METODE ITERASI DUA LANGKAH BEBAS TURUNAN BERDASARKAN INTERPOLASI POLINOMIAL N.D. Monti 1, M. Imran, A. Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (893), Indonesia novradilla@ymail.com ABSTRACT This paper discusses a technique based on an interpolating polynomial to approximate a derivative appearing in the two-step iterative method, so that a two-step iterative method free from derivative is obtained. It is shown analytically that this iterative method is of order three for a simple root. Numerical experiments show that the proposed method converges to a simple root faster than the other mentioned methods. Keywords: free derivative method, Halley method, Newton method, Steffensen method, nonlinear equations. ABSTRAK Artikel ini membahas tentang bagaimana menaksir turunan yang ada pada metode iterasi dua langkah, sehingga diperoleh metode iterasi dua langkah bebas turunan berdasarkan interpolasi polinomial untuk menemukan akar sederhana dari persamaan nonlinear. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode yang diusulkan konvergen kubik untuk akar sederhana. Komputasi numerik menunjukkan bahwa secara umum metode yang diajukan konvergen ke akar sederhana lebih cepat dari metode pembanding. Kata kunci: metode Halley, metode iterasi bebas turunan, metode Newton, metode Steffensen, persamaan nonlinear. 1. PENDAHULUAN Dalam matematika terapan sering ditemui persoalan bagaimana menemukan solusi suatu persamaan nonlinear yang dinyatakan dengan f(x) = 0. (1) 1
Banyak metode numerik yang sudah ditemukan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear (1). Diantaranya adalah metode dua langkah yang dibentuk dari metode Newton [3, h. 55] dan metode Halley [7, h. 86] dengan orde konvergensi tiga, dengan bentuk iterasi y n = x n f(x n) f (x n ), () x n+1 = x n f(y n )f (y n ) f (y n ) (f(y n )f (y n )), (3) metode iterasi dua langkah yang diperkenalkan Jisheng [5], yaitu y n = x n f(x n) f (x n ), (4) x n+1 = x n f (x n )+f (y n ) f (x n )(f(x n ) f(y n )), (5) dan metode iterasi yang diperkenalkan Weerakon dan Fernando [8] yang bentuk iterasinya diberikan oleh y n = x n f(x n) f (x n ), (6) x n+1 = x n f(x n ) f (x n )+f (y n ). (7) Ketiga metode di atas, kelemahannya terlihat bahwa jika f (x n ) = 0 atau f (x n ) cukup dekat dengan 0 maka metode ini tidak dapat diterapkan. Disamping itu jika fungsi f mempunyai bentuk rumit, turunan f jelas mempunyai bentuk yang komplek. Untuk mengatasi ini digunakan interpolasi polinomial dalam menaksir turunan yang muncul di persamaan () (7) agar metode tersebut tidak lagi memuat turunan dengan harapan orde konvergensi masih dapat dipertahankan. Pada artikel ini di bagian dua dibahas metode iterasi dua langkah bebas turunan berdasarkan interpolasi polinomial yang merupakan review dari artikel M.S.M. Bahgat dan M.A. Hafiz [1], dengan judul Solving Nonsmooth Equation Using Derivative Free Methods, kemudian dilanjutkan dibagian tiga dengan melakukan simulasi numerik terhadap lima fungsi uji.. METODE ITERASI DUA LANGKAH BEBAS TURUNAN BERDASARKAN INTERPOLASI POLINOMIAL.1 Taksiran Turunan Untuk menaksir turunan pertama f (x n ) yang muncul pada persamaan () (7), digunakan strategi yang digunakan Steffensen [4], yaitu f (x n ) f(x n +f(x n )) f(x n ) f(x n ) =: T 0. (8)
