Supergravitasi dan Kompaktifikasi Orbifold

Bab III Supergravitasi dan Kompaktifikasi Orbifold III.1 Pendahuluan Bab ini bertujuan untuk memperoleh deskripsi teori 4-dimensi yang memiliki generator supersimetri melalui kompaktifikasi orbifold dari teori supergravitasi 5-dimensi dengan generator supersimetri yang terkopel dengan multiplet vektor sembarang dan hipermultiplet. Hipermultiplet dipilih manifold Einstein-Self-Dual Torus (ESDT) yang dibangun oleh Calderbank dan Pedersen (2002) dengan tujuan untuk memperoleh sub ruang K hler dari ruang TSDE. Ada dua langkah yang dilakukan untuk memperoleh teori supersimetri dalam 4-dimensi. Pertama, teori supergravitasi dalam 5-dimensi dikompaktifikasi menjadi 4-dimensi melalui lingkaran 1 S dengan radius R yang diparameterisasi oleh koordinat dimensi ekstra 5 x. Kedua, untuk memperoleh teori dalam 4-dimensi chiral koordinat dimensi ekstra x 5 dikompaktifikasi pada orbifold. Aksi dari simetri 2 pada lingkaran adalah x x dan 5 5 dua buah titik-titk tetap orbifold berada di x 5 = 0 dan = π R di mana medanmedan yang memilki paritas genap dipertahankan. 5 x Sistematika pembahasan adalah sebagai berikut: Pada sub Bab III.2 dikaji teori supergravitasi dalam 5-dimensi tak gauge yang terkopel dengan multiplet vektor dan hipermultiplet. Penurunan dan analisis secara sistematis kompaktifikasi pada orbifold dibahas pad sub Bab III.3. Hasil-hasil pembahasan dirangkum pada sub Bab III.4. III.2 Supergravitasi N = 2 dalam 5-dimensi Dalam pasal ini dikaji teori supergravitasi 5-dimensi yang memiliki dua buah generator supersimetri,, terkopel dengan materi multiplet. Teori supergravitasi 5-dimensi yang terkopel dengan multiplet vektor dan tensor dikaji oleh Gunaydin, dkk., (1985). Ceresole dan Dall Agata (2000) membangun teori 50

supergravitasi hipermultiplet. dalam 5-dimensi yang terkopel dengan vektor, tensor dan III.2.1 Multiplet Gravitasional Miltiplet gravitasional 5-dimensi terdiri dari sebuah metrik gravitino Majorana simplektik ganda dan sebuah medan vektor,graviphoton), (Bergshoeff, 2004). Indeks Yunani dengan topi adalah indeks ruang-waktu 5- dimensi yang berjalan dari 0 sampai 5 ( ). Sedangkan indeks latin pada gravitinos berjalan dari 1 sampai 2 ( ). Kemudian aksi bosonik untuk multiplet gravitasional dapat ditulis sebagai berikut: (III.1) Persamaan aksi (III.1) dapat pula dikopel dengan jumlah sembarang vektor dan hipermultiplet sebagaimana akan dibahas pada pasal berikut ini. III.2.2 Kopling Multiplet Vektor dan Hipermultiplet III.2.2.1 Manifold Skalar Tinjau teori supergravitasi yang terkopel dengan buah multiplet vektor. Maka teori ini akan memiliki buah medan vector, buah pasangan simplektik gaugino dan buah skalar multiplet vektor. Indeks I pada medan vektor adalah dan indeks pada graviphoton adalah indeks ruang datar. Suku kinetik untuk skalar riil diberikan oleh rapat Lagrangian, (III.2) Skalar multiplet vektor, memparameterisasi ruang target di mana menyatakan indeks lengkung. Metrik diinterpretasikan sebagai sebuah metrik pada manifold Riemannian yang dinamakan geometri riil sangat khusus (very special real geometry) dan dapat digambarkan sebagai sebuah hypersurface dengan polinomial derajat tiga (III.3) 51

di mana. Kopling gauge dari teori diberikan oleh (III.4) Sehingga metrik pada manifold Riemannian adalah (III.5) Untuk hipermultiplet dapat mengandung skalar riil dan fermion Majorana simplektik (hyperinos) di mana dan. Rapat Lagrangian dari hipermultiplet dapat ditulis sebagai (III.6) di mana, adalah metrik pada sebuah manifold Riemannian dengan skalar adalah koordinatnya dan menyatakan indeks lengkung yang menempel pada koordinat. Supersimetri lokal mengimplikasikan bahwa adalah sebuah manifold K hler kuaternionik (Bagger dan Witten, 1983). Manifold skalar dapat dinyatakan sebagai produk langsung dari manifold sangat khusus dan manifold kuaternionik, (III.7) dengan,. Aksi dari teori supergravitasi adalah dalam 5-dimensi yang dikompaktifikasi (III.8) di mana turunan-turunan kovarian didefinisikan oleh 52

