1 Posisi, kecepatan, dan percepatan

1 Posisi, kecepatan, dan percepatan Posisi suatu benda pada suatu waktu t tertentu kita tulis sebaai r(t). Jika saat t = t 1 benda berada pada posisi r 1 r(t 1 ) dan saat t = t 2 > t 1 benda berada pada r 2 r (t 2 ), maka perpindahan yan dialami oleh benda adalah Jika kita menyatakan posisi benda dalam koordinat Kartesian, maka perpindahan benda dapat jua dinyatakan sebaai r = r 2 r 1. (1) r = î + y ĵ + z ˆk, (2) r = î + y ĵ + z ˆk (3) Denan menetahui perpindahan ( r) benda untuk selan waktu t tertentu, kita dapat menentukan kecepatan rata-rata benda denan besaran-besaran v = r t = t î + y t ĵ + z t ˆk v = t, = v î + v y ĵ + v z ˆk, (4) v y = y t, v z = z t, (5) secara berurutan adalah komponen-komponen kecepatan rata-rata yan sejajar denan sumbu, y, dan z. Pada baian ini, kita menunakan notasi kurun... untuk besaran rata-rata, yan sebelumnya kita tuliskan denan notasi overbar (misalnya v dan ā). Jika kita menukur kecepatan benda untuk selan waktu yan cukup kecil, t, maka kita dapat memperoleh kecepatan sesaat benda, denan r v = lim t t = d r = v î + v y ĵ + v z ˆk, (6) v = d, v y = dy, v z = dz, (7) secara berurutan adalah komponen kecepatan sesaat pada arah sumbu, y, dan z. Percepatan rata-rata ditentukan denan menukur perubahan kecepatan benda pada selan waktu t tertentu, denan besaran-besaran a = v t = v t î + v y t ĵ + v z ˆk t = a î + a y ĵ + a z ˆk, (8) a = v t, a y = v y t, a z = v z t, (9) secara berurutan adalah komponen-komponen percepatan rata-rata yan sejajar denan sumbu, y, dan z. Kecepatan sesaat diperoleh denan menambil selan waktu yan cukup sinkat t, denan a = dv = d2 2, a(t) = d v = d2 r 2 = a î + a y ĵ + a z ˆk, (1) a y = dv y = d2 y 2, a z = dv z = d2 z 2. (11) update: 28 Austus 217 halaman 1

2 Gerak parabola Sebaai contoh untuk erak dalam dua dimensi, marilah kita tinjau erak yan dialami oleh sebuah benda yan menalami erak parabola di atas permukaan bumi. Untuk memudahkan, kita akan menerapkan koordinat Kartesian denan bidan y berada di permukaan bumi dan arah teaklurus ke atas permukaan bumi sebaai sumbu-z. Selain itu, arah horizontal erakan benda kita ambil sebaai sumbu-, sehina pada akhirnya benda hanya bererak pada bidan z. Mula-mula benda dilemparkan dari titik asal koordinat O denan sudut elevasi θ terhadap sumbu-. Jika kecepaan awal benda tersebut adalah v, maka kecepatan ini dapat diuraikan dalam komponen-komponen yan sejajar sumbu- dan z adalah v = v, î + v,z ˆk = v cos θ î + v sin θ ˆk. (12) Karena benda menalami percepatan ravitasi sebesar ke bawah, maka sehina kecepatan benda setiap waktu adalah denan v = v + t a = ˆk, (13) a = v cos θ î + (v sin θ t) ˆk = v (t) î + v z (t) ˆk, (14) v (t) = v cos θ, v z (t) = v sin θ t. (15) Interasi kecepatan terhadap waktu akan menhasilkan posisi benda, r = î + z ˆk = t t t v = v cos θ î + (v sin θ t) ˆk = v t cos θ î + (v t sin θ 12 ) t2 ˆk = (t) î + z(t) ˆk, (16) denan (t) = v t cos θ, z(t) = v t sin θ 1 2 t2. (17) Lintasan erak benda pada bidan z diperoleh denan mendapatkan nilai t dan persamaan untuk di atas, yaitu t = v cos θ, (18) ke persamaan untuk z, sehina diperoleh z = tan θ 2v 2 cos θ 2. (19) Terlihat bahwa lintasan benda berbentuk parabola, karena menandun funsi kuadrat dalam. Ketinian maksimum benda terjadi saat kecepatan vertikal benda bernilai nol, v z (t) =, atau v sin θ t = t = v sin θ t m. (2) Substitusi nilai t ini ke persamaan posisi, diperoleh z m = z(t m ) = v t m sin θ 1 2 t2 m = v2 sin2 θ. (21) 2 update: 28 Austus 217 halaman 2

