PROSIDIG ISB : 978 979 6353 6 3 Modl Statistika untuk Frtilitas Prkainan dngan Pndkatan Eksonnsial S 3 Endang Sri Krsnaati Jurusan Matmatika FMIPA Univrsitas Sriiaa ndangsrikrsnaati@ahoo.co.id Abstrak Frtilitas rkainan dingaruhi olh faktor frtilitas alami dan rilaku hntian. Kdua faktor trsbut daat dibangun mlalui ngmbangan Modl Coal-Trussll dngan ndkatan ksonnsial mnadi modl statistika. Tingkat frtilitas alami ( m ) dan tingkat rilaku hntian ( M ) dirolh dngan mmaksimumkan modl statistika trsbut dngan maximum liklihood. Kata kunci: frtilitas rkainan, ksonnsial, maximum liklihood Pndahuluan Kmauan ilmu ngtahuan dan tknologi dasa ini mmngaruhi sika manusia dalam mmutuskan umlah anak ang dimiliki. Frtilitas adalah ukuran ang mnunukkan umlah klahiran. Frtilitas rkainan adalah banakna umlah anak ang dilahirkan dari anita mnikah slama masa suburna. Pada masarakat modrn, ola frtilitas dingaruhi olh faktor biologi, sikologi, idologi, olitik, sosial, konomi, budaa, dan faktor rligi ang dianut. Brbagai faktor trsbut mlahirkan brbagai sika manusia dalam mmbuat kutusan mngnai umlah klahiran. Scara tori, tingkat frtilitas ditntukan dari dua faktor utama, aitu narangan klahiran dan mbatasan klahiran. Komlksna faktor ang mmngaruhi klahiran mnbabkan naksiran angka klahiran mnggunakan modl frtilitas diskrit tidak mamu lagi mnggambarkan arah dan tingkat frtilitas. Modl frtilitas kontinu lbih daat mnggambarkan fnomna frtilitas saat ini mlalui kluasan angkauan mbahasan ang dimilikina. Sumarno, H 997 tlah mnaksir frtilitas rkainan mnggunakan Distribusi Poisson. Distribusi Poisson adalah distribusi luang brvariabl acak diskrit. Dalam rangka ngmbangan modl ang dissuaikan dngan ola frtilitas saat ini, maka dibangun suatu modl frtilitas rkainan mlalui ndkatan ksonnsial. Modl statistika adalah gambaran sdrhana dari data, biasana dibangun dari hubungan matmatika atau numric trdfinisi. Modl statistika uga daat dinatakan sbagai formula ang mndfinisikan bagian struktur modl, aitu data aa ang dimodlkan, dngan data lain aa, dan dalam bntuk aa. Modl statistika harus Makalah dirsntasikan dalam Sminar asional Matmatika dan Pndidikan Matmatika dngan tma Matmatika dan Pndidikan Karaktr dalam Pmblaaran ada tanggal 3 Dsmbr 0 di Jurusan Pndidikan Matmatika FMIPA UY
PROSIDIG ISB : 978 979 6353 6 3 mmiliki tiga oin, aitu: variabl acak, aramtr konstan ang tidak diktahui, dan suatu fungsi g (). ang mnggambarkan fungsi dnsitas dari variabl acak untuk stia obk. Salah satu nraan modl statistika adalah untuk mnntukan frtilitas rkainan. Salah satu modl ang digunakan untuk mnlaskan frtilitas rkainan adalah Modl Coal-Trussll (Poulation Indx, 974). Modl ini mnatakan frtilitas rkainan mlalui rasio antara frtilitas klomok umur dngan frtilitas alami. Sumarno, 977 mnatakan modl Coal-Trussll dalam bntuk Poisson. Krsnaati, 999 mngmbangkan Modl Coal-Trussll mnggunakan ksonnsial. Distribusi Poisson daat digunakan untuk mnaksir kadian ang brsifat acak dalam kurun aktu trtntu, contohna frtilitas. Pndugaan frtilitas sangat dingaruhi olh aktu dan ristia klahiran. Distribusi ksonnsial, mmiliki bilangan okok, shingga distribusi ini daat digunakan untuk mnaksir kadian acak dan bbas ang brkaitan dngan aktu. Alas an nggunaan distribusi ini adalah karna naksoiran angka frtilitas untuk aktu ang akan dating tidak dingaruhi olh ristia klahiran masa lamau. Kadian masa lamau hana brfungsi sbagai mbanding untuk ndugaan masa dan. Karna kmirian sifat trsbut, maka sangat