METODE ITERASI ORDE EMPAT DAN ORDE LIMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Imaddudin Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293 i.dudin@rocketmail.com ABSTRACT This article discusses the iterative methods derived by homotopy perturbation method to solve a nonlinear equation. Analytically using Taylor expansion and geometric series it is shown that the iterative methods have an order of convergence four and five. Numerical computations using four test functions show that one of the iterative methods is better than other discussed methods in terms of the number of iterations required to obtain the approximate root of the nonlinear equations. Keywords: Iterative methods, nonlinear equations, homotopy perturbation method, geometric series ABSTRAK Artikel ini membahas metode iterasi yang diturunkan menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Secara analitik dengan menggunakan ekspansi Taylor dan deret geometri ditunjukkan bahwa metode iterasi ini memiliki orde konvergensi empat dan lima. Komputasi numerik menggunakan empat fungsi uji menunjukkan bahwa metode iterasi baru lebih baik dari metode pembanding dalam jumlah iterasi yang diperlukan untuk memperoleh akar pendekatan persamaan nonlinear. Kata kunci: Metode iterasi, persamaan nonlinear, metode perturbasi homotopi, deret geometri 1. PENDAHULUAN Matematika merupakan salah satu ilmu yang sering diminati, karena di dalam matematika banyak permasalahan yang bisa diselesaikan, salah satunya adalah menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinear yang berbentuk f(x) = 0, x R. 1
Persamaan nonlinear bisa diselesaikan menggunakan beberapa metode. Pertama, metode analitik, yang merupakan suatu metode untuk menyelesaikan persamaan nonlinear menggunakan rumus-rumus yang baku dan nilai yang diperoleh adalah nilai exact. Tetapi tidak semua permasalahan bisa diselesaikan menggunakan metode analitik. Kedua, metode numerik, yang merupakan suatu metode untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dengan cara memformulasikan permasalahan nonlinear sehingga dapat diselesaikan menggunakan operasi aritmatika. Solusi yang diperoleh menggunakan metode numerik merupakan solusi hampiran dan bisa diperoleh dengan bantuan program komputasi, salah satunya Maple 13. Atkinson [2, h. 68 69] menjelaskan salah satu metode numerik yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear adalah metode Newton yang memerlukan satu tebakan awal yaitu x 0 dan iterasinya berbentuk x n+1 = x n f(x n), n = 0, 1, 2,..., f (x n ) dengan f (x n ) 0. Tetapi metode Newton memiliki kelemahan yaitu saat titik pendekatannya berada pada titik ekstrim, metode Newton tidak dapat digunakan karena pada titik ini nilaif (x) = 0. Selain metode Newton ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear, diantaranya metode King yang dijelaskan oleh King [7] dan metode perturbasi homotopi yang dijelaskan oleh He [4]. Pada artikel ini di bagian dua dibahas metode iterasi yang diperoleh dari modifikasi