorema 1.5 Jika, maka : (a) (c) ( ) (b) ( ) (d) ( )( ) (a) Dari sifat M2, selanjutnya dengan menambahkan pada diperoleh: ( ) Dari teorema, maka dapat dilihat bahwa 6
Maka (b) ( ) Dengan menerapkan sifat M3 dan M4, diperoleh: ( ) ( ) ( ) Dari teorema ( ) ( ) (c) ( ) Dengan menerapkan sifat A4, sehingga disimpulkan: Dan menggunakan teorema : Sehingga disimpulkan bahwa: ( ) (d) ( ) ( ) Dengan menggunakan teorema: ( ) Kemudian subtitusi, maka diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Teorema 1.6 Misalkan 7
(a) Jika., maka ada. Andaikan = 0 dan kedua ruas dikalikan dengan, maka diperoleh: ( ) 1 = 0 Kontradiksi, sehingga pengandaian = 0 salah. Haruslah 0 Selanjutnya karena ( ) maka berdasarkan teorema: Maka Maka dapat disimpulkan bahwa 8
SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL Teorema 2.1 Sifat-Sifat Urutan dari Terdapat himpunan bagian tak kosong P dari bilangan real positif, yang memenuhi sifat-sifat berikut: (a) Jika (b) Jika (c) Jika yang disebut himpunan, maka tepat saru dari di bawah ini akan dipenuhi: sifat (c) disebut Sifat Trichotomy. P Definisi 2.2 (i) Jika bilangan real positif dan ditulis > 0. (ii) Jika * + bilangan non negatif dan ditulis 0. (iii) Jika bilangan real negatif dan ditulis < 0. (iv) Jika * + bilangan non positif dan ditulis 0. Definisi 2.3 Misalkan (a) Jika, maka ditulis atau (b) Jika * +, maka ditulis atau Selanjutnya notasi mempunyai arti dan. Dengan cara yang sama, jika Teorema 2.4 Misalkan (a) Jika, maka ditulis (b) Dipenuhi tepat satu dari: 9
(c) Jika (a) Jika, maka ditulis Jika berarti, sheingga dengan aksioma: Jika, diperoleh: ( ) ( ). Jadi (b) Dipenuhi tepat satu dari: Dengan sifat Trichotomy, dipenuhi tepat satu dari: ( ) P (c) Jika Andaikan, maka 0, sehingga dari (b) diperoleh atau P. Dengan kata lain,. Hal ini kontradiksi dengan hipotesis. Maka pengandaian salah. haruslah Teorema 2.5 (a) Jika (b) 1 (c) Jika, maka (a) Dengan sifat Trichotomy, jika maka atau Jika, maka dengan aksioma diperoleh = Dengan cara yang sama, jika, maka ( )( ), Maka ( )( ) =(-1).(-1) = (-1).(-1). = Sehingga disimpulkan: jika 10
(b) 1 Karena (c) Jika, maka Dibuktikan dengan induksi matematika : (i) untuk n = 1, benar 1 > 0 (ii) untuk n = k, maka k > 0. Akan dibuktikan untuk n = k + 1 karena dan, maka sehingga dengan aksioma:, maka terbukti bahwa k + 1 > 0 dari (i) dan (ii) terbukti bahwa: Teorema 2.6 Misalkan (a) Jika, maka (b) Jika dan, maka (c) Jika dan maka Jika dan maka (d) Jika Jika maka maka (a) Jika, maka Jika, berarti, sehingga (a + c) (b + c) =. Jadi (a + c) > (b + c) (b) Jika dan, maka dan berarti dan, sehingga dengan sifat: Jika maka, diperoleh: 11
(a + c) (b + d) = (a b) + (c d) Jadi (c) Jika dan maka Jika dan maka Jika dan, berarti dan, sehingga dengan sifat: Jika maka, diperoleh: ( ). jadi Jika, berarti, sehingga ( ) ( ). Jadi Contoh: 1. Jika Bukti! (i) Andaikan dan maka = = Sehingga. Kontradiksi dengan. maka haruslah (ii), maka = = 0. 0 = 0, maka = = 0. 0 = 0 Sehingga Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa: Jika 2. Jika 12
Dan telah diketahui bahwa: Maka disimpulkan bahwa : Teorema 2.7 Jika a, b a < b, maka ( ) Karena a < b, maka dengan teorema: jika a > b, maka a + c > b + c Sehingga diperoleh : 2a = a + a < a + b dan a + b < b + b = 2b Jadi 2a < a + b < 2b Dengan teorema: 1 > 0, diperoleh : 2 > 0,dan > 0 sehingga dapat disimpulkan: a = (2a) < (a + b) < (2b) = b Jadi a < (a + b) < b Berdasarkan teorema tersebut, maka dapat diambil kesimpulan bahwa diantara dua bilangan real yang berbeda terdapat tak berhingga bilangan real. Teorema 2.8 Teorema ini sebagai akibat dari teorema 2.2.7, yaitu: Jika b dan b > 0, maka ( ) Subtitusikan a = 0 pada teorema : ( ) 13