Jankauan (yaitu jarak mendatar maksimum yan dicapai benda) dicapai ketika benda telah kembali ke permukaan tanah, z(t) =, atau z(t) = v t sin θ 1 2 t2 = t = 2v sin θ t R. (22) Substitusi nilai t tersebut ke persamaan posisi, diperoleh R (t R ) = 2v sin θ cos θ = v sin 2θ. (23) Terlihat bahwa selain terhadap laju awal, jankauan erak parabola jua berantun pada sudut elevasi benda. Nilai sudut elevasi yan menhasilkan jankauan palin besar didapat denan memanfaatkan kalkulus, dr dθ = 2v cos 2θ = θ = π/2. (24) 2.1 Lemparan yan selalu menjauh Selain ketinian maksimum dan jankauan, kita jua dapat menentukan jarak benda terhadap titik awal pelemparan. Denan penetahuan tentan vektor yan telah kita miliki serta posisi benda tiap waktu yan telah kita dapatkan sebelumnya, dapat dituliskan jarak tersebut sebaai r = r r = (t) 2 + z(t) 2 = t v 2 v sin θ t + 1 4 2 t 2. (25) Dapat dibuktikan bahwa saat t = t R, diperoleh r = R. Jika kita inin aar benda yan dilempar selalu menjauhi titik awal pelemparan, maka kita harus menjamin aar jarak tersebut selalu membesar seirin waktu, atau d r(t) >. (26) Meninat bahwa r(t) yan selalu naik jua menakibatkan r(t) 2 selalu naik, maka syarat di atas dapat kita modifikasi sebaai d r(t) 2 = d ( r r) = 2 v r >. (27) Jadi, benda akan selalu menjauhi titik pelemparan jika kondisi v r > terpenuhi. Pada pembahasan tentan vektor, kita memahami v r sebaai perkalian antara vektor posisi r denan komponen kecepatan v yan sejajar r. Artinya, selama benda masih memiliki komponen kecepatan yan sejajar denan posisinya, maka dijamin v r > sehina jarak benda terhadap titik awal pelemparan akan selalu bertambah jauh. Syarat di atas dapat diselesaikan secara lansun denan memanfaatkan persamaan (25) untuk menentukan d r(t) 2 = d {t (v 2 2 v sin θ t + 14 )} 2 t 2 >, (28) atau menunakan persamaan (16) dan (14) untuk mendapatkan solusi dari v r = v + zv z >. (29) Baik cara pertama maupun kedua menhasilkan syarat yan sama, 2v 2 3v sin θ t + 2 t 2 >. (3) Untuk menjamin pertidaksamaan tersebut berlaku pada semua t, maka diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut haruslah bernilai neatif, ( 3v sin θ) 2 4 ( 2) (2v ) = 9v 2 2 sin 2 θ 8v 2 2 <. (31) update: 28 Austus 217 halaman 3

Hasil terakhir memberi kita sin θ < 8 9 θ 1, 23 rad 7, 53. (32) Jadi, aar benda yan dilempar selalu menjauhi titik awal pelemparan, untuk berapapun kecepatan awal benda, sudut elevasinya haruslah kuran dari 1,23 radian (atau sekitar 7,53 ). 2.2 Gerak parabola di bidan mirin Setelah membahas erak parabola benda di permukaan bumi, mari meninjau erak parabola benda di bidan mirin. Tinjau sebuah bola yan dilemparkan dari dasar bidan mirin denan kecepatan awal v dan sudut elevasi α (terhadap bidan mirin). Jika sudut kemirinan bidan mirin adalah θ, tentukanlah: a. jankauan benda (R) pada bidan mirin untuk nilai α tertentu, b. nilai α aar diperoleh jankauan maksimum, c. nilai α aar setelah menumbuk bidan mirin secara elastik sempurna bola dapat kembali ke posisi awalnya melalui lintasan yan sama denan ketika sebelum menumbuk bidan mirin. 3 Gerak melinkar 3.1 Sistem koordinat polar Pada kuliah sebelumnya, kita selalu menunakan sistem koordinat Kartesian untuk menambarkan lintasan partikel yan bererak. Koordinat Kartesian mudah diunakan saat menambarkan erak linear partikel, namun sedikit merepotkan saat diunakan untuk meninjau erak melinkar 1. Posisi suatu titik (misal P ) dalam koordinat polar dinyatakan oleh notasi (r, θ), denan r menyatakan jarak partikel dari suatu titik acuan (titik asal/oriin, misal disebut O) dan θ menyatakan sudut antara suatu sumbu acuan yan melalui O dan aris yan menhubunkan O denan P. Vektor satuan untuk koordinat polar kita simbolkan denan {ˆr, ˆθ}. Gambaran untuk r, θ, ˆr, dan ˆθ diberikan oleh ambar berikut (ambar kiri). Vektor posisi titik P dinyatakan denan simbol r dan diambarkan denan panah warna biru. Panjan vektor tersebut adalah r. Sudut θ adalah sudut yan dibentuk oleh vektor r terhadap sumbu- positif. Hal yan menarik dari koordinat polar adalah arah vektor-vektor satuan ˆr dan ˆθ selalu berubah menikuti posisi titik P. Arah vektor ˆr sama denan vektor r, sedankan arah ˆθ teaklurus ˆr dan searah denan arah bukaan 2 sudut θ. Posisi dari titik P, dapat dinyatakan sebaai r P = r = rˆr. (33) 1 Walaupun tentu saja, kejadian fisis yan terjadi tidak berantun sistem koordinat. Benda yan yan bererak melinkar tetap akan bererak melinkar, baik dilihat melalui sistem koordinat polar maupun Kartesian 2 ini bukan istilah standar update: 28 Austus 217 halaman 4

