METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia rinomartin4@gmail.com ABSTRACT A family of secant-like method with a parameter to solve a nonlinear equation is discussed in this article. This method has super-linear convergence, (1 + 5)/2. Furthermore, the numerical computation shows that the choice of the parameter can affect the number of iteration needed to solve a nonlinear equation. Keywords: Nonlinear equation, order of convergence, secant method, secant-like method. ABSTRAK Artikel ini membahas metode iterasi baru bertipe secant untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi ini mempunyai orde kekonvergenan super-linear, yaitu (1 + 5)/2. Selanjutnya uji komputasi numerik menunjukkan bahwa pemilihan parameter dapat berpengaruh terhadap jumlah iterasi yang diperlukan untuk menyelesaikan suatu persamaan nonlinear. Kata kunci: Metode iterasi bertipe secant, metode secant, orde kekonvergenan, persamaan nonlinear. 1. PENDAHULUAN Permasalahan matematika yang diterapkan di berbagai bidang ilmu sering kali berakhir dengan penentuan solusi persamaan nonlinear f(x) = 0. (1) Solusi persamaan nonlinear (1) dapat diperoleh dengan menggunakan metode analitik, yang menghasilkan solusi eksak atau solusi sejati. Tetapi, adakalanya persamaan nonlinear tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Oleh karena itu, digunakan metode numerik. Hasil dari penyelesaian metode numerik merupakan Repository FMIPA 1
nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitik atau eksak, sehingga terdapat nilai kesalahan yang akan ditoleransi, namun nilai tersebut harus tidak lebih besar dari nilai toleransi. Salah satu metode numerik yang populer digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear (1) adalah metode secant [2, h. 78-83]. Adapun bentuk iterasi metode secant dengan nilai awal x 0 dan x 1 adalah x n x n 1 x n+1 = x n f(x n ), n 1. (2) f(x n ) f(x n 1 ) Metode secant memiliki persamaan error dengan bentuk e n+1 1 2 f (r) f (r) e ne n 1 (3) dan orde kekonvergenan metode secant adalah (1 + 5)/2 (super-linear) [1, h. 67]. Dalam perkembangannya banyak peneliti menemukan metode iterasi bertipe secant, di antaranya adalah metode iterasi yang dikemukakan oleh V. Kanwar, J.R. Sharma, dan Mamta [6], dengan bentuk iterasinya adalah 2(x n x n 1 )f(x n ) x n+1 = x n, (f(x n ) f(x n 1 )) ± (f(x n ) f(x n 1 )) 2 + 4αf(x n )(x n x n 1 ) 2 (4) dengan n = 1, 2, 3,... dan α adalah sebuah parameter. Jika α = 0, maka metode iterasi (4) akan kembali ke formula metode secant (2). Metode iterasi (4) memiliki perhitungan nilai akar kuadrat. Hal ini membuat metode ini akan sulit diterapkan dalam beberapa kasus. Selain itu, untuk menghindari rounding error (kesalahan pembulatan) pada persamaan (4), maka berlaku kondisi tambahan pada persamaan (4) sehingga menjadi dimana dengan x n+1 = x n 2(x n x n 1 )f(x n ) K + Sign(K) K 2 + 4αf(x n )(x n x n 1 ) 2, (5) Sign(K) = K = f(x n ) f(x n 1 ), { 1, untuk K 0, 1, untuk K < 0. untuk n = 1, 2, 3,.... Metode Kanwar memiliki persamaan error yang sama dengan persamaan error metode secant, yaitu (1 + 5)/2 (super-linear). Artikel ini merupakan review dari jurnal Liang Chen [4], dengan judul A Family of Improved Secant-like Method with Super-linear Convergence. Pada bagian dua dibahas metode iterasi baru bertipe secant dengan menerapkan proses awal pembentukan formula iterasi yang sama seperti proses awal pembentukan formula iterasi (4) sehingga ditemukan formula iterasi yang berbeda, kemudian dilanjutkan pada bagian tiga dengan melakukan contoh komputasi numerik terhadap lima fungsi uji. Repository FMIPA 2
