PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR TESIS Oleh FADHILAH JULI YANTI HARAHAP 127021019/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh FADHILAH JULI YANTI HARAHAP 127021019/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Judul Tesis : PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR Nama Mahasiswa : Fadhilah Juli Yanti Harahap Nomor Pokok : 127021019 Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Herman Mawengkang) Ketua (Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 3 Juni 2014
Telah diuji pada Tanggal 3 Juni 2014 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 2. Dr. Sutarman, M.Sc 3. Dr. Syahril Efendi, S.Si. M.IT
PERNYATAAN PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya. Medan, 3 Juni 2014 Penulis, Fadhilah Juli Yanti Harahap i
ABSTRAK Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan linier maupun sistem persamaan nonlinier yaitu secara analitik dan numerik namun terdapat persamaan ataupun sistem persamaan nonlinier tertentu yang sulit diselesaikan dengan penghitungan analitik sehingga penghitungan numerik dapat menjadi solusi. Salah satu kajian metode numerik pada tesis ini adalah mengembangkan algoritma iteratif untuk meminimalkan fungsi nonlinier dengan teknik dekomposisi. Pengembangan algoritma dilandasi dari metode newton, lalu di kembangkan dengan teknik dekomposisi. Hasil analisis dan eksperimen memperlihatkan bahwa kekonvergenan metode NR bersifat kuadratik (derajad kekonvergenannya 2) ke akar sederhana. Untuk akar ganda, metode NR mempunyai derajat kekonvergenan linear, dan dapat ditingkatkan menjadi kuadratik dengan menggunakan modifikasi rumus iterasinya. Kata kunci: Akar persamaan, Algoritma iterative, Tekhnik dekomposisi, Algoritma newton. ii
ABSTRACT There are two ways to resolve the linear equations and non-linear equations that sisitem analytically and numerically, but there are similarities or certain nonlinear systems of equations that are difficult to be solved by analytic calculation of numerical calculation can be a solution. One study in numerical methods in this thesis is to develop an iterative algorithm for minimizing non-linear functions with decomposition techniques. The development of an algorithm based on Newton s method, and developed the technique of decomposition. Results of analysis and experiments show that the convergence is quadratic NR method (degree kekonvergenannya 2) to the simple roots. For double roots, NR method has a linear convergence degree, and can be increased to quadratic formula using a modified iteration. Keyword: Root equation, Iterative algorithms, Decomposition techniques, Algorithms newton. iii
KATA PENGANTAR Puji dan Syukur penulis ucapkan ke Hadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah memberikan petunjuk yang sangat berharga sehingga tesis yang berjudul PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA). Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2014 yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. iv
Tak lupa penulis ucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua dan suami tercinta yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih. Medan, 3 Juni 2014 Penulis, Fadhilah Juli Yanti Harahap v
RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Fadhilah Juli Yanti Harahap dilahirkan di Medan tanggal 23 juli 1978 anak ke-enam dari delapan orang bersaudara. Nama bapak Drs. Syamsuddin Harahap dan Ibu Rosliana. Tamat dari Sekolah Dasar Negeri 060858 tahun 1991, melanjut ke Sekolah Menengah Pertama Negeri 12 Medan dan tamat tahun 1994, kemudian melanjutkan ke SMA Negeri 14 Medan dan tamat tahun 1997. Pada tahun 1997 kuliah di Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan jurusan matematika tamat tahun 2002. Tahun 2000-2002 penulis mengajar di SD Muhammadiyah 09 Medan, Tahun 2002-2003 mengajar di SD Pertiwi Kota Medan dan Tahun 2005-2010 mengajar di MAN Binjai, kemudian tahun 2011 mengajar di MAN 2 Model Medan sampai dengan sekarang.selain Sebagai seorang ibu rumah tangga penulis tinggal bersama suami dan anak-anak di Dalu X-B jalan Swadana gang Impres. vi
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix x BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 1.5 Metode Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5 2.1 Optimasi Non-Linier 5 2.2 Metode Newton-Raphson 6 2.2.1 Gagasan awal metode newton-raphson 6 2.2.2 Metode pengali Lagrange 9 2.2.3 Vektor gradien dan matriks Hessian 9 2.3 Kondisi Karush-Kuhn Tucker 10 2.4 Metode Biseksi 12 vii
2.5 Metode Scant 12 BAB 3 MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENYE- LESAIKAN PERMASALAHAN PERSAMAAN NONLINEAR 13 3.1 Sistem Persamaan Nonlinier 13 3.2 Metode Numerik 14 3.3 Kesalahan 15 3.4 Modifikasi Metode Newton-Raphson 16 3.4.1 Kriteria berhenti 18 3.4.2 Penentuan titik awal (Z 0 ) 18 3.5 Beberapa Modifikasi Metode Newton Raphson 18 3.5.1 Tahap dua dan tahap tiga algoritma iteratif 19 3.6 Analisa Konvergen 24 3.7 Metode-metode Lainnya 25 3.7.1 Penerapan optimasi Chaos 25 3.7.2 Metode Jacobian 27 BAB 4 PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIVE UNTUK MEMINIMALKAN FUNGSI NONLINIER 30 4.1 Ilustrasi Numerik 30 BAB 5 KESIMPULAN 33 5.1 Kesimpulan 33 5.2 Saran 33 DAFTAR PUSTAKA 34 viii
DAFTAR TABEL Nomor Judul Halaman 2.1 Kondisi Karush-Kuhn Tucker 10 4.1 Algoritma baru dengan nilai awal x 0 =1 30 4.2 Algoritma baru dengan nilai awal x 0 =2 30 4.3 Algoritma baru dengan nilai awal x 0 =3 30 4.4 Algoritma baru dengan nilai awal x 0 =1 31 4.5 Algoritma baru dengan nilai awal x 0 =2 31 4.6 Algoritma baru dengan nilai awal x 0 =3 32 4.7 Algoritma baru dengan nilai awal x 0 =1 32 4.8 Algoritma baru dengan nilai awal x 0 =2 32 4.9 Algoritma baru dengan nilai awal x 0 =3 32 ix
DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 Metode newton-raphson 6 2.2 Pendekatan pada titik puncak 8 2.3 Pendekatan pada 2 titik puncak 8 x