BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF

BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF Pada bab ini akan dibahas teorema, definisi dan landasan teori pada penelitian ini. Berikut akan dibahas mengenai digraf, digraf dwiwarna dan hubungan keduanya dengan primitifitas, terhubung kuat, eksponen dan eksponen titik. 2.1 Definisi Sub-bab ini akan membahas definisi tentang digraf dan digraf dwiwarna secara keseluruhan. 2.1.1 Digraf Andaikan V adalah sebuah himpunan berhingga yang tak kosong yang disebut sebagai titik (vertex) dan E adalah himpunan pasangan berurut dari titik V yang disebut sebagai edge, maka graf adalah suatu objek yang dibentuk dari himpunan V,dan himpunan E V V yang unsurnya disebut sebagai edge. Digraf D adalah objek yang dibentuk dari himpunan V, dan himpunan A V V yang unsurnya disebut sebagai arc dari D. Jika (u, v) A merupakan sebuah arc pada digraf D, maka u sebagai titik awal dan v sebagai titik akhir. Titik V direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil sedangkan arc direpsentasikan dalam bentuk garis berarah. Barisan sejumlah titik v 1, v 2,..., v m sehingga terdapat arc dalam D yang menghubungkan titik v i ke titik v i+1 untuk setiap i = 1, 2, 3,..., m 1 disebut sebagai walk dengan panjang m > 0 pada suatu digraf D. Dapat ditulis sebagai berikut 7

8 v 1 v 2 v 3... v m untuk v 1 v m maka disebut walk terbuka. Suatu walk yang tidak mengalami perulangan titik disebut sebagai path, sedangkan suatu path tertutup disebut sebagai cycle dan cycle yang memiliki panjang 1 disebut sebagai loop. Contoh 2.1.1 Berikut merupakan representasi dari definisi diatas. Gambar 2.1 : Digraf dengan 4 titik dan 6 arc Digraf diatas memperlihatkan walk, path, cycle, dan loop sebagai berikut: a. v 1 v 2 v 3 v 4 v 2 adalah walk terbuka b. v 1 v 2 v 3 v 4 v 2 v 3 v 1 adalah walk tertutup namun bukan path c. v 1 v 2 v 3 v 4 adalah path terbuka d. v 1 v 2 v 3 v 1 adalah path tertutup atau disebut cycle e. v 1 v 1 adalah loop 2.1.2 Digraf Dwiwarna Suatu digraf yang setiap arc-nya berwarna biru atau merah dan tidak keduanya pada satu arc disebut sebagai digraf dwiwarna. Digraf dwiwarna dibentuk oleh himpunan vertex V, himpunan R V V yang unsurnya adalah arc berwarna merah, dan B V V yang unsurnya adalah arc berwarna biru. Digraf Dwiwarna dinotasikan dengan D (2).

9 Arc merah (u, v) direpresentasikan dengan u m v atau dengan tanda panah sedangkan arc biru (u, v) direpresentasikan dengan u b v atau garis putus-putus. Contoh 2.1.2 Berikut gambar digraf dwiwarna Gambar 2.2 : Digraf Dwiwarna dengan 6 titik 8 arc Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan himpunan vertex V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } dengan uraian sebagai berikut : a. Himpunan arc biru B = {(v 3, v 4 ), (v 4, v 2 ), (v 6, v 1 )} b. Himpunan arc merah R = {(v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 2, v 5 ), (v 5, v 6 ), (v 1, v 1 )} merupakan suatu digraf dwiwarna dengan 6 vertex, 3 arc biru dan 5 arc merah. Pada digraf dwiwarna juga terdapat walk, path, dan cycle. Suatu (h, k)-walk dalam digraf dwiwarna adalah sebuah walk dengan h arc merah dan k arc biru sedangkan vektor ((r(w), b(w)) atau r(w) merupakan komposisi dari walk w, dengan b(w) r(w) adalah notasi dari jumlah arc merah dan b(w) adalah notasi dari jumlah arc biru dan l(w) = r(w) + b(w) adalah panjang walk w yang merupakan jumlah dari arc merah dan arc biru. Seperti halnya digraf,path pada digraf dwiwarna merupakan walk yang tidak mengalami perulangan titik, namun jika titik awal sama dengan titik akhir maka disebut sebagai path tertutup atau cycle, sedangkan loop adalah cycle dengan panjang

