LOGIKA PROPOSISI 3.1 Proposisi Proposisi adalah suatu pernyataan yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya. Logika yang menangani atau memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi disebut logika proposisional. Contoh 3.1-1 : 1. Bali memiliki sebutan pulau dewata (Benar). 2. 2 + 2 = 4 (Benar). 3. Semua mahasiswa Manajemen Informatika berparas cantik (Salah). 4. 4 adalah bilangan prima (Salah). 5. 5 x 12 = 90 (Salah). Ada proposisi-proposisi yang disebut tautologi yaitu proposisi-proposisi yang nilainya selalu benar. Untuk mengenali suatu proposisi, dapat dibantu dengan jawaban jika ada pertanyaan Apakah nilainya benar atau salah? Pernyataan yang tidak tergolong proposisi adalah, jika pernyataan berupa kalimat perintah dan kalimat pertanyaan pernyataan yang tidak memiliki nilai benar atau salah pernyataan berbentuk kalimat terbuka. Contoh 3.1-2 : Komang, bersihkan lantai ini! (kalimat perintah) Anda mahasiswa jurusan apa? (kalimat tanya) x + 5 = 7. (kalimat terbuka) Angka 13 adalah angka keramat (kalimat yang tidak memiliki nilai benar atau salah) 28
Selain pernyataan yang menimbulkan banyak pendapat, serta kalimat perintah dan kalimat tanya, suatu proposisi tidak boleh digantikan dengan proposisi lain yang artinya sama. Lihat contoh berikut ini : Contoh 3.1-3 : Ayu pintar Ayu tidak bodoh Pada pernyataan pertama dengan pernyataan kedua artinya sama, tetapi pada proposisi, pemberian variabel proposisional harus berlainan karena proposisi tidak diijinkan menafsir arti kalimat. Contoh 3.1-4 : A = Ayu pintar, maka idak A = Ayu tidak pintar. B = Ayu bodoh, maka idak B = Ayu tidak bodoh. Jadi tidak diperbolehkan mengganti idak A dengan B, walaupun arti kalimatnya sama. Proposisi-proposisi dapat digabung dan dimanipulasi sedemikian rupa dengan berbagai cara sehingga membentuk proposisi yang rumit. Penggabungan tersebut dilakukan dengan perangkai-perangkai sehingga disebut proposisi majemuk (compound propositions). Proposisi majemuk sebenarnya terdiri dari banyak proposisi atomik. Sedangkan proposisi atomik adalah proposisi yang tak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi. Contoh 3.1-5 : Wayan sedang memasak dan Kadek sedang mencuci piring Kalimat di atas merupakan proposisi majemuk yang terdiri dari 2 proposisi atomik yang dirangkai dengan perangkai dan. Jika kalimat tersebut dipisah, akan menjadi dua kalimat berikut : Wayan sedang memasak Kadek sedang mencuci piring 3.2 Pemberian Nilai pada Proposisi Huruf A, B, C, dan seterusnya digunakan untuk menggantikan proposisi dan disebut variabel-variabel proposisional (variabel logika), dan hanya memiliki nilai benar (rue = ) atau salah (alse = ). Jadi, pemberian nilai pada variabel-variabel proposisional, hanya ada dan atau. Simbul berupa huruf dan disebut 29
konstanta-konstanta proposisional. entunya di sini tidak memakai B (benar) dan S (salah) karena akan mengacaukan antara variabel proposisional dengan konstanta proposisional. Variabel proposisional dan konstanta proposisional adalah proposisi atomik, atau proposisi yang tak bisa dipecah-pecah lagi. Contoh 3.2-1 : A atau B A dan B idak A Setiap proposisi majemuk akan mempunyai nilai tertentu dengan aturan tertentu pula berdasarkan nilai pada setiap variabel proposisional dan atau konstanta proposisional. Pemberian nilai tersebut diberikan dari perangkai logika yang digunakan. Contoh 3.2-2 : Berdasarkan contoh 3.2-1 di atas, jika nilai A = dan B =, maka A atau B menghasilkan nilai. Nilai-nilai A atau B, dapat ditentukan dengan tabel kebenaran. 3.3 Perangkai Logika Setiap perangkai pada logika memiliki nilai kebenarannya masing-masing sesuai dengan jenis perangkai logika yang digunakan. Untuk mengetahui nilai kebenarannya, digunakan aturan dengan memakai tabel kebenaran. abel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana. Perangkai-perangkai logika yang digunakan adalah abel 3.3-1 Perangkai dan Simbolnya Perangkai Simbol Bentuk idak / Bukan (not)/negasi idak. Dan (and) / konjungsi. dan Atau (or) / disjungsi atau Implikasi (if then / implies) Jika maka Ekuivalensi (if and only if). Jika dan hanya jika. 30