Taksiran ini berlaku bila diberikan x 0 maka {x n } α, yang berakibat {f(x n )} 0. Untukmengaproksimasif (y n )digunakaninterpolasipolinomialkuadratikdengan menggunakan data yang telah diketahui pada langkah sebelumnya, yaitu yang harus memenuhi P (x n,t) = a+b(t x n )+c(t x n ) (9) Dengan menggunakan kondisi (10) (13) diperoleh f(x n ) = P (x n,x n ), (10) f (x n ) = dp (x n,t), (11) dt t=xn f(y n ) = P (x n,y n ), (1) f (y n ) = dp (x n,t). (13) dt t=yn P (x n,x n ) = f(x n ) = a, (14) dp (x n,t) = f (x n ) = b, (15) dt t=xn P (x n,y n ) = f(y n ) = a+b(y n x n )+c(y n x n ), (16) dp (x n,t) = f (y n ) = b+c(y n x n ). (17) dt t=yn Bila disubstitusikan persamaan(14) (15) ke persamaan(16), maka setelah penyederhanaan diperoleh c = f (y n ) f (x n ) (18) (y n x n ). Selanjutnya substitusikan persamaan (14), (15) dan (18) ke persamaan (16), diperoleh f(y n ) = f(x n )+f (x n )(y n x n )+ f (y n ) f (x n ) (y n x n ). (19) (y n x n ) Dengan menyusun ulang persamaan(19) dan menggunakan persamaan(8) kemudian disederhanakan, didapat taksiran untuk f (y n ) yang dinotasikan dengan T, yaitu ( ) f f(yn ) f(x n ) (y n ) = f(x n +f(x n )) f(x n ) =: T. (0) (y n x n ) f(x n ) Kemudian untuk aproksimasi f (y n ), maka digunakan interpolasi polinomial kubik dengan menggunakan data yang telah diketahui pada langkah sebelumnya, yaitu P 3 (x n,t) = a+b(t x n )+c(t x n ) +d(t x n ) 3, (1) 3
yang harus memenuhi Dengan menggunakan kondisi () (6) didapat f(x n ) = P 3 (x n,x n ), () f (x n ) = dp 3(x n,t), (3) dt t=xn f(y n ) = P 3 (x n,y n ), (4) f (y n ) = dp 3(x n,t), (5) dt t=yn f (y n ) = d P 3 (x n,t) t=yn. (6) dt P 3 (x n,x n ) = f(x n ) = a, (7) dp 3 (x n,t) = f (x n ) = b, (8) dt t=xn P 3 (x n,y n ) = f(y n ) = a+b(y n x n )+c(y n x n ) +d(y n x n ) 3, (9) dp 3 (x n,t) = f (y n ) = b+c(y n x n )+3d(y n x n ), (30) dt t=yn d P 3 (x n,t) t=yn = f (y dt n ) = c+6d(y n x n ). (31) Bila disubstitusikan persamaan (7) dan (8) ke persamaan (9) dan (30), kemudian disederhanakan didapat c(y n x n ) +d(y n x n ) 3 = f (y n ) f (x n ) f (x n )(y n x n ), (3) c(y n x n )+3d(y n x n ) = f (y n ) f (x n ). (33) Selanjutnya pada persamaan (3) kedua ruas dikali (y n x n), diperoleh c(y n x n )+d(y n x n ) = (f(y n) f(x n )) (y n x n ) f (x n ). (34) Nilai d dapat dihitung dengan melakukan eliminasi persamaan (33) dan persamaan (34), sehingga diperoleh d = (f (y n )+f (x n )) (y n x n ) (f(y n) f(x n )) (y n x n ) 3. (35) Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan(35) ke persamaan(34), maka setelah penyederhanaan diperoleh c = 3 f(y n) f(x n ) (f (y n )+f (x n )) f (x n ) (y n x n ) (y n x n ) (y n x n ). (36) 4
