Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX)
Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2
sin(iz) = i sinh z, cos(iz) = cosh(iz) (2) Fungsi Hiperbolik Fungsi hiperbolik dengan variabel kompleks didefinisikan sejalan dengan fungsi hiperbolik dengan variabel real, yaitu sebagai berikut sinh z = ez e z dan cosh z = ez + e z 2 2 Kedua fungsi tersebut di atas merupakan fungsi utuh (mengapa?) dan d sinh z d cosh z = cosh z dan = sinh z dz dz Selanjutnya, dengan memperhatikan definisi sin z dan cos z sebagaimana diberikan pada Bagian terdauhulu, maka diperoleh sinh(iz) = i sin z, cosh(iz) = cos z (1)
Fungsi Hiperbolik Dengan menggunakan identitas-identitas pada 1 dan 2, mudah ditunjukkan rumus-rumus identitas sinh( z) = sinh z, cosh( z) = cosh z (3) cosh 2 z sinh 2 z = 1 (4) sinh(z 1 + z 2 ) = sinh z 1 cosh z 2 + cosh z 1 sinh z 2 (5) cosh(z 1 + z 2 ) = cosh z 1 cosh z 2 + sinh z 1 sinh z 2 (6) dan apabila z = x + iy, maka berdasar 5 dan 6, diperoleh sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y (7) cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y (8)
Fungsi Hiperbolik Akibatnya, sinh z 2 = sinh 2 x + sin 2 y (9) cosh z 2 = sinh 2 x + cos 2 y (10) Example Tentukan semua akar-akar cosh z = i
Fungsi Hiperbolik Fungsi-fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan sebagai berikut. tanh z = sinh z cosh z, coth z = 1 tanh z sech z = 1 cosh z,, csch z = 1 sinh z
Fungsi LOgaritma Sebagaimana telah dijelaskan pada Bagian terdauhulu, untuk sebarang bilangan kompleks tak nol z = ρe iφ, π < φ π, persamaan e w = z mempunyai solusi w = ln ρ + i(φ + 2nπ), n Z Apabila logarirma kompleks log w didefinisikan sebagai log z = ln ρ + i(φ + 2nπ), n Z (11) maka diperoleh e log z = z. Kenyataan ini memberikan inspirasi untuk pendefinisan fungsi logaritma kompleks. Untuk sebarang variabel tak nol z = ρe iφ, π < φ π, fungsi log z didefinisikan sebagai log z = ln ρ + i(φ + 2nπ), n Z (12)
Nilai utama dari log z dicapai pada saat n = 0 dan ditulis dengan Log z. Jadi, Log z = ln ρ + iφ, π < φ π Example Karena 1 = e i0, maka log 1 = ln 1 + i(0 + 2nπ), n Z sedangkan Log 1 = 0. Secara sama, dan Log( 2) = ln 2 + iπ. log( 2) = ln 2 + i(2n + 1)π
Untuk sebarang variabel kompleks tak nol z = re iθ, maka argumen z, yaitu θ, dapat dituliskan sebagai θ = Arg(z) + 2nπ, n Z. Selanjutnya, 12 dapat disajikan sebagai atau log z = ln r + iθ (13) log z = ln r + iargz (14)
Karena arg(z) merupakan fungsi bernilai banyak, maka log z juga bernilai banyak. Selanjutnya, untuk sebarang α R diperhatikan salah satu nilai log z, yaitu log z = ln r + iθ, r > 0, α < θ α + 2π (15) Bagian real dan imaginer dari log z adalah u(r, θ) = r dan v(r, θ) = θ (16) yang masing-masing kontinu pada α < θ < α + 2π.
Selanjutnya, u r, u θ, v r, dan v θ ada dan kontinu pada α < θ < α + 2π dan pada domain tersebut berlaku persamaan Cauchy-Riemann u r = 1 r v θ dan u θ = rv r Jadi, f (z) analitik pada α < θ < α + 2π dan Khususnya f (z) = 1 re iθ = 1 z dlogz dz = 1 z, π < θ < π
Diperhatikan fungsi log z sebagaimana diberikan pada persamaan (15) untuk z {re iα : r > 0}. Bagian imaginer dari log z tersebut, yaitu v(r, θ) = θ tidak kontinu di θ = α, sebab lim θ α v(r, θ) lim θ α + v(r, θ). Oleh karena itu, f tidak ada untuk setiap z {re iα : r > 0}. Jadi, fungsi log z sebagaimana diberikan pada persamaan (15) analitik kecuali untuk z {re iα : r > 0}.
Cabang suatu fungsi bernilai banyak f (z) adalah fungsi bernilai tunggal F (w) yang analitik pada suatu domain D dimana untuk setiap w D, F(w) merupakan salah satu nilai dari f (z). Fungsi F(w) disebut cabang utama dari f (z) jika F(w) cabang dari f (z) dan π < argw < π. Jadi, untuk sebarang bilangan real α, fungsi log z, log z = ln r + iθ, r > 0, α < θ < α + 2π, masing-masing merupakan cabang dari fungsi log z, z 0. Sedangkan Logz = ln r + iθ, π < θ < π adalah cabang utama dari log z.
Diberikan sebarang z = x + iy, maka e z = e x.e iy Selanjutnya, dengan memperhatikan (12), diperoleh log(e z ) = ln e x +i(y+2nπ) = x+i(y+2nπ) = z+(2nπ)i, Khususnya, Loge z = z Untuk sebarang z 1, z 2 C, dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa dan log(z 1 z 2 ) = log z 1 + log z 2 (17) n Z log( z 1 z 2 ) = log z 1 log z 2 (18)
Perlu berhati-hati dalam memahami makna persamaan (17) dan (18). Sebagaimana maksud arg(z 1 z 2 ) = argz 1 + argz 2 maka persamaan (17) harus dibaca atau diartikan bahwa sebarang nilai log(z 1 z 2 ) sama dengan suatu nilai log z 1 ditambah suatu nilai log z 2. Persamaan (18) dibaca secara sama.
Contoh Example Diberikan z 1 = z 2 = 1, maka z 1 z 2 = 1. Berturut-turut diperoleh log z 1 = log z 2 = (2n + 1)πi dan log z 1 z 2 = 2nπi Selanjutnya, untuk sebarang n Z, 2nπi dapat dituliskan sebagai 2nπi = (2k 1 + 1)πi + (2k 2 + 1)πi, (19) untuk suatu k 1, k 2 Z. Ruas kiri pada (19) berarti sebarang nilai log z 1 z 2, sedangkan ruas kanan berarti suatu nilai log z 1 ditambah suatu nilai log z 2.