BAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan
|
|
- Yohanes Indradjaja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex) dan E adalah himpunan sisi (mungkin kosong) yang menghubungkan sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G). Sisi e = (u,v) dapat ditulis e = uv (Chartrand dan Lesniak, 1996). Sebagai contoh: V(G 1 ) = {v 1, v 2, v 3, v 4 } dan E(G 1 ) = {v 1 v 2, v 2 v 3, v 3 v 4 }. Sisi yang menghubungkan dua titik yang sama disebut loop. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi tersebut dinamakan sisi ganda (multiple edge). Suatu graf yang mengandung loop atau mengandung sisi ganda dinamakan multigraf. v 1 v 3 e 5 v 1 e 1 e 2 e 3 e 1 e 4 v 2 v 4 v 2 e 2 v 3 e 3 (a) (b) Gambar 2.1. Graf (a) dan Multigraf (b) 5
2 6 Gambar 2.1 adalah contoh multigraf karena mengandung loop, yaitu sisi e 5 dan mengandung sisi ganda yaitu sisi e 2 dan e 3. Banyaknya unsur di V disebut order dari G dinotasikan dengan n(g) dan banyaknya unsur di E disebut size dari G dinotasikan dengan m(g). Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan size dari G tersebut cukup ditulis dengan n dan m (Chartrand dan Lesniak, 1996). Gambar 2.1 terlihat bahwa, Graf G 1 mempunyai 4 titik sehingga order G adalah n = 4 dapat ditulis n(g 1 ) = 4 dan mempunyai 3 sisi sehingga size graf G 1 adalah m = 3 dapat ditulis m(g 1 ) = Terminologi Dasar pada Graf Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan titik u dan v. Jika e = (u, v) adalah sisi di graf G, maka u dan v disebut bertetangga (adjacent), u dan e serta v dan e disebut bersisian (incident). Sebagai contoh diberikan graf G yang memuat himpunan titik V = {u, v, w, x} dan himpunan sisi E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } berikut: u v e 1 e 5 e 2 w e 4 e 3 x Gambar 2.2. Graf G Pada Gambar 2.2, titik yang bertetangga di graf G adalah titik v dan u, titik v dan x, titik x dan w, titik w dan v, titik u dan x, dapat dikatakan bahwa titik v adjacent dengan u, titik v adjacent dengan x, titik x adjacent
3 7 dengan w, titik w adjacent dengan v, titik u adjacent dengan x. Berikut merupakan titik yang bersisian (incident) pada graf G: u dan e 1 serta v dan e 1, v dan e 2 serta x dan e 2, w dan e 3 serta x dan e 3, x dan e 4 serta u dan e 4, v dan e 5 serta w dan e 5. Derajat dari titik v di graf G, adalah banyaknya sisi di G yang bersisian (incident) dengan v (Chartrand dan Leniak, 1996). Dalam konteks pembicaraan hanya terdapat satu graf G, maka tulisan degg(v) disingkat menjadi deg(v). Titik yang berderajat genap disebut titik genap (even vertices) dan titik yang berderajat ganjil disebut titik ganjil (odd vertices). Titik yang berderajat nol disebut isolated vertices dan titik yang berderajat satu disebut titik ujung (end vertices) (Chartrand dan Leniak, 1996). Diberikan contoh graf G yang akan ditentukan derajat titiknya: v 1 e 4 v 3 e 1 e 5 e 2 e 3 v 2 v 4 Gambar 2.3. Graf yang akan dicari derajat titiknya Berdasarkan gambar 2.3, diperolah bahwa deg(v 1 ) = 3 deg(v 2 ) = 2 deg(v 3 ) = 3 deg(v 4 ) = 2
4 8 Titik v 1 dan v 3 adalah titik ganjil, titik v 2 dan v 4 adalah titik genap. Karena tidak ada yang berderajat 1, maka graf G tidak mempunyai titik ujung. Hubungan antara jumlah derajat semua titik dalam suatu graf G dengan banyak sisi, dinyatakan dalam teorema berikut: Teorema 1 Jumlah derajat semua titik pada graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Jika G(V, E) dengan m merupakan banyaknya unsur di E maka: Akibat 1 Pada sebarang graf, jumlah derajat titik ganjil adalah genap. Bukti: Misalkan graf G dengan size m. Misalkan W himpunan yang memuat titik ganjil pada G serta U himpunan yang memuat titik genap di G. Karena deg(v) genap untuk v U, maka suku pertama dari ruas kiri persamaan selalu bernilai genap. Ruas kanan pada persamaan di atas juga bernilai genap. Nilai genap pada ruas kanan hanya benar bila suku kedua ruas kiri adalah genap sehingga Genap + genap = genap
5 9 Karena deg(v) ganjil untuk v W, maka banyaknya simpul v di dalam W harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap. 3. Beberapa Graf Sederhana Khusus Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung loop maupun sisi ganda. Ada beberapa graf sederhana khusus yang dijumpai seperti berikut: a. Graf Komplit (Complete Graph) Sebuah graf yang memiliki n titik yang setiap titiknya mempunyai sisi ke setiap titik di graf tersebut disebut juga graf komplit. Graf komplit dengan n titik dinotasikan dengan K n. Setiap titik di K n berderajat n 1. (Chartrand dan Lesniak, 1996 dan Munir, 2006) Contoh: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 b. Graf Sikel Gambar 2.4. Graf Komplit Graf sikel adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf sikel dengan n titik dinotasikan dengan C n. Jika titik pada C n adalah v 1, v 2, v 3,, v n maka sisi-sisinya adalah (v 1 v 2 ), (v 2,v 3 ),, (v n-1,v n ), dan (v n,v 1 ). Dengan kata lain, ada sisi dari titik terakhir v n ke titik pertama v 1 (Munir, 2005).