^θ y ^r P Gambar 1: Kiri: besaran-besaran dalam koordinat polar. Kanan: uraian vektor-vektor satuan koordinat polar ke komponen-komponennya (warna hijau). Hubunan antara koordinat polar dan Kartesian dapat diperoleh denan menerapkan trionometri untuk sudut θ. Hasilnya, P = r cos θ dan y P = r sin θ. (34) Vektor-vektor satuan ˆr dan ˆθ jua dapat diuraikan dalam vektor-vektor satuan koordinat Kartesian î dan ĵ sebaai berikut (perhatikan ambar kanan dan inat ˆr = 1), ˆr = cos θ î + sin θ ĵ dan ˆθ = sin θ î + cos θ ĵ. (35) Latihan: buktikan dˆr dθ = ˆθ dan dˆθ dθ = ˆr. 3.2 Posisi, kecepatan, dan percepatan erak melinkar Anaplah suatu partikel yan mula-mula berada di titik P lalu bererak melinkar menikuti lintasan berwarna unu pada ambar 2. Posisi partikel tersebut akan berubah terhadap waktu. Jika jari-jari lintasan partikel selalu tetap, maka besaran yan berubah dari posisi partikel adalah tersebut adalah θ, sedankan r nilainya tetap. Karena vektor-vektor satuan berantun pada θ (lihat persamaan 35), maka selama partikel bererak arah vektor-vektor satuan ˆr dan ˆθ selalu berubah, atau merupakan funsi dari waktu t. Sesuai persamaan (33), posisi partikel adalah r(t) = rˆr(t). (36) y v O r P Gambar 2: Partikel bererak melinkar menikuti lintasan berbentuk linkaran. update: 28 Austus 217 halaman 5

Kecepatan partikel adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, sehina diperoleh v(t) d r(t) = dr ˆr(t) + r dˆr(t) = r dˆr(t) dθ ˆθ dθ ω = rωˆθ, (37) denan ω dθ disebut kecepatan sudut. Karena arah ˆθ teaklurus ˆr, dan ˆr searah denan jari-jari linkaran, maka arah ˆθ sejajar denan aris sinun linkaran unu. Denan demikian, kecepatan v merupakan kecepatan tanensial partikel. Jika nilai kecepatan sudut ω konstan, maka nilai dari laju tanensial jua konstan. Untuk menentukan percepatan, kita turukan kembali kecepatan v(t) terhadap t, diperoleh a d v(t) = dr ωˆθ + r dω α ˆθ + rω dˆθ dθ ˆr dθ ω = rαˆθ rω 2ˆr, (38) denan α dω disebut percepatan sudut. Suku pertama dari percepatan tersebut (yaitu rα) disebut sebaai percepatan tanensial, karena arahnya searah denan ˆθ, dan nilainya berantun pada percepatan sudut. Jika partikel bererak denan kecepatan sudut konstan, maka diperoleh a = rω 2ˆr = v2 r ˆr (inat persamaan 37). Percepatan ini disebut sebaai percepatan sentripetal, yan arahnya menuju pusat lintasan partikel. Nilai percepatan sentripetal berantun hanya pada ω (dan tentu saja r), sehina partikel yan bererak melinkar selalu memiliki percepatan jenis ini. Sehina, kita dapat katakan percepatan sentripetal sebaai percepatan yan menyebabkan suatu benda bererak melinkar. Jika suatu partikel memiliki kedua komponen percepatan (tanensial dan sentripetal), maka besar percepatan partikel tersebut adalah a = a 2 tanensial + a2 sentripetal (39) 3.3 Kinematika erak melinkar Secara umum, persamaan kinematika untuk erak melinkar memiliki bentuk yan serupa denan pada erak linear. Kita dapat menuliskan, θ = θ + ω t + 1 2 αt2, (4) ω 2 t = ω 2 + aαθ. (41) Untuk mendapatkan hubunan antara besaran-besaran sudut denan linear, perhatikan ambar 3. Misalkan mula-mula (saat t = t ) partikel berada pada titik P, dan sesaat kemudian (t = t + ) partikel berpindah ke titik Q. Panjan lintasan yan ditempuh oleh partikel adalah ds dan sudut yan dibentuk oleh vektor posisi pada kedua saat tersebut adalah dθ. Untuk selan waktu yan sanat sinkat OP Q dapat dianap sebaai seitia siku-siku denan sudut siku-siku di titik P. Dari hubunan trionometri, diperoleh tan(dθ) = ds/r. Karena sudut dθ sanat kecil, berlaku tan(dθ) dθ, sehina diperoleh dθ = ds/r, atau ds = rdθ. (42) Kecepatan dan percepatan diperoleh denan menurunkan jarak tersebut terhadap waktu, v ds = r dθ = rω (43) a dv = r dω = rα. (44) Sekali lai, kita peroleh hasil yan sama denan pada persamaan (37) dan (38). Namun, perlu diinat bahwa ds adalah perpindahan partikel pada arah tanensial (menyinun linkaran), update: 28 Austus 217 halaman 6

