METODE ITERASI BARU BEBAS DERIVATIF UNTUK MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR Eka Ceria 1, Agusni, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 893), Indonesia eka ceria@yahoo.com ABSTRACT This article discusses a new derivative-free iterative method to find the solutions of nonlinear equations. Analytically it is shown that the order of convergence of the method is two. The advantage of this iterative method is that it can be used to obtain real roots and complex roots. In terms of this ability, the method is equivalent to Muller s method. Numerical tests show that the iterative method is superior and efficient in terms of the number of iterations required to obtain a root. Keywords: nonlinear equations, quadratic convergence, derivative-free iterative method, complex roots, Muller s method. ABSTRAK Artikel ini membahas metode iterasi baru bebas derivatif untuk menemukan solusi persamaan nonlinear. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode iterasi ini mempunyai orde konvergensi kuadratik. Keunggulan metode iterasi ini disamping dapat menghampiri akar real juga dapat digunakan untuk menghampiri akar kompleks. Secara kemampuan metode ini setara dengan metode Muller. Dari uji komputasi terlihat bahwa metode iterasi yang didiskusikan lebih unggul dan efisien dari metode pembanding dalam hal jumlah iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan akar. Kata kunci: persamaan nonlinear, konvergen kuadratik, metode iterasi bebas derivatif, akar kompleks, metode Muller. 1. PENDAHULUAN Dalam matematika, persoalan menemukan solusi dari suatu persamaan nonlinear fx) = 0, 1) selalu menjadi perhatian. Persamaan-persamaan tersebut sering muncul dalam bentuk yang tidak sederhana, yang kadangkala tidak dapat diselesaikan dengan metode JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 16
analitik, sehingga dapat diselesaikan menggunakan metode numerik. Metode numerik merupakan salah satu metode yang sangat banyak kegunaannya dalam bidang ilmu matematika, khususnya untuk mendapatkan solusi persamaan 1). Salah satu metode numerik yang sering digunakan untuk menemukan solusi persamaan 1) adalah metode Newton yang memiliki orde konvergensi kuadratik [1, h. 78] dengan bentuk iterasi fx n) f x n ), f x n ) 0 dan n = 0,1,,. Banyak peneliti berusaha untuk menemukan metode iterasi baru dengan menghindari munculnya turunan di formula iterasi, diantaranya adalah metode Muller [1, h. 108-109], dengan bentuk iterasi dengan C n B n ± B n 4A n C n, A n = x n 1 x n )fx n ) fx n )) x n x n )fx n 1 ) fx n )) x n x n )x n 1 x n )x n x n 1 ) B n = x n x n ) fx n 1 ) fx n )) x n 1 x n ) fx n ) fx n )) x n x n )x n 1 x n )x n x n 1 ) C n = fx n ). Metode Muller memiliki orde konvergensi 1.84 superlinear). Metode iterasi lain yang menghindari munculnya turunan adalah metode yang dikemukakan oleh Yun-Petkovic [5]. Metode ini memiliki orde konvergensi kuadratik, dengan bentuk iterasi dimana dengan