Kata Pengantar Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan YME, bahwa penulis telah menyelesaikan tugas mata kuliah Matematika dengan membahas Numerical Optimization atau Optimasi Numerik dalam bentuk makalah. Dalam penyusunan tugas atau materi ini, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi. Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat sumber-sumber buku yang terdapat di perpustakaan dan bantuan dari berbagai pihak, sehingga kendala-kendala yang penulis hadapi teratasi. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Dosen bidang studi Matematika yang telah memberikan tugas, petunjuk, kepada penulis sehingga penulis termotivasi dan menyelesaikan tugas ini. 2. Kerabat yang telah turut membantu, membimbing, dan mengatasi berbagai kesulitan sehingga tugas ini selesai. Semoga materi ini dapat bermanfaat dan menjadi sumbangan pemikiran bagi pihak yang membutuhkan, khususnya bagi penulis sehingga tujuan yang diharapkan dapat tercapai. Medan, 11 April 2011 Penulis
OPTIMASI NUMERIK 1. Definisi Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum, dalam arti paling menguntungkan. Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi. Jika berkaitan dengan masalah keuntungan, maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi). Jika berkaitan dengan masalah pengeluaran/pengorbanan, maka keadaan optimum adalah keadaan yang memberikan pengeluaran/pengorbanan minimum (minimasi). Nilai maksimum atau minimum dari suatu persamaan: y = f (x) dapat diperoleh pada hargaxyangmemenuhi: y'=f'(x)=dy/dx=df/dx =0 Untuk fungsi yang sulit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang sulit dicari akarnya, proses optimasi dapat dilakukan secara numerik.
Ilustrasi secara Grafik Contoh maksimasi satu variabel: Beberapa istilah Maksimum lokal, maksimum global Minimum lokal, minimum global A unimodal function one hump or one valley
Perbedaan antara persoalan optimasi dengan pencarian/ penentuan akar persamaan: Contoh optimasi dua variabel (maksimasi): Titik optimum
2. Optimasi 1 Variabel Tinjaulah sebuah fungsi dengan satu variabel sbb.: y=f(x) Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi). Dalam hal ini, x yang diperoleh merupakan nilai x optimum fungsi. Beberapa metode yang akan dibahas meliputi: Metode golden section, Metode Newton, Metode interpolasi kuadrat METODE GOLDEN SECTION Golden section merupakan salah satu cara atau metode optimasi numerik yang dapat diterapkan untuk fungsi yang bersifat unimodal. Kedua tipe optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat diselesaikan dengan cara ini. Golden-section (search) method merupakan metode optimasi satu variabel yang sederhana, dan mempunyai pendekatan yang mirip dengan metode bisection dalam penentuan akar persamaan tak linier. Tinjaulah fungsi f(x) yang akan ditentukan maksimum-nya, pada rentang x = xl dan x = xu (perhatikan gambar di bawah ini).
Berdasarkan grafik di atas, secara matematika berlaku: Karena l1/l0=l2/l1, maka l0=l1+l2 Ambil kebalikannya dan definisikan R=l1/l2 ALGORITMA (Kasus Maksimasi): 1. Mulailah dari 2 nilai tebakan awal xl dan xu, yang mengapit titik maksimum. (Perhatikan ilustrasi grafik berikut ini...)