10 satu yang memiliki komposisi 1 0 atau 0 1. Contoh 2.1.3 Berikut adalah contoh walk, path, cycle dan loop dari Gambar 2.2. Digraf dwiwarna diatas memperlihatkan : 1. v 1 m v 2 m v 3 b v 4 b v 2 adalah walk terbuka. 2. v 1 m v 2 m v 3 b v 4 adalah path terbuka. 3. v 1 m v 2 m v 5 m v 6 b v 1 adalah cycle. 4. v m 1 v 1 adalah loop dengan komposisi 1 0 2.2 Matriks Adjacency Matriks adjacency dari digraf dan digraf dwiwarna dengan n-titik adalah suatu matriks berordo n n yang dinotasikan dengan A dimana setiap entrinya adalah 1 atau 0. 2.1.2 Matriks Adjacency Digraf Matriks adjacency pada Digraf D dengan n-titik yang dinotasikan sebagai A(D) = [a ij ] dengan entry sebagai berikut: { 1, jika terdapat arc dari vi ke v j di D a ij = 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3,..., n Contoh 2.2.1 Berikut adalah matriks adjacency pada digraf D yang diperoleh dari Gambar 2.1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0

11 2.2.2 Matriks Adjacency Digraf Dwiwarna Pada digraf dwiwarna matriks adjacency dibagi menjadi 2 bagian berdasarkan warna arc yakni : a. Matriks adjacency merah Matriks adjacency merah yang berordo n n dinotasikan sebagai R = [r ij ] dengan entri adalah sebagai berikut: { 1, jika terdapat arc merah dari vi ke v j di D (2) r ij = 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3,..., n Contoh 2.2.2 Berikut adalah matriks adjacency merah dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar 2.2. 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 b. Matriks adjacency biru Matriks adjacency biru yang berordo n n dinotasikan sebagai B = [b ij ]dengan entri adalah sebagai berikut: { 1, jika terdapat arc biru dari vi ke v j di D (2) b ij = 0, jika sebaliknya untuk i, j = 1, 2, 3,..., n. Contoh 2.2.3 Berikut adalah matriks adjacency biru dari digraf dwiwarna yang diperoleh dari Gambar 2.2.

12 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2.3 Primitifitas Digraf dan Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat Pada subbab ini akan dibahas mengenai digraf dan digraf dwiwarna terhubung kuat dan hubungannya dengan primitifitas. 2.3.1 Primitifas Digraf Terhubung Kuat Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Contoh 2.3.1 Berikut adalah digraf terhubung kuat dan tak terhubung kuat. Gambar 2.3: (a) Terhubung Kuat (b) Tidak Terhubung Kuat Gambar 2.3 memperlihatkan bahwa pada (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v 3 ke v 1.

13 Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraf terhubung kuat maka setiap titik u di D terletak pada cycle. Bukti : Ambil sebarang titik u di D dan sebarang arc dari titik u ke v di D. Karena D adalah digraf terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk setiap titik u di D. Dengan kata lain bahwa setiap titik u di D terletak pada suatu cycle. Andaikan C = {γ 1, γ 2,..., γ q } merupakan himpunan semua cycle di D dan misalkan notasi l(γ i ) merupakan panjang semua cycle pada digraf D untuk setiap i = 1, 2,, q. Suatu digraf D terhubung kuat dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari setiap panjang cycle di D adalah 1 (Brualdi dan Ryser,1991). Contoh 2.3.2 Berikut adalah digraf terhubung kuat yang primitif. Gambar 2.4 : Digraf Terhubung Kuat dan Primitif Pada gambar 2.4 diperlihatkan bahwa l(γ 1 ) dari cycle v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 adalah 5. Kemudian l(γ 2 ) dari cycle v 1 v 4 v 5 v 1 adalah 3. Dan l(γ 3 ) dari cycle tertutup v 1 ke v 1 adalah 1. Sehingga diketahui bahwa pembagi persekutuan terbesar dari setiap l(γ i ) cycle adalah 1.

