PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI D. Rumus Perbandingan Trigonometri di Semua Kuadran Dalam pembahasan sebelumna, kita telah melihat nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa ang besarna kurang dari 9 (dinamakan sudut lancip). Selanjutna akan dibahas nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa ang besarna lebih dari 9. Yang dimaksud sudut istimewa aitu sudut dan sudut kelipatan dan 45. Dalam interval 6 sudut-sudut tersebut dikelompokkan atas empat kuadran, aitu : Kuadran I, akni sudut-sudut ang besarna antara sampai 9 (dinamakan sudut lancip) Kuadran II, akni sudut-sudut ang besarna antara 9 sampai 8 (dinamakan sudut tumpul) Kuadran III, akni sudut-sudut ang besarna antara 8 sampai 7 Kuadran IV, akni sudut-sudut ang besarna antara 7 sampai 6 Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, akni : - Dengan menggunakan aturan pelurus (8 ), (8 + ) dan (6 ) - dengan menggunakan aturan peniku (9 + ), (7 ) dan (7 + ). Untuk nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa dengan menggunakan aturan pelurus dapat dijelaskan sebagai berikut : Q(,) Q' O P' P(, ) Misalkan sebuah lingkaran dengan jari-jari satuan dengan ujung titik P(, ) diletakkan pada Kemudian pada kuadran II terdapat titik Q(, ) pada lingkaran tersebut sehingga segitiga siku-siku OP P dan OQ Q kongruen. Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
Dari segitiga OP P diperoleh nilai : Sin cos tan Dari segitiga OQ Q diperoleh : sin (8 ) sin maka sin (8 ) sin cos (8 ) cos maka cos (8 ) cos tan (8 ) tan maka tan (8 ) tan Sebuah lingkaran dengan jari-jari satuan dengan ujung titik P(, ) diletakkan pada Kemudian pada kuadran III terdapat titik Q(, ) pada lingkaran tersebut sehingga segitiga siku-siku OP P dan OQ Q kongruen. P(, ) Dari segitiga OP P diperoleh nilai : Sin Q' O P' cos Q(, ) tan Dari segitiga OQ Q diperoleh : sin (8 + ) cos (8 + ) tan (8 + ) sin maka sin (8 + ) sin cos maka cos (8 + ) cos tan maka tan (8 + ) tan Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dikuadran IV dapat dijelaskan sebagai berikut : sebuah lingkaran dengan jari-jari satuan dengan ujung titik P(, ) diletakkan pada P(, ) Kemudian pada kuadran IV terdapat titik Q(, ) pada lingkaran tersebut sehingga P' segitiga siku-siku OPP dan OQP kongruen. Q(, ) Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
Dari segitiga OPP diperoleh nilai : Sin cos tan Dari segitiga OQP diperoleh : sin (6 ) cos (6 ) tan (6 ) sin maka sin (6 ) sin cos maka cos (6 ) cos tan maka tan (6 ) tan Berdasarkan uraian di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa dengan menggunakan aturan pelurus untuk sudut-sudut istimewa dalam interval 6 berlaku hubungan : sin (8 α) sin α sin (8 + α) sin α sin (6 α) sin α cos (8 α) cos α cos (8 + α) cos α cos (6 α) cos α tan (8 α) tan α tan (8 + α) tan α tan (6 α) tan α Disamping itu, dengan menggunakan aturan peniku terdapat pula hubungan antara nilainilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, akni sebagai berikut : Q P(, ) sebuah lingkaran dengan jari-jari satuan dengan ujung titik P(, ) diletakkan pada Sehingga pada segitiga siku-siku OPR berlaku : R Sin cos tan cot Dari segitiga siku-siku OPQ diperoleh : sin (9 ) cos maka sin (9 ) cos cos (9 ) sin maka cos (9 ) sin tan (9 ) cot maka tan (9 ) cot Perbandingan dan Fungsi Trigonometri