3.3.1 Negasi (Ingkaran, atau Penyangkalan) Negasi (negation) digunakan untuk menggantikan perangkai tidak (not). Perhatikan pernyataan : Sekarang hari hujan. Ingkaran dari pernyataan tersebut : "Sekarang hari tidak hujan. Jika pernyataan semula bernilai benar maka ingkaran pernyataan itu bernilai salah. Negasi dinotasikan dengan. Contoh 3.3-1 : 1. Jika p : Jakarta ibu kota RI () maka p : idak benar bahwa Jakarta ibu kota RI () atau p : Jakarta bukan ibu kota RI () 2. Jika q : Karisma mempunyai rambut keriting maka q : idak benar bahwa Karisma mempunyai rambut keriting atau q : Karisma tidak mempunyai rambut keriting 3. Jika r : 2 + 7 < 6 () maka r : idak benar bahwa 2 + 7 < 6 () atau r : 2 + 7 6 () Membentuk ingkaran suatu pernyataan dapat dengan menambahkan kata-kata tidak benar bahwa di depan pernyataan aslinya, atau jika mungkin dengan menambah bukan atau tidak di dalam pernyataan itu. Berdasarkan definisi di atas, dapat dibuat abel Kebenaran untuk ingkaran seperti berikut : abel 3.3-2 abel kebenaran A A A Negasi berarti hanya kebalikan dari nilai variabel proposisional yang dinegasikan. Jika menjadi dan sebaliknya, atau negasi adalah. Perangkai disebut perangkai unary atau monadic karena hanya dapat merangkai satu variabel proposisional. 31
Saat mengubah suatu pernyataan menjadi variabel proposisional, setiap pernyataan harus memiliki subyek dan predikat masing-masing, dan arti dari kalimat tersebut tidak dipermasalahkan. Contoh 3.3-2 : Dayu sabar atau Dayu pemarah Contoh tersebut diubah menjadi variabel proposisional sehingga akan menjadi A = Dayu sabar B = Dayu pemarah Bentuk ekspresi logikanya adalah (A B), tidak boleh ditafsirkan dan diganti menjadi variabel proposisional seperti berikut : A = Dayu sabar A = Dayu pemarah Atau disamakan menjadi (A A). Hal ini tentu saja tidak benar karena hal ini tidak boleh dilakukan dalam logika proposisional. 3.3.2 Konjungsi [ ] Konjungsi (conjunction) adalah kata lain dari perangkai dan (and). Perhatikan kalimat : Aku suka chatting dan membaca Maka kalimat itu berarti : 1. Aku suka chatting 2. Aku suka membaca Jika pernyataan semula bernilai benar maka sub pernyataan 1 dan 2 adalah benar. Jika sub pernyataan 1 atau 2 adalah salah maka pernyataan semula bernilai salah, demikian pula jika kedua sub pernyataan itu salah. Contoh 3.3-3 : 1. Jika r : Kadek anak pandai, dan s : Kadek anak cekatan. maka r s : Kadek anak pandai dan cekatan Pernyataan r s bernilai benar jika Kadek benar-benar anak pandai dan benarbenar anak cekatan. 2. Jika p : 2 + 3 < 6 (), dan 32
q : Sang Saka bendera RI () maka p q : 2 + 3 < 6 dan Sang Saka bendera RI () Berdasarkan definisi di atas, dapat disusun tabel kebenaran untuk konjungsi seperti berikut : abel 3.3-3 abel kebenaran A B A B Perangkai atau operator disebut perangkai binary (binary logical connective ) karena ia merangkai dua variabel proposisional. Contoh berikut menunjukkan tabel kebenaran dari perangkai untuk nilai konjungsi yang lebih rumit. abel 3.3-4 abel kebenaran yang rumit A B C A B (A B) C B C A (B C) Persoalan yang terjadi di sini, perangkai tidak masalah jika diubah tanda kurungnya karena mempunyai sifat asosiatif (associativity), yang mengubah nilai kebenaran yang dihasilkannya. 33