14 2.3.2 Primitifitas Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat Suatu digraf D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Contoh 2.3.3 Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat. Gambar 2.5: (a)terhubung Kuat (b)tidak Terhubung Kuat Gambar 2.5 memperlihatkan bahwa pada digraf dwiwarna (a) terdapat walk dari satu titik ketitik lainnya. Sedangkan (b) tidak terdapat walk dari v 3 ke v 1. Lemma 2.3.2 Andaikan D (2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat maka setiap titik u di D (2) terletak pada cycle. Bukti : Ambil sebarang titik u di D (2) dan sebarang arc dari titik u ke v di D (2). Karena D (2) adalah digraf dwiwarna terhubung kuat, maka terdapat path dari titik u ke v dan path dari titik v ke u akibatnya terdapat path tertutup atau disebut sebagai cycle untuk setiap titik u di D (2). Dengan kata lain bahwa setiap titik u di D (2) terletak pada suatu cycle. Digraf dwiwarna D (2) terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat suatu bilangan bulat tak negatif h dan k dengan h + k > 0 sehingga untuk setiap pasang

15 titik (u, v) di D (2) terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan walk dari v ke u. Andaikan C = {γ 1, γ 2,..., γ q } merupakan himpunan semua cycle di D (2) dan misalkan notasi l(γ i ) merupakan panjang semua cycle pada digraf dwiwarna D (2) untuk setiap i = 1, 2, 3,, q. S disebut sebagai matriks cycle adalah matriks yang berordo 2 q sebagai berikut S = r(γ 1) r(γ 2 ) r(γ q ) b(γ 1 ) b(γ 2 ) b(γ q ) Kolom ke-q dari matrik cycle S merupakan komposisi dari cycle γ q dan jumlah baris pada matriks S menyatakan banyaknya warna pada D (2). Suatu digraf dwiwarna dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinandeterminan matriks minor berordo 2 2 dari S adalah 1 (Fornasini dan Valcher,1997). Contoh 2.3.4 Berikut adalah digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif. Gambar 2.6 Digraf Dwiwarna Terhubung Kuat dan Primitif Dari Gambar 2.6 diatas terdapat2 cycle yaitu cycle yang pertama v m 1 v m 2 v m 3 b v 4 v 1 dengan komposisi S 1 = 3 b dan cycle kedua adalah v 5 v 2 m v 3 m v 5 1 dengan komposisi S 2 = 2, maka matriks cycle dari D (2) adalah S = 3 2 1 1 1 dengan det(s) = 1. Sehingga Digraf Dwiwarna pada Gambar 2.6 adalah terhubung kuat dan primitif.

16 2.4 Matriks Tak Negatif dan Digraf Dwiwarna Suatu matriks A dikatakan matriks tak negatif jika untuk setiap entri dari matriks A = [a ij ] bernilai tak negatif atau dapat dinotasikan dengan a ij 0. Contoh 2.4.1 Berikut adalah matriks tak negatif. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 sedangkan matriks A dikatakan postitif, jika untuk setiap entri dari matriks A = [a ij ] bernilai positif atau dapat dinotasikan dengan a ij > 0. Contoh 2.4.2 Berikut adalah matriks positif. 1 4 7 2 5 8 3 6 9 Pada suatu digraf D, terdapat suatu bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan titik-titik u dan v terdapat walk dari u ke v dengan panjang l, maka bilangan bulat positif terkecil l disebut sebagai eksponen dari digraf D yang dinotasikan sebagai exp(d) (Brualdi dan Ryser,1991). Proposisi 2.4 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraf D. Entri a k ij dari A k menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j dengan panjang k di D. Bukti : Andaikan A suatu matriks adjacency dari digraf D, maka setiap entri a ij dari A menyatakan arc dari titik v i ke v j di D. Sehingga untuk k = 1, terdapat entri a 1 ij dari A 1 menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j dengan panjang satu di D. Asumsikan setiap entri a k ij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j dengan panjang k di D, untuk setiap k 1. Kemudian diperlihatkan setiap