T(,) S W Q R P(, ) Sebuah lingkaran dengan jari-jari satuan dengan ujung titik P(, ) diletakkan pada Sehingga pada segitiga siku-siku OPR berlaku : Sin cos tan cot Terdapat pula titik T(, ) pada lingkaran ang membentuk segitiga siku-siku OTS sehingga berlaku: sin (9 + ) cos maka sin (9 + ) cos cos (9 + ) tan (9 + ) sin maka cos (9 + ) sin cot maka tan (9 + ) cot S Q R P(, ) Sebuah lingkaran dengan jari-jari satuan dengan ujung titik P(, ) diletakkan pada Sehingga pada segitiga siku-siku OPR berlaku : Sin tan cos cot T(, ) W Terdapat pula titik T(, ) pada lingkaran ang membentuk segitiga siku-siku OTS sehingga berlaku: sin (7 ) cos maka sin (7 ) cos cos (7 ) sin maka cos (7 ) sin tan (7 ) cot maka tan (7 ) cot Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4
Q W S R P(, ) T(, ) Sebuah lingkaran dengan jari-jari satuan dengan ujung titik P(, ) diletakkan pada Sehingga pada segitiga siku-siku OPR berlaku : Sin tan cos cot Terdapat pula titik T(, ) pada lingkaran ang membentuk segitiga siku-siku OTS sehingga berlaku: sin (7 + ) cos maka sin (7 + ) cos cos (7 + ) sin maka cos (7 + ) sin tan (7 + ) cot maka tan (7 + ) cot Berdasarkan uraian di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa dengan menggunakan aturan pelurus untuk sudut-sudut istimewa dalam interval 6 berlaku hubungan : sin (9 α) cos α sin (9 + α) cos α cos (9 α) sin α cos (9 + α) sin α tan (9 α) cot α tan (9 + α) cot α sin (7 α) cos α sin (7 + α) cos α cos (7 α) sin α cos (7 + α) sin α tan (7 α) cot α tan (7 + α) cot α Untuk lebih jelasna akan diuraikan pada contoh soal berikut :. Tentukanlah nilai dari : (a) cos 5 (b) sin 5 (c) tan 4 (d) sec 5 (d) csc (e) cot (a) cos 5 cos (8 ) cos Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 5
(b) sin 5 sin (8 + 45) sin 45 (c) tan 4 tan (8 + 6) tan 6 (d) sin sin (6 6) sin 6 Jadi csc (e) tan tan (8 6) tan 6 Jadi ctg. Jika diketahui cos dan pada kuadran IV maka tentukanlah nilai (a) sin (b) tan (d) sec Jika diketahui nilai cos, maka untuk menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri ang lain, kita menggunakan bantuan segitiga siku-siku. BC BC 8 BC 8 BC B A C Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 6
Sehingga karena pada kuadran IV maka diperoleh : (a) sin (b) tan (c) sec. Tentukanlah nilai dari : 5 (a) cos (b) sin 5 5 (a) cos cos ( 8 ) cos cos (6 6) cos 6 / 7 7 (b) sin sin ( 8 ) 6 6 sin sin (8 + ) sin / (c) tan tan ( 8 ) tan 7 tan (8 + 9) tan 9 tidak ada 7 6 (c) tan Aturan lain ang diambil dari sudut (6 α) adalah aturan sudut negatif. Dimana aturan ang dipakai adalah sebagai berikut: sin (6 α) sin α cos (6 α) cos α tan (6 α) tan α sin ( α) sin α cos ( α) cos α tan ( α) tan α sin ( α) sin α cos ( α) cos α tan ( α) tan α Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri terhadap sudut-sudut ang besarna lebih dari 6 maka digunakanlah aturan periodisitas trigonometri. Nilai sinus dan cosinus akan berulang setiap kelipatan 6 sedangkan nilai tangens akan berulang setiap 8. ini berati sin sin 9 sin 75 dan seterusna. Sehingga dapat dirumuskan : sin (k.6 + α ) sin α cos (k.6 + α ) cos α dimana k adalah bilangan bulat tan (k.8 + α ) tan α Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 7
Namun dalam praktikna aturan periodisitas di atas dapat disederhanakan dengan rumusan : sin (α k.6 ) sin α cos (α k.6 ) cos α tan (α k.6 ) tan α dimana k adalah bilangan asli dan α k.6 Untuk lebih jelasna akan diuraikan pada contoh soal berikut : 4. Tentukanlah nilai dari (a) sin ( 5) 4 (b) cos ( ) (a) sin ( 5) sin 5 sin (6 45) sin 45 4 4 (b) cos ( ) cos 4 cos ( 8 ) cos 4 cos (8 + 6) cos 6 5. Tentukanlah nilai dari (a) cos 9 (b) sin 5 (c) tan 6 (a) cos 9 cos (9 7) cos cos (8 + ) cos (b) sin 5 sin (5 8) sin 5 sin (8 45) sin 45 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 8
(b) tan 6 tan (6 6) tan 4 tan (8 + 6) tan 6 6. Tentukanlah nilai dari (a) sin (b) cos (a) sin sin ( 8) sin 66 sin (66 6) sin sin (6 6) sin6 (b) cos cos ( 8 ) cos cos ( 8) cos cos (8 6) cos6 (c) csc 5 6 (c) sin 5 6 5 sin ( 8) 6 sin 75 sin (75 7) sin Jadi csc 5 6 Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 9