ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN OPTIMASI BERKENDALA SKRIPSI THERESIA M. MANIK 120803069 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSTITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2016
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN OPTIMASI BERKENDALA SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains THERESIA M. MANIK 120803069 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSTITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2016
PERSETUJUAN Judul : Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala Kategori : Skripsi Nama : Theresia M. Manik Nomor Induk Mahasiswa : 120803069 Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Disetujui di Medan, Juni 2016 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2, Pembimbing 1, Dr. Esther S M Nababan, M. Sc Dr. Parapat Gultom, MSIE NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19610130 198503 1 002 Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D NIP 196209011988031002 i
PERNYATAAN ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN OPTIMASI BERKENDALA SKRIPSI Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juni 2016 Theresia M. Manik 120803069 ii
PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas kemurahan, berkat dan kasih karunia-nya penulis dimampukan untuk menyelesaikan penyusunan skripsi yang berjudul Analisis Karakteristik Fungsi Lagrange Dalam Menyelesaikan Permasalahan Optimasi Berkendala. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah dibantu dan didukung oleh berbagai pihak dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Parapat Gultom, MSIE dan Ibu Dr. Esther S M Nababan, M. Sc, selaku pembimbing, Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Ibu Asima Manurung, S.Si, M.Si, selaku pembanding yang telah menyediakan waktu serta memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyusunan skripsi ini. 2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Dra. Mardiningsih, M.Si, selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU. 3. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M.S, selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam serta Pembantu dekan FMIPA USU. 4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi di lingkungan Departemen Matematika, serta seluruh civitas akademika di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. 5. Orang tua penulis Ayahanda Madden Manik, S. Pd., dan Ibunda Bungasita Simarmata, S. Pd yang senantiasa mendoakan, memberi semangat dan memberikan dukungan baik secara moril maupun material kepada penulis sejak awal perkuliahan hingga selesainya skripsi ini. 6. Kakak dan adik penulis (Ferawati, Chrismes, Elyasi, Jose dan Tadius) yang selalu memberi semangat serta motivasi dalam penyusunan skripsi ini serta keluarga besar yang senantiasa mendoakan penulis. 7. Rekan-rekan mahasiswa/i jurusan matematika khususnya Matematika 2012 yang telah memberikan pemikiran, semangat, motivasi dan dukungan bagi penulis terkhusus untuk sahabat penulis yaitu Siska dan Mei. iii
8. Rekan-rekan sepelayanan Paduan Suara Gloria UKM KMK St. Albertus Magnus USU yang telah membantu bertumbuh dalam Tuhan melalui setiap doa, semangat dan motivasi bagi penulis. 9. Rekan-rekan Badan Pengurus Harian (BPH) Paduan Suara Gloria UKM KMK St. Albertus Magnus USU Periode 2014-2016 (Avery, Clinton, Melva, Monita, Hertati, Fritz, dan Buntora) yang telah membantu dalam setiap doa, semangat dan motivasi bagi penulis. Penulis menyadari sepenuhnya keterbatasan ilmu pengetahuan dan kemampuan penulis, sehingga skripsi ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu, segala saran dan kritik dari pembaca skripsi ini sangat penulis harapkan demi kesempurnaan skripsi ini. Kiranya Tuhan Yesus Kristus melimpahkan rahmat dan kasih-nya atas segala jerih payah, bantuan serta pengorbanan yang telah diberikan oleh semua pihak dalam membantu penyusunan skripsi ini. Medan, Juni 2016 Penulis Theresia M. Manik iv
ANALISIS KARAKTERISTIK FUNGSI LAGRANGE DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN OPTIMASI BERKENDALA ABSTRAK Metode pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange pada tahun 1736. Metode pengali Lagrange merupakan metode yang digunakan untuk menangani permasalahan program nonlinier dimana fungsi tujuannya memiliki kendala persamaan dan pertidaksamaan. Banyak masalah optimasi tidak dapat diselesaikan dikarenakan kendala yang membatasi fungsi objektif. Metode pengali Lagrange dapat mentransformasi persoalan optimasi berkendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala. Dengan demikian persoalan optimasi dapat diselesaikan. Kata Kunci: Optimasi, Optimasi Berkendala, Metode Pengali Lagrange v
ANALYSIS OF CHARACTERISTIC IN LAGRANGE FUNCTION TO SOLVING OPTIMIZATION PROBLEM WITH CONSTRAINTS ABSTRACT Lagrange multiplier method proposed by Joseph Louis Lagrange in 1736. Lagrange multiplier method is the method used to overcome the problems of nonlinear program where the objective function has the constraint equations and inequalities. Many optimization problems can not be solved because of the constraints that limit the objective function. Lagrange multiplier method can transform the optimization problem with constraints into the optimization problem without constraints. Thus the optimization problem can be solved. Keywords: Optimization, Optimization With Constraints, Lagrange Multiplier Method vi
DAFTAR ISI Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar Halaman i ii iii v vi vii ix x Bab 1. Pendahuluan 1.1. Latar belakang 1 1.2. Perumusan Masalah 5 1.3. Batasan Masalah 5 1.4. Tinjauan Pustaka 5 1.5. Tujuan Penelitian 11 1.6. Kontribusi Penelitian 11 1.7. Metodologi Penelitian 11 Bab 2. Landasan Teori 2.1. Optimasi 12 2.1.1. Pengertian Optimasi 12 2.1.2. Perumusan Masalah Optimasi 14 2.1.3. Klasifikasi Masalah Optimasi 15 2.1.4. Teknik Optimasi 20 2.2. Maksimum Dan Minimum 21 2.2.1. Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum 21 2.2.2. Teorema Titik Kritis 22 2.2.3. Titik Stasioner-Uji Turunan Pertama 23 2.2.4. Uji Turunan Kedua 24 2.3. Metode Pengali Lagrange 25 Bab 3. Hasil dan Pembahasan 3.1. Pengali Lagrange Dan Aplikasinya 27 3.1.1. Metode Pengali Lagrange 28 3.1.2. Pembuktian Matematis Untuk Metode Pengali Lagrange 29 3.1.3. Penjelasan Geometri Pada Metode Pengali Lagrange 31 3.1.4. Perluasan Metode Lagrange Dengan Kendala Pertidaksamaan 32 3.1.5. Penerapan Metode Lagrange Pada Sistem Operasi Daya Generator 35 3.2. Optimasi Berkendala Menggunakan Pengali Lagrange 37 3.2.1. Program Multivariabel Kuadrat 44 vii
Bab 4. Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 55 4.2 Saran 56 Daftar Pustaka 57 viii
DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman Tabel 2.1. Metode Penelitian Operasional 14 ix
DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman Gambar 2.1. Fungsi Maksimum-Minimum 21 3.1. Kontur Lingkaran dari Fungsi Objektif dan Daerah Layak 31 3.2. Fungsi Objektif J A (x, λ) = 1 2 kx2 + λ(b x) untuk b = 1 dan k = 2. (x, λ ) = (1,2) 40 3.3. Fungsi Objektif J A (x, λ) = 1 2 kx2 + λ(b x) untuk b = 1 dan k = 2. (x, λ ) = (0,0) 42 3.4. Kurva Peningkatan Kendala g(x) 44 3.5. Kontur Fungsi Objektif dan Fungsi Kendala Kontur fungsi objektif J A (x 1, x 2, λ 1, λ 2 ) = x 2 1 + 0.5x 1 + 3x 1 x 2 + 5x 2 2 + λ 1 (3x 1 + 2x 2 + 2) + λ 2 (15x 1 3x 2 1) 54 x