Maka diperoleh ( ) Teorema 2.9 Jika dan Andaikan a > 0, maka dari teorema a. Jika dipilih =, maka 0 < < a. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa Jadi haruslah a = 0.,. Teorema 2.10 Jika dan Andaikan b < a. Misalkan (a b), maka > 0. Sehingga diperoleh b < a - Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa. Jadi haruslah Teorema 2.11 Jika ab > 0, maka dipenuhi salah satu: (a) a > 0 dan b > 0 (b) a < 0 dan b < 0 Karena ab > 0, maka dan b. Berdasarkan sifat Trichotomy, maka a > 0 atau a < 0. Jika a > 0, maka berdasarkan teorema, sehingga: 14
b = 1b = ( )a.b= ( )( ) Dengan cara yang sama, jika a < 0, maka sehingga b = ( )( ) Contoh: 1. Buktikan bahwa 0 < a < b, maka ( ) BUKTI: Diketahui bahwa 0 < a < b ( ) ( ) 2. Buktikan bahwa ( ( )) ( ) BUKTI: ( ) = ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 15
NILAI MUTLAK DEFINISI Untuk a harga mutlak dari a, dinotasikan dengan didefinisikan sebagai : a; a = -a; a < 0 Sebagai contoh, = 3 dan = 2. Dari definisi ini disimpulkan bahwa, a. Teorema 3.1 (i) jika dan hanya jika a = 0 (ii) a (iii) a, b (iv) jika c 0, maka jika dan hanya jika c a c (v) - a a BUKTI: (i) Dari definisi, jika a = 0 maka Sebaliknya, jika a 0, maka a 0, sehingga 0. jadi, jika, maka a = 0. (ii) Jika a = 0, maka 0 =. Jika a > 0, maka a < 0 sehingga = a = -(-a) =. Jika a < 0 maka a > 0 sehingga = -a =. (iii) Jika salah satu dari a, b bernilai nol, maka baik maupun sama-sama bernilai nol. Jika a > 0 dan b > 0, maka = ab =. Jika a > 0 dan b < 0, maka ab < 0 sehingga = -ab = a(-b) =. 16
Untuk dua kasus yang lain dapat dikerjakan dengan cara yang sama. (iv) Jika maka diperoleh a c dan a c. Hasil ini memberikan a c dan c a sehingga -c a. Sebaliknya, jika -c a c, maka a c dan a c, yang berarti c. (v) Subtitusikan c = ke dalam (iv) Teorema 3.2 Ketaksamaan Segitiga: Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku : Dari teorema: - a dan - b. Jika dijumlahkan: -( + ) a + b Dengan teorema: jika dan hanya jika c a c maka disimpulkan bahwa: Teorema 3.3 Teorema ini muncul sebagai akibat dari adanya teorema 2, yaitu: Jika a dan b sebarang bilangan real, maka: (i) Contoh: Fungsi f didefinisikan dengan f(x) = ( ) ( ) untuk 1 Tentukan konstanta M sehingga ( ) M, 1. Jawab: Perhatikan terpisah pembilang dan penyebut dari: ( ) = 17
Dengan ketaksamaan segittiga diperoleh: + 4 + 4.3 + 1 = 22 Karena 3, 1. dipihak lain: 3 3.1-1 = 2 Karena 1. Jadi, untuk x. Sehingga untuk 1 berlaku: ( ) = 22. = 11. Jadi dipilih M = 11 DEFINISI Misalkan a dan Persekitaran a didefinisikan sebagai himpunan (a) = { }. Untuk a pernyataan bahwa (a) ekuivalen dengan pernyataan: - < x a < < x < a + Teorema 3.4 Misalkan a Jika x anggota dari persekitaran (a), maka x = a. Jika x memenuhi, maka menurut teorema: jika a dan 0 maka a = 0 Sehingga diperoleh: yaitu x = a. Contoh: 1. Misalkan a Tunjukkan bahwa Jawab: Dari definisi (i) a, a 18
= ( ) = (ii) -a, a ( ) = Dari (i) dan (ii) maka 2. Misalkan a Tunjukkan bahwa Jawab: Telah ditunjukkan bahwa Pilih a =, maka diperoleh: Jadi ( ) = ( ) = 19
