I PENDAHULUAN Latar Belakag Secara mm prodk asras memerlka peghtga prem Prsp peghtga prem saat semak berkembag dega berbaga pedekata Pedekata palg sederhaa adalah prsp la harapa yat prem bersh sama dega la harapa klam dkalka kostata tertet Dalam meetka harga prem asras dsaraka meggaka mome orde tertgg dar sebara klam ata meggaka teor tltas Keyataaya, sema prsp gagal tk meghtg sfat kompettf alam dar peeta harga asras (Emms & Haberma 5) Pejelasa megea permodela prem asras yag hars dtetka d pasar yag kompettf da reaks mereka terhadap perbaha prem yag dtawarka persahaa kompettor sagat sedkt dbahas dalam lteratr asras Walap faktaya bahwa skls pertaggga pada o-lfe srace yag dkeal sekarag da aalss objektf dperlka tk mermska strateg pertaggga dega bak dbadgka dega megkt tred (Emms & Haberma 5) Kebjaka persahaa asras dpegarh oleh harga yag dtawarka oleh persahaa la Selama skls pertaggga, masg-masg persahaa asras megkt pasar Ketka prem pasar mer maka prem persahaa asras jga mer Sebalkya ketka prem pasar megalam pegkata maka prem persahaa asras jga megkat (Emms & Haberma 5) Harga prem relatf yag lebh redah meghaslka resko d dalam pasar asras pada ketga yag lebh redah tk persahaa asras Prem adalah sebah betk yag dtetapka dalam paya megoptmmka kekayaa dega cara mejal asras sesa permtaa Secara mplst, strateg masg-masg persahaa asras tdak mempegarh pasar Hal mask akal sepajag persahaa asras relatf kecl dbadg dega kra pasar (Emms & Haberma 5) aylor (986) megasmska bahwa kompets dapat memberka pegarh pada strateg prem persahaa asras aylor meelt perbaha drasts tgkat prem yag dtawarka oleh persahaa asras d pasar asras Astrala Harga asras setelah kejada becaa besar, msalya becaa alam, serg dkt oleh perode tgkat prem yag lebh tgg da memperhtgka ketga Masg-masg persahaa asras cederg megkt pasar darpada harga asras berdasarka predks sebara klam Permasalaha membawa ke sat model formlas yag berdasarka permtaa da sebara klam aylor meggaka model determstk dskret Sebelmya telah dbat secara mm pedekataya meggaka model stokastk kot, dega aalssya meggaka teor kotrol optmm (Emms & Haberma 5) ja Adap tja dar karya tls adalah meemka strateg prem asras optmal yag memaksmmka kekayaa akhr persahaa asras dega strateg determstk II LANDASAN EORI Utk memaham peeta la mm asras meggaka teor kotrol optmm, berkt dberka beberapa defs da teorema-teorema yag berkata d ataraya Asras da Pols Asras Defs (Asras) Asras adalah sat kotrak atara da phak dega sat phak meyetj tk meggat kerga dar phak la Phak yag meyetj meggat kerga dsebt peaggg da phak yag megalam kerga dsebt tertaggg Phak tertaggg membayar klam pembayara yag dsebt prem kepada phak peaggg (Dorfma 4)