Misalkan 2. METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR y = f(x) (6) mewakili grafik fungsi f(x) dan asumsikan bahwa x 0 dan x 1 merupakan tebakan awal yang dibutuhkan untuk menemukan akar persamaan nonlinear f(x) = 0, katakan r. Kemudian fungsi linear, katakan p(x), yang grafiknya melalui titik (x 0, f(x 0 )) dan (x 1, f(x 1 )) dan fungsi tersebut mengaproksimasi fungsi f(x) adalah y f(x 1 ) f(x 0 ) f(x 1 ) = x x 1 x 0 x 1 y = p(x) = f(x 1 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x x 1 ). (7) Kemudian, persamaan parabola yang titik puncaknya (x 1, 0) dan sumbunya sejajar dengan sumbu-y adalah y = α(x x 1 ) 2, (8) dengan α adalah sebuah parameter. Parabola pada persamaan (8) akan melebar jika α menuju nol dan menyempit jika α membesar. Parabola pada persamaan (8) memotong grafik p(x) pada titik (x 2, p(x 2 )), sehingga persamaan (7) menjadi dan persamaan (8) menjadi Dari persamaan (9) dan (10) diperoleh p(x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x 2 x 1 ), (9) p(x 2 ) = α(x 2 x 1 ) 2. (10) f(x 1 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x 2 x 1 ) = α(x 2 x 1 ) 2 α(x 2 x 1 ) 2 f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x 2 x 1 ) f(x 1 ) = 0. (11) Kemudian, dengan memfaktorkan (x 2 x 1 ) dari dua suku pertama pada persamaan (11) sehingga diperoleh [ α(x 2 x 1 ) f(x ] 1) f(x 0 ) (x 2 x 1 ) f(x 1 ) = 0 x 1 x 0 f(x 1 ) x 2 x 1 = α(x 2 x 1 ) f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 f(x 1 )(x 1 x 0 ) = α(x 2 x 1 )(x 1 x 0 ) (f(x 1 ) f(x 0 )). Repository FMIPA 3
Dengan mengaproksimasi x 2 di ruas kanan dengan formula metode secant, diperoleh f(x 1 )(x 1 x 0 ) x 2 x 1 = α(x 2 x 1 )(x 1 x 0 ) (f(x 1 ) f(x 0 )) f(x 1 )(x 1 x 0 ) = ( ) x α x 1 f(x 1 ) 1 x 0 x f(x 1 ) f(x 0 ) 1 (x 1 x 0 ) (f(x 1 ) f(x 0 )) x 2 = x 1 f(x 1)(x 1 x 0 )(f(x 1 ) f(x 0 )) [f(x 1 ) f(x 0 )] 2 + αf(x 1 )(x 1 x 0 ) 2. (12) Jadi, bentuk umum dari metode iterasi baru bertipe secant adalah x n+1 = x n f(x n)(x n x n 1 )(f(x n ) f(x n 1 )) [f(x n ) f(x n 1 )] 2 + αf(x n )(x n x n 1 ) 2, (13) dengan n = 1, 2, 3,... dan α adalah sebuah konstanta. Sama halnya dengan metode iterasi (5), pemilihan α pada metode iterasi (13) sangat berpengaruh terhadap iterasi, yaitu akan berpengaruh terhadap parabola yang akan digunakan. Jika diambil α = 0, maka parabola tidak terbentuk dan iterasi kembali ke metode secant. Teorema 1 (Orde Kekonvergenan) Asumsikan bahwa fungsi f : D R R yang kontinu untuk sebuah interval terbuka D mempunyai akar sederhana r D. Misalkan f(x) mempunyai turunan pertama, kedua, dan ketiga pada interval D, maka orde kekonvergenan dari metode yang diberikan oleh persamaan (13) adalah (1 + 5)/2. Bukti: Misalkan r adalah akar dari persamaan f(x) = 0, maka f(r) = 0. Dengan menggunakan Teorema Taylor [3, h. 184-185], f(x n ) diekspansikan di sekitar r, diperoleh f(x n ) = f(r) + f (r)(x n r) + f (r) 2! (x n r) 2 + f (r) (x n r) 3 +. (14) 3! Misalkan e n = x n r, dan karena f(r) = 0 maka persamaan (14) menjadi ( f(x n ) = f (r) e n + 1 f (r) 2! f (r) e2 n + 1 ) f (r) 3! f (r) e3 n +. (15) Misalkan C k = 1 k! f (k) (r), k = 2, 3,..., maka persamaan (15) menjadi f (r) f(x n ) = f (r) ( e n + C 2 e 2 n + C 3 e 3 n + ). (16) Dengan cara yang sama, f(x n 1 ) diekspansikan di sekitar r adalah f(x n 1 ) = f (r) ( e n 1 + C 2 e 2 n 1 + C 3 e 3 n 1 + ). (17) Repository FMIPA 4
