MODIFIKASI METODE HOMOTOPY PERTURBASI UNTUK PERSAMAAN NONLINEAR DAN MEMBANDINGKAN DENGAN MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Handico Z Desri 1, Syamsudhuha 2, Zulkarnain 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia desri handico z@yahoo.co.id ABSTRACT This article discusses the modified homotopy perturbation methods based on Newton method, by combining techniques and homotopy perturbation, to solve nonlinear equations. Then the methods were compared with the modified Adomian decomposition methods. Analytically it is shown that the order of convergence of the method derived by taking three terms in perturbation techniques is three as the method obtained by modification methods Adomian decomposition. Taking four terms in perturbation techniques results a method, which is same from a method obtained by modification methods Adomian decomposition. Furthermore, the computational tests show that the method obtained by taking three terms in the perturbation technique is better than the Newton method, Steffensen method and homotopy perturbation method. Keywords: Newton method, Homotopy Perturbation method, Adomian Decomposition method, nonlinear equations. ABSTRAK Artikel ini membahas modifikasi metode Homotopy Perturbasi berdasarkan metode Newton untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Proses modifikasi dilakukan dengan mengkombinasikan teknik perturbasi dan Homotopy. Kemudian metode yang diperoleh dibandingkan dengan modifikasi metode Dekomposisi Adomian. Secara analitik ditunjukkan bahwa dengan mengambil tiga suku pada teknik perturbasi diperoleh metode yang memiliki kekonvergenan orde tiga sebagaimana metode yang didapat dengan modifikasi metode Dekomposisi Adomian. Pengambilan empat suku pada teknik perturbasi diperoleh metode yang sama dengan metode yang didapat dengan modifikasi metode Dekomposisi Adomian. Selanjutnya dari uji komputasi, jika dilihat dari jumlah iterasi dalam mendapatkan akar pendekatan, terlihat bahwa metode iterasi dengan mengambil tiga suku pada teknik perturbasi lebih baik dari pada metode Newton, Metode Steffensen, dan Metode Homotopy Perturbasi. Repositori FMIPA Universitas Riau 1
Kata kunci: metode Newton, metode Homotopy Perturbasi, metode Dekomposisi Adomian, persamaan nonlinear. 1. PENDAHULUAN Persamaan nonlinear memiliki peranan yang sangat penting dalam seluruh bidang ilmiah, terutama di bidang matematika. Persamaan nonlinear ditulis dalam bentuk f(x) = 0. (1) Permasalahan yang sering terjadi adalah menemukan akar sederhana α dari persamaan nonlinear tersebut. Metode analitik tidak dapat menyelesaikan semua kasus dari persamaan (1), maka metode numerik menjadi alternatif. Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari akar dari suatu persamaan nonlinear. Beberapa diantaranya adalah metode Newton [5, h. 89], metode Dekomposisi Adomian [4] dan metode Homotopy Perturbasi [6]. Artikel ini membahas modifikasi metode Homotopy Perturbasi berdasarkan metode Newton dan membandingkan dengan modifikasi metode Dekomposisi Adomian untuk indeks m = 0, 1, 2, 3. Untuk m = 0 kedua metode modifikasi ini menghasilkan metode Newton. Untuk m = 1 menghasilkan metode Homotopy Perturbasi. Untuk m = 2 menghasilkan metode iterasi yang berbentuk 2[f (x n )] 3 f 3 (x n )[f (x n )] 2 2[f (x n )] 5, dan untuk m = 3 kedua metode modifikasi ini menghasilkan metode iterasi yang berbentuk f 3 (x n )[f (x n )] 2 5 f 4 (x n )[f (x n )] 3. 2[f (x n )] 3 2[f (x n )] 5 8 [f (x n )] 7 Artikel ini merupakan review dari artikel yang ditulis oleh S.Abbasbandy [2] yang berjudul Modified Homotopy Perturbation Method for Nonlinear Equations and Comparison with Adomian Decomposition Method. Pembahasan dimulai di bagian dua dengan menjelaskan modifikasi metode Dekomposisi Adomian. Selanjutnya dibagian tiga dibahas tentang modifikasi metode Homotopy Perturbasi dan analisa kekonvergenannya, kemudian dibagian empat melakukan perbandingan numerik dengan metode-metode pembanding yang diberikan. 2. MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Pada bagian ini dibahas modifikasi metode Dekomposisi Adomian berdasarkan metode Newton [1]. Misalkan diberikan suatu persamaan nonlinear f(x) = 0, Repositori FMIPA Universitas Riau 2
dengan x 0 adalah tebakan awal yang diketahui dan x 1 adalah hampiran akar dari persamaan nonlinear tersebut, misalkan x 1 = x 0 h. (2) Ekspansikan f(x 1 ) disekitar x 1 = x 0 dengan menggunakan Teorema Taylor [3, h. 189] dan dengan mengabaikan (x 1 x 0 ) n untuk n 3, diperoleh f(x 1 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 ) + f (x 0 ) (x 1 x 0 ) 2. 2! Karena x 1 adalah hampiran akar maka f(x 1 ) 0, sehingga diperoleh persamaan berikut dan karena h = x 1 x 0 diperoleh 0 = f(x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 ) + f (x 0 ) (x 1 x 0 ) 2, 2! Persamaan (3) dapat dibuat dalam bentuk dengan h = f(x 0) f (x 0 ) + h2 f (x 0 ) 2 f (x 0 ). (3) h = c + N(h), (4) dan N(h) adalah fungsi nonlinear dalam h yang memenuhi c = f(x 0) f (x 0 ), (5) N(h) = h2 2 f (x 0 ) f (x 0 ). (6) Metode Dekomposisi Adomian memisalkan solusi dari persamaan (4) dalam bentuk deret dengan h = h n, dan dimana N(h) = n=0 A n, n=0 A n = 1 [ ( d n )] N λ i h n! dλ n i i=0 λ=0, n = 0, 1, 2,, (7) Repositori FMIPA Universitas Riau 3
disebut polinomial Adomian. Solusi dari persamaan (4) diperoleh dengan metode rekursif dengan mendefinisikan Misalkan h 0 = c (8) h n+1 = A n, n = 0, 1, 2. (9) H m = h 0 + h 1 + h 2 + + h m. (10) Untuk m = 0, dengan menggunakan persamaan (10) diperoleh h H 0 = h 0. Mengingat persamaan (8) dan (5), serta x 1 diberikan oleh persamaan (2) maka didapat f (x 0 ). Kemudian dengan melakukan hal yang sama sampai iterasi ke-n diperoleh metode iterasi f (x n ), (11) yang dikenal dengan metode Newton. Untuk m = 1, dengan menggunakan persamaan (10) diperoleh h H 1 = h 0 + h 1 = h 0 + A 0. Mengingat persamaan (9) dan (7) dengan N(h) diberikan oleh persamaan (6), serta x 1 diberikan oleh persamaan (2) maka didapat f (x 0 ) f 2 (x 0 )f (x 0 ) 2[f (x 0 )] 3. Selanjutnya dengan melakukan hal yang sama sampai iterasi ke-n diperoleh metode iterasi (12) 2[f (x n )] 3 Untuk m = 2, menggunakan persamaan (10) diperoleh h H 2 = h 0 + h 1 + h 2 = h 0 + A 0 + A 1. Dari persamaan (9) dan (7) dengan N(h) diberikan oleh persamaan (6), serta x 1 diberikan oleh persamaan (2) maka didapat f (x 0 ) f 2 (x 0 )f (x 0 ) 2[f (x 0 )] 3 f 3 (x 0 )[f (x 0 )] 2 2[f (x 0 )] 5. Repositori FMIPA Universitas Riau 4