3.3.3 Disjungsi [ ] anda digunakan sama dengan perangkai atau (or). Disjungsi (disjunction) juga berfungsi sebagai perangkai binary. Contoh 3.3-4 : 1. Jika p : Karisma tinggal di Singaraja q : Karisma duduk di sekolah dasar maka p q : Karisma tinggal di Singaraja atau duduk di sekolah dasar 2. Jika r : Dana lahir di Semarapura, s : Dana lahir di Singaraja, maka r s : Dana lahir di Semarapura atau di Singaraja. Berikut ini adalah tabel kebenaran untuk disjungsi : abel 3.3-5 abel kebenaran A B A B Perangkai, dan disebut perangkai alamiah atau perangkai dasar karena semua perangkai dapat dijelaskan hanya dengan tiga perangkai tersebut. 3.3.4 Implikasi (Kondisional atau Pernyataan Bersyarat) Implikasi (implication) menggantikan perangkai jika maka (if then ). Imlikasi yang memakai tanda disebut implikasi material (material implication). Perhatikan pernyataan berikut ini: Jika matahari bersinar maka udara terasa hangat, jadi, bila kita tahu bahwa matahari bersinar, kita juga tahu bahwa udara terasa hangat. Karena itu akan sama artinya jika kalimat di atas ditulis sebagai: Bila matahari bersinar, udara terasa hangat. Sepanjang waktu matahari bersinar, udara terasa hangat. Matahari bersinar berimplikasi udara terasa hangat. Matahari bersinar hanya jika udara terasa hangat. 34
Berdasarkan pernyataan di atas, maka untuk menunjukkan bahwa udara tersebut hangat adalah cukup dengan menunjukkan bahwa matahari bersinar atau matahari bersinar merupakan syarat cukup untuk udara terasa hangat. Perhatikan pula contoh berikut ini: Jika ABCD belah ketupat maka diagonalnya saling berpotongan di tengahtengah. Untuk menunjukkan bahwa diagonal segi empat ABCD saling berpotongan di tengah-tengah adalah cukup dengan menunjukkan bahwa ABCD belah ketupat, atau ABCD belah ketupat merupakan syarat cukup bagi diagonalnya untuk saling berpotongan ditengah-tengah. Dan untuk menunjukkan bahwa ABCD belah ketupan perlu ditunjukkan bahwa diagonalnya saling berpotongan ditengah-tengah, atau diagonal-diagonal segi empat ABCD saling berpotongan ditengah-tengah merupakan syarat perlu (tetapi belum cukup) untuk menunjukkan belah ketupat ABCD. Mengapa? Karena diagonal-diagonal suatu jajaran genjang juga saling berpotongan di tengahtengah, dan jajaran genjang belum tentu merupakan belah ketupat. Demikian pula syarat cukup tidak harus menjadi syarat perlu karena jika diagonal segi empat ABCD saling berpotongan di tengah belum tentu segi empat ABCD belah ketupat. Banyak pernyataan, terutama dalam matematika, yang berbentuk jika p maka q, pernyataan demikian disebut implikasi atau pernyataan bersyarat (kondisional) dan ditulis sebagai p q. Pernyataan p q juga disebut sebagai pernyataan implikatif atau pernyataan kondisional. Pernyataan p q dapat dibaca : a. Jika p maka q b. p berimplikasi q c. p hanya jika q d. q jika p Dalam implikasi p q, p disebut hipotesa (anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen). Bila kita menganggap pernyataan q sebagai suatu peristiwa, maka kita melihat bahwa Jika p maka q dapat diartikan sebagai Bilamana p terjadi maka q juga terjadi atau dapat juga, diartikan sebagai idak mungkin peristiwa p terjadi, tetapi peristiwa q tidak terjadi. Berikut ini tabel kebenaran untuk implikasi : 35
abel 3.3-6 abel kebenaran A B A B Hanya ada satu nilai dari (A B) jika A bernilai dan B bernilai, bukan sebaliknya. Pasangan yang terletak di sisi kiri yakni A disebut antecedent, sedangkan di sisi kanan yakni B disebut consequent. Oleh karena itu, implikasi juga disebut conditional, atau mengondisikan satu kemungkinan saja dari sebab dan akibat. Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi, yaitu Definisi : Konvers dari implikasi p q adalah q p Invers dari implikasi p q adalah p q Kontraposisi dari implikasi p q adalah q p Contoh 3.3-5: Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring Berikut ini adalah tabel dari kondisional (implikasi), konvers, Invers dan Kontraposisi. Kondisional Konvers Invers Kontraposisi p q p q p q q p p q q p Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan invers dengan konvers. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis: p q q p 36