Dari persamaan (16) dan (17) diperoleh f(x n ) f(x n 1 ) = f (r) ( (e n e n 1 ) + C 2 (e n e n 1 ) 2 + C 3 (e n e n 1 ) 3 + ) f(x n ) f(x n 1 ) = f (r)(e n e n 1 ) ( 1 + C 2 (e n e n 1 ) + C 3 (e n e n 1 ) 2 + ). (18) Kemudian persamaan (16), (17), dan (18) disubstitusikan ke persamaan (13), diperoleh (e n + C 2 e 2 n + )(1 + C 2 (e n + e n 1 ) + ) x n+1 = x n (1 + C 2 (e n + e n 1 ) + ) 2 + α (e f (r) n + C 2 e 2 n + ) x n+1 r = x n r 1 + ( 2C 2 + e n + 2C 2 e 2 n + C 2 e n e n 1 + ) α e f (r) n + 2C 2 e n 1 + C2(e 2 n + e n 1 ) 2 + e n + 2C 2 e 2 n + C 2 e n e n 1 + e n+1 = e n ( ) 1 + 2C 2 + e n + 2C 2 e n 1 + α f (r) Kemudian dengan menggunakan identitas deret geometri α C f (r) 2e 2 n +. (19) 1 1 + p = 1 p + p2 p 3 +, ( ) dan dengan memisalkan p = 2C 2 + α e f (r) n +2C 2 e n 1, maka persamaan (19) menjadi e n+1 = e n (e n + 2C 2 e 2 n + C 2 e n e n 1 + ) [ (( 1 2C 2 + α ) ) e f n + 2C 2 e n 1 (r) (( + 2C 2 + = C 2 e n e n 1 + α f (r) ) e n + 2C 2 e n 1 ) 2 + C 2 e n e n 1 e n+1 1 f (r) 2! f (r) e ne n 1. (20) Persamaan (20) merupakan persamaan error metode iterasi baru bertipe secant. Dapat dilihat bahwa persamaan (20) sama dengan persamaan error metode secant, persamaan (3), maka dapat disimpulkan bahwa orde kekonvergenan dari metode iterasi baru bertipe secant sama dengan orde kekonvergenan metode secant, yaitu (1 + 5)/2 (super-linear). ] Repository FMIPA 5
3. CONTOH NUMERIK Pada bagian ini akan dilakukan uji komputasi numerik untuk membandingkan kecepatan kekonvergenan pada metode secant, metode Kanwar, dan metode iterasi baru bertipe secant dalam menghampiri pembuat nol suatu fungsi nonlinear f(x). Dalam hal ini akan dibandingkan banyak iterasi pada ketiga metode tersebut. Adapun fungsi-fungsi yang digunakan dalam simulasi numerik ini adalah sebagai berikut: 1. f 1 (x) = xe x2 sin 2 (x) + 3 cos(x) + 5, 2. f 2 (x) = x 3 2x 5, 3. f 3 (x) = xe x 1, 4. f 4 (x) = xe x cos(x), dan 5. f 5 (x) = sin 2 (x) x 2 + 1. Uji komputasi numerik ini dilakukan dengan menggunakan program Matlab 7.12.0 R2011a dengan M-file dari algoritma masing-masing metode. Dalam uji komputasi numerik ini ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama, yaitu sebagai berikut: 1. jika nilai mutlak dari evaluasi fungsi lebih kecil dari nilai toleransi yang ditetapkan, f(x n+1 ) < T ol, atau 2. jika nilai mutlak dari selisih dua akar hampiran terakhir lebih kecil dari nilai toleransi yang ditetapkan, x n+1 x n < T ol, atau 3. jika iterasi mencapai batas maksimum iterasi. Toleransi yang ditetapkan dalam contoh numerik ini adalah T ol = 1 10 14 dan batas maksimum iterasi yaitu N = 100 iterasi. Untuk lebih jelasnya akan diberikan hasil komputasi dari contoh-contoh fungsi yang telah diberikan. Hasil komputasi disajikan dalam bentuk tabel, yaitu Tabel 1, 2, 3, dan 4. Tabel 1 merupakan tabel yang menyajikan perbandingan hasil komputasi dari ketiga metode terhadap suatu fungsi, tebakan awal, dan α yang diberikan. Sedangkan Tabel 2, 3, dan 4 menyajikan banyaknya iterasi yang diperlukan masingmasing metode dalam menyelesaikan persamaan nonlinear dengan beberapa nilai α yang berbeda untuk setiap fungsi yang diberikan. Dalam uji komputasi numerik ini, penulis melakukan lebih dari satu komputasi dengan nilai α yang berbeda untuk tiap contoh fungsi yang diberikan. Tebakan awal dan nilai-nilai α pada tiap komputasi disesuaikan dengan tebakan awal dan nilai-nilai α yang digunakan oleh Liang Chen [4]. Tabel 1 menunjukkan bahwa walaupun metode secant, metode Kanwar, dan metode iterasi baru bertipe secant memiliki orde kekonvergenan yang sama, yaitu (1 + 5)/2, namun dengan pemilihan nilai α yang tepat, maka metode iterasi baru Repository FMIPA 6