metode perturbasi homotopi yang merupakan review sebagian dari artikel Javidi [5]. Kemudian pada bagian terakhir dilakukan uji komputasi untuk membandingkan metode yang didiskusikan menggunakan empat fungsi uji. 2. METODE ITERASI ORDE EMPAT DAN ORDE LIMA Untuk menemukan metode iterasi dalam menyelesaikan persamaan nonlinear f(x) = 0, f(x) diekspansi menggunakan teorema Taylor di sekitar x = λ yang berbentuk [3, h. 189] dengan f(x) = f(λ) + (x λ) + f (λ) (x λ) 2 + G(x) = 0, (1) 2! Dari persamaan (1) didapat G(x) = f(x) f(λ) (x λ) f (λ) (x λ) 2. (2) 2! x = λ f(λ) 1 2 (x λ)2 f (λ) G(x). (3) 2
Persamaan (3) dapat ditulis dalam bentuk dengan dan x = c + N(x), (4) c = λ f(λ), (5) N(x) = 1 2 (x λ)2 f (λ) G(x). (6) Dengan mensubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (6) didapat Dari persamaan (7) diperoleh dan N(x) = x λ f(x) + f(λ). (7) N (x) = 1 f (x), (8) N (x) = f (x). (9) Untuk menyelesaikan persamaan (4) pertama dibentuk homotopi H(x, p, m) : R [0, 1] R R, untuk persamaan (4) yang memenuhi H(x, p, m) = x c pn(x) p(1 p)m = 0, m R, p [0, 1], (10) dengan m sebarang bilangan real dan p adalah parameter embedding. Parameter embedding p mononton naik dari nol ke satu, sebagaimana persamaan H(x, 0, m) = x c = 0, (11) dan persamaan (11) berlanjut hingga menghasilkan persamaan H(x, 1, m) = x c N(x) = 0. (12) Teknik perturbasi homotopi mengasumsikan solusi dari persamaan (10) berbentuk x = p i x i. (13) i=0 3
Dari persamaan (13), dengan mengambil p = 1 sedemikian hingga diperoleh solusi pendekatan untuk persamaan f(x) = 0, yaitu x = lim p 1 x = p i x i, i=0 x i (14) i=0 Selanjutnya, agar persamaan (10) dipenuhi haruslah berlaku p 0 : x 0 c = 0, p 1 : x 1 N(x 0 ) m = 0, p 2 : x 2 x 1 N (x 0 ) + m = 0, p 3 : x 3 x 2 N (x 0 ) x2 1 N (x 0 ) = 0, 2. :. =.. (15) Dari persamaan (15) nilai m ditentukan sedemikian hingga x 2 = 0 sehingga didapat m = N(x 0)N (x 0 ) 1 N (x 0 ). (16) Kemudian persamaan (16) disubstitusikan ke persamaan (15) sehingga diperoleh x 0 = c, x 1 = N(x 0), 1 N (x 0 ) x 2 = 0, ( 2 x 3 = 1 N(x0 ) 2 1 N (x 0 )) N (x 0 ),. =.. Dengan mensubstitusikan persamaan (17) ke persamaan (14) dan diambil i = 2 diperoleh (17) x = c + N(x 0) 1 N (x 0 ). (18) Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan (8) ke persamaan (18) sehingga diperoleh x = c + x 0 λ f(x 0) + f(λ) f (x 0 ). (19) 4
Dari persamaan (17) dan (5) diperoleh x 0 = λ f(λ), (20) dan persamaan (20) disubstitusikan ke persamaan (19) didapat ( ) x = λ f(λ) f λ f(λ) ( ). (21) f λ f(λ) Berdasarkan persamaan (21) diperoleh metode iterasi orde empat (MMHP1) atau yang dikenal dengan metode Newton dua langkah yang berbentuk y n = x n f(x n), } f (x n) x n+1 = y n f(yn). (22) f (y n) Dengan mensubstitusikan persamaan (17) ke persamaan (14) dan diambil i = 3 diperoleh x = c + N(x 0) 1 N (x 0 ) + 1 ( ) 2 N(x0 ) N (x 2 1 N 0 ), (23) (x 0 ) kemudian persamaan (7), (8) dan (9) disubstitusikan ke persamaan (23) diperoleh x = c + x 0 λ f(x 0) + f(λ) f (x 0 ) 1 2 ( x0 λ f(x 0) + f(λ) ) 2 f (x 0 ) f (x 