2. Tentukan nilai x1 dan x2 di dalam rentang xl dan xu, sesuai dengan golden ratio (R), yakni sebesar: dengan: 3. Berdasarkan harga f (x) pada 2 titik tersebut (x1 dan x2), maka diharapkan ada sebagian interval yang dapat dieliminasi, sehingga salah satu titik lama bisa dipakai lagi pada evaluasi langkah berikutnya. Jadi hanya diperlukan 1 titik baru. Demikian seterusnya. x1 =xl +d x2 =xu d
Ada 2 kemungkinan kasus, yaitu: (a) Jika: f(x1) > f(x2), maka: domain x antara xl dan x2 dieliminasi Dengan demikian: x2 lama = x1 baru x1 lama = x2 baru xu lama = xu baru x1 baru ditentukan (b) Jika: f(x2) > f(x1), maka: domain x antara x1 dan xu dieliminasi Dengan demikian: x1 lama = xu baru x2 lama = x1 baru xl lama = xl baru x2 baru ditentukan Metode Newton Metode ini menggunakan pendekatan yang sama dengan metode Newton dalam penentuan akar persamaan tak-linier, melalui pendefinisian fungsi: g(x)=f (x) Maka, dapat diperoleh secara iteratif sebagai berikut:
Metode Interpolasi Kuadrat Metode Interpolasi Kuadrat dapat digunakan untuk melakukan optimasi secara numerik. Hal ini disebabkan oleh penggunaan polinomial orde-dua yang menghasilkan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f (x) di dekat titik optimumnya. Jika mula-mula kita mempunyai tiga buah titik tebakan awal (yakni x0, x1, dan x2) yang mengapit titik optimumnya, maka sebuah parabola dapat di-fit-kan melalui ketiganya. Diferensiasikan persamaan yang diperoleh, set hasilnya menjadi sama dengan nol, dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (dalam hal ini sebagai x3) sbb.:
3. Optimasi Banyak Variabel Misal diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabel sbb: Y=f(x1, x2, x3,, xn) Ingin dicari harga x1, x2, x3,..., xn yang memberikan harga y maksimum (maksimasi) atau minimum (minimasi). Pengelompokan metodenya secara garis besar adalah: (1) nongradient methods, dan (2) gradient methods. Beberapa metode yang akan dibahas meliputi: Metode Hooke- Jeeves Metode, steepest ascent (ascending)/ descent (descending), Metode langsung/ random search. METODE HOOKE-JEEVES Prinsip penerapan metode Hooke-Jeeves ini meliputi 2 hal; (1) Eksplorasi nilai xi (i menyatakan indeks variabel x) (2) Mengulangi langkah sukses Optimasi dengan metode Hooke-Jeeves ditunjukkan dalam contoh berikut. Misal ingin dilakukan minimasi dari suatu fungsi: y = (x1 4)^2 + 0,5.(x^2 9)^2+ 3 = f (x1, x2) Sebagai cek, dengan mudah dapat terlihat bahwa minimum terjadi pada x1 = 4, x2 = 9, dan harga ymin = 3. Dalam hal ini dipilih titik awal: x1 = 1 dan x2 = 16, serta interval awal Δx1 = 1 dan Δx2 = 2.
METODE STEEPEST ASCENT /DESCENT
PENCARIAN OPTIMUM: Sebagai ilustrasi, tinjaulah fungsi dua variabel f(x,y) yang akan ditentukan titik maksimumnya. (lihat gambar berikut ini...) Berdasarkan nilai awal x = x0 dan y = y0, dapat ditentukan nilai gradien (atau arah steepest ascent)-nya, yakni sebesar h0. Berdasarkan nilai h0, nilai maksimum fungsi dapat ditentukan, yakni pada titik 1. Demikian seterusnya, proses ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh titik optimum sesungguhnya. Secara numerik: Misal, untuk sebuah fungsi dua variabel: f(x,y) yang akan dicari titik optimumnya, dengan nilai awal: x = x0 dan y = y0, maka pada langkah iterasi pertama, nilai x dan y yang baru dapat ditentukan dengan:
Dalam hal ini, vektor gradien fungsinya dinyatakan sebagai: Nilai x dan y yang diperoleh pada langkah iterasi ini selanjutnya menjadi x0 dan y0 pada langkah iterasi berikutnya. Demikian seterusnya.
Daftar Pustaka James B. Riggs, 1988, An Introduction to Numerical Methods for Chemical Engineers, Texas: Texas Tech University Press, Chapter 6 Steven C. Chapra & Raymond P. Canale, 2003, Numerical Methods for Engineers: With Software and Programming Applications, 4th edition, New York: McGraw-Hill Company Inc, Part Four