Tabel 1: Tabel perbandingan hasil uji komputasi metode secant, metode Kanwar, dan metode iterasi baru bertipe secant n Metode Secant Metode Kanwar Metode Baru Fungsi Pertama f 1 (x) = xe x2 sin 2 (x) + 3 cos(x) + 5 x 0 = 2, x 1 = 1, dan α = 1.5 1 1.029183018858252 1.029171358151963 1.029171353492676 2 1.265970138123440 1.259356776702817 1.259172014002289 3 1.191816180558071 1.193212979668765 1.193267469903953 4 1.206272129414030 1.206522183962366 1.206530390714403 5 1.207680636106607 1.207672197510306 1.207671928626038 6 1.207647759316507 1.207647785872174 1.207647786625098 7 1.207647827127577 1.207647827129408 1.207647827129452 8 1.207647827130919 1.207647827130919 1.207647827130919 Fungsi Kedua f 2 (x) = x 3 2x 5 x 0 = 0, x 1 = 2, dan α = 1 1 2.500000000000000 3.000000000000000 2.666666666666667 2 2.075471698113208 2.105852885972032 2.092959827262913 3 2.090797847889002 2.098704870018648 2.094137485081141 4 2.094592176226168 2.094579255103107 2.094551868213276 5 2.094551395416533 2.094551546443546 2.094551481452203 6 2.094551481540353 2.094551481543342 2.094551481542327 7 2.094551481542327 2.094551481542327 Fungsi Ketiga f 3 (x) = xe x 1 x 0 = 1, x 1 = 0.5, dan α = 0.5 1 0.720978183977488 0.765231795273617 0.756656010214641 2 0.558959484657928 0.563363081732096 0.563467750293739 3 0.566164540545120 0.566572664565510 0.566610925376964 4 0.567149872369738 0.567145119421773 0.567144947250558 5 0.567143285131550 0.567143289555388 0.567143289687705 6 0.567143290409755 0.567143290409783 0.567143290409783 7 0.567143290409784 Fungsi Keempat f 4 (x) = xe x cos(x) x 0 = 1, x 1 = 4, dan α = 0.5 1 0.969871393627158 1.030847577527160 1.032074112624517 2 0.942052286105882 0.998297571111727 0.999426228537436 3 0.632404221386704 0.668477855834881 0.669280775343288 4 0.550179126855084 0.565527683788190 0.565874268242207 5 0.520664061776671 0.523508487607184 0.523579680521315 6 0.517834946625852 0.517986392878992 0.517990889873143 7 0.517757552231668 0.517758471878467 0.517758507645739 8 0.517757363694706 0.517757363895153 0.517757363906331 9 0.517757363682458 0.517757363682459 0.517757363682459 Repository FMIPA 7
n Metode Secant Metode Kanwar Metode Baru Fungsi Kelima f 5 (x) = sin 2 (x) x 2 + 1 x 0 = 2, x 1 = 1.5, dan α = 20 1 1.433529572007238 1.404091278106579 1.398280884437370 2 1.406493268213552 1.419066980136991 1.403813436507741 3 1.404536254810930 1.404261495956962 1.404491222388942 4 1.404491718080758 1.404611870982579 1.404491648440277 5 1.404491648217783 1.404491379345251 1.404491648215341 6 1.404491648215341 1.404491648180673 7 1.404491648215341 bertipe secant akan lebih unggul dari metode secant dan metode Kanwar dalam hal banyak iterasi yang diperlukan. Pemilihan α dapat mempengaruhi banyak iterasi yang diperlukan metode Kanwar dan metode iterasi baru bertipe secant untuk menyelesaikan suatu persamaan nonlinear, serta jika α = 