PENERAPAN TRANSFORMASI SHANK PADA METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Muliana 1, Syamsudhuha 2, Musraini 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia muliana.math09@yahoo.com ABSTRACT This paper discusses an application of the Shank transformation on Adomian decomposition method to solve a nonlinear equation. Some numerical illustrations are given to show the effectiveness of this method. Numerical results show that the use of this method in solving nonlinear equations is more practical and provide better solutions compared with those obtained by the Adomian decomposition method. Keywords: Adomian decomposition method, Shank transformation, nonlinear equation. ABSTRAK Artikel ini mendiskusikan penerapan transformasi Shank pada metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Melalui perbandingan numerik dengan menggunakan beberapa contoh terlihat bahwa metode ini efektif, lebih praktis dan memberikan hasil yang lebih baik dari solusi yang diperoleh dari metode dekomposisi Adomian. Kata kunci: metode dekomposisi Adomian, transformasi Shank, persamaan nonlinear. 1. PENDAHULUAN Salah satu masalah yang paling mendasar dalam analisis numerik yaitu menemukan solusi dari persamaan nonlinear f(x) = 0. Penyelesaian persamaan nonlinear tersebut dapat dilakukan secara analitik dan dengan menggunakan metode numerik. Secara analitik terkadang sulit untuk menyelesaikan persamaan nonlinear ini. Oleh karena itu, berbagai metode numerik dikembangkan untuk meyelesaikan persamaan tersebut. Salah satu metode numerik yang digunakan adalah metode dekomposisi Adomian [1, 2]. Metode dekomposisi Adomian merupakan metode yang digunakan 1
untuk memperoleh solusi dari persamaan linear maupun nonlinear bahkan yang memiliki orde besar sekalipun [3, 4: hal. 6]. Namun penyelesaian persamaan nonlinear dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian masih lambat mendekati solusi eksak, sehingga dapat dikatakan belum optimal. Oleh karena itu perlu dilakukan modifikasi agar metode dekomposisi Adomian ini menjadi lebih baik. Salah satu modifikasi dilakukan dengan penerapan transformasi Shank. Pada artikel dibagian 2 dibahas metode dekomposisi Adomian, kemudian pada bagian 3 dibahas penerapan transformasi Shank pada metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan nonlinear yang merupakan review dari artikel A. R. Vahidi dan B. Jalalvan [5], dan pada bagian terakhir diberikan beberapa ilustrasi numerik untuk permasalahan ini. 2. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Persamaan nonlinear f(x) = 0 ditulis dalam bentuk seperti di bawah ini x = c+n(x),x R, (1) dengan N(x) adalah suatu fungsi nonlinear dan c suatu konstanta. Metode dekomposisi Adomian terdiri dari perhitungan solusi dalam bentuk deret x = x n, (2) dengan x n adalah perhitungan rekursif dan fungsi nonlinear diuraikan sebagai N(x) = A n, (3) dengan A n adalah fungsi polinomial Adomian yang bergantung pada x o,x 1,x 2,... yang didefinisikan sebagai A n = 1 d n n! dλ n[n( λ i x i )] λ=0,n = 0,1,2,... (4) i=0 Polinomial A n secara umum digunakan untuk semua jenis kenonlinearan [6], dengan mensubstitusikan n = 0, 1, 2,... pada persamaan (4) diperoleh polinomial Adomian 2
