Sedagka itegrasi ruas kaa utuk ersamaa (3b) diperoleh ds / = S... (36) Dega demikia pesamaa yag harus dipecahka adalah l 1 1 u u = S (37) Dari ersamaa (37) diperoleh persamaa utuk u u S = exp S 1exp S... (38) Betuk solusi ersamaa (38) dapat diubah mejadi betuk trigoometri berikut u S = sech S... (39) Substitusi ersamaa (39) ke ersamaa (7) maka diperoleh F 1 S, τ = sech S eiτ (40) Solusi eksak utuk Φ (t) dalam ekspresi F 1 berdasarka ersamaa (14), (18) da (0) adalah Φ t = F 1 e iθ ε μ F 1 δf 1 e iθ c. c... (41) Substitusi ersamaa (38) ke ersamaa (39) Φ t = Φ t = εμ sech S ei τ θ sech S εδ sech S e i(τ θ ) c. c... (4a) sech S θ εδ εδ sech S cos τ sech S cos (τ θ )... (4b) dega F = sech S, maka substitusi ersamaa (4b) ke ersamaa (7) diperoleh 1 y = εf cos τ θ ε F μ δ cos (τ θ ) (43) eurua utuk solusi aalitik ii diperoleh da dapat dilihat secara legkap pada peelitia Hermaudi 1. Dalam perhituga pada peelitia ii juga, diguaka ilai variabel-variabel karakteristik DNA, yaitu sebagai berikut k = 3K = 4 N/m, l = 3,4 x 10 10 m, m = 5,1 x 10 5 kg, a = x 10 10 m 1, D = 0,1 ev. Massa yag diguaka dalam hal ii merupaka massa rata-rata utuk empat buah ukleotida (h = 4). 9,10 BAB 3 METODE ENELITIAN 3.1 Tempat da Waktu eelitia eelitia ii dilakuka di Laboratorium Fisika Teori da Komputasi, Departeme Fisika, Fakultas Matematika da Ilmu egetahua Alam, Istitut ertaia Bogor dari bula Februari 011 sampai dega Jauari 01. 3. eralata eralata yag diguaka adalah peragkat komputer dega software yag diguaka MATLAB R010b da Microsoft Office 007. Sebagai pedukug peulis megguaka sumber literatur, yaitu jural-jural ilmiah, bukubuku, da sumber-sumber lai yag terkait. 3.3 Metode eelitia Metode peelitia ii adalah mecari solusi umerik dari diamika gaggua solito DNA model eyrard-bishop- Dauxois (BD) orde ke-3 dega megguaka metode fiite-differece
8 dibatu dega iterpolasi Lagrage. Lagkah-lagkah yag dilakuka secara garis besar adalah studi pustaka da pembuata program simulasi. 3.3.1 Studi ustaka Studi pustaka dilakuka dega membaca da memahami jural-jural da buku-buku yag berkaita dega peelitia ii. Studi pustaka juga membatu dalam megaalisis hasil simulasi yag dilakuka. 3.3. embuata rogram Simulasi Membuat sitak simulasi dega batua software MATLAB megguaka iterpolasi Lagrage da metode fiite-differece. Termasuk dega megubah persamaa diamika DNA model BD ke dalam persamaa fiite-differece da iterpolasi Lagrage. 3.3..1 Metode Beda Higga (Fiite Differece) Sebuah aplikasi petig dari persamaa diferesial adalah dalam aalisis umerik, terutama dalam persamaa diferesial umerik, tujuaya utuk meetuka solusi umerik dari persamaa diferesial biasa da parsial. Ideya adalah dega meggatika turua yag mucul dalam persamaa diferesial dega persamaa fiitedifferece yag teraproksimasi. Metode yag dihasilka kemudia disebut metode beda higga. 19 Atau dalam kata lai, metode beda higga (fiite-differece) diterapka utuk persamaa diferesial dega melibatka pergatia semua turua dega formula perbedaa (differece). 