0 maka metode Kanwar dan metode iterasi baru bertipe secant akan menjadi metode secant. Oleh karena itu, kemudian akan dilakukan uji komputasi dengan beberapa nilai α yang berbeda untuk menunjukkan pengaruh pemilihan α terhadap hasil komputasi dari metode Kanwar dan metode iterasi baru bertipe secant. Tabel 2: Hasil uji komputasi metode secant Fungsi Tebakan Awal x 0 x 1 n x n+1 f(x n+1 ) x n+1 x n f 1 (x) 2 1 8 1.207647827130919 3.55271 10 15 3.34199 10 12 f 2 (x) 0 2 7 2.094551481542327 8.88178 10 16 1.97309 10 12 f 3 (x) 1 0.5 7 0.567143290409784 0 2.84217 10 14 f 4 (x) 1 4 9 0.517757363682458 1.11022 10 16 1.22479 10 11 f 5 (x) 2 1.5 6 1.404491648215341 3.33067 10 16 2.44205 10 12 Repository FMIPA 8
Tabel 3: Hasil uji komputasi metode Kanwar dengan beberapa nilai α Tebakan Awal x 0 = 2 x 1 = 1 x 0 = 0 x 1 = 2 x 0 = 1 x 1 = 0.5 x 0 = 1 x 1 = 4 x 0 = 2 x 1 = 1.5 α n x n+1 f(x n+1 ) x n+1 x n f 1 (x) = xe x2 sin 2 (x) + 3 cos(x) + 5 10 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 5.99520 10 15 2 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 1.14975 10 12 1.5 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 1.51057 10 12 1 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 1.97620 10 12 0.5 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 2.57483 10 12 0.1 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 3.17324 10 12 0.01 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 3.32490 10 12 f 2 (x) = x 3 2x 5 10 11 2.094551481542327 8.88178 10 16 4.61750 10 14 2 7 2.094551481542327 3.57121 10 15 3.67785 10 10 1.5 7 2.094551481542327 8.94953 10 16 1.25990 10 10 1 7 2.094551481542327 8.88178 10 16 1.01519 10 12 0.5 7 2.094551481542327 8.88178 10 16 5.19584 10 13 0.1 7 2.094551481542327 8.88178 10 16 1.68354 10 12 0.01 7 2.094551481542327 8.88178 10 16 1.94467 10 12 f 3 (x) = xe x 1 10 10 0.567143290409784 2.37438 10 19 1.72894 10 12 2 7 0.567143290409784 4.24142 10 16 1.49641 10 10 1.5 7 0.567143290409784 2.56698 10 16 8.20135 10 11 1 7 0.567143290409784 4.87118 10 18 1.45046 10 11 0.5 6 0.567143290409783 3.44169 10 15 8.54395 10 10 0.1 7 0.567143290409784 0 2.17604 10 14 0.01 7 0.567143290409784 0 2.77556 10 14 f 4 (x) = xe x cos(x) 10 12 0.517757363682458 1.11022 10 16 1.21213 10 11 2 10 0.517757363682458 1.11022 10 16 2.34668 10 12 1.5 10 0.517757363682458 1.11022 10 16 1.75748 10 13 1 10 0.517757363682458 1.11022 10 16 8.10463 10 15 0.5 9 0.517757363682459 6.66134 10 16 2.12694 10 10 0.1 9 0.517757363682458 1.11022 10 16 2.29157 10 11 0.01 9 0.517757363682458 1.11022 10 16 1.30582 10 11 f 5 (x) = sin 2 (x) x 2 + 1 10 5 1.404491648215342 2.22045 10 15 5.96594 10 10 2 6 1.404491648215341 3.33067 10 16 5.77316 10 13 1.5 6 1.404491648215341 3.33067 10 16 8.43103 10 13 1 6 1.404491648215341 4.44089 10 16 1.21569 10 12 0.5 6 1.404491648215341 3.33067 10 16 1.73284 10 12 0.1 6 1.404491648215341 4.44089 10 16 2.28173 10 12 0.01 6 1.404491648215341 3.33067 10 16 2.42562 10 12 Repository FMIPA 9