17 entri a k+1 ij menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j dengan panjang k +1 di D, untuk setiap k 1. Perhatikan setiap walk dari titik v i ke v j di D dengan panjang k + 1 yang terdiri dari walk v i ke v l dengan panjang k dengan l = 1, 2, 3,.., n dan dilanjutkan dengan arc dari titik v l ke v j. Sehingga a k il a lj menyatakan walk dengan panjang k +1 dari titik v i ke v j di D untuk k = 1, 2, 3,, n. Jika terdapat walk dengan panjang k dari titik v i ke v j di D, maka a k il = 0 sehingga a k il a lj = 0. Hal ini berarti tidak terdapat walk dengan panjang k + 1 dari titik v i ke v j yang melalui titik v l di D. Sehingga diperoleh jumlah walk dengan panjang k + 1 dari titik v i ke v j di D adalah n a k i1a 1j + a k i2a 2j +... + a k ina nj = i=1 a k ila lj Karena A k+1 = A k A maka a k ij = n i=1 ak il a lj. Hal ini berakibat a k+1 ij menyatakan banyaknya walk dari titik v i ke v j yang panjangnya k + 1 di D. adalah benar Contoh 2.4.1 Berikut adalah representasi menghitung eksponen dari digraf D. Dari Gambar 2.1 diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut. 1 1 0 0 0 0 1 0 A = 1 0 0 1 0 1 0 0 Dari proposisi diatas, dengan mencari banyak walk dari titik v i ke v j dengan panjang k, sehingga bilangan bulat positif terkecil k adalah eksponen dari digraf D. Perhatikan matriks A k untuk k: 1 1 0 0 0 0 1 0 a. Untuk k = 1, diperoleh A = 1 0 0 1 0 1 0 0 maka k = 1 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk dengan panjang satu dari titik v 1 ke v 3, v 2 ke v 4, v 4 ke v 1, dst.

18 1 1 1 0 1 0 0 1 b. untuk k = 2, diperoleh A 2 = 1 2 0 0 0 0 1 0 maka k = 2 bukan merupakan eksponen dari digraf karena tidak terdapat walk dengan panjang 2 dari titik v 1 ke v 4, v 2 ke v 2, v 2 ke v 3, v 3 ke v 4, dst. 2 1 1 1 1 2 0 1 c. Untuk k = 3, diperoleh A 3 = 1 1 2 0 1 0 0 1 maka k = 3 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk dengan panjang tiga dari titik v 2 ke v 3, v 3 ke v 4, dst. 3 3 1 1 1 1 2 0 d. Untuk k = 4, diperoleh A 4 = 3 1 1 2 1 2 0 0 maka k = 4 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk dengan panjang empat dari titik v 2 ke v 4, v 4 ke v 3, v 4 ke v 4, dst. 4 4 3 1 3 1 1 2 e. Untuk k = 5, diperoleh A 5 = 4 5 1 1 1 1 2 0 maka k = 5 bukan merupakan eksponen dari digraf, karena tidak terdapat walk dengan panjang lima dari titik v 4 ke v 4. 7 5 4 3 4 5 1 1 f. Untuk k = 6, diperoleh A 6 = 5 5 5 1 3 1 1 2 merupakan eksponen dari digraf, karena setiap pasang titik (v i, v j ) memiliki walk dengan panjang 6.