0 ). (24) Dengan mensubstitusikan persamaan (20) ke persamaan (24) diperoleh ( ) x = λ f(λ) f λ f(λ) ( ) f λ f(λ) ( ) 1 f λ f(λ) 2 ( ) f λ f(λ) f ( ) (λ). (25) 2 f λ f(λ) Berdasarkan persamaan (25) diperoleh metode iterasi (MMHP2) yang berbentuk y n = x n f(x n) f (x n ), x n+1 = y n f(yn) f (y n) 1 2 ( ) 2 f(yn) f (y n). f (y n) f (x n) Berikut ditunjukkan bahwa metode iterasi (MMHP2) pada persamaan (26) memiliki orde konvergensi sekurangnya lima. (26) 5
Teorema 1 Misalkan f : D R R yang mempunyai turunan secukupnya. Misalkan juga f mempunyai akar sederhana x D. Jika diberikan x 0 cukup dekat ke x, maka metode iterasi yang diberikan oleh persamaan (26) memiliki orde konvergensi sekurangnya lima. Bukti. Misalkan x adalah akar sederhana untuk persamaan nonlinear dari f(x) = 0, yang berarti f(x ) = 0 dan f (x ) 0. Misalkan e n = x n x dan C j = 1 f (j) (x ) j! f (x, j = 1, 2,..., 5. Karena fungsi f mempunyai turunan secukupnya, ) dengan mengekspansikan f(x) di sekitar x = x menggunakan teorema Taylor sampai orde lima dan mengabaikan orde yang lebih tinggi kemudian dievaluasi di x = x n diperoleh [3, h. 189] dan f(x n ) = f (x ) ( e n + C 2 e 2 n + C 3 e 3 n + C 4 e 4 n + C 5 e 5 n) + O(e 6 n ), (27) f (x n ) = f (x )(1 + 2C 2 e n + 3C 3 e 2 n + 4C 4 e 3 n + 5C 5 e 4 n) + O(e 5 n), (28) dengan e n = x n x dan C j = 1 f (j) (x ) j! f (x, dimana j = 1, 2,..., 5. ) Selanjutnya dari persamaan (27) dan (28) didapat dengan f(x n ) f (x n ) = e n + C 2 e 2 n + C 3 e 3 n + C 4 e 4 n + C 5 e 5 n + O(e 6 n), (29) 1 + r r = 2C 2 e n + 3C 3 e n 2 + 4C 4 e n 3 + 5C 5 en 4 + O(e 5 n). (30) Persamaan (29) diselesaikan menggunakan deret geometri yang berbentuk [9, h. 730] 1 1 + r = 1 r + r2 r 3 + r 4 + ( r) n +. (31) Dengan mensubstitusikan nilai r pada persamaan (30) ke persamaan (31) diperoleh 1 1 + r = 1 2C 2e n + ( 3C 3 + 4C 2 2)e 2 n + (12C 2 C 3 4C4 8C 3 2)e 3 n +( 5C 5 + 9C 2 3 + 16C 4 2 36C 2 2C 3 )e 4 n +(10C 2 c 4 20C 2 2C 3 + 8C 4 2 4C 5 + 6C 2 3)e 5 n + O(e 6 n). (32) Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (32) ke persamaan (29) didapat f(x n ) f (x n ) = e n C 2 e 2 n + ( ) 2C 3 + 2C2 2 e 3 n + ( ) 4C2 3 + 7C 2 C 3 3C 4 e 4 n + ( 8C 4 2 4C 5 + 10C 2 C 4 20C 2 2C 3 + 6C 2 3) e 5 n + O(e 6 n). (33) Dengan mensubstitusikan persamaan (33) ke persamaan (22) dan mengingat bahwa 6
x n = e n + x diperoleh y n = x + C 2 e 2 n + ( 2C 3 2C 2 2) e 3 n + ( 4C 3 2 7C 2 C 3 + 3C 4 ) e 4 n + ( 8C 4 2 + 4C 5 10C 2 C 4 + 20C 2 2C 3 6C 2 3)e 5 n + O(e 6 n). (34) Langkah selanjutnya adalah dengan mengekspansikan f(x) di sekitar x = x menggunakan teorema Taylor sampai orde lima dan mengabaikan orde yang lebih tinggi kemudian dievaluasi di x = y n dan disederhanakan didapat [3, h. 189] dan f(y n ) = f (x ) ( C 2 e 2 n + (2C 3 2C 2 2)e 3 n + (5C 3 2 7C 2 C 3 + 3C 4 )e 4 n + ( 12C 4 2 + 4C 5 10C 2 C 4 + 24C 2 2C 3 6C 2 3)e 5 n) + O(e 6 n ), (35) f (y n ) = f (x ) ( 1 + 2C 2 2e 2 n + (4C 2 C 3 4C 3 2)e 3 n + (8C 4 2 11C 2 2C 3 + 6C 2 C 4 )e 4 n) + O(e 5 n ), (36) f (y n ) = f (x ) ( 2C 2 + 6C 3 C 2 e 2 n + (12C 2 3 12C 2 2C 3 )e 3 n) + O(e 4 n ). (37) Selanjutnya dengan membagi persamaan (35) dengan persamaan (36) diperoleh dengan f(y n ) f (y n ) = A 1 + A 2 1 + r, (38) A 1 =C 2 e 2 n + (2C 3 2C 2 2)e 3 n + (5C 3 2 7C 2 C 3 + 3C 4 )e 4 n, A 2 = ( 4C 5 + 24C 2 2C 3 6C 2 3 10C 2 C 4 12C 4 2) e 5 n + O(e 6 n), r =2C 2 2e 2 n + (4C 2 C 3 4C 3 2)e 3 n + (8C 4 2 11C 2 2C 3 + 6C 2 C 4 )e 4 n + O(e 5 n). (39) Persamaan (38) diselesaikan menggunakan deret geometri, dengan mensubstitusikan persamaan (39) ke persamaan (31) diperoleh [9, h. 730] 1 1 + r = 1 2C2 2e 2 n + (4C 3 2 4C 2 C 3 )e 3 n + (11C 2 2C 3 4C 4 2 6C 2 C 4 )e 4 n + (16C 3 2C 3 16C 5 2)e 5 n + O(e 6 n), (40) kemudian persamaan (40) disubstitusikan ke persamaan (38), setelah disederhanakan didapat f(y n ) f (y n ) = C 2e 2 n + (2C 3 2C 2 2)e 3 n + (3C 3 2 + 3C 4 7C 2 C 3 )e 4 n + (4C 5 4C 4 2 6C 2 3 10C 2 C 4 + 16C 2 2C 3 )e 5 n + O(e 6 n). (41) 7
dan ( ) 2 f(yn ) = c 2 f (y n ) 2e 4 n + ( 4C2 3 + 4C 2 C 3 )e 5 n + O(e 6 n). (42) Selanjutnya dari persamaan (37) dan (28) diperoleh f (y n ) f (x n ) = 2C 2 + 6C 3 C 2 e 2 n + (12C3 2 12C2C 2 3 )en 3 + O(e 4 n), (43) 1 + r dengan r = 2C 2 e n + 3C 3 e 2 n + 4C 4 e 3 n + 5C 5 e 4 n + O(e 5 n). Persamaan (43) diselesaikan menggunakan deret geometri, sehingga dari persamaan (43) diperoleh [9, h. 730] f (y n ) f (x n ) =2C 2 4C 2 2e n + 8C 3 2e 2 n + ( 16C 4 2 + 12C 2 3 8C 2 C 4 )e 3 n + ( 10C 2 C 5 24C 2 3 + 32C 2 2C 4 24C 3 2C 3 + 32C 5 2)e 4 n + (24C 3 C 4 C 2 36C 3 3 96C 3 2C 4 + 96C 4 2C 3 64C 6 2 + 48C 2 3C 2 2 + 40C 2 2C 5 )e 5 n + O(e 6 n). (44) Kemudian persamaan (33), (41), (42) dan (44) disubstitusikan ke persamaan (26), sehingga diperoleh Karena x n = e n + x, persamaan (45) menjadi x n+1 = x n e n + 2C 4 2e 5 n + O(e 6 n). (45) dan karena x n+1 = e n+1 + x, persamaan (46) menjadi x n+1 = x + 2C 4 2e 5 n + O(e 6 n), (46) e n+1 = 2C 4 2e 5 n + O(e 6 n). (47) Berdasarkan definisi orde konvergensi, persamaan (47) menunjukkan bahwa metode iterasi pada persamaan (26) memiliki orde konvergensi sekurangnya lima, sehingga Teorema 1 terbukti [8, h. 77]. 3. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini, dilakukan uji komputasi untuk membandingkan kecepatan dalam menemukan akar persamaan antara metode Newton (MN), metode King (MK) dengan β = 0, metode perturbasi homotopi (MPH), metode iterasi orde empat (MMHP1) dan metode iterasi (MMHP2) untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Berikut ini merupakan empat contoh fungsi yang digunakan dalam melakukan uji komputasi dengan toleransi tol = 1 10 30 yaitu 1. f 1 (x) = x 2 (1 x) 5. 8