nilai awal h n fb n ) fa n ) a n =x n h n, b n = x n +h n, h n =x n x n 1, untuk n 1, ) fx n ), n = 0,1,,, ) x 0 = a+b dan h 0 = b a. Pada artikel ini di bagian dua dibahas metode iterasi baru bebas derivatif untuk menemukan solusi persamaan nonlinear yang merupakan review dari artikel Beong In Yun [4], dengan judul Solving nonlinear equations by a new derivative free iterative method, kemudian dilanjutkan di bagian tiga dengan melakukan uji komputasi terhadap 10 fungsi uji. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 163
. METODE ITERASI BARU Misalkan f kontinu pada[a,b] dan x n adalah akar hampiran untukαdari persamaan fx) = 0. Misalkana n = x n h n danb n = x n +h n untukh n > 0. KonstruksiQx n ;x) dan Qα;x) dua interpolasi polinomial kuadrat Lagrange fx) dititik x = a n,x n,b n dan x = a n,α,b n, sebagai berikut dan Qx n ;x) = x x n)x a n ) b n x n )b n a n ) fb n)+ x b n)x a n ) x n b n )x n a n ) fx n) + x x n)x b n ) a n x n )a n b n ) fa n), 3) Qα;x) = x α)x a n) b n α)b n a n ) fb n)+ fx α)x b n) a n α)a n b n ) fa n). 4) Selanjutnyadenganmengintegralkanpersamaan3)pada[a n,b n ],setelahdisederhanakan diperoleh fb n ) I n = b 3n 3a n b n 3x n b n 3x n b n +6a n b n x n +a 3n 3a nx ) n 6b n x n )b n a n ) fx n ) + b 3n +3a n b n +a 3n 3a nb ) fa n ) n + 6x n b n )x n a n ) 6a n x n )a n b n ) b 3n +3x n b n a 3n +3a nb n +3a nx ) n 6x n a n b n, kemudian dengan mensubtitusi a n = x n h n dan b n = x n +h n ke persamaan 5), setelah disederhanakan diperoleh I n = b n a n fb n )+4fx n )+fa n )). 6 Selanjutnya dengan mengintegralkan persamaan 4) pada [a n,b n ] diperoleh ) fb n ) I α = b n a n ) fa n ) a n +b n 3α) + 6b n α)b n a n ) 6a n α)a n b n ) ) b n a n )a n b n )a n +b n 3α), 6) kemudian dengan menyederhanakan persamaan 6) diperoleh ) b n a n ) I α = α a n )a n +b n 3α)fb n ) b n αa n +b n 3α)fa n ). 6b n α)a n α) 7) 5) JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 164
Pada persamaan 7) asumsikan α = x n+1 dan misalkan bahwa I n = I α, setelah disederhanakan diperoleh fa n )+4fx n )+fb n ))x n+1 +b n +a n )fa n )+4fx n )+fb n )) 4a n +b n )fb n )+ 4b n a n )fa n ))x n+1 + b n a n fa n ) +4fx n )+fb n ))+b n a n +b n )fa n )+a n a n +b n )fb n ) = 0, 8) kemudian persamaan 8) dapat disederhanakan menjadi dengan K = fa n ) fx n )+fb n )) Kx n+1 +Lx n+1 +M = 0, 9) L = 4fa n ) fx n )+fb n )) a n +b n +b n a n )fb n ) fa n )) M = b n a n fa n )+4fx n )+fb n ))+a n b n +b n)fa n )+a n +a n b n )fb n ). Sekarang akan ditemukan akar dari persamaan 9) yaitu x n+1. Jadi, dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat [, h. 13] maka diperoleh akar persamaan 9) yaitu dimana b n a n 4fa n )+fb n ) fx n )) fb n) fa n )± D n ), 10) x n = a n +b n, D n =fb n ) fa n )) 8fx n )fa n )+fb n ) fx n )), 11) a n =x n h n, b n = x n +h n, n 0, 1) h n = x n x n 1, n 1. Kemudian dengan merasionalkan pembilang pada persamaan 10) diperoleh dengan nilai awal x 0 = a+b b n a n )fx n ) fb n ) fa n )±, n 0, 13) D n ) dan h 0 = b a. Sehingga persamaan 10) ekivalen dengan persamaan 13) yang merupakan metode iterasi baru bebas derivatif untuk menemukan solusi persamaan nonlinear. Untuk persamaan 13) dengan tanda ± pada bagian penyebut diambil sehingga memberikan nilai terbesar bagi penyebut yaitu jika D n > 0 maka pilih tanda +, dan jika D n < 0 pilih tanda. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 165