6 10 Graf sikel merupakan graf dengan n titik dengan simpul n 3 dimana setiap titik saling terhubung dan membentuk cincin. Setiap titik pada graf sikel berderajat dua (Biggs, Lloyd, and Wilson: 1936). Contoh: C 3 C 4 C 5 C 6 Gambar 2.5. Graf Sikel c. Graf Teratur (Regular Graph) Graf teratur adalah graf yang setiap titiknya berderajat sama. Apabila derajat setiap titik adalah r maka graf terdebut dinamakan sebagai graf teratur berderajat r (Munir, 2005). Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r dengan n buah titik adalah nr/2. Contoh: (a) n = 4, r = 3 (b) n = 6, r = 3 Gambar 2.6. graf teratur berderajat 3, dengan 4 dan 6 titik d. Graf Bipartit (Bipartite Graph) Graf G yang himpunan titiknya dapat dikelompokan menjadi dua himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G
7 11 menghubungkan titik di V 1 ke titik di V 2 yang disebut juga dengan graf bipartit (Munir, 2005). Contoh: a b c d p q r Gambar 2.7. Graf Bipartit Graf G pada Gambar 2.7 adalah graf bipartit karena himpunan titik di G dapat di partisi menjadi dua himpunan, yaitu: V 1 = {a, b, c, d} dan V 2 = {p, q, r} Berdasarkan gambar 2.7 masing-masing sisi di G mempunyai ujung di V 1 dan di V 2. Himpunan titik dalam satu partisi tidak boleh terhubung langsung. e. Graf Bipartit Lengkap (Complete Bipartite Graph) Graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dengan setiap titik di V 1 bertetangga dengan semua titik di V 2. Graf bipartit lengkap dinotasikan sebagai K n,m dengan jumlah sisi adalah mn (Munir, 2005). Contoh: K 1,3 K 2,3 K 3,3 Gambar 2.8. Graf Bipartit Lengkap
8 12 f. Graf lintasan Graf lintasan (path) adalah graf dengan menarik garis pada setiap titik sehingga membentuk satu garis lurus dan graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan dengan n titik, dinotasikan dengan Pn, contoh dari graf lintasan sebagai berikut: P 2 : P 3 : P 4 : Gambar 2.9. Graf Lintasan B. Graf Terhubung Diberikan u dan v merupakan titik di graf G. Sebuah jalan di graf G dinamakan walk dan dinotasikan dengan W. Walk u-v pada graf G adalah barisan hingga u = u 0, e 1, u 1, e 2, u 2,...,u k-1, e k, u n = v yang merupakan titik dan sisi, diawali dengan titik u dan diakhiri dengan titik v, dengan e 1 = u i-1 u i untuk i = 1, 2, 3,..., k. k sering disebut dengan panjang dari sebuah walk (Chartrand dan Lesniak, 1996). Jika u = v maka W disebut dengan jalan tetutup. Tetapi jika u v maka W disebut dengan jalan terbuka (Chartrand dan Lesniak, 1996). Jika terdapat jalan u-v yang semua sisinya berbeda maka jalan tersebut merupakan trail u-v. Tetapi jika jalan u-v yang semua sisi dan titiknya berbeda maka disebut dengan lintasan (path) u-v. Dengan demikian, semua lintasan adalah trail (Chartrand dan Lesniak, 1996).