19 Pada digraf dwiwarna D (2), eksponen dari digraf dwiwarna D (2), di definisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil h + k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru sehingga untuk setiap pasang titik u dan v terdapat sebuah (h, k)-walk dari u ke v, eksponen dari digraf dwiwarna D (2) dinotasikan oleh exp(d (2) )(Shader dan Suwilo, 2003). Andaikan A dan B adalah suatu matriks tak negatif berordo m m. Untuk bilangan tak negatif h dan k di definisikan (h, k)-hurwitz product, (R, B) (h,k) adalah jumlah keseluruhan matriks dari perkalian R sebanyak h kali dan B sebanyak k kali. Contoh 2.4.2 : (R, B) (1,0) = R dan (R, B) (2,2) = R 2 B 2 + RBRB + RB 2 R + BRBR + B 2 R 2 Lemma 2.4.1 Jika (R, B) adalah matriks adjacency dari digraf dwiwarna. Maka (R, B) (h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari v i ke v j pada digraf dwiwarna. Bukti : Pembuktian dilakukan dengan cara induksi, yakni jika h = 0dan k = 1 maka (R, B) (0,1) = B merupakan walk dari v i ke v j memiliki komposisi 0 1 pada digraf dwiwarna. Kemudian jika h = 1 dan k = 0 maka (R, B) (1,0) = R merupakan walk dari v i ke v j memiliki komposisi 1 0 pada digraf dwiwarna. Kemudian diperlihatkan untuk semua bilangan bulat tak negatif h + k + 1 adalah benar dengan pembuktian sebagai berikut. (R, B) (h+1,k) = R(R, B) (h,k) + B(R, B) (h+1,k 1) sehingga R(R, B) (h,k) menyatakan bahwa terdapat walk dari v i ke v j dengan panjang (h, k) yang diikuti dengan sebuah arc merah, sedangkan B(R, B) (h+1,k 1) menyatakan bahwa terdapat walk dari v i ke v j dengan panjang (h + 1, k 1) yang diikuti oleh sebuah arc biru. sehingga diperoleh (R, B) (h+1,k) merupakan jumlah (h + 1, k)-walk

20 dari v i ke v j. Contoh 2.4.3 Berikut adalah representasi menghitung eksponen digraf dwiwarna. Gambar 2.7 : Digraf Dwiwarna dengan 3 titik dan 4 arc Dari Gambar 2.7 digraf dwiwarna terhubung kuat yang primitif terdapat matriks adjacency merah R = dan matriks adjacency biru B = 1 0 1 0 1 0. 1 0 0 Menggunakan Lemma 2.4.1, jika (R, B) adalah matriks adjacendy dari digraf dwiwarna. Maka (R, B) (h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari v i ke v j pada digraf dwiwarna. Sehingga h + k merupakan eksponen dari digraf bila matriks (R, B) (h,k) adalah matriks positif. Dengan demikian perhatikan matriks adjacency merah R dan matriks adjacency biru B adalah sebagai berikut : 1. Untuk h + k = 2, maka diperoleh a. (R, B) (2,0) = R 2 = 0 1 0 b. (R, B) (1,1) = RB + BR =

21 c. (R, B) (0,2) = B 2 = 1 0 1 1 1 0 2. Untuk h + k = 3, maka diperoleh a. (R, B) (3,0) = R 3 = b. (R, B) (2,1) = R(R, B) (1,1) + BR 2 = c. (R, B) (1,2) = RB 2 + B(R, B) (1,1) = d. (R, B) (0,3) = B 3 = 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 3. Untuk h + k = 4, maka diperoleh a. (R, B) (4,0) = R 4 = 0 1 0 b. (R, B) (3,1) = R(R, B) (2,1) + BR 3 = 1 0 1 1 0 1 c. (R, B) (2,2) = R(R, B) (1,2) + B(R, B) (2,1) = 2 1 1

22 d. (R, B) (1,3) = RB 3 + B(R, B) (1,2) = e. (R, B) (0,4) = B 4 = 4. Untuk h + k = 6, maka diperoleh a. (R, B) (6,0) = R 6 = b. (R, B) (1,5) = RB 3 + B(R, B) (1,4) = c. (R, B) (2,4) = R(R, B) (1,4) + B(R, B) (2,3) = 1 0 1 d. (R, B) (3,3) = R(R, B) (2,3) + B(R, B) (3,2) = 3 1 2 1 2 0 e. (R, B) (4,2) = R(R, B) (3,2) + B(R, B) (4,1) = 0 1 0 2 1 1 f. (R, B) (5,1) = R(R, B) (4,1) + BR 5 =