q p p q Contoh 3.3-6: entukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut. Jika suatu negara adalah negara RI maka lagu kebangsaannya adalah Indonesia Raya Penyelesaian Misal p : Suatu negara adalah negara RI q : Lagu kebangsaannya adalah Indonesia Raya maka kalimatnya menjadi p q atau jika menggunakan operator, maka p q akan ekuivalen (sebanding/ ) dengan p q. Sehingga 1. Negasi dari implikasi Implikasi : (p q) p q Negasinya : (p q) p q Kalimatnya : Suatu negara adalah negara RI dan lagu kebangsaannya adalah bukan Indonesia Raya. Pembuktian dengan abel Kebenaran : Implikasi Ekuivalensi dari Implikasi Negasi dari Implikasi p q p q p q p q p q 2. Negasi dari konvers Konvers : q p q p Negasinya : (q p) q p Kalimatnya : Ada lagu kebangsaan yaitu Indonesia Raya dan negaranya adalah bukan negara RI. 37
Pembuktian dengan abel Kebenaran : Konvers Ekuivalensi dari Konvers Negasi dari Konvers p q p q q p q p q p 3. Negasi dari invers Invers : (p q) (p) q p q Negasinya : ( p q) p q Kalimatnya : Suatu negara adalah bukan negara RI dan lagu kebangsaannya adalah Indonesia Raya. Pembuktian dengan abel Kebenaran : Invers Ekuivalensi dari Invers Negasi dari Invers p q p q p q p q p q 4. Negasi dari kontraposisi Kontraposisi Negasinya Kalimatnya : (q p) (q) p qp : (qp) q p : Ada lagu kebangsaan yaitu bukan Indonesia Raya dan negaranya adalah negara RI. 38
Pembuktian dengan abel Kebenaran : Invers Ekuivalensi dari Invers Negasi dari Invers p q p q q p q p q p 3.3.5 Ekuivalensi (Biimplikasi / Bikondisional / Pernyataan Bersyarat Ganda) Ekuivalensi (equivalence) dengan simbol mengantikan perangkai jika dan hanya jika ( if and only if ). Perhatikan kalimat: Jika segi tiga ABC sama kaki maka kedua sudut alasnya sama besar. Jelas implikasi ini bernilai benar. Kemudian perhatikan: Jika kedua sudut alas segi tiga ABC sama besar maka segi tiga itu sama kaki. Jelas bahwa implikasi ini juga bernilai benar. Sehingga segi tiga ABC sama kaki merupakan syarat perlu dan cukup bagi kedua alasnya sama besar, juga kedua sudut alas sama besar merupakan syarat perlu dan cukup untuk segi tiga ABC sama kaki. Sehingga dapat dikatakan Segi tiga ABC sama kaki merupakan syarat perlu dan cukup untuk kedua sudut alasnya sama besar. Jadi pernyataan tersebut dapat ditulis dengan Segi tiga ABC sama kaki jika dan hanya jika kedua sudut alasnya sama besar. Dalam matematika juga banyak didapati pernyataan yang berbentuk p bila dan hanya bila q atau p jika dan hanya jika q. Pertanyaan demikian disebut bikondisional atau biimplikasi atau pernyataan bersyarat ganda dan ditulis sebagai p q, serta dibaca p jika dan hanya jika q (disingkat dengan p jhj q atau p bhb q). Pernyataan p q juga disebut sebagai pernyataan biimplikatif. Pernyataan p jika dan hanya jika q berarti jika p maka q dan jika q maka p, sehingga juga berarti p adalah syarat perlu dan cukup bagi q dan sebaliknya. Contoh 3.3-7: 1. Jika p : 2 bilangan genap () q : 3 bilangan ganjil () maka p q : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil () 39