mungkin mngmbangkan modl diskrit dalam Sumarno, 977 mnadi modl frtilitas rkainan dngan ndkatan ksonnsial ang brsifat kontinu. Mtod Pnlitian Pnlitian ini dilaksanakan mlalui bbraa taha, aitu: transformasi distribusi gamma k distribusi ksonnsial, mnntukan naksir m dan M, nguian ratio liklihood, dan mnusun modl frtilitas rkainan. Hasil Pnlitian dan Pmbahasan Modl Coal-Trussll Frtilitas mnunukkan kmamuan scara nata dari sorang anita atau sklomok anita untuk mlahirkan ang tradi dalam masa rroduksi antara 5 tahun samai 49 tahun. Frtilitas adalah ukuran ksuburan. Frtilitas ang diukur dari anita mnikah disbut frtilitas rkainan. Knataanna,. Tidak smua anita ang Sminar asional Matmatika dan Pndidikan Matmatika Yogakarta, 3 Dsmbr 0 MS 0
PROSIDIG ISB : 978 979 6353 6 3 brada dalam masa rroduksi scara otnsial mamu mlahirkan bai. Kadaan ini disbabkan bbraa factor. Poulation Indx, 974 mmbrikan salah satu modl ang digunakan untuk mnlaskan frtilitas rkainan aitu Modl Coal-Trussl r( a) Mks[ mv( a)] () n( a) Dngan r ( a) / n( a) mnatakan rasio frtilitas mnurut umur, r(a), dngan frtilitas alami, n(a). M adalah suatu konstanta ang mnatakan frtilitas alami, m adalah konstanta untuk rilaku hntian, dan v(a) mnatakan rilaku hntian. Sumarno, 977 mnotasikan r(a) dngan ASMFR(a) (Ag Scific Marital Frtilit Rat). Modl ini mnatakan baha ola rtilitas dingaruhi olh rilaku hntian. Ada dua rilaku hntian, aitu narangan klahiran dan mbatasan umlah anak ang dilahirkan. Dua factor ini mnadi ndorong tidak tradina klahiran. Brdasarkan itu, Modl Coal-Trussll ada rsamaan () daat ditulis sbagai brikut: ASMFR ( a) Mks[ mv( a)] () M dan m brbanding trbalik. Jika M bsar, maka m kcil dan sbalikna. Modl Coal- Trussll masuk dalam kluarga ksonnsial./ ongmbanganna k distribusi ksonnsial adalah dalam rangka mndaatkan angka taksiran ang mndkati adat sbnarna dngan galat skcil mungkin. Tahaan brikutna ang dilakukan dalam mnususn modl (0 mnadi kkodl ksonnsiaql adalah dngan mntransformasi distribusi gamma k ditribusi ksonnsial dan mnntukan naksir Maximum Liklihood untu M dan m. Transformasi Distribusi Gamma k Distribusi Eksonnsial Distribusi ksonnsial dirolh dari distribussi gamma dngan nilai aramtr trtntu. Distribusi gamma sndiri brasal dari transformasi Poisson. Distribusi Gamma adalah modl luang untuk aktu tunggu ang mruakan variabl acak. Dimisalkan variabl acak Y sbagai umur anita k- (,,3,...,. umlah anita) saat ia mlangsungkan rkainan rtama. Umur ang dibutuhkan untuk mmrolh frtilitas adalah bulat ositif. :, dinotasikan dngan t, di mana t adalah bilangan Sminar asional Matmatika dan Pndidikan Matmatika Yogakarta, 3 Dsmbr 0 MS
PROSIDIG ISB : 978 979 6353 6 3 Distribusi Y adalah: G ) Pr( Y ) Pr( Y > ) (3) ( Untuk kadian ang kurang dari total t dalam umur k- anita k-, ika variabl acak K adalah angka klahiran alami dalam umur, maka: dngan shingga t k 0 Pr( Y > ) Pr( K k), t k 0 Pr( K k) Pr( Y > ) t k 0 t k 0 Pr( K k) k ( ) k! B( )! (4) Lalu rsamaan (4) ditransformasi guna mmrolh distrubusi Gamma, hasilna sbagai brikut: t k 0 k ( ) k! t ( t )! dngan k t B dan mnadi: B B( )! (5) Dngan mnsubstitusikan (5) k (3) G( ) B B( )! Dimisalkan: ( )! Γ( B ) Γ( t ) Maka: Sminar asional Matmatika dan Pndidikan Matmatika Yogakarta, 3 Dsmbr 0 MS