Teorema 1 Orde Konvergensi Metode Yun-Petkovic) [5] Misalkan fungsi f terdiferensialkan dua kali pada interval [a,b] dan misalkan f x) ada pada a,b). Asumsikan α adalah akar sederhana dari fx) = 0 dengan f x) 0 pada [a, b]. Maka metode iterasi pada persamaan ) memiliki orde konvergensi kuadratik setelah x n cukup dekat dengan α. Bukti: Bukti Teorema 1 ini dapat dilihat pada [5] Teorema Orde Konvergensi Metode Iterasi Baru) [4] Asumsikan bahwa f kontinu dan terdiferensialkan tiga kali dan f x) 0 dalam lingkungan U α. Maka metode Iterasai Baru yang diberikan oleh persamaan 10) atau persamaan 13) memiliki orde konvergensi kuadratik setelah x n cukup dekat dengan α dan [a n,b n ] U α. Bukti: Untuk membuktikan Teorema digunakan Teorema 1. Karena f x) 0 pada [a n,b n ], dalam persamaan 10) asumsikan bahwa fa n ) < fb n ). Oleh karena itu, untuk meminimumkan besarnya pembilang dari persamaan 10), ambil b n a n 4fa n )+fb n ) fx n )) fb n) fa n ) D n ), 14) dengan b n a n = h n. Kemudian dengan menggunakan beda terbagi Newton orde pertama dan beda terbagi Newton orde kedua diperoleh dan fb n ) fa n ) = h n f[a n,b n ], 15) fa n )+fb n ) fx n ) =fa n ) fx n ))+fb n ) fx n )) fa n ) fx n ) fb n ) fx n ) = h n +h n a n x n b n x n = h n f[a n,x n ]+h n f[x n,b n ] =h f[a n,x n ] f[b n,x n ] n x n b n fa n )+fb n ) fx n ) =h nf[a n,x n,b n ]. 16) Dengan mensubtitusikan persamaan15) dan16) ke persamaan14) maka diperoleh b n a n 8h nf[a n,x n,b n ] h nf[a n,b n ] D n ). 17) Selanjutnya dengan mensubtitusi persamaan 15) dan 16) ke persamaan 11) maka diperoleh D n = h n f[a n,b n ]) 8fx n )h nf[a n,x n,b n ]) = 4h nf[a n,b n ] 4fx n )f[a n,x n,b n ]) D n = 4h n f[a n,b n ] fx n ) f[a ) ) ) n,x n,b n ] 4fx n ) f[an,x n,b n ]. 18) f[a n,b n ] f[a n,b n ] JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 166
Karena x n cukup dekat dengan α maka fx n ) 0. Maka persamaan 18) dapat ditulis menjadi D n = 4h n f[a n,b n ] fx n ) f[a ) n,x n,b n ]. 19) f[a n,b n ] Selanjutnya asumsikan x n cukup dekat dengan α maka f[a n,b n ] > fx n ) f[a n,x n,b n ], f[a n,b n ] karena dari asumsi fa n ) < fb n ) maka f[a n,b n ] > 0. Sehingga akar dari persamaan 19) adalah Dn = h n f[a n,b n ] fx n ) f[a ) n,x n,b n ]. 0) f[a n,b n ] Kemudian dengan mensubtitusikan persamaan 0) ke persamaan 17) diperoleh b n a n h 8h n f[a n,b n ] h n f[a n,b n ] nf[a n,x n,b n ] fx n ) f[a )) n,x n,b n ] f[a n,b n ] = x n b n a n h n f[a n,b n ] fx n) ) bn a n fx n ). 