(III.9) III.2.2.2 Ruang Einstein Self-Dual Torus Untuk sektor hipermultiplet, yang ditinjau adalah hipermultiplet 4-dimensi memenuhi self-dual dalam ruang Einstein dan memiliki isometri torus. Metriknya diberikan oleh (III.10) di mana dan. Fungsi memenuhi persamaan Laplace dalam ruang hiperbolik dua dimensi yang dibentang oleh, (III.11) dengan dan. Disini diambil dan sedangkan adalah koordinat periodik. Fungsi dikatakan memiliki kelengkungan positif jika memenuhi dan dikatakan memiliki kelengkungan negatif jika memenuhi. III.3 Kompaktifikasi pada Orbifold III.3.1 Analisis Transformasi Orbifold Pada lampiran B diberikan penurunan untuk kompaktifikasi pada lingkaran. Pada pasal ini dibahas teori supergravitasi yang dikompaktifikasi pada orbifold. Ada dua pendekatan untuk melakukan kompaktifikasi melalui orbifold namun kedua pendekatan ini menghasilkan hasil yang sama. Perbedaan terletak pada perlakuannya. Pertama melalui mendekatan downstair. Pada pendekatan ini, 53

koordinat dari dimensi ekstra dari teori supergravitasi 5-dimensi memiliki topologi orbifold sedemikian sehingga koordinat ke-5 memenuhi syarat periodik dan memenuhi simetri 2 Struktur dari ruang-waktu 5-dimensi secara simbolik yang terkait dapat dituliskan sebagai (III.12) Secara lokal, teori supergravitasi 5-dimensi masih dipertahankan dan pada batas ada dua buah ruang-waktu 4-dimensi yaitu di yang dinamakan dengan batas dan di yang dinamakan dengan. Pendekatan kedua dinamakan pendekatan upstair. Pada pendekatan ini, kooordinat ke-5 dari teori supergravitasi 5-dimensi memiliki topologi lingkaran sehingga hanya memiliki syarat periodik terkait secara simbolik dapat dituliskan sebagai Dan struktur dari ruang-waktu 5-dimensi yang Selanjutnya didefinisikan transformasi orbifold sebagai berikut: (III.13) (III.14) Titik-titik tetap dari merupakan titik-titik yang berada pada atau, dan pada kedua titik tersebut terdapat masing-masing ruang-waktu 4- dimensi yaitu and yang merupakan batas dari. Untuk memperoleh gambaran yang sama seperti pada penekatan downstair, maka medan-medan harus dibuat invarian terhadap transformasi orbifold serta elemen garis juga harus invarian terhadap transformasi orbifold, yaitu (III.15) Sifat invarian dari kemudian menghasilkan hubungan berikut: (III.16) sedemikian sehingga pada batas dan, diperoleh. Selanjutnya, terhadap transformasi paritas pada bagian gravitasional dari aksi supergravitasi 5-dimensi menjadi 54

(III.17) di mana dan keduanya invarian terhadap transformasi Akibat dari perubahan tanda pada bagian gravitasional dari aksi, medan-medan yang lain di dalam aksi juga harus berubah tanda. Transformasi medan vektor dapat dilihat langsung dari transformasinya terhadap, Sebagai akibat dari persamaan (III.18), suku-ff mengalami perubahan tanda: (III.18) (III.19) Sehingga transformasi dari masing-masing komponen dari medan vektor akan memenuhi: dan. Keberadaan suku batas di kedua titik tetap dari orbifold memerlukan suku tambahan dalam aksi (III.1), sehingga aksi menjadi termodifikasi. Untuk mengetahui bentuk dari suku tambahan pada aksi, dapat dilakukan dengan mencari turunan persamaan gerak yang meliputi variasi dari tensor Ricci. Dalam hal ini, turunan dari variasi metrik tidak lenyap pada batas. Berikut ini ditinjau variasi dari skalar Ricci yang dapat menghasilkan aksi termodifikasi dari teori supergravitasi 5-dimensi pada orbifold. Aksi yang dimodifikasi dari teori supergravitasi 5-dimensi dapat ditulis sebagai berikut: (III.20) di mana merupakan trace dari kurvatur ektrinsik. Variasi aksi terhadap metrik diberikan oleh 55

