OBJECTIVES PENGANTAR-1

Transkripsi

1 6//0 MINIMALISASI BIAYA MENGGUNAKAN GOLDEN SECTION AND HOOK JEEVES METHODS OBJECTIVES Understand why and where optimization occurs in engineering probem soving. Understand the major eements of the genera optimization probem: ( objective function, ( decision variabes, and ( constraints. Be abe to distinguish between inear and noninear optimization, and between constrained and unconstrained probems PUSTAKA James B. Riggs, 988, An Introduction to Numerica Methods for Chemica Engineers, Texas: Texas Tech University Press, Chapter 6 Steven C. Chapra & Raymond P. Canae, 00, Numerica Methods for Engineers: With Software and Programming Appications, th edition, New York: McGraw-Hi Company Inc, Part Four etc. INTRODUCTORY EXAMPLE Persoaan pemiihan diameter pipa untuk mengangkut fuida dari satu proses ke proses yang ain. Diameter pipa optimum, berdasarkan: Biaya investasi, dan biaya operasi $ / year Cost Pipe diamater (in Diameter components,,, pipa mana yang akan Operating Costs Anda piih? Pipe capita costs Pump capita costs Tota PENGANTAR- Definisi optimasi Jenis optimasi: - maksimasi; - minimasi Dua ha penting daam studi optimasi: - fungsi objektif dan decision variabes; - kendaa (constraints Contoh-contoh persoaan optimasi daam bidang Engineering Contoh-contoh constraints yang menyertai persoaan optimasi Definisi dan Jenis Optimasi Optimasi merupakan suatu proses untuk mencari kondisi yang optimum, daam arti paing menguntungkan. Optimasi bisa berupa maksimasi atau minimasi. Jika berkaitan dengan masaah keuntungan, maka keadaan optimum adaah keadaan yang memberikan keuntungan maksimum (maksimasi. Jika berkaitan dengan masaah pengeuaran/pengorbanan, maka keadaan optimum adaah keadaan yang memberikan pengeuaran/pengorbanan minimum (minimasi. Fungsi Objektif Secara umum, fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif (objective function, sedangkan harga-harga yang berpengaruh dan bisa dipiih disebut variabe (perubah atau decision variabe. Secara anaitik, niai maksimum atau minimum dari suatu persamaan: y = f(x dapat diperoeh pada harga x yang memenuhi: y = f (x = 0 Untuk fungsi yang suit untuk diturunkan atau mempunyai turunan yang suit dicari akarnya, proses optimasi dapat diakukan secara numerik. Contoh Persoaan Optimasi daam Bidang Engineering Design pump and heat transfer equipment for maximum efficiency Design waste water treatment system to meet water-quaity standards of east cost Optima panning and scheduing Optima pipeine network Inventory contro Maintenance panning to minimize cost etc. PENGANTAR- Iustrasi maksimasi (secara grafik: Beberapa istiah: Maksimum oka Maksimum goba A unimoda function One hump or one vaey Catatan: Anaog, untuk kasus minimasi

2 6//0 PENGANTAR- PENGANTAR- PENGANTAR- Maksimum dan minimum oka dan goba: Perbedaan antara persoaan optimasi dengan pencarian/ penentuan akar persamaan: Iustrasi grafik optimasi dua variabe: Tinjauah sebuah fungsi dengan satu variabe sbb.: y = f(x Ingin dicari harga x yang memberikan harga y maksimum (maksimasi atau minimum (minimasi. Daam ha ini, x yang diperoeh merupakan niai x optimum fungsi. Beberapa metode yang akan dibahas Metode goden section Metode Newton Metode interpoasi kuadrat dsb. Goden section merupakan saah satu cara atau metode optimasi numerik yang bisa dipakai untuk fungsi yang bersifat unimoda. Kedua tipe optimasi, yaitu maksimasi dan minimasi dapat diseesaikan dengan cara ini. Goden-section (search method merupakan metode optimasi satu variabe yang sederhana, dan mempunyai pendekatan yang mirip dengan metode bisection daam penentuan akar persamaan tak inier. METODE GOLDEN SECTION Tinjauah fungsi f(x yang akan ditentukan maksimumnya, pada rentang x = x dan x = xu (perhatikan gambar di samping., ide dasar metode ini adaah memanfaatkan niai yang ama sebagai niai yang baru. Secara matematik: ALGORITMA (kasus maksimasi: Karena: 0, maka: Ambi kebaikannya dan kemudian definisikan: R atau atau : R R Sehingga: R R 0 Niai akar positifnya : (R biasa disebut sebagai R 0, Goden ration atau goden number ALGORITMA (kasus maksimasi:. Muai dari niai tebakan awa x dan xu, yang mengapit titik maksimum.. Tentukan niai x dan x di daam rentang x dan xu, sesuai dengan goden ratio (R d X u X x x d x x d u. Berdasarkan harga f(x pada titik tersebut (x dan x, diharapkan ada sebagian interva yang dapat dieiminasi, sehingga saah satu titik ama bisa dipakai agi pada evauasi angkah berikutnya. Jadi hanya diperukan titik baru. Ada kasus: (a Jika: f(x > f(x Maka: domain x antara x dan x dieiminasi x ama = x baru x ama = x baru xu ama = xu baru x baru ditentukan (b Jika: f(x > f(x Maka: domain x antara x dan xu dieiminasi x ama = xu baru x ama = x baru x ama = x baru x baru ditentukan