23 a. (R, B) (0,6) = B 6 = 5. Untuk h + k = 10, maka diperoleh a. (R, B) (10,0) = R 10 = b. (R, B) (1,9) = RB 9 + B(R, B) (1,8) = c. (R, B) (2,8) = R(R, B) (1,8) + B(R, B) (2,7) = 1 0 1 d. (R, B) (3,7) = R(R, B) (2,7) + B(R, B) (3,6) = 3 1 2 1 2 0 e. (R, B) (4,6) = R(R, B) (3,6) + B(R, B) (4,5) = 0 1 0 2 1 1 1 0 1 f. (R, B) (5,5) = R(R, B) (4,5) + B(R, B) (5,4) = 5 1 4 6 4 3 a. (R, B) (6,4) = R(R, B) (5,4) + B(R, B) (6,3) = 4 6 1 4 1 3 terdapat walk dengan panjang 10 dari tiap pasang titik pada digraf dwiwarna, se-

24 hingga exp(d (2) ) = 10 dengan komposisi 6 arc merah dan 4 arc biru yakni 6 4. 2.5 Eksponen Titik Digraf dan Digraf Dwiwarna Pada subbab ini akan dibahas definisi dan penentuan eksponen titik digraf dan digraf dwiwarna. 2.5.1 Eksponen Titik Digraf Misalkan D adalah sebuah digraf primitif yang terdiri dari himpunan titik V (D) = {v 1, v 2,..., v n }. Eksponen titik dari digraph D didefinisikan sebagai jumlah walk dengan panjang minimum m yang menghubungkan titik v k ke setiap titik di D dinotasikan γ D (v k ). Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n n. Jika titik-titik di D adalah (v 1, v 2,...v n ) sehingga γ D (v 1 ) γ D (v 2 )... γ D (v n ) Maka γ D (v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, yang dinotasikan dengan exp D (v k ). Contoh 2.5.1 Berikut adalah bagaimana mencari eksponen titik dari masing-masing titik di digraf D, berdasarkan proposisi 2.4 entri a ij harus bernilai positif. Dari Contoh 2.4.1 diperoleh matriks-matriks dari A k : 1. Untuk k=3, pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka exp D (v 1 ) = 3. 2. Untuk k=4, pada baris ke-3 semua entri juga bernilai positif,maka exp D (v 3 ) = 4. 3. Untuk k=5, pada baris ke-2 semua entri bernilai positif, maka exp D (v 2 ) = 5. 4. Untuk k=6, pada baris ke-4 semua entri bernilai positif, maka exp D (v 4 ) = 6.

25 2.5.2 Eksponen Titik Digraf Dwiwarna Misalkan D (2) adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari himpunan titik V (D) = {v 1, v 2,..., v n }. Eksponen titik dari digraph dwiwarna D (2) didefinisikan sebagai jumlah walk dengan panjang minimum g+h yang menghubungkan titik v k ke setiap titik di D (2), dengan g menyatakan jumlah arc merah dan h menyatakan jumlah arc biru. Kemudian dinotasikan dengan γ D (v k ). Misalkan D adalah sebuah digraf dwiwarna primitif yang berordo n n. Jika titik-titik di D (2) adalah (v 1, v 2,..., v n ), maka γ D (v 1 ) γ D (v 2 )... γ D (v n ) sehingga γ D (v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D (2), yang dinotasikan dengan exp D (2)(v k ). Dengan menggunakan operasi (g, h)-matriks Hurwitz Product R dan B yang telah didefenisikan pada subbab 2.4. Untuk suatu bilangan positif terkecil g dan h yang masing-masing merupakan jumlah arc merah dan arc biru, sehingga g + h merupakan eksponen titik digraf dwiwarna untuk setiap baris ke-k dari matriks tersebut yang seluruh entrinya bernilai positif. Contoh 2.5.2 Berikut mencari eksponen titik digraf dwiwarna dari masing-masing titik pada Gambar 2.6. 1. Untuk g+h=4, dengan (R, B) (2,2) = R(R, B) (1,2) + B(R, B) (2,1) = 1 0 1 2 1 1 pada baris ke-2 semua entri bernilai positif,maka exp D (2)(v 3 ) = 4 yang terdiri dari 2 arc merah dan 2 arc biru yakni 2 2.