2. Jika r : 2 + 2 5 () s : 4 + 4 < 8 () maka r s : 2 + 2 5 jhj 4 + 4 < 8 () 3. Jika a : Surabaya ada di jawa barat () b : 23 = 6 () maka a b : Surabaya ada di jawa barat jhj 23 = 6 () Berikut ini tabel kebenaran untuk bimplikasi : abel 3.3-7 abel kebenaran A B A B Apakah pernyataan berikut ini merupakan pernyataan bikondisional atau bukan? a. Setiap segi tiga sama sisi merupakan segi tiga sama kaki. b. Sudut-sudut segi tiga sama sisi sama besarnya. c. Sepasang sisi yang berhadapan pada sebuah jajaran genjang sama panjangnya. d. Sebuah segi tiga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang. (Keempat kalimat di atas berkenaan dengan bangun-bangun geometri) Perangkai logika digunakan untuk mengkombinasikan proposisi-proposisi atomik menjadi proposisi majemuk dalam bentuk ekspresi logika. Untuk menghindari kesalahan tafsir akibat adanya ambiguitas satu orang dengan lainnya, proposisi majemuk (ekspresi logika) yang akan dikerjakan lebih dahulu akan diberi tanda kurung sehingga proposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yang berada dalam tanda kurung disebut fully parenthesized expression (fpe). 40
Contoh 3.3-7 : o A (B ( A B)) Perhatikan posisi tanda kurung biasa yang benar dan lengkap pada contoh di atas. Sekarang perhatikan contoh yang mirip : Contoh 3.3-8 : o A (B A B)) o A (B ( A B) Jelas contoh di atas tidak menunjukkan suatu fpe yang baik karena tanda kurung biasa tidak lengkap Proposisi majemuk yang sangat rumit dapat dipecah-pecah menjadi subekspresisubekspresi, dan seterusnya tergantung tingkat kesulitannya. eknik ini disebut Parsing. Akan tetapi, mungkin saja proposisi majemuk tidak memiliki tanda kurung, oleh karena itu urutan proses pengerjaannya harus ditentukan terlebih dahulu dan harus ada ketentuan yang mengatur pengurutan tersebut. Hal tersebut akan dibahas pada bagian aturan pengurutan. 3.4 Ekspresi Logika Ekspresi logika sebenarnya merupakan proposisi-proposisi yang dibangun dengan variabel-variabel proporsional yang berasal dari pernyataan atau argumen. Variabel proporsional dapat berupa huruf-huruf tertentu yang dirangkai dengan perangkai logika, dapat dinamakan ekspresi logika atau formula. Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk tergantung dari variabel proposisional yang membentuknya bersama perangkai yang relevan. Contoh 3.4-1 : Jika Ayu hemat dan rajin menabung, maka ia akan mempunyai banyak uang. Pernyataan di atas dapat diubah menjadi variabel proposisional : A = Ayu hemat B = Ayu rajin menabung C = Ayu mempunyai banyak uang Selanjutnya dapat dibentuk ekspresi logika sebagai berikut : 41
((A B) C) 3.5 Aturan Pengurutan Ekspresi-ekspresi logika yang bersifat mejemuk yang memiliki banyak subekspresi akan mempunyai banyak tanda kurung biasa karena berbentuk fpe, sehingga memungkinkan fpe tersebut sulit dibaca dengan mudah. Lihat dua buah fpe berikut : Contoh 3.5-1 : ((A B) (A B)) ((A (B A)) B) Kedua fpe tersebut berbeda dalam proses pengerjaannya. Oleh karena itu, harus ada aturan untuk memprioritaskan penafsiran hasilnya yang disebut aturan pengurutan. Aturan pengurutan (precedence rules) digunakan untuk memastikan proses pengerjaan subekspresi. Pada masalah perangkai, urutan atau hierarkinya berdasarkan pada hierarki tertinggi : abel 3.5-1 Simbol Perangkai Hierarki ke Simbol Nama Perangkai Perangkai 1 Negasi 2 Konjungsi 3 Disjungsi 4 Implikasi 5 Ekuivalensi Di sini ada aturan tambahan yaitu : jika menjumpai lebih dari satu perangkai pada hierarki yang sama, maka akan dikerjakan mulai dari yang kiri. Berikutnya akan diberikan contoh suatu pernyataan yang cukup panjang, selanjutnya akan dibentuk proposisi majemuknya dengan aturan pengurutan yang sesuai. Contoh 3.5-2 : Jika nilai rapor Karisma bagus, maka orang tuanya akan senang dan Karisma akan mendapat hadiah, tetapi jika nilai rapornya tidak bagus, maka dia akan dihukum atau tidak mendapat hadiah.. Pernyataan di atas dapat diubah menjadi variabel proposisional berikut : 42