9 13 Trail tertutup dan tak trivial pada G disebut sirkuit di G. Sirkuit v 1, v 2,, v n, v 1 (n 3) dengan semua titik interval yang berbeda kecuali v 1 = v n disebut siklus (cycle). (Chartrand dan Lesniak, 1996). Graf terhubung yang tidak mengandung siklus disebut dengan pohon. Contoh: v 4 e 8 e 7 v 5 v 3 e 5 e 3 e 4 e 6 e 1 e 2 v 1 v 2 Gambar Graf untuk Mengilustrasikan Jalan, Jalan Tertutup, Trail, Lintasan. Jalan: v 1, e 1, v 2, e 5, v 5, e 4, v 1, e 6, v 3, e 7, v 4, e 8, v 5, e 5, v 2 Jalan tertutup: v 1, e 1, v 2, e 5, v 5, e 4, v 1, e 6, v 3, e 7, v 4, e 8, v 5, e 5,v 2, e 1, v 1 Trail: v 1, e 1, v 2, e 5, v 5, e 3, v 3, e 2, v 2 Lintasan: v 1, e 1, v 2, e 2, v 3, e 7, v 4, e 8, v 5 Siklus: v 1, e 1, v 2, e 2, v 3, e 3, v 5, e 4, v 1 Misalkan u dan v titik berbeda pada graf G, maka titik u dan v dapat dikatakan terhubung (connected), jika terdapat lintasan u v di G. Suatu graf G dapat dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik u dan v di G terhubung. Contoh: v 4 v 4 v 5 G 1 : G 2 : v 3 v 5 v 3 v 1 v 2 v 1 v 2 Gambar Graf Terhubung dan Graf Tak Terhubung
10 14 Graf G 1 merupakan graf terhubung karena setiap titiknya terhubung dan terdapat lintasan dari setiap titik ke tiap titik lain di graf G 1, sedangkan G 2 adalah graf tak terhubung karena terdapat titik yang tak terhubung dengan titik yang lain, yaitu titik v 1 dan v 2 tidak terhubung dengan titik v 3,v 4, dan v 5. C. Operasi pada Graf Gabungan dua graf G 1 dan G 2 dinotasikan dengan G = G 1 G 2 yang memiliki himpunan titik V(G) = V(G 1 ) V(G 2 ) dan himpunan sisi E(G) = E(G 1 ) E(G 2 ). Jika suatu graf G memuat lebih dari n graf, dimana n 2 graf H, dapat ditulis dengan G = nh (Chartrand dan Lesniak, 1996). Gambar 2.12 merupakan contoh dari gabungan graf. Gambar Gabungan Graf Karena graf G memuat 3 graf P 2 dan 2 graf C 2, maka graf tersebut dapat dinotasikan dengan 3P 2 2C 2. D. Graf Planar Graf planar adalah graf pada bidang datar dimana sisi pada graf tersebut tidak bersiangan dengan sisi yang lain, jika graf yang sisinya bersilangan disebut juga graf tidak planar (Chartrand dan Lesniak, 1996).
11 15 (a) (b) Gambar Graf planar (a) K 4 merupakan graf planar dimana sisi pada graf K 4 saling bersilangan seperti yang ditunjukan pada gambar 2.13 (a), lalu dapat digambarkan kembali tanpa ada sisi yang bersilangan pada gambar 2.13 (b). Representasi graf planar dengan sisi yang tidak saling memotong disebut graf bidang (plane graph). Berikut merupakan graf planar dan graf bidang: (a) (b) (c) Gambar 2.14.(a) Graf planar. (b) dan (c) adalah graf bidang Sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau disebut dengan wajah (face). Wilayah pada graf bidang dapat ditentukan dengan mudah perhatikan gambar 2.15 di bawah: R 2 R 3 R 5 R 6 R 1 R 4 Gambar Graf planar yang terdiri dari 6 wilayah
12 16 Gambar 2.15 di atas merupakan graf bidang yang terdiri dari 6 wilayah (termasuk wilayah terluar). Teorema 2 (Formula Euler) Diketahui graf G adalah graf terhubung planar dengan v adalah titik, e adalah sisi, f adalah wajah, maka : v e + f = 2 Bukti: Dibuktikan dengan menginduksi pada jumlah sisi. Jika e = 0, maka graf G hanya mempunyai satu titik, dan jumlah wajah pada graf G tersebut adalah satu. Jelas bahwa v e + f = 2. Anggap benar untuk graf planar dengan k sisi, dengan k 0. Dimisalkan sebuah graf terhubung planar dengan k + 1 sisi, maka graf G bisa memiliki siklus, dan tidak memiliki siklus. Jika G tidak memiliki siklus, maka graf G merupakan sebuah pohon, maka e = v 1 (setiap pohon dengan titik v memiliki v 1 sisi) dan f = 1 jadi dapat disimpulkan v e + f = 2. Jika graf G memiliki siklus C, memilih sisi x di C dan menghapus x dari graf G maka akan mendapatkan graf planar baru yaitu G. Karena x ada pada siklus, G masih terhubung dan memiliki titik yang sama dengan graf G, tetapi G memiliki k sisi. Induksi di atas diperoleh v e + f = 2. Jika x tidak dihapus, maka terdapat 2 wilayah, yaitu terletak di dalam siklus dan di luar siklus tersebut. Jadi v = v, e = e 1, f = f 1 berakibat v e + f = 2.