(III.21) Untuk memperoleh persamaan di atas, telah digunakan hubungan dari variasi tensor Ricci: (III.22) serta divergensi dari metrik ke persamaan (III.21), maka diperoleh. Dengan menyisipkan persamaan (III.22) (III.23) di mana (III.24) Dengan menerapkan teorema Gauss, suku terakhir dari persamaan (III.23) dapat dinyatakan kembali dalam bentuk: (III.25) Di dalam persamaan (III.25) kuantitas menyatakan normal vektor terhadap permukaan. Suku ini menjadi lenyap akibat dari variasi metrik yang lenyap pada batas dan juga memodifikasi aksi dari teori supergravitasi 5-dimensi pada orbifold. Karena adalah konstant pada permukaan dan dengan memanfaatkan hubungan, maka persamaan (III.25) menjadi (III.26) Suku batas dapat dipandang sebagai sebuah permukaan 4-dimensi yang dimasukkan dalam ruang-wakti 5-dimensi. Sebuah kuantitas dapat didefinisikan sedemikian sehingga variasinya menghasilkan suku yang sama dengan persamaan (III.26), 56

(III.27) dengan (III.28) Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa metrik induksi pada permukaan memiliki komponen-(55) yang lenyap, (III.29) Trace kurvatur ekstrinsik dihitung sebagai berikut (III.30) di mana telah digunakan definisi simbol Christoffel dalam perhitungan di atas. Karena dan hanya memiliki komponen-komponen diagonal maka (III.31) dan memiliki variasi lenyap pada permukaan. Suku kedua persamaan (III.20) berasal dari variasi kurvatur ekstrinsik (III.30) yaitu (III.32) dan serupa dengan persamaan (III.26) hanya berbeda faktor 1/2. Dengan hanya meninjau sektor tak bermassa dari teori, di mana, suku kedua persamaan (III.20) tidak memberikan kontribusi pada aksi. Tetapi untuk sektor bermassa suku ini diambil dalam perhitungan. Untuk perhitungan selanjutnya hanya sektor tak bermassa yang ditinjau sehingga teori supersimetri dalam 4-dimensi dapat digambarkan sebagai sebuah teori efektif energi rendah. Dari analisis sektor bosonik, medan-medan 5-dimensi dapat berparitas genap Φ =Φ x 5 5 ( x μ μ, x ) ( x, ) atau ganjil 5 5 ( x μ μ Φ, x ) = Φ( x, x ) terhadap transformasi orbifold. Medan-medan berparitas ganjil adalah lenyap oleh ketidakontinuan pada titik-titk tetap, sehingga dipandang sebagai medan tidak dinamik pada sub manifold. Dengan mengidentifikasi periodisitas medan-medan skalar (III.10), di mana maka terhadap transformasi orbifold 57

medan-medan berparitas genap dan medan-medan berparitas ganjil. Paritas ganjil dari tidak dipenuhi dalam fungsi, sebagai contoh, untuk. Aksi simetri pada medan fermion dan parameter spinor dari transformasi supersimetri didefinisikan oleh Lim, (2004): (III.33) di mana (III.34) dengan fungsi riil dari dan,. Dekomposisi spinor 5-dimensi dan konjugatnya menjadi spinor 4-dimensi mengikuti konvensi Bagger, dkk., (2001), diberikan oleh (III.35) dan (III.36) Dengan menggunakan definisi ini dan hasil-hasil sebelumnya, medan-medan dengan paritas genap diberikan oleh (III.37) dan medan-medan dengan paritas ganjil diberikan oleh (III.38) di mana telah didefinisikan (III.39) III.3.2 Hasil Kompaktifikasi Sektor Boson Selanjutnya diturunkan aksi efektif energi rendah supergravitasi kompaktifikasi pada sektor boson dari akasi supupergravitasi melalui tak-gauge 58

dalam 5-dimensi (III.8) pada orbifold dengan menggunakan hasil analisis yang telah diperoleh dalam pasal sebelumnya, terhadap simetri, medan bosonik ( ) memiliki paritas genap, sedangkan ( ) memiliki paritas ganjil. Analisis transformasi orbifold di atas pada dasarnya sama dengan kompaktifikasi lingkaran sebagaimana diberikan dalam lampiran B, tetapi medan-medan yang berparitas ganjil tidak diambil dalam perhitungan. Dengan menggunakan ansatz metrik, diperoleh (III.40) (III.41) Persamaan ini dapat dibawa ke bentuk kanonik melalui penyekalaan ulang Weyl pada metrik yang diberikan oleh (III.42) Sehingga persamaan (III.41) menjadi (III.43) Konstanta gravitasional 4-dimensi dapat didefinisikan dalam ungkapan konstanta gravitasional 5-dimensi, (III.44) Persamaan (III.43) dapat dinyatakan kembali dalam bentuk 59