Kemudian dengan melakukan proses yang sama sampai iterasi ke-n diperoleh metode iterasi berikut 2[f (x n )] 3 f 3 (x n )[f (x n )] 2 2[f (x n )] 5. (13) Untuk m = 3, dari persamaan (10) diperoleh h H 3 = h 0 + h 1 + h 2 + h 3 = h 0 + A 0 + A 1 + A 2. Dari persamaan (9) dan (7) dengan N(h) diberikan oleh persamaan (6), serta x 1 diberikan oleh persamaan (2) maka didapat f (x 0 ) f 2 (x 0 )f (x 0 ) f 3 (x 0 )[f (x 0 )] 2 5 f 4 (x 0 )[f (x 0 )] 3. 2[f (x 0 )] 3 2[f (x 0 )] 5 8 [f (x 0 )] 7 Jika proses yang sama dilakukan berulang kali sampai iterasi ke-n, maka diperoleh metode iterasi berikut f 3 (x n )[f (x n )] 2 5 f 4 (x n )[f (x n )] 3. (14) 2[f (x n )] 3 2[f (x n )] 5 8 [f (x n )] 7 3. MODIFIKASI METODE HOMOTOPY PERTURBASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Pada bagian ini dibahas modifikasi dari metode Homotopy Perturbasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear berdasarkan metode Newton dan menunjukkan kekonvergenannya. 3.1 Modifikasi Metode Homotopy Perturbasi Misalkan diberikan suatu persamaan nonlinear f(x) = 0, dengan x 0 adalah tebakan awal yang diketahui dan x 1 adalah hampiran akar dari persamaan nonlinear tersebut, misalkan x 1 = x 0 h. (15) Ekspansikan f(x 1 ) disekitar x 1 = x 0 dengan menggunakan Teorema Taylor [3, h. 189] dan dengan mengabaikan (x 1 x 0 ) n untuk n 3, diperoleh f(x 1 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 ) + f (x 0 ) (x 1 x 0 ) 2. 2! Karena x 1 adalah hampiran akar maka f(x 1 ) 0, sehingga diperoleh persamaan berikut 0 = f(x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 ) + f (x 0 ) (x 1 x 0 ) 2. (16) 2! Repositori FMIPA Universitas Riau 5
Dari persamaan (16) diperoleh yang dapat ditulis menjadi dengan dan h h2 2 f (x 0 ) f (x 0 ) f(x 0) f (x 0 ) = 0, (17) L(h) + N(h) c = 0, (18) L(h) = h, N(h) = h2 2 c = f(x 0) f (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ), Selanjutnya, akan ditentukan nilai hampiran h dari persamaan (18) dengan menggunakan teknik Homotopy [6]. Definisi 1 (Homotopy) [8, h. 301] Suatu homotopy dua fungsi yang kontinu f(x) dan g(x) dari suatu ruang topologi X ke ruang topologi Y dinotasikan sebagai fungsi kontinu H : X [0, 1] Y sedemikian sehingga jika x X maka H(x; 0) = f(x) dan H(x; 1) = g(x). Jika homotopy seperti itu ada, maka dikatakan f homotopic untuk g, dan dinotasikan dengan f g. Selanjutnya definisikan Perhatikan bahwa H(v, p) = (1 p)[l(v) L(h 0 )] + p[l(v) + N(v) c]. (19) H(v, 0) = L(v) L(h 0 ) H(v, 1) = L(v) + N(v) c, (20) sehingga berdasarkan Definisi 1, H merupakan Homotopy untuk fungsi L(v) L(h 0 ) dan L(v) + N(v) c, dengan p [0, 1] adalah parameter Homotopy dan h 0 adalah taksiran awal dari h dan misalkan h 0 = c. Kemudian jika H(v, p) = 0, maka v yang memenuhi persamaan (20) merupakan solusi dari persamaan (18). Aplikasikan teknik Perturbasi [7, h. 1], asumsikan solusi persamaan (20) dalam bentuk deret sebagai berikut v = v 0 + pv 1 + p 2 v 2 + p 3 v 3 +, (21) Repositori FMIPA Universitas Riau 6