13 17 E. Graf Platonik Graf platonik adalah graf sederhana karena tidak memiliki loop dan juga sisi ganda yang dibentuk dari bangun polyhedron yang semua wajahnya merupakan bangun segi-n beraturan dan semua wajah bertemu di setiap titik yang sama yang disebut platonic solid. Graf platonik dinotasikan dengan P d n dengan n adalah jumlah sisi pada polyhedron dan d adalah derajat titik. Terdapat 5 platonic solid yang meliputi cube, dodecahedron, icosahedron, octahedron, dan tetrahedron. Gambar 2.16 merupakan platonic solid. Cube Dodecahedron Icosahedron Octahedron Gambar Platonic Solid Tetrahedron Tabel 2.1 adalah 5 nama platonic solid, dimana V adalah banyaknya titik, E adalah banyaknya sisi, dan F adalah banyaknya wajah pada platonic solid.
14 18 Tabel 2.1. Platonic Solid Simbol Nama polyhedron V E F Cube Dodecahedron Icosahedron Octahedron Tetrahedron Teorema 3 Hanya ada 5 platonic solid yang terdiri dari cube, dodecahedron, icosahedrons, octahedron, dan tetrahedron (Fleck, 2004). Bukti Dari teorema 1, jumlah derajat titik adalah 2 kali jumlah sisi dengan derajat titik adalah d, maka didapatkan dv = 2e. (1) dari teorema 1 untuk wajah, jumlah wilayah juga 2 kali jumlah sisinya, ini berarti nf = 2e. (2) Subtitusi persamaan (1) dan (2) ke formula euler v e + f = 2, didapatkan Kedua ruas di bagi dengan 2e:
15 19 Jika dianalisi persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa d dan n tidak dapat lebih besar dari 3. Jika d dan n adalah 4 atau lebih, maka ruas kiri pada persamaan di atas akan lebih kecil dari ½. Sehingga salah satu antara d dan n harus sama dengan 3. Untuk d = 3, Karena 1/e positif, ini berarti n tidak boleh lebih besar dari 5, dengan demikian jika n = 3 maka d tidak boleh lebih besar dari 5. Dapat diperoleh 5 kemungkinan untuk derajat d dan banyak sisi n yaitu: (3,3) bentuk dari tetrahedron, (3,4) bentuk dari octahedron, (3,5) bentuk dari icosahedrons. (4,3) bentuk dari cube, (5,3) bentuk dari dodecahedron F. Graf Archimedean Graf Archimedean adalah graf sederhana dan graf planar yang dibentuk dari bangun ruang yang semua wajahnya merupakan regular polyhedron, dimana setiap wajah terdapat lebih dari satu macam polygon yang disebut Archimedean solid.
16 20 Terdapat 13 Archimedean solid seperti gambar di bawah: Truncated tetrahedron Truncated cube Truncated octahedron Truncated dodecahedron Truncated icosahedron cuboctahedron icosidodecahedron rhombicuboctahedron rhombicosidodecahedron Great rhombicuboctahedron Great rhombicosidodecahedron Snub cube Snub dodecahedron Gambar Archimedean Solid
17 21 11 dari 13 Archimedean solid dibentuk oleh proses pemotongan (truncation). 7 Archmedean solid dibentuk dari proses pemotongan platonic solid meliputi truncated cube, truncated dodecahedron, truncated icosahedron, truncated icosahedron, truncated tetrahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron, 4 Archimedean solid dibentuk dari pemotongan Archimedean solid meliputi great rhombicosidodecahedron, great rhombicuboctahedron, small rhombicosidodecahedron, small rhombicuboctahedron, dan 2 Archimedean solid yang lainnya diperoleh dengan proses snubbing yaitu snub cube dan snub dodecahedron. Snubbing adalah proses yang digunakan pada polyhedral. 3 langkah dalam proses snubbing meliputi: a. Menarik setiap wajah secara terpisah pada setiap polyhedron b. Mengganti sisi pada setiap wajah dengan segitiga. Masing-masing segitiga dapat dipasangkan ke kiri atau ke kanan. c. Mengganti titik dimana n wajah bertemu dengan n sisi polygon. Tabel 2.2 adalah 13 nama Archimedean solid, dimana V adalah banyaknya titik, E adalah banyaknya sisi, dan F adalah banyaknya wajah pada Archimedean solid. Tabel 2.2. Archimedean Solid Simbol Nama polyhedron V E F A3.8 2 Truncated Cube A Truncated Dodecahedron A5.6 2 Truncated Icosahedron A4.6 2 Truncated Octahedron
18 22 G. Digraf A3.6 2 Truncated Tetrahedron A(3.4) 2 Cuboctahedron A(3.5) 2 Icosidodecahedron A Great Rhombicosidodecahedron A Great Rhombicuboctahedron A Small Rhombicosidodecahedron A3.4 3 Small Rhombicuboctahedron A3 4.4 Snub Cube A3 4.5 Snub Dodecahedron Digraf (Graf berarah/ Directed Graph) adalah struktur yang terdiri dari pasangan himpunan (V, E) dimana V adalah himpunan tak kosong yang disebut titik (vertex) dan E adalah himpunan sisi (mungkin kosong) yang mempunyai arah dari u ke v. Sisi berarah disebut busur (arc). Himpunan titik di D dinotasikan dengan V(D) dan himpunan busur dinotasikan dengan E(D) (Chartrand dan Lesniak, 1996). Himpunan titik pada digraf D disebut order dari D dan dilambangkan dengan n(d) atau n. Sedangkan himpunan busur digraf D adalah size m(d) atau m (Chartrand dan Lesniak, 1996). Diberikan digraf D dengan himpunan titik V(D) = {u, v, w} dan himpunan busur E(D) = {(u, w), (w, u), (u, v)} berikut: u v w Gambar Digraf D