sebagai berikut: A 0 = N(x 0 ) A 1 = x 1 N (x 0 ) A 2 = 1 2 x2 1N (x 0 )+N (x 0 )x 2 ) A 3 = x 3 N (x 0 )+x 1 x 2 N (x 0 )+ 1 6 x3 1N (x 0 ) ( ) x A 4 = x 4 N 2 (x 0 )+ 2 2 +x 1x 3 N (x 0 )+ x2 1x 2 2 N (x 0 )+ x4 1 24 N (x 0 ) [ ] A 5 = x 5 N (1) (x 0 )+[x 2 x 3 +x 1 x 4 ]N (2) x1 x 2 2 (x 0 )+ + x2 1x 3 N (3) (x 0 ) 2 2 + x3 1x 2 6 N(4) (x 0 )+ x5 1 120 N(5) (x 0 ) [ ] x A 6 = x 6 N (1) 2 (x 0 )+ 3 2 +x 2x 4 +x 1 x 5 N (2) (x 0 ) [ ] [ x 3 + 2 6 +x 1x 2 x 3 + x2 1x 4 x N (3) 2 (x 0 )+ 1 x 2 2 2 4 ] + x3 1x 3 N (4) (x 0 ) 6. =.. + x4 1x 2 24 N(5) (x 0 )+ x6 1 720 N(6) (x 0 ) Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (2) dan (3) ke persamaan (1), diperoleh x n = c+ A n. (5) Sehingga diperoleh x 0 +x 1 +x 2 +x 3 + = c+a 0 +A 1 +A 2 + Dengan demikian setiap bentuk deret (5) diberikan oleh relasi rekurensi sebagai berikut: x 0 = c x 1 = A 0. =. (6) x n = A n 1 x n+1 = A n. Pada kenyataannya tidak semua bentuk deret (2) dapat dihitung, oleh karena itu 3
solusinya akan didekati dengan cara sebagai berikut: Ω 1 = x 0 Ω 2 = x 0 +x 1 Ω 3 = x 0 +x 1 +x 2. =.. (7) Berdasarkan persamaan (7) deret (2) dapat dihitung dengan deret terpotong yaitu: k 1 Ω k = x n,k = 1,2,... (8) 3. PENERAPAN TRANSFORMASI SHANK PADA METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Pada persamaan (2) terdapat barisan x n dengan n = 0,1,... Akan ditentukan x yang merupakan solusi dari suatu persamaan nonlinear. Kemudian, didefinisikan jumlah parsial x n seperti persamaan (8). Sehingga terbentuk suatu barisan baru Ω k, k N (bilangan asli). Transformasi Shank T(Ω k ) pada barisan Ω k didefinisikan sebagai: T(Ω k ) = Ω k+1ω k 1 Ω 2 k Ω k+1 2Ω k +Ω k 1. (9) Sehingga membentuk barisan baru T(Ω k ). Barisan T(Ω k ) juga konvergen ke solusi eksak. Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa T(Ω k ) konvergen ke x dapat dijelaskan sebagai berikut. Asumsikan bahwa Ω k konvergen ke x, untuk setiap ǫ > 0 terdapat K N sedemikian hingga Ω k x < ǫ, untuk k > K. Dengan kata lain, untuk k > K diperoleh Ω k = x. Akibatnya Ω k+1 juga konvergen ke x maka dapat ditulis Ω k+1 = x untuk k > K. Diketahui dari persamaan (2.19) bahwa Ω k = x 0 +x 1 +x 2 + +x k 2 +x k 1 Ω k 1 = x 0 +x 1 +x 2 + +x k 2 = Ω k x k 1, sehingga diperoleh Ω k 1 = x x k 1. Dengan demikian untuk k > N diperoleh T(Ω k ) x = Ω k+1 Ω k 1 Ω 2 k x Ω k+1 2Ω k +Ω k 1 = x(x x k 1 ) x 2 x x 2x+x x k 1 = 0, 4
maka terbukti bahwa T(Ω k ) konvergen ke x. Peningkatan kecepatan kekonvergenannya dapat diperoleh dengan penggunaan berulang transformasi Shank, dengan menghitung T 2 (Ω k ) = T(T(Ω k )), (10) T 3 (Ω k ) = T(T(T(Ω k ))), (11). =. 4. BEBERAPA CONTOH Contoh 1: Diberikan persamaan nonlinear sebagai berikut: x 3 +4x 2 +8x+8 = 0, (12) dengan solusi eksak x = 2.0000000000. Persamaan nonlinear yang akan diselesaikan dengan metode dekomposisi Adomian ditulis dalam bentuk seperti berikut: sehingga dari bentuk persamaan (1) diperoleh, x = 1 1 2 x2 1 8 x3, (13) c = 1, (14) N(x) = 1 2 x2 1 8 x3. (15) Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan(2) dan(3) ke persamaan(13), maka dapat ditulis sebagai x n = 1+ A n, (16) Dengan demikian setiap bentuk deret (16) diberikan oleh relasi rekurensi seperti pada persamaan (6), yaitu x 0 = c = 1.0000000000 x 1 = A 0 = 1.3750000000 x 2 = A 1 = 0.2343750000 Pendekatan x dilakukan dengan persamaan (8), maka diperoleh solusi pendekatan yang diberikan sebagai berikut: Ω 1 = x 0 = 1.0000000000 Ω 2 = x 0 +x 1 = 1.3750000000 (17) Ω 3 = x 0 +x 1 +x 2 = 1.6093750000 5