perhatikan bahwa h = lim p 1 v = v 0 + v 1 + v 2 +. Subsitusikan persamaan (21) ke persamaan (19) dan dengan mengelompokkan suku-suku berdasarkan pangkat p, diperoleh v 0 = h 0 = f(x n) f (x n ), (22) v 1 = h2 0 2 v 2 = h3 0 2 v 3 = 5h4 0 8 f (x n ) f (x n ), (23) [ ] f 2 (x n ), (24) f (x n ) [ f (x n ) f (x n ) ] 3. (25) Untuk mendapatkan solusi h dari persamaan (17), maka h pada persamaan (18) dihampiri dengan h H m = v 0 + v 1 + v 2 + + v m. (26) Untuk m = 0, dengan menggunakan persamaan (26) diperoleh h H 0 = v 0. Mengingat persamaan (22) dan x 1 diberikan oleh persamaan (15) maka didapat f (x 0 ). Jika hal yang sama dilakukan sampai iterasi ke-n, diperoleh metode iterasi sebagai berikut f (x n ), (27) yang merupakan metode Newton dan persamaan (27) juga diperoleh dari modifikasi metode Dekomposisi Adomian seperti pada persamaan (11). Untuk m = 1, dengan menggunakan persamaan (26) diperoleh h H 1 = v 0 + v 1. (28) Pandang kembali persamaan (23), dengan mensubsitusikan persamaan (22) ke persamaan (23) diperoleh v 1 = f 2 (x 0 )f (x n ) 2[f (x 0 )] 3. (29) Dengan mensubsitusikan persamaan (22) dan (29) ke persamaan (28), dan x 1 diberikan oleh persamaan (15) maka didapat f (x 0 ) f 2 (x 0 )f (x 0 ) 2[f (x 0 )] 3. Repositori FMIPA Universitas Riau 7
Kemudian dengan melakukan hal yang sama sampai iterasi ke-n diperoleh bentuk metode iterasi berikut ini 2[f (x n )] 3, (30) yang merupakan metode Homotopy Perturbasi dan persamaan (30) juga diperoleh dari modifikasi metode Dekomposisi Adomian seperti pada persamaan (12). Untuk m = 2, dengan menggunakan persamaan (26) diperoleh h H 2 = v 0 + v 1 + v 2. (31) Mengingat persamaan (24), dengan mensubsitusikan persamaan (22) ke persamaan (24) diperoleh v 2 = f 3 (x 0 )[f (x 0 )] 2 2[f (x 0 )] 5. (32) Dengan mensubsitusikan persamaan (22), (29) dan (32) ke persamaan (31), dan x 1 diberikan oleh persamaan (15) maka didapat f (x 0 ) f 2 (x 0 )f (x 0 ) 2[f (x 0 )] 3 f 3 (x 0 )[f (x 0 )] 2 2[f (x 0 )] 5. Jika hal yang sama diulangi sampai iterasi ke-n diperoleh bentuk metode iterasi berikut ini 2[f (x n )] 3 f 3 (x n )[f (x n )] 2 2[f (x n )] 5, (33) yang mana persamaan (33) juga diperoleh dari modifikasi metode Dekomposisi Adomian seperti pada persamaan (13). Untuk m = 3, menggunakan persamaan (26) diperoleh h H 3 = v 0 + v 1 + v 2 + v 3. (34) Pandang kembali persamaan (25), dengan mensubsitusikan persamaan (22) ke persamaan (25) diperoleh v 3 = 5f 4 (x 0 )[f (x 0 )] 3 8[f (x 0 )] 7. (35) Selanjutnya subsitusikan persamaan (22), (29), (32) dan (35) ke persamaan (34), dan x 1 diberikan oleh persamaan (15) maka didapat f (x 0 ) f 2 (x 0 )f (x 0 ) 2[f (x 0 )] 3 f 3 (x 0 )[f (x 0 )] 2 2[f (x 0 )] 5 5f 4 (x 0 )[f (x 0 )] 3 8[f (x 0 )] 7. Selanjutnya dengan melakukan hal yang sama sampai iterasi ke-n diperoleh bentuk metode iterasi berikut ini 2[f (x n )] 3 f 3 (x n )[f (x n )] 2 2[f (x n )] 5 5f 4 (x n )[f (x n )] 3 8[f (x n )] 7. (36) Repositori FMIPA Universitas Riau 8