Kemudian substitusikan persamaan (35), dan (36) ke persamaan (31), didapat ( f (y n ) = 3 f(y ) n) f(x n ) (f (y n )+f (x n )) f (x n ) (y n x n ) (y n x n ) (y n x n ) ( (f (y n )+f (x n )) +6 (f(y ) n) f(x n )) (y (y n x n ) (y n x n ) 3 n x n ). (37) Dengan menyusun ulang persamaan (37) dan menggunakan taksiran (8) untuk f (x n ) dan persamaan (0) setelah penyederhanaan, didapat ditentukan taksiran untuk f (y n ) yang dinotasikan dengan T 3, yaitu ( f f(yn ) f(x n ) (y n ) = f(x ) n +f(x n )) f(x n ) =: T 3. (38) y n x n y n x n f(x n ). Metode Iterasi Dua Langkah Bebas Turunan Biladitaksirf (x n )denganpersamaan(8),f (y n )denganpersamaan(0)danf (y n ) dengan persamaan (38) pada persamaan () (7) diperoleh tiga metode iterasi yang setara tetapi bebas turunan berikut: 1. Metode Bebas Turunan Tipe Satu (MBT1) MetodeinidiperolehdenganmenaksiDiberikantebakanawalx 0,hitungsolusiaproksimasi x n+1 dengan iterasi y n = x n f (x n ) f(x n +f(x n )) f(x n ), (39) x n+1 = y n f(y n)t T f(y n )T 3, (40) dengan T diberikan persamaan (0) dan T 3 diberikan persamaan (38).. Metode Bebas Turunan Tipe Dua (MBT) Diberikan tebakan awal x 0, hitung solusi aproksimasi dengan iterasi y n = x n f (x n ) f(x n +f(x n )) f(x n ), (41) x n+1 = x n f (x n )+f (y n ) T 0 (f(x n ) f(y n )), (4) dengan T 0 diberikan persamaan (8). 3. Metode Bebas Turunan Tipe Tiga (MBT3) Diberikan tebakan awal x 0, hitung solusi aproksimasi x n+1 dengan iterasi y n = x n f (x n ) f(x n +f(x n )) f(x n ), (43) x n+1 = x n f(x n) T 0 +T, (44) dengan T 0 diberikan persamaan (8) dan T diberikan persamaan (0). 5
3. ANALISIS KONVERGENSI Pada bagian ini ditunjukkan orde kekonvergenan dari metode yang diusulkan dengan menggunakan ekspansi Taylor [, h. 189]. Teorema 1 Misalkan α akar sederhana dari fungsi yang mempunyai turunan secukupnya f : I R R, untuk interval terbuka I. Jika x 0 cukup dekat ke α, maka metode iterasi dua langkah yang di berikan persamaan (39) dan (40), metode iterasi dua langkah yang di berikan (41) dan (4), dan metode iterasi dua langkah yang di berikan (43) dan (44) mempunyai konvergensi kubik. Bukti. Pandang persamaan (39), persaman ini dapat ditulis menjadi dengan T 0 diberikan oleh y n = x n f(x n) T 0, (45) T 0 = f(x n +f(x n )) f(x n ). (46) f(x n ) Selanjutnya T yang diberikan persamaan (0) dapat juga ditulis T = (f(y n) f(x n ))f(x n ) (f(x n +f(x n )) f(x n ))(y n x n ), (47) f(x n )(y n x n ) dan T 3 diberikan persamaan (38) atau T 3 = (f(y n) f(x n ))f(x n ) (f(x n +f(x n )) f(x n ))(y n x n ) f(x n )(y n x n ). (48) Misalkan α akar sederhana dari f(x) = 0, maka f(α) = 0. Ekspansi Taylor dari f(x n ) disekitar x n = α dan dengan mengabaikan suku yang memuat (x n α) j, dengan j 5 maka diperoleh f(x n ) = c 1 e n +c e n +c 3 e 3 n +O(e 4 n). (49) dimana telah digunakan F j = f (j) (α),j = 1,,3,4, (50) c j = F j,j = 1,,3,, (51) j! dan x n α = e n. Selanjutnyadihitungf (x n )danx n +f(x n )denganmenggunakanpersamaan(49), didapat berturut-turut setelah penyederhanaan f (x n ) = c 1e n +c 1 c e 3 n +O(e 4 n), (5) 6
dan x n +f(x n ) = e n +α+c 1 e n +c e n +c 3 e 3 n +O(e 4 n). (53) Kemudian ekpansi Taylor f(x n + f(x n )) disekitar x n + f(x n ) = α dan dengan mengabaikan suku yang memuat (x n α) j, dengan j 5, dan mengingat persamaan (50), (51), (53) dan e n = x n α maka diperoleh f(x n +f(x n )) =(c 1 +c 1)e n +(3c c 1 +c +c c 1)e n +(4c 1 c 3 +c 3 +3c 3 c 1 +c 3 c 3 1 +c +c c 1 )e 3 n +O(e 4 n). (54) Bila dikurangkan persamaan (54) dengan persamaan (49), diperoleh f(x n +f(x n )) f(x n ) = c 1e n +(c c 1 +3c c 1 )e n +(c +c 3 c 3 1 +c c 1 +4c 1 c 3 +3c 3 c 1)e 3 n +O(e 4 n). (55) Dengan membagi