SIFAT KELENGKAPAN DAN ARCHIMIDES DEFINISI Misalkan S himpunan bagian dari. a) Bilangan dikatakan batas atas dari himpunan S jika berlaku untuk setiap. b) Bilangan dikatakan batas bawah dari himpunan S jika berlaku untuk setiap. DEFINISI Misalkan S himpunan bagian dari. a) Jika S terbatas di atas, maka batas atas u adalah supremum (batas atas terkecil) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih kecil dari u yang merupakan batas atas dari S. b) Jika S terbatas di bawah, maka batas bawah v adalah infimum (batas bawah terbesar) dari S jika tidak ada bilangan yang lebih besar dari v yang merupakan batas bawah dari S. Teorema 4.1 Bilangan u adalah supremum dari himpunan tak kosong, jika dan hanya jika memenuhi : a) untuk setiap. b) Jika, maka terdapat sehingga. Bukti : a) Dari definisi u merupakan batas atas dari himpunan S jika : untuk setiap Diketahui u merupakan supremum (batas atas terkecil) dari himpunan S, maka dari definisi batas atas berlaku untuk setiap 20
u adalah supremum dari himpunan S berarti tak ada bilangan yang lebih kecil u yang merupakan batas atas dari S., berarti karena u adalah sup S., berarti terdapat sehingga. Jadi, jika maka terdapat sehingga. Teorema 4.2 a) Batas atas u dari himpunan tak kosong, merupakan supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sehingga. b) Batas bawah l dari himpunan tak kosong, merupakan infimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sehingga. a) Misalkan u adalah batas atas dari S yang memenuhi kondisi di atas. Jika dan kita ambil, untuk setiap terdapat sehingga. Jadi v bukan batas atas dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih kecil dari u, maka. Sebaliknya, misalnya dan. Karena, maka bukan batas atas dari S. Akibatnya beberapa haruslah lebih besar daripada, yaitu. b) Misalkan l adalah batas bawah dari S yang memenuhi kondisi di atas. Jika dan kita ambil, untuk setiap terdapat sehingga. Jadi v bukan batas bawah dari S. Karena v sebarang bilangan yang lebih besar dari l, maka. Sebaliknya, misalnya dan. Karena, maka bukan batas bawah dari S. 21
Akibatnya beberapa haruslah lebih kecil daripada, yaitu. Teorema 4.3 (Sifat supremum dari R) Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas atas pasti mempunyai supremum di dalam R. Bukti : Misalkan S himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di bawah. Himpunan * + terbatas di atas, dan dari sifat supremum diperoleh bahwa ada. Akibatnya. Teorema 4.4 (Sifat infimum dari R) Setiap himpunan tak kosong di dalam R yang mempunyai batas bawah pasti mempunyai infimum di dalam R. Bukti : Sifat analog dari infimum juga dapat dideduksi dari sifat supremum di atas. Teorema 4.5 (Sifat Archimides) Jika maka x Bukti : Andaikan x tidak benar, yaitu x. Oleh karena itu, x adalah batas atas dari N sehingga dengan sifat supremum maka himpunan tak kosong N mempunyai supremum u didalam R. karena u 1 < u, maka dengan teorema: 22
batas atas u dari himpunan tak kosong, merupakan supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap terdapat sehingga. maka terdapat N sehingga u 1 < m. Tetapi akibatnya u < m + 1. Karena m + 1 N, maka kontradiksi dengan asumsi bahwa u adalah adalah batas atas dari N. Contoh: 1. Jika dan { } Buktikan bahwa : Jawab : Akan dibuktikan bahwa : i) Misalkan, maka Sehingga au batas bawah dari as, akibatnya : ii) Misalkan v, maka Sehingga batas bawah dari S, akibatnya : Dari i dan ii, maka terbukti bahwa 23
Latihan 1 1. Teorema 1.4 bagian b! 2. Teorema 1.6 bagian b! 3. Teorema 1.6 bagian c! 4. Teorema 2.2.6 bagian d! 5. Buktikan: jika, maka 6. Jika a dan b =! 7. Jika dan { } Buktikan bahwa : 8. Misalkan S = { ; n N}. Buktikan bahwa: inf S = 0! 24