Tabel 1: Hasil Penerapan Transformasi Shank pada Ω k, k = 1,2,3 k Ω k T(Ω k ) 1-1.0000000000 2-1.3750000000-2.0000000000 3-1.6093750000 Hasil penerapan tansformasi Shank pada metode dekomposisi Adomian sesuai dengan persamaan (9), diberikan oleh Tabel 1 berikut ini. Tabel 1 menunjukkan bahwa penggunaan metode dekomposisi Adomian dapat dikatakan belum optimal untuk penyelesaian persamaan nonlinear (12), karena pada iterasi ke- 3 masih belum mendekati ke solusi eksak. Diperlukan beberapa iterasi lagi untuk mencapai pendekatan solusi yang lebih baik. Kemudian, dengan penerapan transformasi Shank hanya dengan 3 iterasi pada metode dekomposisi Adomian dapat menghasilkan solusi yang lebih baik, bahkan pada contoh ini solusi yang dihasilkan sama dengan solusi eksak. Contoh 2: Diberikan persamaan nonlinear sebagai berikut: x 2 (1 x) 5 = 0, (18) dengan solusi eksak x = 0.3459550000. Persamaan nonlinear yang akan diselesaikan dengan metode dekomposisi Adomian ditulis dalam bentuk seperti berikut: sehingga dari bentuk persamaan (1) diperoleh, x = 1 5 + 9 5 x2 2x 3 +x 4 1 5 x5, (19) c = 1 5, (20) N(x) = 9 5 x2 2x 3 +x 4 1 5 x5. (21) Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan(2) dan(3) ke persamaan(19), maka dapat ditulis x n = 1 5 + A n, (22) Dengan demikian setiap bentuk deret (22) diberikan oleh relasi rekurensi seperti pada persamaan (6), yaitu x 0 = c = 0.2000000000 x 1 = A 0 = 0.0575360000 x 2 = A 1 = 0.0293663744. 6
x 8 = A 7 = 0.0029695734 Pendekatan x dilakukan dengan persamaan (8), maka diperoleh solusi pendekatan yang diberikan sebagai berikut: Ω 1 = x 0 = 0.2000000000 Ω 2 = x 0 +x 1 = 0.2575360000 Ω 3 = x 0 +x 1 +x 2 = 0.2869023744 (23). Ω 9 = x 0 +x 1 +...+x 8 = 0.3367681263 Tabel 2: Hasil Penerapan Transformasi Shank pada Ω k, k = 1,2,...,9 k Ω k T(Ω k ) T 2 (Ω k ) T 3 (Ω k ) 1 0.2000000000 2 0.2575360000 0.3175163399 3 0.2869023744 0.3315602809 0.3437210311 4 0.3046187343 0.3380776200 0.3449638076 0.3458572895 5 0.3162018670 0.3414259641 0.3454835941 0.3459240284 6 0.3241398201 0.3432604752 0.3457220099 0.3459475831 7 0.3297490836 0.3443116075 0.3458379183 8 0.3337985529 0.3449340673 9 0.3367681263 10 0 10 1 10 2 Ω k T(Ω k ) T 2 (Ω k ) T 3 (Ω k ) eror mutlak 10 3 10 4 10 5 10 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k Gambar 1: Grafik eror mutlak terhadap k dalam jumlah parsial Ω k dan setelah menerapkan transformasi Shank T(Ω k ), T 2 (Ω k ),dan T 3 (Ω k ) 7
Penerapan tansformasi Shank pada metode dekomposisi Adomian diberikan sesuai dengan bentuk persamaan (9), diperoleh solusi pendekatan yang diberikan oleh Tabel 2. Kemudian Grafik eror mutlak terhadap k dalam jumlah parsial Ω k dan setelah menerapkan transformasi Shank secara berulang diberikan pada Gambar 1. Penerapan transformasi Shank pada metode dekomposisi Adomian untuk penyelesaian persamaan nonlinear pada contoh ini dapat menghasilkan solusi yang lebih baik dibandingkan dengan solusi yang diperoleh dari metode dekomposis Adomian tersebut. Contoh 3: Diberikan persamaan nonlinear sebagai berikut: e x x 2 3x+2 = 0, (24) dengan solusi eksak α = 0.2575300000. Penyelesaian persamaan(24) dengan metode dekomposisi Adomian dilakukan dengan cara yang sama pada contoh sebelumnya yaitu merubah bentuk persamaan yaitu: sehingga dari bentuk persamaan (1) diperoleh, x = 2 3 1 3 ex + 1 3 x2, (25) c = 2 3, (26) N(x) = 1 3 ex + 1 3 x2. (27) Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan(2) dan(3) ke persamaan(25), maka dapat ditulis x n = 2 3 + A n, (28) Dengan demikian setiap bentuk deret (28) diberikan oleh relasi rekurensi seperti pada persamaan (6), yaitu x 0 = c = 0.6666666667 x 1 = A 0 = 0.5010965322 x 2 = A 1 = 0.1026246880. x 8 = A 7 = 0.0031094841 Pendekatan x dilakukan dengan persamaan (8), maka diperoleh solusi pendekatan yang diberikan sebagai berikut: Ω 1 = x 0 = 0.6666666667 Ω 2 = x 0 +x 1 = 0.1655701345 Ω 3 = x 0 +x 1 +x 2 = 0.2681948225 (29). Ω 9 = x 0 +x 1 +...+x 8 = 0.2588560040 8