yang mana persamaan (36) juga diperoleh dari modifikasi metode Dekomposisi Adomian seperti pada persamaan (14). Persamaan (33) dan (36) merupakan persamaan yang diperoleh dari modifikasi metode Homotopy Perturbasi yaitu untuk m = 2 dan m = 3, yang mana metode iterasi pada persamaan (33) dan (36) juga diperoleh dari modifikasi metode Dekomposisi Adomian untuk m = 2 dan m = 3. Berurutan persamaan (33) dan (36) disebut MMHP1 dan MMHP2. Pada bagian berikutnya akan dibuktikan orde konvergensi dari persamaan (33). 3.2 Analisa Kekonvergenan Modifikasi Metode Homotopy Perturbasi Berikut diberikan teorema untuk membuktikan orde kekonvergenan dari MMHP1. Teorema 2 Misalkan α I akar sederhana dari fungsi f, f : I R yang terdiferensial secukupnya pada interval terbuka I. Jika x 0 cukup dekat dengan α, maka metode baru pada persamaan (33) mempunyai konvergensi orde tiga dengan persamaan error: dengan C 3 = 1 f (α). 3! f (α) e n+1 = C 3 e 3 n + O(e 4 n), Bukti: Misalkan α adalah akar dari persamaan nonlinear f(x) = 0. Dengan mengekspansikan f(x n ) disekitar x n = α sampai orde tiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh f(x n ) = f(α) + f (α)(x n α) + 1 2! f (α)(x n α) 2 + 1 3! f (α)(x n α) 3 + O(x n α) 4. (37) Karena f(α) = 0 dan e n = x n α, maka dari persamaan (37) diperoleh f(x n ) = f (α)e n + 1 2! f (α)e 2 n + 1 3! f (α)e 3 n + O(e 4 n), dengan turunan pertama dan turunan kedua nya adalah sebagai berikut f (x n ) = f (α) + f (α)e n + 1 2 f (α)e 2 n + O(e 3 n), f (x n ) = f (α) + f (α)e n + O(e 2 n). Dengan memisalkan C 2 = 1 f (α) 2! f (α) dan C 3 = 1 3! f (α), maka diperoleh f (α) f(x n ) f (x n ) = e n C 2 e 2 n + [2C 2 2 2C 3 ]e 3 n + O(e 4 n), (38) Repositori FMIPA Universitas Riau 9
dan f 2 (x n )f (x n ) 2[f (x n )] 3 = C 2 e 2 n + [3C 3 4C 2 2]e 3 n + O(e 4 n), (39) f 3 (x n )[f (x n )] 2 2[f (x n )] 5 = 2C 2 2e 3 n + O(e 4 n). (40) Subsitusikan persamaan (38), (39), dan (40) kepersamaan (33), diperoleh x n+1 = x n e n C 3 e 3 n + O(e 4 n). (41) Karena x n = e n + α dan e n+1 = x n+1 α, maka persamaan (41) menjadi sebagai berikut e n+1 = C 3 e 3 n + O(e 4 n). 4. PERBANDINGAN NUMERIK Pada bagian ini dilakukan uji komputasi untuk membandingan kecepatan dalam menemukan akar persamaan antara metode Newton (MN), metode Steffensen (MS), metode Homotopy Perturbasi (MHP), dan modifikasi metode Homotopy Perturbasi (MMHP1 dan MMHP2) untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Fungsi yang digunakan adalah sebagai berikut f 1 (x) = cos(x) xe x + x 2 f 2 (x) = x 3 + 4x 2 10 f 3 (x) = (sin(x)) 2 + x. Simulasi numerik menggunakan program Matlab 7.0.1 dengan toleransi 1.0 10 15. Hasil perbandingan numerik dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1: Perbandingan Uji Komputasi untuk MN, MS, MHP, MMHP1, dan MMHP2 f i x 0 Metode n COC x n MN 5 2.00 0.63915409633200759 MS 6 2.00 0.63915409633200759 f 1 1.0 MHP 4 3.00 0.63915409633200759 MMHP1 3 3.00 0.63915409633200759 MMHP2 3 3.00 0.639154096332007592 MN Und MS 22 2.00 1.36523001341409690 f 2 2.5 MHP 19 3.00 1.36523001341409690 MMHP1 12 3.00 1.36523001341409690 MMHP2 32 3.00 1.36523001341409690 Repositori FMIPA Universitas Riau 10