sehina turunan-turunannya jua merupakan besaran tanensial (kecepatan tanensial dan percepatan tanensial). Terlihat bahwa nilai percepatan tanensial berantun pada α dω. Sehina untuk erak melinkar denan kecepatan sudut ω konstan, percepatan tanensial bernilai nol di seluruh baian lintasan (baik di titik P, Q, maupun lainnya). Untuk erak denan kecepatan sudut konstan, besar dari laju tanensial jua konstan, namun arahnya selalu berubah (yaitu selalu menyinun linkaran). Pada besaran vektor, perubahan vektor dapat terjadi karena berubahnya besar, arah, maupun keduanya. Karena kecepatan tanensial selalu menalami perubahan arah, maka dikatakan bahwa kecepatan tanensial selalu menalami perubahan. Sebelumnya, telah kita ketahui bahwa perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut sebaai percepatan. Sehina, kita simpulkan bahwa benda yan bererak melinkar denan kecepatan sudut konstan jua menalami percepatan, dan percepatan tersebut haruslah selain percepatan tanensial. Mari kita namai percepatan tersebut (yan menubah arah kecepatan tanensial benda yan bererak melinkar) sebaai percepatan sentripetal. Untuk mendapatkan percepatan sentripetal, kita perlu meninjau perubahan kecepatan tanensial saat di titik Q bila dibandinkan denan saat di titik P. Untuk keperluan ini, mula-mula kita tinjau erak melinkar denan laju konstan dan menambarkan vektor kecepatan di kedua titik seperti pada ambar 4 (ambar kiri). Selisih kedua vektor kecepatan dituliskan sebaai v = v Q v P (ambar kanan). Terlihat bahwa seitia yan dibentuk oleh vektor-vektor posisi (yaitu r P, r Q, dan r) dan vektor-vektor kecepatan (v P, v Q, dan v) konruen. Perbandinan sisi-sisi kedua seitia memberikan r r Sehina kita dapat menentukan percepatan, = v v atau v = v r. (45) r a v t = v r = v2 r t r. (46) v Arah dari percepatan sentripetal ditentukan oleh arah vektor v. Dari ambar, terlihat bahwa arah v adalah menuju pusat putaran. Telah kita dapatkan besar dan arah percepatan sentripetal seperti pada baian sebelumnya. y O d Q r P ds Gambar 3: Hubunan antara besaran-besaran sudut denan linear pada erak melinkar. Mulamula partikel berada pada titik P dan sesaat kemudian berpindah ke Q. Panjan lintasan yan ditempuh oleh partikel adalah ds dan sudut yan dibentuk oleh vektor posisi kedua titik tersebut adalah dθ. update: 28 Austus 217 halaman 7

y Δ v d r Q P v Q v P O r P Δ r d r Q d r Q Gambar 4: Kiri: ambaran vektor-vektor posisi dan kecepatan benda saat berada pada titik P dan Q. Kanan: ambar yan diperbesar untuk vektor-vektor posisi dan kecepatan serta perubahan keduanya saat benda berada pada titik P dan Q. update: 28 Austus 217 halaman 8