26 2. Untuk g+h=5 dengan (R, B) (3,2) = R(R, B) (2,2) + B(R, B) (3,1) = 2 1 1 1 2 0 1 0 1 pada baris pertama semua entri bernilai positif, maka exp D (2)(v 1 ) = 5 yang terdiri dari 3 arc merah dan 2 arc biru yakni 3 2. 3. Untuk g+h=6, dengan (R, B) (4,2) = R(R, B) (3,2) + B(R, B) (4,1) = 1 2 0 0 1 0 2 1 1 pada baris ke-3 semua entri bernilai positif, maka exp D (2)(v 2 ) = 6 yang terdiri dari 4 arc merah dan 2 arc biru yakni 4 2. 2.6 Sistem Persamaan Diophantine Bentuk persamaaan Diophantine dapat dituliskan sebagai berikut a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b memiliki solusi bilangan bulat untuk semua bilangan bulat positif n dan koefisienkoefisien a 1, a 2, a 3,..., a n tidak semuanya bernilai nol. Teorema 2.6 Persamaan diophantine a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... + a n x n = b punya bilangan bulat jika dan hanya jika gcd(a 1, a 2, a 3,..., a n ) b

27 Bukti : Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophantine dalam n variabel yang sama, untuk m, n > 0. Berikut merupakan sistem persamaan diophantine. a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m Sistem persamaan diophantine tersebut dapat pula direpresentasikan dalam bentuk persamaan matriks Ax = b sebagai berikut a 11 a 12 a 1n x 1 a A = 21 a 22 a 2n x...., x = 2 dan b =... a m1 a m2 a mn x n Sistem persamaan diophantine memiliki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan-determinan submatriks 2 2 dari A adalah ±1. b 1 b 2. b m 2.7 Formula Eksponen Titik Digraf Dwiwarna dengan Dua Cycle Subbab ini dibahas bagaimana menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraf dwiwarna yang primitif yang memuat dua cycle. Lemma 2.7.1 Andaikan D (2) adalah digraf dwiwarna primitif yang memuat dua cycle dengan matriks cycle S = r(γ 1) b(γ 2 ). Misalkan v k adalah sembarang titik b(γ 1 ) r(γ 2 ) dari D (2) dan terdapat sebuah (g, h)-walk dari titik v k ke setiap titik v j, j = 1, 2,, n di D (2) dengan persamaan berikut g h = S u w (1)

maka u S 1 r(p (k,j) untuk sembarang bilangan bulat tak negatif u, v dan w b(p (k,j) untuk suatu path p (k,j) dari v k ke v j. 28 Bukti : Misalkan p (k,j) adalah path dari titik v k ke v j untuk sembarang j = 1, 2,..., n. Karena D (2) memuat 2 cycle maka setiap walknya dapat didekomposisi ke dalam path dan cycle sebagai berikut : x 2 g = S x 1 + h r(p (k,j)) b(p (k,j) ) (2) dengan x 1, x 2 0. Karena D (2) primitif, maka M memiliki invers. Dengan menggunakan persamaan (1) dan (2), maka diperoleh : S u = S x 1 + r(p (k,j)) w x 2 b(p (k,j) ) S x 1 = S u r(p (k,j)) x 2 w b(p (k,j) ) x 1 = u S 1 r(p (k,j)) 0 w b(p (k,j) ) x 2 sehingga u S 1 r(p (k,j) dan Lemma 2.7.1 terbukti. w b(p (k,j) Menggunakan Lemma 2.7.1 diperoleh teorema sebagai berikut. Teorema 2.7.1 Andaikan D (2) adalah digraf dwiwarna primitif yang terdiri dari cycle γ 1 dan γ 2. Misalkan v k adalah titik di D (2). Untuk sembarang titik v i dan v j di D (2), didefinisikan u 0 = b(γ 2 )r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) dan w 0 = r(γ 1 )b(p k,j ) b(γ 1 )r(p k,j ) maka g S u 0, sehingga exp D (2)(v k ) l(γ 1 )u 0 + l(γ 2 )w 0. h w 0 Bukti : Andaikan bahwa eksponen titik v k dicapai oleh (g, h)-walk dengan