f 3 2.6 MN 4251 2.00 0.00000000000000000 MS 7 2.00 0.00000000000000000 MHP Div MMHP1 4 3.00 0.00000000000000000 MMHP2 Div Pada Tabel 1, f i untuk i = 1, 2, 3 menyatakan persamaan nonlinear, x 0 merupakan tebakan awal, Metode menyatakan metode Newton (MN), metode Steffensen (MS), metode Homotopy Perturbasi (MHP), modifikasi metode Homotopy Perturbasi (MMHP1 dan MMHP2), n merupakan jumlah iterasi, COC menyatakan orde konfergensi dari metode secara komputasi, x n menyatakan pendekatan nilai akar pada iterasi ke-n, Div menyatakan divergen dan U nd menyatakan undef ined atau tak terdefinisi. Secara umum berdasarkan Tabel 1, tidak semua metode yang dibandingkan berhasil menemukan akar persamaan nonlinear dari fungsi yang diberikan. Seperti pada f 2, MN undefined untuk x 0 = 2.5 karena pada iterasi ke-2 f (x 2 ) = 0. Pada f 3, MHP dan MMHP2 divergen untuk x 0 = 2.6 karena pada tebakan awal ini nilai x n nya semakin membesar dan semakin menjauhi nilai akarnya. Kemudian dari Tabel 1 terlihat bahwa MMHP1 lebih unggul dari pada metode-metode pembanding yaitu MN,MS, MHP dan termasuk MMHP2. Dalam hal ini MMHP1 membutuhkan iterasi yang lebih kecil dari metode-metode pembanding. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Dr. Syamsudhuha M.Sc. selaku pembimbing I dan Bapak Zulkarnain M.Si. selaku pembimbing II, yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan tenaga dalam memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat dalam membimbing penulis menyelesaikan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Abbasbandy, S. 2003. Improving Newton-Raphson Method for Nonlinear Equations by Modified Adomian Decomposition Method. Computational and Applied Mathematics, 145. h. 887 893. [2] Abbasbandy, S. 2006. Modified Homotopy Perturbation Method for Nonlinear Equations and Comparison with Adomian Decomposition Method. Computational and Applied Mathematics, 172. h. 431 438. [3] Bartle, R. G. & R. D. Shebert. 2011. Introduction to Real Analysis, 4 rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [4] Babolian, E. & J. Biazar. 2002. Solution of Nonlinear Equations by Modified adomian Decomposition Method. Computational and Applied Mathematics, 132. h. 167-172. Repositori FMIPA Universitas Riau 11
[5] Cheney, W.and Kincaid, D. 2004. Numerical Mathematics and Computing, 6 th Ed. Brook/Cole Publishing Company, California [6] He, J. H. 2002. Application of Topological Technology to Construction of A Perturbation System for A Strongly Nonlinear Equation. Applied mathematics and Mechanics,, 20. h. 77 83. [7] Nayfeh, A. H. 1973. Perturbation Methods. John Wiley & Sons, Inc., Weinheim. [8] Sieradski, A. J. 1992. An Introduction to Topology and Homotopy. Pws-Kent Publishing Company, Boston. Repositori FMIPA Universitas Riau 12