PROSIDIG ISB : 978 979 6353 6 3 G( ) B Γ( B ) B Γ( B 0 ) Untuk 0 dan G ( ) 0. Jika kita ubah dngan mmisalkan S, maka: B B S S G( ), > 0 Γ( B ) 0 Akhirna dirolh fungsi dnsitas luang dari Y, aitu: ) G' B B n Γ( B ) n, 0 < 49 < Y brdistribusi Gamma dngan α, B β. Jika B, maka fungsi dnsitas luang dari Y adalah: n n ( ) g n, Γ() Γ() Dinamakan f.d.. Poisson dngan: n 4 6,4 7,4 9,88 ( / 30) 0,89MT( )x 0,0 0,44m x (7) 4,77 30 5, dngan: n k- : umlah anak ang dilahirkan olh anita k- ang mnikah ada usia k- : luang umlah anak ang akan dilahirkan olh anita k- ang mnikah di usia : rata-rata klahiran ang dihasilkan anita k- ang mnikah di usia k- Modl di atas blum snuhna daat digunakan, sblumna harus dibuat k bntuk gabungan, dimaksimumkan, dan dicari naksirna. Fungsi Gabungan Fungsi gabungan mruakan rkalian dari fungsi dnsitas luang Poisson ang dimaksimumkan Sminar asional Matmatika dan Pndidikan Matmatika Yogakarta, 3 Dsmbr 0 MS 3
PROSIDIG ISB : 978 979 6353 6 3 ) n ; ) n ;...; ),,..., n ) n. n.... n ) n (8) dngan umlah anita mnikah Pnaksir Maximum Liklihood Untuk mndaatkan nilai m dan M ang blum diktahui, dilakukan dngan cara m-lnkan fungsi gabungan modl ksonnsial ada rsamaan (8) dan dilakukan difrnsial, shingga mnghasilkan naksir m dan trbaik untuk m dan M. M. Pnaksir m dan M mruakan taksiran,,..., ) n. n.... n L( Ω) n ln L( Ω) ln n (9) Substitusikan rsamaan (7) k rsamaan (9) ln L( Ω ) ln n 4 6,4 7,4 9,88 ( / 30) 0,89 MT ( ) x 0, 0 0, 44m x (0) 4,77 30 5, Kmudian untuk mmrolh naksir m dan trhada masing-masing d ln L( Ω) 0 dm Dirolh: M, diffrnsialkan rsamaan (0) Sminar asional Matmatika dan Pndidikan Matmatika Yogakarta, 3 Dsmbr 0 MS 4
PROSIDIG ISB : 978 979 6353 6 3 Dan m ln d ln L( Ω) 0 dm ks M 9,88 4,77 6,4 ( /30) 0,44 x 30 5, ( 0,89T ( )) ln ( 0,89T ( )) 4 0,89T ( 7,4 0,0 ) 9,88 4,77 4 0,44 30 6,4 Stlah naksir m dan mnadi M dirolh, maka modl Coal-Trussll ada rsamaan () ASMFR ( a) M ks mv( a) (3) Brdasarkan nurunan rumus di atas, daat dikatakan Distribusi Eksonnsial adalah fungsi luang ang mmiliki variabl acak kontinu untuk smua nilai non ngativ dngan aramtr > 0. Sifat distribusi ini slalu ositif, tidak mungkin brnilai ngativ di titik aktu manaun.ika ditlaah k blakang, baik Modl Coal-Trussll mauun Modl (3) sbnarna mngikuti ola umum Modl Prtumbuhan Pnduduk Eksonnsial. Pada modl trsbut, rtumbuhan nduduk digambarkan mngikuti ola bilangan ksonnsial. Dalam rinsi modlan matmatika, modl ang sudah ada daat diubah suai atau dikmbangkan. Pngmbangan daat dilakukan trhada variabl amatan dan ndkatan. Ksimulan dan Saran Pmodlan mruakan nggambaran obk brdasarkan ndkatan matmatis. Modl statistika mruakan modl matmatika ang rumusanna brgantung ada variabl aktu. Modl ang baik adalah modl ang mamu mnggambarkan factor-faktor amatan dngan ksalahan kcil. Pmodlan trhada frtilitas rkainan dngan ndkatan ksonnsial mmbrikan gambaran scara ksonn baha kutusan Sminar asional Matmatika dan Pndidikan Matmatika Yogakarta, 3 Dsmbr 0 MS 5
PROSIDIG ISB : 978 979 6353 6 3 dalam mnntukan umlah anak dingaruhi olh ola narangan klahiran dan mbatasan klahiran. Daftar Pustaka Bostrom, G., 985, Practical Ascts on Th Estimation of Th Paramtrs in Coal s Modl for marital Frtilit, Institut of Mathmatical Statistics, Univrsit of Uma, Sdn. Offic of Poulation Rsarch, 974, Poulation Indx, Princton Univrcit and Poulation Association of Amrica. Krsnaati, Endang S., 999. Modl Statistika untuk Frtilitas Prkainan dngan Pndkatan Eksonnsial, Skrisi, Univrsitas Sriiaa. Sumarno, Hadi, 997, Pnraan modl frtilitas rkainan trhada data aa-bali, Maalah Forum Statistika dan Komutasi IPB, Institut Prtanian Bogor, Bogor, :5-. Sminar asional Matmatika dan Pndidikan Matmatika Yogakarta, 3 Dsmbr 0 MS 6