A = Nilai rapor Karisma bagus B = Orang tua Karisma akan senang C = Karisma mendapat hadiah D = Karisma dihukum Selanjutnya, pernyataan pada contoh di atas yang berupa proposisi majemuk dapat dibuat ekspresi logika yang fpe berdasarkan variabel proposisionalnya, yaitu sebagai berikut : (A (B C)) (( A) (D ( C))) Pernyataan di atas dapat lebih disederhanakan dengan mengurangi tanda kurung biasa menjadi : Contoh 3.5-3 : (A (B C)) ( A (D C)) Kegunaan pemberian tanda kurung biasa adalah untuk memastikan agar tidak terjadi ambiguitas sehingga proses pengerjaan dapat dilaksanakan berurutan, mulai dari proposisi majemuk yang berada pada kurung terdalam sampai yang paling luar. 3.6 autologi, Kontradiksi dan Kontingensi Pembuktian validitas ekspresi-ekspresi logika dari suatu argumen dapat dilakukan dengan tabel kebenaran, yaitu terlebih dahulu memberi variabel proposisional pada setiap proposisi dari argumen tersebut dan kemudian membentuk proposisi majemuk untuk setiap pernyataan, dan kemudian mengevaluasi dengan tabel kebenaran. 3.6.1 autologi Argumen yang dibuktikan validitasnya dengan tabel kebenaran harus menunjukkan nilai benar. Jika hasil benar, maka argumen valid, jika tidak maka sebaliknya. Jika pada tabel kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposisional yang ada bernilai benar atau (true), maka disebut tautologi. Contoh 3.6-1 : (A B) (C ( B C)) 43
abel kebenarannya adalah sebagai berikut : C ( B C) (A B) (C ( B C)) A B C B C A B B C Jadi, ekspresi logika di atas adalah tautologi karena pada tabel kebenaran semua pasangan menghasilkan nilai. Contoh 3.6-2 : Buktikan apakah (A A) adalah tautologi? Bukti : buatlah tabel kebenarannya : A A (A A) Contoh 3.6-3 : Buktikan apakah ( (A B) B) adalah tautologi? Bukti : buatlah tabel kebenarannya : A B A B (A B) (A B) B Jadi, ekspresi di atas juga tautologi. autologi juga dapat ditulis dengan simbol (suatu metasymbol, bukan perangkai logika) sehingga pada ekspresi logika di atas akan ditulis : (A B) B 44
Contoh 3.6-4 : Diketahui : Jika (A B) B adalah tautologi Buktikan : ((A B) C) C juga tautologi Bukti : Misalkan memakai skema P dan Q. I. Masukkan ke ekspresi logika pertama menjadi (P Q) Q II. Misalkan : P = (A B), sedangkan Q = C, lalu masukkan ke ekspresi logika yang dibuktikan. Maka : ((A B) C) C akan menjadi (P Q) Q III. Lihat (I) dan (II) akan terlihat sama, jadi disebut tautologi. Jika tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada untuk membuktikan argumen tadi valid atau kadang-kadang disebut argumen yang kuat. Seperti telah dibahas pada bab-bab sebelumnya, argumen berarti memiliki premispremis dan mempunyai kesimpulan. Jika premis-premis benar, maka kesimpulan juga harus benar. Contoh 3.6-5 : 1. Jika Dewi pergi kuliah, maka Komang juga pergi kuliah. (Premis 1) 2. Jika Made belajar, maka Komang pergi kuliah. (Premis 2) 3. Dengan demikian, jika Dewi pergi kuliah atau Made belajar, maka Komang pergi kuliah. Diubah ke variabel proposisional : A = Dewi pergi kuliah B = Komang pergi kuliah C = Made belajar (Kesimpulan/Konklusi) Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan, yaitu : (1). A B (premis1) (2). C B (premis 2) (A C) B (kesimpulan/konklusi) 45
Selanjutnya, dapat dituliskan sebagai berikut : ((A B) (C B)) ((A C) B) abel kebenaran dari ekspresi logika di atas adalah sebagai berikut : ((A B) (C B)) ((A C) B) A B C A B C B (A B) (C B) A C (A C) B Jadi, jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid. Dalam logika, tautologi dapat ditulis atau 1 saja. Jadi jika A adalah tautologi, maka A = atau A = 1. 3.6.2 Kontradiksi Kebalikan dari tautologi adalah kontradiksi (contradiction), yakni jika pada semua pasangan dari tabel kebenaran menghasilkan nilai. Lihat contoh berikut : Contoh 3.6-6 : A A abel kebenarannya adalah sebagai berikut : A A (A A) Jadi, pada tabel kebenaran, semua bernilai sehingga disebut kontradiksi. Pada argumen, suatu kontradiksi dapat dijumpai jika antara premis-premis bernilai, sedangkan kesimpulan bernilai. Hal ini tentunya tidak mungkin terjadi, karena premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan yang benar. Dalam bahasa logika, konjungsi dari semua premis-premis dengan negasi dari kesimpulan selalu 46