Defs (Pols Asras) Pols asras adalah kotrak asras atara phak peaggg da phak tertaggg (Dorfma 4) Barsa da Deret Defs (Barsa akhgga) Barsa takhgga adalah sat ssa blaga yag dtlska dalam sat rta tertet a, a, a3,, a Barsa a, a, a, dapat dyataka dega 3 a (Stewart 999) Defs (Deret akhgga) Deret takhgga adalah pejmlaha sk-sk dar sat barsa takhgga a yat a a a3 a da dotaska dega a ( Stewart 999) Defs (Deret aylor) Fgs f sebarag d a (ata d sektar a ata yag berpsat d a) dsebt deret aylor jka memeh persamaa ( ) f ( a) f ( x) ( x a)! () () f ( a) f ( a) f ( a) ( x a) ( x a)!! Bkt: lhat Stewart 999, hal 88 (Stewart 999) 3 Persamaa Dferesal Orde Sat Defs 3 (Persamaa Lear Orde Sat) Persamaa lear orde sat dapat dtls sebaga berkt dy a( x) a( x) y F( x), dx dega a( x), a( x), da Fx ( ) adalah fgs tertet yag ddefska pada terval tertet I Dasmska bahwa a ( x) tk sema x I, kemda masg-masg ras dbag oleh a ( ) x da mels lag persamaa mejad y p( x) y f ( x) dega p( x) a( x) a( x) da f ( x) F( x) a( x) Dasmska bahwa p(x) da f(x) adalah kot tk x pada terval I Persamaa mempya sols mm yat y( x) e f ( x) e x ce ax ax ax Bkt: lhat Farlow 994, hal 3-3 (Farlow 994) 4 Proses Stokastk Defs 4 (Proses Stokastk) Proses stokastk X { X ( t), t } adalah sat hmpa dar pebah acak yag memetaka sat rag cotoh Ω ke sat rag state S (Ross 7) 5 Proses Markov Defs 5 (Proses Markov) Proses Markov adalah sat proses acak yag pelag la yag aka datag dtetka oleh la saat Sat proses stokastk x(t) dsebt Markov jka tk setap da t <t <t maka P( x( t ) x x( t ),, x( t )) P( x( t ) x x( t )) Karea t <t <t maka persamaa ekvale terhadap P( x( t ) x x( t), t t ) P( x( t ) x x( t )) (Papols 984) 6 Persamaa Beroll Defs 6 (Persamaa Beroll) Persamaa dferesal basa berbetk y ' P( x) y Q( x) y dsebt persamaa Beroll saat, Persamaa Beroll khss karea merpaka persamaa dferesal tak lear dega dketah sols eksakya (Farlow 994) 7 Persamaa Rccat Defs 7 (Persamaa Rccat) Persamaa mm Rccat dberka oleh d y ( x) a ( x) y ( x) b ( x) y ( x) c ( x) dx mempya sols dalam betk prosedr ft d d y x b b a c b b a c a d x a d x ( ) ( 4 ( ( ( 4 ( ())))))
3 Prosedr yag djelaska d atas dapat dekspreska dalam betk teras y ( x) [ b ( x) b ( x) 4 a ( x) c ( x)] a( x) da dy y x b x b x a x c x a ( x) d x ( ) [ ( ) ( ) 4 ( ) ( ( ) ], (Agew RP 96) Berkt dberka beberapa defs megea dasar dar kotrol optmm 8 Masalah Kotrol Optmm Defs 8 (Masalah Kotrol Optmm) Masalah kotrol optmm adalah memlh pebah kotrol (t) d atara sema pebah kotrol yag admssble, yat kotrol yag membawa sstem dar state awal xt ( ) pada wakt t kepada state akhr x ( ) pada wakt akhr, sedemka sehgga memberka la maksmm ata la mmm tk fgsoal objektf Fgsoal objektf adalah fgs dar beberapa fgs laya tk memaksmmka ata memmmka sat permasalaha ( 983) 9 State Sstem Damk da Pebah Kotrol Defs 9 (State Sstem Damk da Pebah Kotrol) State ata keadaa sstem damk adalah koleks dar x( t) ( x( t), x( t),, x ( t)) yag apabla dberka sat la pada wakt t t, maka laya aka dapat dtetka pada t t melal plha vektor pebah kotrol ( t) ( ( t), ( t),, ( t)) Vektor xt () dsebt vektor pebah state sedagka x () t dsebt pebah state tk (, t t ) Rag state adalah rag dmes yag memat koordat x () t d maa State sat sstem kot pada wakt t dyataka dalam betk sstem persamaa dferesal yat x ( t) f [ x( t), ( t), t] sedagka state sat stem dskret dyataka dalam sstem persamaa beda yat x( k ) f [ x( k), ( k), k] Sstem jga dapat berbetk determstk da stokastk Pebah kotrol adalah pebah yag memegarh sat sstem dlambagka dega () t dega (, t t ) Secara mm, kedala pebah kotrol dyataka dega persyarata bahwa pebah kotrol hars dplh dar kmpla kotrolkotrol yag admssble, yag dlambagka ( t ( )), artya kotrol ( t) ( ( t)) Apabla kotrol t () haya fgs dar t, maka dsebt kotrol ope-loop da apabla kotrol t () jga merpaka fgs dar pebah state xt () yat ( t) [ x( t), t], maka dsebt kotrol closed-loop ( 983) Reachablty, Cotrollablty, da Observablty Defs (Reachablty, Cotrollablty, da Observablty) Sat keadaa x dkataka dapat dcapa (reachable) dar sebarag keadaa x pada wakt t jka kotrol ( ) ( ( )) dapat dtemka sedemka sehgga x(, x, t ) x tk wakt t t Koleks dar sema x tersebt dsebt reachable state pada wakt t Istlah cotrollablty merjk pada keyataa bahwa beberapa state termal x dapat dcapa dar state awal x dega plha kotrol t () yag tepat, ( ) ( ( )) Jad, cotrollablty merpaka syarat perl tk adaya sat sols Observablty adalah kemampa tk meetka state awal x dar observas data da otpt Otpt meyataka hbga atara pebah state dega pebah kotrol, msalya y( t) g[ x( t), ( t), t] ( 983) Fgsoal Objektf Defs (Fgsoal Objektf) Pebah kotrol t () hars dplh dalam ragka memaksmmka ata memmmka fgsoal objektf J[ ( t )], yat J[ ( t)] f( x( t), ( t), t) dt, dega f adalah fgs berla real t
4 Secara mm, terdapat tga alteratf tk meyajka formlas fgsoal objektf, yat: Formlas Bolza Formlas fgsoal objektf betk Bolza merpaka formlas yag lebh mm J[ ( t)] S[ x( ), ] f ( x( t), ( t), t) dt, dega f da S adalah fgs kot yag dapat dtrka Fgs S[ x( ), ] dkeal dega fgs scrap vale pada wakt termal Formlas Lagrage Formlas Lagrage adalah betk khss dar formlas Bolza dega S[ x( ), ], yat t t J[ ( t)] f ( x( t), ( t), t) dt 3 Formlas Mayer Formlas Mayer jga merpaka betk khss dar formlas Bolza, dega t f ( x( t), ( t), t) dt, yat J[ ( t)] S[ x( ), ] Dega medefska kembal pebahpebahya, maka ketga Bolza dapat dkoverska mejad formlas Mayer dega medefska pebah tambaha x () t sebaga x ( t) f ( x,, ) dt, x ( t) t t aka meghaslka J x ( ) [ ( ), ] t S x ( 983) Formlas Masalah Kotrol Optmm Defs (Formlas Masalah Kotrol Optmm) Msalka U meyataka hmpa dar sema fgs yag kot sesepeggal (pecewse) Masalah kotrol optmm adalah masalah meetka fgs kotrol (t) d atara fgs admssble (t) yag membawa sstem dar state awal x kepada state akhr / termal x yag memeh kods akhr / termal, melal x ( t) f ( x( t), ( t), t) sehgga fgsoal J mecapa la maksmm Dega perkataa la, masalah kotrol optmm adalah memaksmmka fgsoal objektf () t U max J[ ( t)] S x( ), f ( x( t), ( t), t) terhadap kedala x ( t) f ( x( t), ( t), t); x( t) x, x( t) R ( 983) Berkt adalah syarat perl kotrol optmm t 3 Prsp Maksmm Potryag eorema 3 (Prsp Maksmm Potryag) Msalka (t) sebaga kotrol admssble yag membawa state awal ( x( t ), t ) kepada target state termal ( x( ), ), dega x ( ) da secara mm tdak dtetka Msalka x () t merpaka trajektor ata ltasa dar sstem yag berkata dega (t) Spaya kotrol (t) merpaka kotrol optmm adalah perl terdapat fgs vektor p ( t), sedemka sehgga p () t da x () t merpaka sols dar sstem kaok H x ( t) ( x ( t), ( t), p ( t), t) p H p ( t) ( x ( t), ( t), p ( t), t) x dega fgs Hamltoa H dberka