(III.45) di mana, dan (III.46) Di dalam persamaan (III.45), buah skalar multiplet vektor dinyatakan dalam buah skalar yang terkendala oleh (III.47) Selanjutnya ditinjau deskripsi dari aksi efektif energi rendah dari supergravitasi dalam 4-dimensi yaitu dengan menunjukkan bahwa skalar di dalam persamaan (III.45) memparametrisasi sebuah manifold kompleks berjenis K hler. Untuk itu didefinisikan dua buah kuantitas kompleks baru yaitu dan : (III.48) Dari definisi ini, fungsi diganti menjadi fungsi dan dapat diperoleh (III.49) (III.50) (III.51) Persamaan Laplace (III.11) dapat dinyatakan dalam bentuk (III.52) Melalui substitusi persamaan-persamaan (III.48) (III.52) ke persamaan (III.45), diperoleh persamaan aksi berikut: 60

(III.53) di mana (III.54) Potensial K hler dinyatakan oleh dan yang masing-masing berasal dari kontribusi vektor multiplet dan hypermultiplet, (III.55) III.3.3 Hasil Kompaktifikasi Sektor Fermion Pada pasal sebelumnya telah diperoleh deskripsi aksi efektif untuk sektor boson dengan potensial K hler diberikan oleh persamaan (III.55). Berikut ini dipaparkan hasil kompaktifikasi sektor fermion dan untuk memperoleh teori efektif supersimetrik dalam 4-dimensi. Karena medan-medan fermion tidak bergantung pada koordinat dimensi ekstra maka integrasi pada dimensi ekstra dalam aksi menghasilkan volume yang dapat diserap menjadi definisi konstanta gravitasional 4-dimensi. Dengan kata lain bahwa modus-modus bermassa Kaluza- Klein diabaikan dan hanya ada modus tak bermassa dalam deskripsi teori efektif. Tinjau bagian fermion dari aksi (III.8). Suku kinetik komponen- diberikan oleh (III.56) 61

Spinor Majorana simplektik dua komponen didekomposisikan menjadi spinor Majorana 4-dimensi dengan konvensi sebagai berikut: (III.57) Dengan menggunakan definisi ini, persamaan (III.56) dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari bagian genap dan ganjil dari spinor Majorana (III.58) atau dapat juga dinyatakan dalam bentuk (III.59) di mana telah digunakan (III.60) Pada dua buah titik tetap orbifold ketidakkontinuan medan-medan dinyatakan oleh sebuah fungsi tangga yaitu. Fungsi tangga memiliki nilai untuk dan untuk. Agar reduksi menjadi konsisten maka ansat untuk gravitino adalah sebagai berikut (III.61) Disini adalah fungsi sembarang yang hanya bergantung pada koordinat 4-dimensi. Di dalam lampiran B diberikan perhitung secara lengkap penurunan suku gravitino, yang dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (III.61) ke persamaan (III.59) hasilnya adalah (III.62) 62

Suku ketiga dari aksi ini tidak lain adalah suku batas. Hasil ini adalah konsisten dengan pendekatan upstair yang telah digunakan oleh Horava dan Witten (1996) di mana ruang-waktu memenuhi struktur dengan simetri pada lingkaran. Sehingga dalam kerangka kerja supergravitasi aksi total adalah jumlah dari aksi pada bulk dan aksi pada batas: (III.63) di mana diberikan oleh (III.8) dan atau dalam konteks braneworld diberikan oleh (III.64) Bagian bulk dari aksi yang mengandung suku gravitino dapat dinyatakan sebagai berikut (III.65) di mana turunan kovarian terhadap gravitino diberikan oleh (III.66) Setelah dilakukan integrasi (III.65) terhadap, diperoleh (III.67) Fungsi menjadi pada persamaan (III.61) berhubungan dengan komponen metrik dan dengan demikian turunan kovarian dalam 4-dimensi (III.66) (III.68) di mana telah digunakan koneksi spin melalui metrik (III.69) dan koneksi-, (III.70) 63