bernilai, dan terjadi kontradiksi. Negasi kesimpulan berarti bernilai pada negasi kesimpulan. Lihat contoh ekspresi logika berikut : Contoh 3.6-7 : ((A B) A) B) abel kebenarannya sebagai berikut : A B A B A B (A B) A ((A B) A) B Jadi ekspresi logika di atas terjadi kontradiksi. Dalam logika, kontradiksi dapat ditulis saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = atau A = 0. 3.6.3 Kontingensi Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai dan, disebut kontingensi atau formula campuran. Lihat contoh berikut ini : Contoh 3.6-8 : ((A B) C) A abel kebenarannya sebagai berikut : A B C A B (A B) C ((A B) C) A 47
3.7 Ekuivalen Logis dan Operasi Penyederhanaan Jika suatu ekspresi logika termasuk tautologi, maka ada implikasi logis yang diakibatkannya, yakni jika dua buah ekspresi logika ekuivalen, contohnya : A B adalah ekuivalen secara logis jika terbukti tautologi. 3.7.1 Ekuivalensi Logis Pada tautologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi. Persoalannya ada pada kontingensi, karena memiliki semua nilai dan. etapi urutan dan atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama, maka tetap disebut ekuivalensi secara logis. Perhatikan pernyataan berikut : Lihat ekspresi logika dari suatu pernyataan berikut ini : Contoh 3.7-1 : Dewi sangat ramah dan lembut Dewi lembut dan sangat ramah Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut ini : A = Dewi sangat ramah B = Dewi lembut Maka ekspresi logika tersebut adalah : 1. A B 2. B A 48
Jika dikatakan kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, maka dapat ditulis : (A B) (B A) Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran berikut ini : abel 3.7-1 abel kebenaran dari (A B) (B A) A B A B B A Pembuktian dengan tabel kebenaran di atas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai dan, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap dikatakan ekuivalen. etapi jika urutan dan tidak sama, maka tidak dapat dikatakan ekuivalens secara logis. abel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalensi logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan berikut ini : Contoh 3.7-2 : 1. Komang tidak jujur, atau dia tidak setia 2. Adalah tidak benar jika Komang jujur dan setia Secara intuitif dapat ditebak kalau kedua pernyataan di atas sebenarnya sama saja, tetapi bagaimana jika dibuktikan dengan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika. Ubah dahulu pernyataan pada contoh 4-2 menjadi ekspresi logika dengan memberi variabel proposisional : A = Komang jujur B = Komang setia Selanjutnya berdasarkan variabel proposisional di atas, pernyataan pada contoh 4-2 akan menjadi : 1. A B 2. (A B) Dengan tabel kebenaran dapat dibuktikan bahwa kedua ekspresi logika di atas adalah ekuivalen : 49
abel 3.7-2 abel kebenaran dari ( A B) dan (A B) A B A B A B (A B) Perhatikan ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi logika di atas memiliki nilai kebenaran yang sama, ada nilai dan, keduanya baru dikatakan ekuivalensi secara logis jika dihubungkan dengan perangkai ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi. Perhatikan lanjutan tabel kebenarannya sebagai berikut : abel 3.7-3 abel kebenaran dari ( A B) (A B) ( A B) ( (A B)) Kedua ekspresi di atas dapat dikatakan ekuivalensi secara logis karena semua nilai kebenarannya bernilai atau tautologi. Berikut ini adalah daftar ekuivalensi logis dilengkapi dengan hukum-hukum logika propossional. abel 3.7-4 Daftar ekuivalensi logis (plus hukum-hukum logika proposisional) Ekuivalensi Logis Nama A 1 A Identity of A 0 A Zero of A 1 1 Identity of A 0 0 Zero of A A 1 autologi A A 0 Kontradiksi A A A Idem 50