1) fb n ) fa n ) Persamaan 1) secara asimtotik sama dengan metode iterasi yang diberikan oleh persamaan ) yang memiliki orde konvergensi kuadratik, dengan demikian metode iterasi yang diberikan oleh persamaan 13) atau persamaan 10) mempunyai orde konvergensi kuadratik. 3. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini dilakukan uji komputasi yang bertujuan untuk membandingkan banyak iterasi dari metode Newton MN), metode Muller MM), metode Yun- Petkovic MYP) dan metode Iterasi Baru MIB) dalam menemukan akar dari persamaan nonlinear. Adapun fungsi-fungsi yang digunakan adalah 1. f 1 x) = 1 sin ) πx x), 0 x 5. 5. f x) = 1+x )e x, x. 3. f 3 x) = e sinx x 1, 1 x 4. 4. f 4 x) = 00x 9 +5x +x+100, 1 x 1. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 167
5. f 5 x) = 1 100x 4 + x+ 1, 0 x. 6. f 6 x) = tan 1 300x) 1, 1 x 4. 00 7. P 4 x) = 16x 4 40x 3 +5x +0x+6, 0 x 5. 8. P 5 x) = x 1.64)x 1.641)x 1.7)x+), 3 x 3. 9. P 6 x) = x +9)x 3) 4, 1 x 5. 10. P 9 x) = 00x 9 +5x +x+100, 1 x 1. Dalam menemukan solusi numerik dari contoh-contoh fungsi nonlinear dan polinomial di atas digunakan program Maple 13, untuk contoh 1 6 menggunakan 600 digits dan toleransi ε = 1.0 10 500, sedangkan untuk contoh 7 10 menggunakan 60 digits dan toleransi ε = 1.0 10 50. Tebakan awal yang digunakan dalam setiap metode berbeda-beda, yaitu : 1. Untuk metode Newton, tebakan awalnya adalah x 0 = a+b, yaitu nilai titik tengah dari interval yang diberikan.. Untuk metode Muller, tebakan awalnya adalah x = a, yaitu nilai titik kiri dari interval yang diberikan, x 1 = a+b, yaitu nilai titik tengah dari interval yang diberikan, x 0 = b, yaitu nilai titik kanan dari interval yang diberikan. 3. Untuk metode Yun-Petkovic dan metode Iterasi Baru, tebakan awalnya adalah x 0 = a+b, yaitu nilai titik tengah dari interval yang diberikan. Dalam menentukan solusi numerik juga ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk setiap metode, yaitu 1. Jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan.. Jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi yang ditetapkan. Hasil uji komputasi disajikan dalam bentuk tabel berikut. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 168
Tabel1: PerbandinganKomputasinilai f i x) padamn,mm,mypdanmibuntuk persamaan f i x) = 0, i = 1,,3,4. f i n Metode MN MM MYP MIB 7 3.45890e 68 1.83047e 0 1.9501e 43.9041e 97 8 4.79899e 136.43998e 37.0975e 86.978e 196 9 9.3786e 7 1.46553e 68.4686e 17.10415e 390 f 1 10 3.4307e 543 5.43304e 16 3.4868e 344 0.00000e + 00 11 1.6159e 31 0.00000e + 00 1 1.06576e 45 13 1.47995e 783 7 9.5309e 73 6.15755e 16 1.76865e 40 3.46478e 66 8 3.84683e 145 3.74371e 9 1.89353e 80 6.69913e 133 9 6.6751e 90.5766e 53.17093e 160 8.85736e 65 f 10 1.6637e 579 6.41746e 98.85337e 30 4.37799e 530 11 6.68834e 180 1.00000e 599 1 1.19491e 330 13 0.00000e + 00 6.94159e 3 1.173e 13 9.0157e 5 4.8764e 7 7 6.35377e 64 1.0847e 5 4.678e 49.5848e 54 8.96436e 17 1.6097e 46 1.193e 97 5.5954e 108 f 3 9 6.4555e 54 1.83081e 85 8.5531e 195 3.33403e 16 10 3.0575e 507.97331e 157 4.15049e 389 9.788e 43 11 8.16703e 89 1.00000e 599 1.00000e 599 1 4.14361e 531 9 4.15000e + 16 7.7596e 0 5.4983e 6.3965e 65 10 1.4377e + 16 5.7916e 05 1.8584e 53 3.3863e 133 11 4.98084e + 15 1.470e 10.1717e 108.0557e 67 f 4 1 1.7556e + 15 1.470e 10.7875e 18.3849e 537 14.0710e + 1 1.1481e 74 1.00000e 598 16.48565e + 13 1.4546e 56 18.9838e + 1 4.4140e 598 51 1.00000e 597 JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 169