Suku kinetik hyperino sektor fermion dari aksi (III.8) diberikan oleh (III.71) Seperti juga untuk suku gravitino, medan-medan tidak bergantung pada koordinat dimensi ekstra maka turunannnya lenyap terhadap koordinat tersebut. Dengan mengambil ansat untuk medan hyperino (III.72) maka persamaan (III.71), menjadi (III.73) Turunan kovarian untuk hyperino dalam 4-dimensi diberikan oleh (III.74) Berikutnya ditinjau suku kinetik gaugino (III.75) Serupa dengan suku-suku fermion yang lain, untuk suku gaugino diperoleh di mana turunan kovarian untuk gaugino dalam 4-dimensi diberikan oleh (III.76) (III.77) Dengan menggabungakan hasil-hasil di atas untuk sektor boson dan sektor fermion, maka diperoleh aksi efektif energi rendah teori supergravitasi dalam 4-dimensi yaitu 64

(III.78) di mana turunan-turunan kovarian diberikan oleh persamaan-persamaan (III.68), (III.74) dan (III.77). III.4 Rangkuman Pada bab ini telah dipelajari kompaktifikasi melalui orbifold dari teori supergravitasi dalam 5-dimensi tergandeng dengan multiplet vektor sembarang sedangkan hypermultiplet merupakan medan skalar yang membentang dalam ruang ESDT. Dan hasilnya berupa sebuah teori supergravitasi dalam 4-dimensi. Deskripsi dari teori 4-dimensi dapat direpresentasikan melalui potensial K hler dan diperoleh sebagai kontribusi dari multiplet vektor (III.79) dan dari hipermultiplet diberikan oleh (III.80) Dengan penambahan hipermultiplet universal (Arianto, dkk., 2005), potensial K hler dalam deskripsi teori 4-dimensi diberikan oleh ( I I )( J J )( K K ) κ ( ) 2 2 K = κ4 ln CIJK T + T T + T T + T 4 ln S + S + 2ln f ( ) +. 2 κ 4 ln U U (III.81) Telah diperoleh juga kompaktifikasi untuk sektor fermion dalam teori dalam 4-dimensi. Hasil-hasil di atas telah memperluas hasil-hasil Altend orfer, dkk., (2001) serta Zucker (2001) yang hanya memasukkan vektor multiplet saja, sedangkan hasil dalam disertasi ini mencakup hipermultplet juga. G unara, dkk., (2007) telah mempelajari sifat-sifat umum vakum dari persamaan BPS dan potensial skalar teori supergravitasi dalam 4-dimensi terkopel dengan multiplet chiral. Melalui analisis sistem dinamik pada persamaan gradien flow ditemukan bahwa ada ketidakstabilan di dekat maksimum lokal dari 65

potensial skalar, tetapi di dekat titik balik, minimum lokal, potensial skalar menjadi stabil, dan dihasilkan pula titik-titik kritis potensial skalar. 1 2 1 2 Gambar III.1 Geometri Orbifold. Selanjutnya, jika analisis di atas dibawa dalam konteks braneworld maka persamaan aksi (III.63) dapat digambarkan dengan sebuah struktur geometri orbifold di mana pada titik-titi tetap dari orbifold terdapat masing-masing 3-brane (Gambar III.1). Gambar bagian atas adalah sebuah representasi skematik dari orbifold diperoleh dengan mengidentifikasi titik-titik pada lingkaran yang dihubungkan melalui simetri refleksi terhadap diameter lingkaran. Ini ekuivalen dengan dua buah bayangan identik dari sebuah interval tertutup yang menempel pada titik-titik ujungnya. Dua buah lingkaran kecil pada lingkaran besar menyatakan dua buah titik-titik tetap dari simetri. Gambar bagian bawah menyatakan struktur ruang M 4 di mana alam semesta 4-dimensi 66

dinyatakan oleh 3-brane dan dimensi ekstra memiliki topologi orbifold. Label 1 dan 2 adalah dua buah bayangan identik dari bulk berhubungan dengan dua bagian orbifold. Brane yang berwarna hijau adalah bayangan dari brane yang berwarna biru. Pada bab-bab selanjutnya, skenario braneword yang ditinjau memiliki struktuk geometri M 4 seperti Gambar III.1. 67