19 23 Misal D digraf dan u dan v adalah titik-titik pada digraf D. Jika e = (u, v) adalah busur pada digraf D, maka e dikatakan menghubungkan antara titik u dan v, u adjacent ke v dan v adjacent dari u. Jika busur e diarahkan dari u ke v maka busur e disebut incident dari u dan incident ke v. Dicontohkan pada digraf di bawah: u e v Gambar Adjacent dan incident di Digraf D Digraf D dikatakan terhubung jika ada lintasan di D antara pasangan titik yang diketahui (Chartrand dan Lesniak, 1986). Suatu walk dengan panjang k pada suatu digraf D adalah rangkian k busur D dengan bentuk uv untuk (u,v) dimana uv vu. Sebuah walk, W = e 1 e 2 e k : u v pada digraf D jika e i D untuk semua i [i, k]. Jika semua busur (tetapi tidak perlu semua titik) suatu walk berbeda disebut trail. Jika walk dengan semua titiknya berbeda maka trail itu disebut lintasan (path) (Harju, 1994). v 4 v 4 v 5 D 1 : D 2 : v 3 v 5 v 3 v 1 v 2 v 1 v 2 Gambar Digraf Terhubung dan Graf Tak Terhubung D 1 merupakan digraf terhubung karena setiap titiknya terhubung dan terdapat lintasan dari setiap titik ke tiap titik yang lain di digraf D 1, D 2 adalah digraf tak terhubung karena terdapat titik yang tak terhubung dengan titik yang lain, yaitu titik v 1 dan v 2 tidak terhubung dengan titik v 3 dan v 4.
20 24 H. Eksentrik Digraf Diberikan suatu graf terhubung G, jarak (distance) antara dua titik u dan v di G adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v di G. Jika tidak ada lintasan dari simpul u ke v, maka kita definisikan jarak d(u,v) = (Chartrand dan Lesniak, 1996). Eksentrisitas (eccentricity) titik v pada graf G dinotasikan dengan e(v) dari suatu titik v pada graf terhubung G adalah jarak terjauh dari titik v ke setiap titik di G dapat dituliskan e(v) = max{d(u,v) u V(G)} (Deo, 1994). Radius dari G adalah eksentrisitas minimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan rad G = min{e(v),v V}. Sedangkan diameter dari graf G adalah eksentrisitas maksimum pada setiap titik di G, dapat dituliskan diamg = max{e(v), v V} (Kusmayadi dan Sudibyo, 2011). Eksentrik digraf dari suatu graf adalah suatu graf yang mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik di G, dan terdapat suatu busur (sisi berarah) yang menghubungkan titik u ke v jika v adalah suatu titik eksentrik dari u. Eksentrik digraf dinotasikan dengan ED(G) (Kusmayadi dan Sudibyo: 2011). Terdapat beberapa langkah untuk menentukan eksentrik digraf pada digraf, menentukan jarak setiap titik di G ke titik yang lain di G merupakan langkah awal, menentukan eksentrisitas dan titik eksentrik setiap titik dari jarak yang telah diketahui, kemudian menggambar eksentrik digrafnya. Himpunan titik
21 25 pada eksentrik digraf sama dengan himpunan titik di graf G dan jika v adalah titik eksentrik dari u, maka terdapat busur yang menghubungkan titik u ke v. v 5 v 1 v 2 v 3 v 4 v 6 Gambar Graf yang akan dicari Eksentrik Digrafnya Berdasarkan gambar 2.21 dapat menentukan jarak antara titik satu dengan titik yang lain pada graf G adalah: d(v 1,v 2 ) = 1, d(v 2,v 1 ) = 1, d(v 3,v 1 ) = 2, d(v 4,v 1 ) = 3, d(v 5,v 1 ) = 1, d(v 6,v 1 ) = 2 d(v 1,v 3 ) = 2, d(v 2,v 3 ) = 1, d(v 3,v 2 ) = 1, d(v 4,v 2 ) = 2, d(v 5,v 2 ) = 1, d(v 6,v 2 ) = 1 d(v 1,v 4 ) = 3, d(v 2,v 4 ) = 2, d(v 3,v 4 ) = 1, d(v 4,v 3 ) = 1, d(v 5,v 3 ) = 1, d(v 6,v 3 ) = 1 d(v 1,v 5 ) = 1, d(v 2,v 5 ) = 1, d(v 3,v 5 ) = 1, d(v 4,v 5 ) = 2, d(v 5,v 4 ) = 2, d(v 6,v 4 ) = 1 d(v 1,v 6 ) = 2, d(v 2,v 6 ) = 1, d(v 3,v 6 ) = 1, d(v 4,v 6 ) = 1, d(v 5,v 6 ) = 2, d(v 6,v 5 ) = 2 Jarak antara jarak titik satu dan titik lainnya seperti di atas dapat dibuat tabel seperti tabel jarak di bawah: Tabel 2.3. Jarak titik dari graf G v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v v v v v v
22 26 Pada gambar 2.21, setelah menentukan jarak pada setiap titik ke titik lain di graf G, maka akan didapat eksentrisitas dari titik tersebut: Titik Eksentrisitas Titik eksentrik v 1 3 v 4 v 2 2 v 4 v 3 2 v 1 v 4 3 v 1 v 5 2 v 4, v 6 v 6 2 v 1, v 5 Hasil titik eksentrik pada tabel di atas, diperoleh eksentrik digraf dari graf pada gambar 2.22 sebagai berikut: Tabel 2.4. Tabel Eksentrisitas v 5 v 1 v 2 v 3 v 4 v 6 Gambar Eksentrik Digraf dari Graf G
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinci2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: Suatu Graf G adalah suatu pasangan himpunan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
Lebih terperinciDIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF STAR DAN GRAF WHEEL
DIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF STAR DAN GRAF WHEEL skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Rido Oktosa 4150406504 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan
Lebih terperinciLOGIKA DAN ALGORITMA
LOGIKA DAN ALGORITMA DASAR DASAR TEORI GRAF Kelahiran Teori Graf Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 736) C A D B Gbr. Masalah Jembatan Königsberg Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciPenerapan Teori Graf untuk Mencari Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star dan Graf Komplit Bipartit
Penerapan Teori Graf untuk Mencari Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star dan Graf Komplit Bipartit Ivan Saputra 13505091 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha
Lebih terperinciEksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star, dan Graf Komplit Bipartit
Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star, dan Graf Komplit Bipartit Charles Hariyadi Jurusan Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Bandung if15105@students.if.itb.ac.id(13505105) Abstrak
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
5 BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota KÖnigsberg (sebelah timur Negara bagian
Lebih terperinciEKSENTRIK DIGRAF DARI GRAF-GRAF KHUSUS
EKSENTRIK DIGRAF DARI GRAF-GRAF KHUSUS Sulistyo Unggul Wicaksono NIM : 13503058 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung E-mail: if13058@students.if.itb.ac.id
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciGraph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga
TEORI GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciGambar 6. Graf lengkap K n
. Jenis-jenis Graf Tertentu Ada beberapa graf khusus yang sering dijumpai. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut. a. Graf Lengkap (Graf Komplit) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari
Lebih terperinciPENGERTIAN GRAPH. G 1 adalah graph dengan V(G) = { 1, 2, 3, 4 } E(G) = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) } Graph 2
PENGERTIAN GRAPH 1. DEFINISI GRAPH Graph G adalah pasangan terurut dua himpunan (V(G), E(G)), V(G) himpunan berhingga dan tak kosong dari obyek-obyek yang disebut himpunan titik (vertex) dan E(G) himpunan
Lebih terperinciKONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciSuatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik
BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel Teori Dasar Graf Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) di mana V adalah himpunan dari vertex
Lebih terperinciGRAF. V3 e5. V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E = {(v 1,v 2 ), (v 1,v 2 ), (v 1,v 3 ), (v 2,v 3 ), (v 3,v 3 )}
GRAF Graf G(V,E) didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (verteks atau node). Dan E adalah himpunan berhingga dari busur (vertices
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciDigraph eksentris dari turnamen transitif dan regular (Eccentric digraph of transitive and regular tournaments)
Digraph eksentris dari turnamen transitif dan regular (Eccentric digraph of transitive and regular tournaments) Oleh : Hazrul Iswadi Departemen Matematika dan IPA (MIPA) Universitas Surabaya (UBAYA), Jalan
Lebih terperinci`BAB II LANDASAN TEORI
`BAB II LANDASAN TEORI Landasan teori yang digunakan sebagai materi pendukung untuk menyelesaikan permasalahan yang dibahas dalam Bab IV adalah teori graf, subgraf, subgraf komplit, graf terhubung, graf
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi yang akan dihasilkan pada penelitian ini. 2.1 Beberapa Definisi dan Istilah 1. Graf (
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bab ini terdiri dari tiga subbab. Subbab pertama adalah tinjauan pustaka yang memuat hasil penelitian yang dilakukan oleh peneliti sebelumnya dalam bidang dimensi metrik. Subbab kedua
Lebih terperinciGraph. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya
Graph Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Pengantar Teori graph merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak penerapan. Graph digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antar
Lebih terperinciPENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF
PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan penelitian sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciDiscrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika
Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2
PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Seiring perkembangan zaman, maka perkembangan ilmu pengetahuan berkembang pesat, begitu pula dengan ilmu matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki
Lebih terperinciStruktur dan Organisasi Data 2 G R A P H
G R A P H Graf adalah : Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik) Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk
Lebih terperinci2. Terminologi Graph