Tabel: PerbandinganKomputasinilai f i x) padamn,mm,mypdanmibuntuk persamaan f i x) = 0, i = 5,6. f i n Metode MN MM MYP MIB 7 3.47073e + 00 1.5668e + 00 1.6575e + 00 3.0668e 34 8 3.9087e + 00 1.4858e + 00 1.90859e + 00 8.1800e 68 9 4.1671e + 00 1.5877e + 00 1.90475e + 00 3.3849e 135 f 5 10 4.59116e + 00 1.5066e + 00.10964e + 00 9.89086e 70 11 4.866e + 00 1.45693e + 00.11144e + 00 5.00885e 539 1 5.801e + 00 1.54111e + 00.8657e + 00 13 5.56713e + 00 1.53711e + 00.9118e + 00 N 1000+ 1000+ 1000+ 1.56580e + 00 1.56577e + 00 1.56358e + 00 1.5606e + 00 3 1.57580e + 00 1.56579e + 00 1.5741e + 00 1.55490e + 00 4 1.56580e + 00 1.56580e + 00 1.56359e + 00 1.51557e + 00 f 6 5 1.57580e + 00 1.56580e + 00 1.5738e + 00 1.5456e + 00 6 1.56580e + 00 1.56580e + 00 1.56360e + 00 1.44751e + 00 7 1.57580e + 00 1.56580e + 00 1.5735e + 00 1.51437e + 00 1 F ail 1.56580e + 00 1.5714e + 00 1.76971e 57 N F ail Div 1000+ Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa jumlah iterasi dari MN, MYP dan MIB tidak mengalami perbedaan yang signifikan, hal ini terjadi karena orde konvergensi dari masing-masing metode tersebut sama yaitu memiliki orde konvergensi kuadratik. Sedangkan MM sangat lambat karena memiliki orde konvergensi 1.84 superlinear). Dari Tabel terlihat bahwa untuk beberapa kasus tertentu seperti contoh 5 6 MIB lebih unggul dibandingkan dengan MN, MM dan MYP, karena MIB dapat menyelesaikan persamaan nonlinear tersebut sedangkan MN, MM dan MYP gagal dan melebihi maksimum iterasi. Selain dapat menemukan akar sederhana, persamaan 13) juga dapat menemukan akar kompleks. Untuk menemukan akar kompleks digunakan teknik implicit deflation [3]. Misalkan akan dicari akar dari polinomial P z x) dengan derajat z, untuk mencari akar pertama yaitu dengan menerapkan metode Iterasi Baru pada P z x) sehingga diperoleh akar x 1. Selanjutnya definisikan F 1 x) = P zx) x x 1 ), ) dengan menerapkan kembali metode Iterasi Baru pada persamaaan ) maka diperoleh akar x. Kemudian definisikan fungsi F x) = P z x) x x 1 )x x ), 3) JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 170
dengan menerapkan kembali metode Iterasi Baru pada persamaan 3) maka didapat akar x 3. Selanjutnya jika telah ditemukan akar x 1,x,,x z 1 maka akar berikutnya x z ditemukan dengan fungsi F z 1 x) = P z x) x x 1 )x x )...x x z 1 ), 4) persamaan 4) merupakan bentuk umum teknik implicit deflation, teknik implicit deflation ini digunakan untuk z.komputasi dalam menemukan akar kompleks hanya menggunakan metode Muller dan metode Iterasi Baru. Tabel 3: Perbandingan Komputasi nilai