0 Metode ii diguaka utuk membatu dalam meetuka solusi umerik dari ersamaa NLS (6) sebelumya [halama 11]. ersamaa tersebut kemudia dapat diubah ke dalam betuk persamaa differesial biasa, mejadi i t F x F F = 0... (44) Maka persamaa tersebut dapat diselesaika dega melakuka pedekata umerik beda higga utuk masig-masig turua parsial. Utuk melakukaya pertama kali pilih agka iteger sembarag yaitu N dimaa N > 0 da membagi iterval [a, b] dega (N 1) sebagaimaa diilustrasika pada Gambar 5, sedemika rupa sehigga h = b a... (45) N1 Dega demikia maka titik-titik x yag merupaka sub-iterval atara a da b dapat diyataka sebagai 1 x = a h, = 0,1,, N 1... (46) Karea ersamaa (44) dibagu oleh dua parameter x da t, maka selajutya parameter t juga dapat dituliska sebagai t m = a mh, m = 0,1,, N 1... (47) dimaa h dapat pula dideskripsika sebagai Δx da Δt (h = Δx = Δt) dega meyesuaika parameter yag dimaksud. Selajutya ersamaa (44) aka diubah ke dalam betuk formula metode beda higga. ecaria solusi persamaa diferesial melalui pedekata umerik dilakuka dega memafaatka poliomial Taylor yag dapat dituliska F x x = F x x x x x F x 3... (48) Gambar 5. Kurva suatu fugsi f(x) yag dibagi sama besar berjarak h. 0
9 sedagka poliomial Taylor utuk F 1 da F 1 dapat diyataka F 1 = F x x x F x 3... (49) F 1 = F x x x F x 3... (50) Jika ersamaa (49) dikuragi dega ersamaa (50) maka F 1 F 1 = x ( x) 3... (51) Turua F x terhadap x adalah = F 1 F 1 ( x)3 x... (5a) atau F 1 F 1 ( x)3 x... (5b) Selajutya ruas kaa pada ersamaa (5b) dapat dikataka sebagai error dari ersamaa (51) yag artiya ilaiya dapat diabaika dega memberika otasi O. Sehigga ersamaa (51) dapat dituliska kembali mejadi = F 1 F 1 O( x)... (53) x Kemudia jika ersamaa (49) dijumlahka dega ersamaa (50), maka F 1 F 1 = F x ( x) F ( x) 4 4! 4 F x 4 x... (54) Turua kedua dari F x terhadap x adalah F = F 1 F F 1 x atau ( x) 4 F 1 x 4 x (55a) F = F 1 F F 1 O( x )... (55b) x Selajutya dilakuka aproksimasi turua waktu ( ) pada ersamaa (44) t berdasarka ersamaa (53). Dimaa dapat dituliska persamaaya = F m 1 Fm ( t)... (56) t t m 1,x t Semetara aproksimasi utuk turua kedua terhadap jarak ( F x ) pada ersamaa (44) berdasarka ersamaa (55b) dalam iterasi waktu ke-m dapat dituliska persamaaya F = F m 1F m F m 1 O( x )... (57) x Kemudia ersamaa (56) da (57) disubstitusika ke ersamaa (44) maka i F x,t m 1 F(x,t m 1 ) F x 1,t m F x,t m F(x 1,t m ) F F = 0 Δt Δx F x, t m 1 F x, t m 1 = i Δt (F x Δx 1, t m F x, t m F x 1, t m ) F(x, t m ) F(x, t m ) F x, t m 1 = i Δt (F x Δx 1, t m F x, t m F x 1, t m ) F(x, t m ) F(x, t m ) F x, t m 1... (58) ersamaa (58) iilah yag selajutya diubah ke dalam bahasa pemrograma MATLAB. 3.3.. Iterpolasi Lagrage ada metode fiite-differece sebelumya telah diuraika bahwa utuk meetuka solusi umerik, cara pertama dega memilih agka iteger sembarag yaitu N dimaa N > 0 da membagi
10 iterval [a, b]. Sebelum meetuka ilai a da b, harus diketahui terlebih dahulu ilai titik-titik sebelum a da ilai titiktitik setelah b, agar mempermudah dalam meetuka ilai a da b yag dimaksud. Utuk itu diguakalah iterpolasi Lagrage dalam meetuka titik-titik tersebut. Iterpolasi Lagrage diterapka utuk medapatka fugsi poliomial (x) berderajat tertetu yag melewati sejumlah titik data. Misalya, utuk medapatka fugsi poliomial berderajat satu yag melewati dua buah titik yaitu (x 0, y 0 ) da (x 1, y 1 ). 1 Lagkah pertama yag dilakuka adalah medefiisika fugsi berikut 10 da L 0 x = x x 1... (59a) L 1 x = x x 0... (59b) kemudia defiisika fugsi poliomial sebagai berikut x = L 0 x y 0 L 1 (x)y 1... (60) Substitusi ersamaa (59a) da (59b) ke ersamaa (60), maka aka didapat x = x x 1 y 0 x x o y 1... (61) da ketika x=x 0 x 0 = x 0 x 1 y 0 x 0 x o y 1 = y 0... (6a) da pada saat x=x 1 x 1 = x 1 x 1 y 0 x 1 x o y 1 = y 1...