persamaan (55) dengan persamaan (46), diperoleh sehingga diperoleh T 0 = c 1e n +(c c 1 +3c c 1 )e n + +O(e 4 n), c 1 e n +c e n +c 3 e 3 n +O(e 4 n) f(x n ) T 0 = c 1e n +c 1 c e 3 n +(c 1 c 3 +c )e 4 n, (56) Se 4 n +Te 3 n +Ue n +e n c 1 dalam hal ini S = (5c c 3 +5c 1 c 4 +3c 3 c 1c +c 4 c 4 1 +8c 3 c 1 c +c 3 +4c 4 c 3 1 +6c 4 c 1), T = (c 3 c 3 1 +4c 1 c 3 +c +c c 1 +3c 3 c 1), U = (3c 1 c +c c 1). Untuk menghindari pembagian dua polinomial pada persamaan (56) maka dengan bantuan deret geometri diperoleh f (x n ) f(x n +f(x n )) f(x n ) = e n + ( c c c 1 ) e n + +O(e 4 n). (57) Langkah selanjutnya adalah mensubstitusikan persamaan (57) ke persamaan(39) dan mengingat x n = e n +α, diperoleh y n = α+ ( c + c c 1 ) e n + +O(e 4 n). (58) KemudiandihitungekpansiTaylorf(y n )disekitary n = αdandenganmengabaikan suku yang memuat (x n α) j, dengan j 4, dan mengingat persamaan (50) dan (58) maka setelah penyederhanaan diperoleh f(y n ) = (c 1 c +c )e n + +O(e 4 n). (59) 7
Kemudian hitung f(x n )(y n x n ) dengan menggunakan persamaan (49) dan (58), setelah penyederhanaan diperoleh f(x n )(y n x n ) = c 1 e n +c 1 c e 3 n +O(e 4 n). (60) Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (49), (55), (58) dan, (59) dihitung (f(y n ) f(x n ))f(x n ) (f(x n +f(x n )) f(x n ))(y n x n ) dan notasikan dengan Y, diperoleh Y = c 1 e n +c 1c e 3 n +O(e 4 n). (61) Selanjutnya disubstitusikan persamaan (61) dan (60) ke persamaan (47) dan dengan bantuan deret geometri diperoleh Dari persamaan (6) didapat T = c 1 c 1 c e n + +O(e 4 n). (6) T = c 1 c c 1e n + +O(e 4 n). (63) Selanjutnya dihitung f(x n )(y n x n ) dengan menggunakan persamaan (49) dan (58), diperoleh f(x n )(y n x n ) = c 1 e 3 n +O(e 4 n). (64) Kemudian dengan menggunakan persamaan (49), (55), (58) dan, (59) dihitung (f(y n ) f(x n ))(f(x n ) (f(x n )+f(x n )) f(x n ))(y n x n ) yang dinotasikan dengan W, diperoleh W = (c 1 c +c c 1)e 3 n +O(e 4 n). (65) Dengan mensubstitusikan persamaan (65) dan persamaan (64) ke persamaan (48), dan bantuan deret geometri diperoleh ( ) T 3 = c 1 c +c + 6c 1 c 3 6c 14c +4c 3 10c c c 1 +c 3 c 1 e n 1 + +O(e 4 n). (66) f(y Kemudidan dihitung n)t dengan menggunakan persamaan (59), (47), dan T f(yn)t 3 (48), dan dengan bantuan deret geometri diperoleh f(y n )T = T f(y n ) T 3 ( c c 1 +c ) e n + ( 3c 3 + c ) 3 +c 1 c 3 c c e 3 c 1 c n +O(e 4 1 c n). (67) 1 Selanjutnya substitusikan persamaan (58) dan persamaan (67) ke persamaan (40), setelah penyederhanaan diperoleh ( ) e n+1 = c c e 3 n +O(e 4 c n). (68) 1 Jadi dari Teorema orde konvergensi [6, h. 77], Teorema 1 terbukti untk persamaan (39) dan (40). Untuk membuktikan orde kekonvergenan persamaan (4) dan (41), dan persamaan (43) dan (44) dapat dilakukan dengan prosedur yang sama. 8