Tabel 4: Hasil uji komputasi metode iterasi baru bertipe secant dengan beberapa nilai α Tebakan Awal x 0 = 2 x 1 = 1 x 0 = 0 x 1 = 2 x 0 = 1 x 1 = 0.5 x 0 = 1 x 1 = 4 x 0 = 2 x 1 = 1.5 α n x n+1 f(x n+1 ) x n+1 x n f 1 (x) = xe x2 sin 2 (x) + 3 cos(x) + 5 10 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 1.11022 10 15 2 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 1.09046 10 12 1.5 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 1.46660 10 12 1 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 1.95066 10 12 0.5 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 2.56639 10 12 0.1 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 3.17280 10 12 0.01 8 1.207647827130919 2.66454 10 15 3.32490 10 12 f 2 (x) = x 3 2x 5 10 9 2.094551481542327 8.88178 10 16 2.95528 10 11 2 8 2.094551481542327 8.88178 10 16 1.90958 10 14 1.5 7 2.094551481542327 8.88178 10 16 8.48166 10 12 1 6 2.094551481542327 8.88178 10 16 9.01235 10 11 0.5 7 2.094551481542327 8.88178 10 16 4.40092 10 13 0.1 7 2.094551481542327 8.88178 10 16 1.67244 10 12 0.01 7 2.094551481542327 8.88178 10 16 1.94467 10 12 f 3 (x) = xe x 1 10 14 0.567143290409784 2.22045 10 16 7.76157 10 12 2 8 0.567143290409784 0 5.27134 10 13 1.5 7 0.567143290409784 2.22045 10 16 8.17009 10 11 1 7 0.567143290409784 0 2.30926 10 14 0.5 6 0.567143290409783 2.55351 10 15 7.22078 10 10 0.1 7 0.567143290409784 0 2.15383 10 14 0.01 7 0.567143290409784 0 2.77556 10 14 f 4 (x) = xe x cos(x) 10 13 0.517757363682458 1.11022 10 16 9.25926 10 14 2 10 0.517757363682458 1.11022 10 16 4.82470 10 12 1.5 10 0.517757363682458 1.11022 10 16 2.86327 10 13 1 10 0.517757363682458 1.11022 10 16 1.06581 10 14 0.5 9 0.517757363682459 6.66134 10 16 2.23872 10 10 0.1 9 0.517757363682458 1.11022 10 16 2.29730 10 11 0.01 9 0.517757363682458 1.11022 10 16 1.30586 10 11 f 5 (x) = sin 2 (x) x 2 + 1 10 5 1.404491648215343 3.55271 10 15 6.11025 10 10 2 6 1.404491648215341 4.44089 10 16 5.95968 10 13 1.5 6 1.404491648215341 4.44089 10 16 8.57980 10 13 1 6 1.404491648215341 4.44089 10 16 1.22502 10 12 0.5 6 1.404491648215341 3.33067 10 16 1.73617 10 12 0.1 6 1.404491648215341 3.33067 10 16 2.28217 10 12 0.01 6 1.404491648215341 3.33067 10 16 2.42562 10 12 Repository FMIPA 10
Berdasarkan hasil uji komputasi numerik yang ditunjukkan oleh Tabel 2, 3, 4, dapat dilihat bahwa pemilihan nilai α dapat mempengaruhi banyaknya iterasi yang diperlukan metode Kanwar dan metode iterasi baru bertipe secant untuk menyelesaikan suatu persamaan nonlinear. Ketiga tabel tersebut juga menunjukkan bahwa ketika nilai α mendekati 0, maka banyak iterasi akan konsisten menuju banyak iterasi yang diperlukan metode secant. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Dr. Syamsudhuha, M.Sc dan Bapak Supriadi Putra, M.Si yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Atkinson, K. E. 1989. An Introduction to Numerical Analysis, Second Edition. John Wiley & Son, Inc., New York. [2] Atkinson, K. E. 1992. Elementary Numerical Analysis, Second Edition. John Wiley & Son, Inc., New York. [3] Bartle, R. G. & D. R. Sherbert. 1999. Introduction to Real Analysis, Third Edition. John Wiley & Son, Inc., New York. [4] Chen, L. 2013. A Family of Improved Secant-like Method with Super-linear Convergence. International Journal of Mathematical, Computational Science and Engineering, 7(4): 144- -147. [5] Kincaid, D. R. & E. W. Cheney. 1991. Numerical Analysis Mathematics of Scientific Computing. Brooks/Cole Publishing Company, California. [6] Kanwar, V., J.R. Sharma, & Mamta. 2005. A New Family of Secant-Like Methods with Super-linear Convergence. Applied Mathematics and Computations, 171: 104- -107. [7] Mathews, J.H. & K.D. Fink. 1999. Numerical Methods Using MATLAB, Third Edition. Prentice Hall, New Jersey. Repository FMIPA 11