(6b) Dari persamaa tersebut dapat disimpulka bahwa ersamaa (61) bearbear melewati titik (x o, y o ) da (x 1, y 1 ). ersamaa (61) diamaka iterpolasi Lagrage derajat 1. Nama iterpolasi ii diambil dari ama peemuya, yaitu Joseph Louis Lagrage yag berkebagsaa eracis. Betuk umum iterpolasi Lagrage derajat utuk (1) titik berbeda adalah x = i=0 y i dega i = 0, 1,,..., da L i x = j =0 j i L i x = y 0 L 0 x y 1 L 1 x y L. (63) x x j x i x j = x x 0 x x 1 x x i 1 x x i1 x x (64) (x i x) x i x i x i x i 1 x i x i1 (x i x ) Mudah dibuktika bahwa: L i x j = 1, i = j 0, i j da poliom iterpolasi (x) melalui setiap titik data. 3 Jika terdapat N data yag terdiri dari titik-titik x 0, x 1, x, x 3, da seterusya, x 1 x x 3 x x 0 x 4 N h h h h h da jarak atara titik satu dega laiya adalah h, maka ersamaa (63) dapat ditulis utuk tiga titik terdekat (x 0, x 1, x, x 3 ) x = x x 1 (x x ) (x 0 x ) y 0 x x 0 (x x ) (x 1 x ) y 1 x x 0 (x x 1 ) x x 0 (x x 1 ) y x = h ( 3h) h ( h) y 0 h ( 3h) h( h) y 1 h ( h) y h (h) x = 3y 0 3y 1 y... (65)
11 ersamaa (65) kemudia dibuat dalam betuk algoritma dega megguaka bahasa MATLAB. 3.3.3 Skala Ulag arameter Dalam pegerjaaya, ilai variabelvariabel yag diguaka pada persamaa NLS ii masih megalami masalah dalam perhituga umerikya, dimaa ilai yag diguaka masih terlalu besar utuk cakupa umerik pada software MATLAB sehigga error yag dihasilka juga mejadi cukup besar. Utuk megatasi masalah ii, maka dilakukalah skala ulag terhadap ilai parameter pedukug. Skala ulag parameter ii tidak megubah persamaa, tetapi dilakuka dega cara memasukka variabel pegali lai yag ilaiya kecil yag dapat ditetuka sediri, ke dalam parameter t, x, da F, sehigga ilai ketiga parameter tersebut mejadi lebih kecil (peurua legkap dapat dilihat pada Lampira B da C) t t ; x x ; da F ψf φ... (66) dimaa φ da ψ merupaka variabel skala ulag yag dimaksud. Nilai kedua variabel ii harus disesuaika dega parameter t, x, da F agar diperoleh hasil yag tepat. Dalam hal ii ilai variabel φ da ψ berturut-turut diguaka ilai 0,0005 da 0,03 utuk gaggua pertama da kedua, serta 0,001 da 0,03 utuk gaggua ketiga. Nilai ii diperoleh dari hasil trial ad error yag dilakuka selama peelitia. arameter t, x, da F yag telah diskala ulag, kemudia disubstitusi ke ersamaa (58), sehigga persamaaya mejadi: F x, t m 1 = iφ Δt Δx (F x 1, t m F x, t m F x 1, t m ) ψ Δt F 1 F 1 F x, t m... (67) Selai persamaa utama, persamaa azats yag diguaka juga megalami perubaha. Dega cara yag sama variabel t, x, da F yag telah diskala ulag da disubstitusi ke ersamaa (40) [halama 7], sehigga diperoleh hasil F = ψ sech x φ... (68) Dalam peelitia ii, solusi umerik dari persamaa NLS stabil diberika tiga kasus gaggua. Hal ii dega cara memberika variabel tambaha pada persamaa asatz, sehigga dapat diamati perubaha dari masig-masig keadaa setelah diberi gaggua. Ketiga persamaa tersebut adalah F x, t m = ψ sech x φ F x, t m = ψ sech 1 ε x φ 1 ε... (69a) 1 ε... (69b) F x, t m = (sech x ix 0 ψ φ sech x i x 0 φ e iθ )... (69c) ersamaa (69a), (69b), da (69c) selajutya diguaka utuk meggatika ersamaa asatz (68) solusi stabil. Sama seperti ersamaa (68) persamaa-persamaa tersebut diguaka utuk meetuka solusi baru dari persamaa NLS solito DNA yag diguaka. Dari ketiga persamaa ii aka dihasilka solusi baru yag berbeda dega solusi stabilya. ersamaa-persamaa yag telah diubah ke dalam betuk persamaa metode beda higga da iterpolasi Lagrage, serta telah dilakuka skala ulag kemudia disusu dalam bahasa pemrograma MATLAB [Lampira D]. Dari program simulasi ii aka ditampilka output berupa grafik tiga dimesi yag merupaka hasil solusi umerik dari solito DNA model BD ii. Solusi umerik yag telah diperoleh ii selajutya diamati da diaalisa, sehigga dapat dijelaska feomea yag terjadi.