4. SIMULASI NUMERIK Pada bagian ini dilakukan simulasi numerik yang bertujuan untuk membandingkan banyak iterasi dari metode Newton (MN) [3, h. 55], metode Steffensen (MS) [4], metode Jisheng (MJ) [5], metode Halley [7, h. 86] dan metode Iterasi Dua Langkah Bebas Turunan Berdasarkan Interpolasi Polinomial yaitu metode Bebas Turunan Tipe Satu (MBT1) persamaan (39) dengan (40), metode Bebas Turunan Tipe Dua (MBT) persamaan(41) dengan(4) dan metode Bebas Turunan Tipe Tiga(MBT3) persamaan (43) dengan (44) dalam menemukan akar dari persamaan nonlinear. Dalam melakukan perbandingan ini, persamaan nonlinear yang digunakan adalah: f 1 (x) = sin (x) x +1 α = 1.4044916481534 f (x) = x e x 3x+ α = 0.575308543986 f 3 (x) = cos(x) x α = 0.7390851331516 f 4 (x) = x 3log(x) α = 1.8571838600784 f 5 (x) = e x +cos(x) α = 1.74613953040801 Perbandingan kelima contoh di atas menggunakan program MAPLE 13 dengan kriteria pemberhentian untuk setiap metode adalah 1. Jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan,. Jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan, 3. Jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi, 4. dan untuk metode Newton, Jisheng, Halley ditambahkan dengan menguji apakah nilai mutlak turunan fungsinya lebih kecil dari toleransi yang diberikan. Hasil komputasi untuk setiap metode yang dibandingkan diberikan pada Tabel 1. Berdasarkan hasil komputasi numerik untuk setiap metode yang dibandingkan seperti Tabel 1, secara umum metode Iterasi Bebas Turunan,MBT1, MBT, dan MBT3 lebih cepat mendekati akar, yaitu memerlukan jumlah iterasi yang lebih sedikit daripada metode Newton, metode Steffensen, dan metode Halley, kecuali untuk metode Jisheng pada beberapa tebakan awal. Disamping itu keunggulan metode MBT1, MBT, dan MBT3 adalah metode ini tidak memerlukan perhitungan turunan dalam penerapannya. Ucapan Terimakasih Penelitian ini terlaksana melalui Program Penelitian Laboratorium yang didanai oleh DIPA Universitas Riau dengan kontrak No. 79/UN19. /PL/013. 9
Tabel 1: Perbandingan dari Beberapa Metode Iterasi Jumlah iterasi metode f(x) x 0 MN MS MJ MH MBT1 MBT MBT3 α 0.3 10 6 1 6 5 4 4 f 1 (x) 0.5 8 5 8 5 5 5 4 1.4044916481534 1.3 4 5 3 3 3 3 3 0.75 4 5 3 3 3 3 f (x) 1.0 4 5 3 4 3 3 0.575308543986 1. 4 5 3 4 4 4 3 0.1 5 4 3 3 3 3 3 f 3 (x) 0.75 3 3 0.7390851331516 1.7 4 5 3 4 3 3 3 0.75 6 5 4 4 4 4 3 f 4 (x) 1.5 5 4 3 3 3 3 3 1.8571838600784.0 4 4 3 3 3 3 3 0.75 4 4 3 4 3 3 3 f 5 (x).5 5 4 3 4 3 3 3 1.74613953040801 3.0 7 4 19 5 3 3 3 DAFTAR PUSTAKA [1] Bahgat, M.S.M & Hafiz, M.A. 01. Solving Nonsmooth Equations Using Derivative Free Methods. Bulletin of Society for Mathematical Services and Standards. 1: 47 56. [] Bartle, R. G. & Shebert, R. D. 010. Introduction to Real Analysis, 4 rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [3] Burden, R.L & Faires, J.D. 00. Numerical Methods, 3 rd Ed, Brooks Cole, New York. [4] Dehgan, M & Hajarian, M. 010. Some Derivative Free Quadratic and Cubic Convergence Iterative formulas for Solving Nonlinear Equations. Journal of Computational and Applied Mathematics. 9: 19-30. [5] Jisheng, K., Yitian, L & Xiuhua, W. 006. A Composite Fourth-Order Iterative Method for Solving. Applied Mathematics and Computation. 184: 471 475. [6] Mathews, J. H. & Fink, K.D,. 199. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, rd Ed. Prentice Hall, New Jersey. [7] Wait, R. 1979. The Numerical Solution of Algebraic Equations. John Wiley & Sons, Inc., Chicester. [8] Weerakon, S & Fernando, T.G.I. 000. A Variant of Newton s Method with Accelerated Third-Order Convergence. Applied Mathematics Letters. 13:87 93. 10