3 6//0 Agoritma untuk kasus minimasi kebaikan dari agoritma untuk kasus maksimasi tersebut di atas. Efektivitas evauasi dengan metode goden section: Misa diinginkan pengecian interva sampai menjadi 0,00 dari semua, maka jumah step yang diperukan (N adaah: (0,68 N = 0,00 N =, Jumah evauasi = + (N x = 6 EXAMPLE : DETERMINING MINIMATION FUNCTION Y = X 8X + KNOWN L XA = LOWER LIMIT (BATAS BAWAH = 0 XB = UPPER LIMIT (BATAS ATAS = TOL = 0.00 (SAMPLE X=XA = 0 YA = (*0 - (8*0 + = X=XB= YB = (* (8* + = XP=XA + ( L * (XB XA = 0 + ( 0.68 * ( 0 =, YP = ( *, (8*, + =, XQ=XA + L*(XB XA = *( 0 =,7 YQ= (*,7 (8*,7 + =, XPNEW=, + ( L*(,7, =,8898 YPNEW=( *,8898 (8*, =,0 XQNEW=, + 0,68*(,7, =,9 YPNEW = (*,9 (8*,9 + =,0 DST Siakan Peajari Contoh Soa METODE NEWTON Metode ini menggunakan pendekatan yang sama dengan metode Newton daam penentuan akar persamaan tak inier, meaui pendefinisian fungsi: g(x = f (x Karena pada kondisi optimum: f '(x* = g (x* = 0 (x* menyatakan niai x optimum maka, niai x* dapat diperoeh secara iteratif sebagai berikut: x i f '( xi xi f "( xi Siakan Peajari Contoh Soa Berikut METODE INTERPOLASI KUADRAT Metode ini dapat digunakan untuk meakukan optimasi secara numerik. Ha ini disebabkan oeh penggunaan poinomia orde-dua yang menghasikan pendekatan cukup baik terhadap bentuk f(x di dekat titik optimumnya. (Perhatikan gambar di samping METODE INTERPOLASI KUADRAT Jika mua-mua kita mempunyai tiga buah titik tebakan awa (yakni x0, x, dan x yang mengapit titik optimumnya, maka sebuah paraboa dapat difit-kan meaui ketiganya. Diferensiasikan persamaan yang diperoeh, set hasinya menjadi sama dengan no, dan perkiraan x optimum dapat ditentukan (daam ha ini sebagai x sbb.: f ( x0( x x f ( x ( x x0 f ( x( x0 x x f ( x0( x x f ( x ( x x0 f ( x( x0 x Penentuan x diakukan secara iteratif, meaui strategi yang sama dengan metode goden section, hingga diperoeh penyeesaian yang konvergen. OPTIMASI BANYAK VARIABEL Misa diketahui sebuah fungsi dengan banyak variabe sbb: y = f(x, x, x,.., xn Ingin dicari harga x, x, x,.., xn yang memberikan harga y maksimum (maksimasi atau minimum (minimasi. Pengeompokan metodenya secara garis besar: ( non gradient methods, dan ( gradient methods Beberapa metode yang akan dibahas: Metode Hooke-Jeeves Metode angsung/ random search Metode steepest ascent (ascending/ descent (descending METODE HOOKE-JEEVES Prinsip metode Hooke-Jeeves: ( Eksporasi niai Δxi ( Optimasi dengan cara Hooke-Jeeves ditunjukkan daam contoh berikut. Misa ingin diakukan minimasi dari suatu fungsi: y = (x + 0,.(x 9 + Sebagai cek, dengan mudah dapat terihat bahwa minimum terjadi pada x =, x = 9, dan harga ymin =. Dipakai cara Hooke-Jeeves dengan titik awa x =, x = 6, serta interva awa Δx = dan Δx =. X X Y Komentar Hooke Jeeves - 6 6, Basis Eksporasi dengan Δ x =, Δ x = Eksporasi dengan Δ x =, Δ x = 0 0 8, 7, 9, 8,,,,, 7,, Hasi Perhitungan