Penerapan tansformasi Shank pada metode dekomposisi Adomian diberikan sesuai dengan bentuk persamaan (9), dengan cara yang sama dengan contoh sebelumnya diperoleh solusi pendekatan yang diberikan oleh Tabel 3. Tabel 3: Hasil Penerapan Transformasi Shank pada Ω k, k = 1,2,...,9 k Ω k T(Ω k ) T 2 (Ω k ) 1 0.6666666667 2 0.1655701345 0.2507499717 3 0.2681948225 0.2522839955 0.2502105040 4 0.2493645728 0.2581801502 0.2586195581 5 0.2659402048 0.2585890826 0.2582882052 6 0.2527308854 0.2574504175 0.2573417009 7 0.2600740385 0.2573511762 0.2574180160 8 0.2557465199 0.2575558967 9 0.2588560000 Penerapan transformasi Shank pada metode dekomposisi Adomian dalam contoh ini belum menghasilkan solusi yang diharapkan lebih mendekati solusi eksak. Namun, penerapan transformasi Shank menghasilkan solusi yang lebih baik dibandingkan dengan solusi yang diperoleh dari metode dekomposisi Adomian. Grafik eror mutlak terhadap k dalam jumlah parsial Ω k dan setelah menerapkan transformasi Shank secara berulang diberikan pada Gambar 2. 10 0 10 1 Ω k T(Ω k ) T 2 (Ω k ) eror mutlak 10 2 10 3 10 4 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k Gambar 2: Grafik eror mutlak terhadap k dalam jumlah parsial Ω k dan setelah menerapkan transformasi Shank T(Ω k ) dan T 2 (Ω k ) 9
Beberapa ilustrasi numerik di atas menunjukkan bahwa penerapan transformasi Shank pada metode dekomposisi Adomian dapat menjadikan metode tersebut menjadi lebih baik, karena dapat dilihat bahwa solusi yang dihasilkan pada metode dekomposisi Adomian masih belum mendekati solusi eksak. Padahal sudah menggunakan banyak iterasi dengan langkah-langkah yang cukup rumit. Oleh karena itu, penerapan transformasi Shank cukup membantu untuk masalah tersebut, karena dengan modifikasi metode pentransformasian Shank hanya cukup menggunakan beberapa iterasi dari metode dekomposisi Adomian saja sudah dapat menghasilkan solusi yang lebih baik. Walaupun penerapan transformasi shank itu sendiri memerlukan langkah-langkah yang cukup panjang untuk pentransformasian berulang, akan tetapi caranya lebih mudah menghitungnnya dibandingkan jika menghitung dengan metode dekomposisi Adomian untuk memperoleh solusi pendekatannya. DAFTAR PUSTAKA [1] Adomian, G. 1991. A Review of The Decomposition Method and Some Recent Results for Nonlinear Equations. Computers Math. Applic, Vol. 21, No.5 101-127. [2] Adomian, G. 1985. A Review of The Decomposition Method in Applied Mathematics. J. Math. Anal. Appl, No. 105, 141-166. [3] Adomian, G. & R. Rach. 1985. On The Solution of Algebraic Equations by The Decomposition Method. J. Math. Anal. Appl, No. 105, 141-166. [4] Adomian G. 1983. Stochastic System. Academic Press, New York. [5] Vahidi, A. R. & B. Jalalvand. 2012. Improving The Accuracy of The Adomian Decomposition Method for Solving Nonlinear Equations. Applied Mathematical Science, Vol.6, No. 10, 487-497. [6] Wazwaz, A. M. 2000. A New Algorithm for Calculating Adomian Polynomials for Nonlinear Operators. Appl. Math. Comput, No. 111, 53-69. 10