2. Terminologi Graph Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph dan Subgraph 2. Derajat Titik 3. Path dan Cycle 4. Graph Regular dan Graph Bipartit Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004. Graph
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan
Lebih terperinciGraf dan Operasi graf
6 Bab II Graf dan Operasi graf Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan
4 II. LANDASAN TEORI Ide Leonard Euler di tahun 1736 untuk menyelesaikan masalah jembatan Konisberg yang kemudian menghasilkan konsep graf Eulerian merupakan awal dari lahirnya teori graf. Euler mengilustrasikan
Lebih terperinciDIMENSI METRIK, MULTIPLISITAS SIKEL, SERTA RADIUS DAN DIAMETER GRAF KOMUTING DAN NONKOMUTING GRUP DIHEDRAL
ALJABAR/PENELITIAN DASAR LAPORAN AKHIR PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI DIMENSI METRIK, MULTIPLISITAS SIKEL, SERTA RADIUS DAN DIAMETER GRAF KOMUTING DAN NONKOMUTING GRUP DIHEDRAL Oleh: Dr. ABDUSSAKIR,
Lebih terperinciKode MK/ Matematika Diskrit
Kode MK/ Matematika Diskrit TEORI GRAF 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 TEORI GRAF Tujuan Mahasiswa memahami konsep
Lebih terperinci7. PENGANTAR TEORI GRAF
Definisi : Secara umum merupakan kumpulan titik dan garis. Sebuah garf G terdiri dari: 1. Sebuah himpunan V=V(G) yang memiliki elemen2 yg dinamakan verteks/titik/node. 2. Sebuah kumpulan E=E(G) merupakan
Lebih terperincimerupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada. (Yaoyuenyong et al. 2002)
dari elemen graf yang disebut verteks (node, point), sedangkan, atau biasa disebut (), adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan dua elemen subset dari yang disebut sisi (edge, line). Setiap
Lebih terperinciLATIHAN ALGORITMA-INTEGER
LATIHAN ALGORITMA-INTEGER Nyatakan PBB(295,70) = 5 sebagai kombinasi lanjar 295 dan 70 Tentukan inversi dari 27(mod 7) Tentukan solusi kekongruenan lanjar dari 27.x kongruen 1(mod 7) dengan cara 1 ( cara
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Graf
Bab 2 TEORI DASAR Pada bab ini akan dipaparkan beberapa definisi dasar dalam Teori Graf yang kemudian dilanjutkan dengan definisi bilangan kromatik lokasi, serta menyertakan beberapa hasil penelitian sebelumnya.
Lebih terperinciDasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013
Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelaskelas graf, dan dimensi metrik pada
Lebih terperinciEksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star, Graf Komplit Bipartit dan Pelabelan Konsekutif Pada Graf Sikel dan Graf Bipartit Komplit
Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star, Graf Komplit Bipartit dan Pelabelan Konsekutif Pada Graf Sikel dan Graf Bipartit Komplit Abdul Gafur NIM : 13505011 Program Studi Teknik Informatika,
Lebih terperinciGRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).
GRAF GRAF Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya
Lebih terperinciDigraf dengan perioda 2
Digraf dengan perioda 2 Hazrul Iswadi, Arif Herlambang, Heru Arwoko Departemen Matematika dan IPA (MIPA) Universitas Surabaya (UBAYA), Jalan Raya Kalirungkut, Surabaya, e-mail : us6179@wolf.ubaya.ac.id
Lebih terperinciGraf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP
Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciSIFAT SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS Nur Rohmah Oktaviani Putri * CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS ALL CYCLES Nur Rohmah Oktaviani Putri
SIFAT SIFAT GRAF YANG MEMUAT SEMUA SIKLUS Nur Rohmah Oktaviani Putri * Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin CHARACTERISTIC OF THE GRAPH THAT CONTAINS
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graph merupakan cabang ilmu yang memiliki peranan penting dalam pengembangan ilmu matematika dan aplikasi. Teori graph saat ini mendapat banyak perhatian karena
Lebih terperinciPenerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciMULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS
MULTIPLISITAS SIKEL DARI GRAF TOTAL PADA GRAF SIKEL, GRAF PATH DAN GRAF KIPAS SKRIPSI Oleh : NUR DIAN PRAMITASARI J2A 009 064 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG
Lebih terperinciEDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH
LAPORAN PENELITIAN MANDIRI EDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH Oleh Abdussakir, M.Pd UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI JURUSAN MATEMATIKA MEI 005 EDGE-MAGIC TOTAL
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinci11. Planaritas. Oleh : Ade Nurhopipah. Gambar 11.1 Masalah Utilitas
11. Planaritas Oleh : Ade Nurhopipah Pokok Bahasan : 1. Graph Planar 2. Rumus Euler 3. Metode Cycle untuk Test Planaritas 4. Teorema Kuratowski 5. Dualitas Sumber : Aldous, Joan M.,Wilson, Robin J. 2004.