4 6//0 X X Y Komentar Eksporasi dengan Δ x = 0,, x =0,, 0,,8 0, 0,,96 9,6,8 9,,0 8,8,0 Eksporasi dengan Δx = 0, ; x =0,, 9,,06,8 9,,06 9,6,8 8,8,0 Hooke Jeeves - Hasi Perhitungan Hooke Jeeves - X X Y Komentar Eksporasi dengan Δ x = 0,0, Δ x =0,08,0 9,,0,96 9,,0,00 9,8,09,00 9,,007,00 9,0,0008,00 8,96,0008 METODE LANGSUNG (RANDOM SEARCH Sesuai dengan namanya, metode ini secara beruang-uang mengevauasi niai fungsi pada niai-niai variabe bebas tertentu (seected vaues secara acak. Jika banyaknya sampe yang dicoba mencukupi, maka kondisi optimumnya akan teramati. tidak efisien! Metode ini dapat diterapkan untuk fungsi yang discontinuous dan non-differentiabe sekaipun. Pendekatan ini pada umumnya akan menghasikan titik optimum goba (bukan optimum oka Siahkan Peajari Contoh PENCARIAN TITIK OPTIMUM METODE STEEPEST ASCENT/DESCENT Merupakan jenis metode gradien yang paing sederhana. Terminoogi: steepest ascent untuk pencarian maksimum fungsi steepest descent untuk pencarian minimum fungsi Prinsip pencarian optimum: Diakukan serangkaian proses transformasi untuk mengubah sebuah fungsi dengan banyak variabe (mutidimensiona function menjadi sebuah fungsi dengan variabe tungga (one-dimensiona function, berdasarkan gradien arah pencarian. Langkah pencarian optimum ini seanjutnya diakukan secara beruang-uang (iteratif. Sebagai iustrasi, f(x,y tinjauah fungsi variabe f(x,y yang akan ditentukan titik maksimumnya. (ihat gambar di samping Berdasarkan niai awa x = x0 & y = y0, dapat ditentukan niai gradien (atau arah steepest ascent-nya, yakni sebesar h0. Berdasarkan h0, niai maksimum fungsi dapat ditentukan, yakni pada titik. Demikian seterusnya, proses ini diakukan beruang-uang hingga diperoeh titik optimum sesungguhnya. Secara Numerik: Misa, untuk sebuah fungsi variabe: f(x,y yang akan dicari titik optimumnya, dengan niai awa: x = x0 dan y = y0 Pada angkah iterasi pertama, niai x dan y yang baru dapat ditentukan dengan: f x x0 h x x0,y0 and f y y0 y x 0,y0 h f f merupakan turunan parsia fungsi f(x,y and terhadap x dan y x y Daam ha ini, vektor gradien fungsinya dinyatakan sbg: f f f i j x y Pada kasus ini, sebuah fungsi variabe daam x dan y, f(x,y, ditransformasikan menjadi sebuah fungsi satu variabe daam h, g(h. Niai x dan y yang diperoeh pada angkah iterasi ini seanjutnya menjadi x0 dan y0 pada angkah iterasi berikutnya. Demikian seterusnya. Siahkan Peajari Contoh Contoh Apikasi: LOKASI OPTIMUM PENGOLAH LIMBAH TERPADU Sejumah N pabrik dengan posisi koordinat masing-masing (xi,yi menghasikan imbah masing-masing sejumah Qi. Akan dibangun suatu unit pengoah imbah terpadu untuk seuruh pabrik tersebut. Ongkos pengangkutan imbah dari pabrik ke unit pengoah imbah berbanding urus dengan debit pangkat 0,6. Ingin ditentukan posisi (koordinat unit pengoah imbah agar ongkos pengangkutan imbah minimum. Anaisis: 0,6 H arg a k( jarak( debit Misa: Lokasi pengoah imbah berada di titik P (xp, yp Jarak pabrik (xi,yi ke okasi pengoah imbah: di ( xp xi ( yp yi Ongkos transport dari pabrik (xi, yi: 0,6 Ci k. Qi ( xp xi ( yp yi Ongkos transport tota: Dicari niai xp dan yp yang memberikan niai CT minimum. Misa: Dimisakan pua: niai k =

5 6//0 OPTIMASI FUNGSI VARIABEL SECARA ANALITIK (sebuah perbandingan Tinjauah sebuah fungsi variabe: f(x,y Kriteria optimumnya dapat dibagi menjadi kategori: f(x,y mempunyai minimum oka: jika det(h > 0 dan f(x,y mempunyai maksimum oka: jika det(h > 0 dan f(x,y mempunyai titik beok (sadde point: jika det(h < 0 det(h merupakan niai determinan matriks Hessian yang dinyatakan sebagai