A A A A A Negasi ganda A B B A Komutatif A B B A (A B) C A (B C) Asosiatif (A B) C A (B C) A (B C) ( A B) (A C) Distributif A (B C) (A B) (A C) A (A B) A Absorsi A (A B) A A ( A B) A B Absorsi A ( A B) A B Ekuivalensi Logis Nama (A B) A B De Morgan (A B) A B A B A B ransposisi A B A B Implikasi A B (A B) ( A B) Biimplikasi / Ekuivalensi A B (A B) (B A) (A B) (A B) A Absorsi (A B) (A B) A (A B) ( A B) B Absorsi (A B) ( A B) B [ (p q) r ] [ p (q r) ] Eksportasi (Exp) 3.7.2 Operasi Penyederhanaan Operasi penyederhanaan akan menggunakan abel daftar ekuivalensi logis di atas. Selanjutnya, perhatikan operasi penyederhaan berikut dengan hukum yang digunakan ditulis pada sisi kanan. Penyederhanaan hukum-hukum logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan untuk dimanipulasi lagi. Contoh 3.7-3 : (A 0) Λ (A A) 51
A (A A) A 1 A Zero of autologi Identity of Contoh 3.7-4 : (A B) (A B C) (A B) (A (B C)) (A ( B (B C)) (A (( B B) ( B C)) (A (1 ( B C)) (A ( B C) Contoh 3.7-5 : A (A B) A (A B) A ( A v B) A ( A B) A (A B) A ambahkan kurung Distributif Distributif autologi Identity of A B A B A B A B De Morgan Double negasi Absorsi Perhatikan contoh-contoh berikut untuk membuktikan hukum absorsi yang ada pada tabel 3.7-4 di atas : Contoh 3.7-6 : A (A B) (A 1) (A B) Identity of A (1 B) Distributif A 1 Identity of A Identity of Contoh 3.7-7 : A (A B) (A 0) (A B) Identity of 52
A (0 B) A 0 A Distributif Zero of Zero of Absorsi telah terbukti dengan teknik penyederhanaan. Penyederhanaan juga dapat digunakan untuk membuktikan ekuivalen atau kesamaan secara logis. Lihat contoh berikut ini : Contoh 3.7-8 : Buktikan : (A B) ( B A) (A B) ( A B) (A B) ( B A) ( A B) ( B A) (A B) ( A B) (( A B) B) (( A B) A) (( A B) ( B B)) (( A A) (B A)) (( A B) 0 ) (0 (B A)) ( A B) (B A) (B A) ( A B) (A B) ( A B) Distributif Distributif Kontradiksi Zero of Komutatif Komutatif Jadi terbukti memang sama. Catatan : Untuk membuat penyederhanaan, pertama kali yang harus dihilangkan adalah perangkai implikasi ( ) dan perangkai ekuivalen ( ), dan dijadikan kombinasi dari perangkai konjungsi ( ), disjungsi ( ), dan negasi ( ). Operasi penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika operasional dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika tautologi jika hasil akhir yang diperoleh adalah 1. Lihat contohnya pada ekspresi logika berikut : Contoh 3.7-9 : Buktikan : A B C A B C A A B C A B C A A B A B 53
A B C A B C A A B C A B C A A B C A B C A A B C A B C A A B C A B C A A B C A A B C A B C A A B C A B C A A A 1 A A A A B C B C De Morgan De Morgan De Morgan Dobel Negasi Hapus Kurung Komutatif ambah Kurung Absorsi Komutatif ambah Kurung Absorsi autologi Hasilnya ternyata 1, dan ini berarti ekspresi logika tersebut tautologi. Jika hasil yang diperoleh ternyata 0, berarti ekspresi logika tersebut adalah kontradiksi. Lihat contoh pada ekspresi logika berikut : Contoh 3.7-10 : (A B) A B ((A B) A) B ( A (A B)) B ( A B) B A (B B) A 0 0 Jadi, ekspresi logika tersebut terbukti kontradiksi. Beri tanda kurung Komutatif Absorsi Asosiatif Kontradiksi Zero of Jika hasil penyederhanaan sebuah ekspresi logika tidak 1 atau 0, maka disebut contingent. Lihat contoh berikut : Contoh 3.7-11 : 54
((A B) A) B ((A B) A) B (A B) ( A B) ( A (A B)) B Komutatif ( A B) B Absorsi ( A B) B De Morgan (A B) B Double Negasi A ( B B) Asosiatif A B Idempoten Pada proses penyederhanaan yang menghasilkan contingent, penyederhanaan akan berhenti pada bentuk ekspresi logika yang paling sederhana, dan sudah tidak mungkin disederhanakan lagi. 55