x z untuk MM dan MIB dalam menemukan akar kompleks P z z MM MIB x z N z x z N z P 4 1 1.41677445 14 1.970446079 9 1.970446079 9 1.41677445 8 3 0.35606176 + 0.16758383i 1 0.35606176 0.16758383i 1 4 0.35606176 0.16758383i 1 0.35606176 + 0.16758383i 1 Nz 5 19 P 5 P 6 P 9 1 1.700000000 19 1.639999999 15.000000000 1.000000000 18 3 1.641000000 16.000000000 1 4 1.640000000 1 1.641000000 5 1.999999999 15 1.700000000 Nz 7 49 1.999999999 155.999999999 8 3.000000000 134.999999999 79 3.999999999 84.999999999 53 4.999999999 103.999999999 59 5 3.000000000i 3 3.000000000i 3 6 3.000000000i 3 3.000000000i 3 Nz 48 79 1 0.159453391 0.9076471i 14 0.99309497 9 0.458045569 + 0.8071118i 15 0.458045569 0.8071118i 1 3 0.99309497 13 0.706910836 + 0.598040970i 14 4 0.87973406 0.3103303i 10 0.87973407 + 0.3103303i 10 5 0.87973406 + 0.310330i 11 0.706910836 0.598040970i 10 6 0.706910836 0.598040970i 1 0.458045569 + 0.8071118i 9 7 0.159453391 + 0.9076471i 11 0.87973406 0.3103303i 8 8 0.458045569 0.8071118i 1 0.159453391 0.9076471i 1 9 0.706910836 + 0.598040970i 1 0.159453391 +.9076471i 1 Nz 88 74 Dari Tabel 3 terlihat bahwa MIB unggul dibandingkan dengan MM dalam menemukan akar kompleks. Hal ini ditunjukkan dari hasil komputasi pada Tabel 3 bahwa total jumlah iterasi MIB lebih sedikit dibandingkan dengan total jumlah iterasi MM. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 171
Berdasarkan uji komputasi, secara umum bahwa metode Newton dan metode Iterasi Baru lebih unggul dibandingkan dengan metode Muller dan metode Yun- Petkovic tetapi untuk beberapa kasus tertentu metode Iterasi Baru lebih unggul dibandingkan metode Newton, karena metode Newton masih memuat bentuk turunan dalam formulanya, sehingga jika terdapat nilai turunan cukup dekat ke nol, metode Newton akan menghasilkan rounding error yang besar atau bahkan tidak dapat diterapkan, sedangkan metode Iterasi Baru tidak memerlukan turunan dalam formulanya. Selain itu, dengan tebakan awal yang real metode Iterasi Baru ini dapat menemukan akar-akar persamaan yang real maupun kompleks. Dalam menemukan akar kompleks metode Iterasi Baru lebih unggul dibandingkan dengan metode Muller. DAFTAR PUSTAKA [1] Mathews, J. H. 1987. Numerical Methods for Mathematics Science and Engineering, nd Ed. Prentice Hall Inc., New Jersey. [] Spiegel, M. R., Lipschutz, S. & Liu, J. 009. Schaum s Mathematical Handbook of Formulas and Tables, 3 rd Ed. McGraw-Hill Companies, Inc., New York. [3] Tso, T. Y. 1997. The Derivation of Two Parallel Zero-Finding Algorithms of Polynomials. Journal of Taiwan Normal University: Mathematics, Science & Technology, Vol. 4. h. 1-6. [4] Yun, B. I. 011. Solving Nonlinear Equations by a New Derivative Free Iterative Method. Computational and Applied Mathematics, 17. h. 5768-5773. [5] Yun, B. I.& Petkovic, M. S. 011. a Quadratically Convergent Iterative Method for Nonlinear Equations Journal Korean Mathematics. Soc, 48, No. 3, h. 487-497. JOM FMIPA Volume 1 No. Oktober 014 17