oleh H( x,, p, t) f( x( t), ( t), t) p f ( x( t), ( t), t) H( x ( t), ( t), p ( t), t) H( x( t), ( t), p( t), t) 3 Sema syarat batas terpeh H( x ( t), ( t), p ( t), t) H( x( t), ( t), p( t), t) dsebt Prsp Maksmm Potryag Kods dpeh oleh H da H Jka U da U hmpa terttp, maka H tdak memlk art, kecal maksmm dar H dberka oleh baga dalam hmpa U Jka H fgs mooto ak dalam pebah, da U terttp, maka kotrol optmm adalah da m max tk masalah memaksmmka tk masalah memmmka Hal jga berlak apabla H adalah fgs lear dalam Sehgga pebah kotrol optmm adalah kotrol baga da locat dar sat
verteks ke verteks yag laya I adalah kass khss dar kotrol bag-bag Syarat ckp mecakp H( x ( t), ( t), p ( t), t) H( x( t), ( t), p( t), t) Vektor p dsebt jga vektor adjo yag memlk peraa sebaga pegal Lagrage Dalam masalah optmsas dams, pebah ata vektor adjo merpaka shadow prce dar vektor ata pebah x, mejkka jmlah keaka/pera tk setap keaka/pera dalam la x pada wakt t yag berkotrbs terhadap fgsoal objektf optmm J Sedagka p sebaga tgkat keaka (apresas tk p ), ata pera (depresas tk p ) dalam la dar tap t modal Nla dar sat dh H Syarat perl dt t tk masalah kotrol optmm adalah p H x, H, x Hp Syarat batas dberka oleh persamaa t t t t t tt ( S p ) x [ H ( t ) S ] t x Apabla scrap S=, maka persamaa mejad t t p ( t ) x ( t ) H ( t ) t tt tt Khssya jka wakt awal t da xt ( ) telah dtetka, sedagka da x ( ) belm dtetka, maka syarat batas mejad p( ) x( ) H( ) Bkt: lhat 983, hal 4-8 ( 983) 4 Kotrol Optmm Lear Defs 4 (Kotrol Optmm Lear) Masalah kotrol optmm lear adalah masalah kotrol optmm dega fgs Hamltoa merpaka fgs lear dar pebah kotrol Sfat lear tersebt dapat mcl pada Hamltoa karea fgs objektf da ata fgs kedala merpaka fgs lear dar pebah kotrol Secara mm, fgs Hamltoa dalam betk lear dapat dtlska dalam betk berkt : H ( x, p, t) ( x, p, t) ( t) dega ( x, p, t) meyataka kmpla koefse dar t () yag dsebt sebaga swtchg fcto da ( x, p, t) merpaka kmpla koefse yag tdak memat t () Secara mm, tk kotrol yag tdak boded, kotrol ekstremm tdak ada Jka kotrol terbatas maka kotrol ekstremm tersebt aka terdapat pada batas-batasya Msalka berbatas, tk sema, m M, dega m da M bertrttrt merpaka la mmm da maksmm yag dapat dcapa oleh Apabla m da M merpaka kostata maka dapat dtls sebaga Dega meerapka prsp maksmm Potryag pada masalah tersebt dperoleh kotrol optmm berkt jka jka Jad, jka t () mcl lear dalam fgs Hamltoa da tap kompoe terbatas, maka kotrol optmm () t tak kot : locat dar la mmm ke la maksmm ata sebalkya sebaga respos terhadap perbaha tada dar Dega kata la, ( x, p, t) dsebt sebaga kotrol bag- da kotrol bag dsebt sebaga swtchg fcto ( 983) III HASIL DAN PEMBAHASAN 3 Formlas Model Exposre adalah kemgka kergakerga yag bsa terjad atas sat rsko dsebabka oleh keadaa lgkga sektar Msalya pada asras kedaraa, exposre adalah tah kedaraa, tarff prem adalah rpah per tah kedaraa Pada wakt t, q adalah exposre, p adalah tarf prem (per t exposre), p adalah tarf prem rata-rata pasar (per t exposre), π adalah rata-rata klam ata tgkat break-eve (per t exposre), w adalah kekayaa persahaa asras Berdasarka model dar aylor