2. f 2 (x) = sin 2 (x) x 2 + 1. 3. f 3 (x) = cos(x) x. 4. f 4 (x) = x 2 e x 3x + 2. Untuk menentukan solusi numerik dari empat fungsi nonlinear di atas digunakan program Maple 13. Dalam menemukan solusi numerik juga ditetapkan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk semua metode, yaitu jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan, atau jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan. Hasil perbandingan komputasi dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi f i (x) x 0 Metode n + 1 x n+1 f(x n+1 ) x n+1 x n MN 7 1.46e 59 2.85e 30 MK 4 0.345954815848242 3.82e 86 3.50e 22 f 1 (x) 1.0 MPH 4 017958204406447 6.80e 47 6.44e 16 MMHP1 4 1.48e 118 2.85e 30 MMHP2 3 2.07e 48 2.10e 10 MN 7 2.51e 44 1.14e 22 MK 4 1.404491648215341 6.51e 72 1.59e 18 f 2 (x) 3.0 MPH 5 226035086817787 8.97e 48 1.47e 16 MMHP1 4 1.99e 88 1.14e 22 MMHP2 3 2.04e 38 2.56e 08 MN 4 9.93e 33 1.64e 16 MK 2 0.739085133215160 6.79e 31 6.31e 08 f 3 (x) 0.7 MPH 3 641655312087674 1.69e 48 1.83e 16 MMHP1 2 9.93e 33 2.72e 08 MMHP2 2 2.12e 49 4.84e 10 MN 5 3.18e 54 3.00e 27 MK 3 0.257530285439860 1.05e 89 1.58e 22 f 4 (x) 0.5 MPH 3 760455367304937 4.40e 33 3.09e 11 MMHP1 3 2.50e 109 3.00e 27 MMHP2 2 2.33e 40 5.27e 08 Dari Tabel 1 terlihat bahwa semua metode yang dilakukan uji komputasi dengan empat persamaan yanng berbeda dan tebakan awal x 0 yang berbeda berhasil menemukan akar pendekatan persamaan nonlinear dari setiap fungsi yang diberikan. Tabel 1 memperlihatkan bahwa nilai x n+1 x n pada metode iterasi (MMHP2) lebih besar untuk beberapa fungsi dan tebakan awal x 0 yang berbeda dibandingkan dengan metode-metode yang lain. Sedangkan nilai x n+1 x n pada metode iterasi orde empat (MMHP1) kecil atau sama dengan nilai x n+1 x n pada metode Newton (MN) untuk beberapa fungsi dan tebakan awal x 0 yang berbeda. Kemudian dari Tabel 1 terlihat bahwa metode iterasi orde empat (MMHP1) dan metode iterasi (MMHP2) sebanding dalam menemukan akar pendekatan yang 9
dapat dilihat dari jumlah iterasi yang sama atau lebih sedikit dibandingkan metode pembanding yaitu metode Newton (MN), metode King (MK) dengan nilai β = 0 dan metode perturbasi homotopi (MPH). Oleh karena itu metode iterasi orde empat (MMHP1) dan metode iterasi (MMHP2) dapat dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] M. Arkowitz, Introduction to Homotopy Theory, Springer, New York, 2011. [2] K. E. Atkinson, Elementary Numerical Analysis, Second Edition, John Wiley and Sons, New York, 1993. [3] R. G. Bartle dan D. R. Shebert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley and Sons, Hoboken, 2011. [4] J. H. He, A coupling method of homotopy technique and perturbation technique for nonlinear problems, International Journal of Non-Linear Mechanics, 35 (2000), 37 43. [5] M. Javidi, Fourth order and fifth order iterative methods for nonlinear algebraic equations, Mathematical and Computer Modelling, 50 (2009), 66 71. [6] M. Javidi, Iterative methods to nonlinear equations, Applied Mathematics and Computation, 193 (2007), 360 365. [7] R. F. King, A family of fourth order methods for nonlinear equations, Mathematics and Computational, 10 (1973), 876 879. [8] J. H. Mathews, Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, Second Edition, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1992. [9] J. Stewart, Single Variable Calculus, Seventh Edition, Brooks Cole, Belmont, 2012. 10