29 g h = S u w sehingga diperoleh persamaan u w S 1 r(p (k,j)) b(p (k,j) ) = untuk setiap path p k,j dari titik v k ke v j. Untuk sembarang titik v j, j = 1, 2,..., n, diperoleh b(γ 2)r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) r(γ 1 )b(p k,j ) b(γ 1 )r(p k,j ) (3) u 0 = b(γ 2 )r(p k,j ) r(γ 2 )b(p k,j ) 0 (4) dan untuk sembarang titik v i, i = 1, 2,..., n, diperoleh w 0 = r(γ 1 )b(p k,i ) b(γ 1 )r(p k,i ) 0 (5) sehingga u u 0 dan w w 0. Oleh Lemma 2.6.1 diperoleh g = S u S u 0 (6) h w sehingga exp D (2)(v k ) = g+h (r(γ 1 )+b(γ 1 ))u 0 +(r(γ 2 )+b(γ 2 ))w 0 = l(γ 1 )u 0 +l(γ 2 )w 0. w 0 Teorema 2.7.1 menerangkan tentang batas bawah eksponen titik, sedangkan Proposisi 2.7.1 berikut akan menerangkan batas atas eksponen titik digraf dwiwarna yang primitif dari suatu titik v, dengan d(v, v k ) merupakan jarak dari titik v k ke titik v sebagai walk terpendek dari v k ke titik v. Proposisi 2.7.1 Asumsikan D (2) adalah digraf dwiwarna primitif atas n-titik. Misalkan v adalah sebuah titik di D (2) dengan exp (2) D (v k). Untuk sembarang titik v k, k = 1, 2,..., n di D (2), exp D (2)(v k ) exp D (2)(v) + d(v k, v). Bukti : Untuk setiap k = 1, 2,..., n misalkan p k,v adalah (r(p k,v ), b(p k,v ))-path dari titik v k ke titik v dengan panjang d(v k, v). Terdapat (g, h)-walk dari titik v ke setiap titik v j, j = 1, 2,..., n di D (2), sehingga exp D (2)(v) = g + h. ini memperlihatkan bahwa setiap titik v k di D (2) terdapat (g + r(p k,v ), h + b(p k,v )) walk dari

30 titik v k ke setiap titik v j. Walk tersebut berjalan dari titik v k ke v dengan melalui (r(p k,v ), b(p k,v ))-path selanjutnya menuju ke titik v j melalui (g + h)-walk. Sehingga diperoleh exp D (2)(v k ) exp D (2)(v) + d(v k, v). Proposisi 2.7.2 Andaikan D (2) adalah digraf dwiwarna yang terdiri atas cycle γ 1 dan γ 2. Misalkan titik v k adalah titik di D (2) yang terdapat pada cycle γ 1 dan γ 2. Jika untuk setiap i = 1, 2,..., n dan sembarang bilangan g dan h, terdapat path p k,i dari titik v k ke titik v i sehingga sistem persamaan Sx + r(p (k,i)) = g (7) b(p (k,i) ) h punya solusi bilangan bulat tak negatif, sehingga exp D (2)(v) g + h. Bukti : Misalkan bahwa solusi persamaan (7) adalah x = (x 1, x 2 ) T. Karena D (2) adalah digraf dwiwarna primitif, maka S punya invers sehingga x 1, x 2 0, sehingga terdapat tiga kemungkinan dalam hal ini. 1. Jika x 1, x 2 > 0, maka terdapat (g, h)-walk yang bergerak dari titik v k ke titik v i mengelilingi γ 1 sebanyak x 1 kali dan mengelilingin γ 2 sebanyak x 2 kali dan kembali ke titik v k dan kemudian bergerak menuju titik v i dengan panjang path p k,i. 2. Jika x 1 = 0 dan x 2 > 0, maka terdapat (g, h)-walk yang bergerak dari titik v k ke titik v i mengelilingi γ 2 sebanyak x 2 kali dan kembali ke titik v k dan kemudian bergerak menuju titik v i dengan panjang path p k,i. 3. Jika x 1 > 0 dan x 2 = 0, maka terdapat (g, h)-walk yang bergerak dari titik v k ke titik v i mengelilingi γ 1 sebanyak x 1 kali dan kembali ke titik v k dan kemudian bergerak menuju titik v i dengan panjang path p k,i. Sehingga untuk setiap titik v i, i = 1, 2,..., n terdapat (g, h)-walk dari titik v k ke titik v i sehingga exp D (2)(v k ) g + h.