Lebih terperinciGraf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Demak Semarang. Kend al. Salatiga.
GRAF PENDAHULUAN Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan
Lebih terperinciBAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciPENENTUAN BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR
TESIS - SM 142501 PENENTUAN BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR ROBIATUL ADAWIYAH NRP 1214 201 019 DOSEN PEMBIMBING Dr. Darmaji, S.Si., M.T. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA
Lebih terperinciI. LANDASAN TEORI. Seperti yang telah dipaparkan pada bab sebelumnya, teori graf merupakan salah satu ilmu
I. LANDASAN TEORI Seperti yang telah dipaparkan pada bab sebelumnya, teori graf merupakan salah satu ilmu matematika yang mempresentasikan suatu objek berupa vertex (titik) dan edge (garis), edge merupakan
Lebih terperinciGraf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017
Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 PLANARITAS-1 HASIL KALI LEKSIKOGRAFIK GRAF Novi Dwi Pratiwi (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciKLASIFIKASI GRAF PETERSEN BERBILANGAN KROMATIK LOKASI EMPAT ATAU LIMA
KLASIFIKASI GRAF PETERSEN BERBILANGAN KROMATIK LOKASI EMPAT ATAU LIMA (Tesis) Oleh : Devriyadi Saputra S NPM. 1427031001 MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Graf Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices) pada G. Sedangkan E adalah himpunan
Lebih terperinciBAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang
BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.
Lebih terperinciBagaimana merepresentasikan struktur berikut? A E
Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? B D A E F C G Bagaimana merepresentasikan struktur berikut? Contoh-contoh aplikasi graf Peta (jaringan jalan dan hubungan antar kota) Jaringan komputer Jaringan
Lebih terperinciSEMINAR TUGAS AKHIR RAINBOW CONNECTION PADA GRAF 1-CONNECTED VOENID DASTI ( )
SEMINAR TUGAS AKHIR RAINBOW CONNECTION PADA GRAF 1-CONNECTED VOENID DASTI 08103201 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Andalas Jumu ah 26 APRIL 2013 List of Contents
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002). = ( ) {1,2,3,, } dengan syarat
III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.00). Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. Pewarnaan
Lebih terperinciKonsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi
GRPH 1 Konsep Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi 2 Contoh Graph agan alir pengambilan mata kuliah 3 Contoh Graph Peta 4 5 Dasar-dasar Graph Suatu graph
Lebih terperinciBAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH
BAB 2 BEBERAPA ISTILAH DARI GRAPH Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dan terminologi dalam graph yang akan dipergunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini. Juga akan dibahas
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Teori Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
Lebih terperinciAplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio
Aplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio Muhamad Irfan Maulana - 13515037 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciGraf. Matematika Diskrit. Materi ke-5
Graf Materi ke-5 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik pencacahan dalam bentuk definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang akan dilakukan. 2.1
Lebih terperinciMIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS
PELABELAN DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Meliana Deta Anggraeni 4111409019
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT
DIMENSI METRIK PADA GRAF LINTASAN, GRAF KOMPLIT, GRAF SIKEL, GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Septiana Eka R. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Universitas Negeri
Lebih terperinciGraf. Matematika Diskrit. Materi ke-5
Graf Materi ke-5 Graf Isomorfik Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian dengan matriks tersebut. 2 0 0 0 0 0 0
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu:
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pembagian Ilmu Statistik Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu: 1. Statistik Parametrik Statistik parametrik adalah ilmu statistik yang digunakan untuk
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang memiliki banyak. terapan di berbagai bidang sampai saat ini.
1 I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang matematika yang memiliki banyak terapan di berbagai bidang sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek
Lebih terperinciMatematik tika Di Disk i r t it 2
Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat
Lebih terperinciAnalogi Pembunuhan Berantai Sebagai Graf Dalam Investigasi Kasus
Analogi Pembunuhan Berantai Sebagai Graf Dalam Investigasi Kasus Elmo Dery Alfared NIM: 00 Program Studi Teknik Informatika ITB, Institut Teknologi Bandung email: if0 @students.itb.ac.id Abstract Makalah
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT GRAF KOSET DAN GRAF KONJUGASI DARI GRUP NON KOMUTATIF
MATEMATIKA LAPORAN PENELITIAN PENGUATAN PROGRAM STUDI SIFAT-SIFAT GRAF KOSET DAN GRAF KONJUGASI DARI GRUP NON KOMUTATIF Spektrum Graf Konjugasi dan Graf Komplemen Graf Konjugasi dari Grup Dihedral Disusun
Lebih terperinci