RENCANA MATAKULIAH STATISTIK EKONOMI INFERENSI Materi Kuliah No Materi Pertemua. Distribusi Normal. Distribusi Biomial 3. Distribusi Chi Square 4. Distribusi Samplig 5. Teori Peaksira 6. Uji Hipotesis 7. Uji Chi Square 8. Aalisis Regresi & Korelasi 9. Statistik No Parametrik JUMLAH Peilaia :. UTS 3%. UAS 4% 3. TUGAS % 4. QUIZ / Latiha % 5. Absesi Buku sumber :. Sudjaa, Statistika Jilid II. Ato Daja, Metode Statistika 87343 M. RIZAL : 853998 ROHANA 85495995 PELUANG Ruag sampel Himpua semua hasil yag mugki dari suatu percobaa statistik disebut ruag sampel, biasaya diyataka dega lambag S. Cotoh:
Percobaa melatuka satu kepig uag logam meghasilka S{Muka, Belakag} Percobaa melatuka satu buah diadu meghasilka S{,,3,4,5,6} Kejadia adalah himpua bagia dari ruag sampel Suatu kejadia yag megadug satu usur ruag sampel disebut kejadia sederhaa, suatu kejadia yag dapat diyataka sebagai gabuga beberapa kejadia sederhaa disebut kejadia majemuk. Ruag ol atau ruag hampa adalah himpua bagia ruag sampel yag tidak megadug usur. Meghitug titik sampel Bila suatu operasi dapat dilakuka dega cara da bila utuk tiap cara ii operasi kedua dapat dikerjaka dega cara maka kedua operasi itu dapat dikerjaka bersama-sama dega x cara. Cotoh : Pelatua satu kepig koi mata uag memberika dua hasil kemugkia yaitu S{M, B}. Apabila dua kepig mata uag dilatuka sekaligus aka memberika hasil 4 hasil kemugkia yaitu S{MM, MB, BM, BB}. Berapa kemugkia hasil dari pelatua satu kepig koig dega satu dadu bersisi 6? Suatu permutasi adalah susua yag dapat dibetuk dari kumpula beda-beda yag diambil sebagia atau seluruhya. Bayakya permutasi beda yag berlaia adalah!. Bayak permutasi beda berlaia bila diambil r sekaligus adalah : P r! ( r)!
Jumlah kombiasi dari beda yag berlaia bila diambil sebayak r adalah : r! r!( r)! Peluag suatu kejadia Peluag suatu kejadia A adalah jumlah bobot semua titik sampel yag termasuk A, Jadi : P( A), P( S) Bila suatu percobaa dapat meghasilka N macam hasil yag berkemugkia sama da bila tepat sebayak dari hasil berkaita dega kejadia A, maka peluag kejadia A adalah : P ( A) N Cotoh bila satu kartu ditarik dari satu kotak kartu bridge (berisi 5), hituglah peluag bahwa kartu itu heart (heart ada 3). Jawab : Jumlah hasil yag mugki adalah 5, da 3 di ataraya adalah heart. Jadi peluag kejadia A mearik satu kartu heart adalah P(A)3/5/4. Berapakah peluag kejadia mearik kartu As? Berapakah peluag kejadia mearik kartu buka As? Dua kejadia salig ekslusif jika terjadiya kejadia yag satu meyebabka tidak terjadiya terjadiya kejadia yag lai. Jika A da B adalah dua kejadia yag salig ekslusif maka berlaku : P(A atau B) P(A) + P(B). Rumus ii megataka jika A da B dua kejadia yag salig ekslusif maka peluag terjadiya A da B adalah jumlah peluag A da peluag B.
Dua kejadia dikataka bebas atau idepede jika terjadiya atau tidak terjadiya peristiwa yag satu tidak mempegaruhi atau dipegaruhi oleh kejadia laiya. Jika A da B dua peristiwa bebas, maka berlaku : P(A da B) P(A) x P(B). Rumus ii megataka bahwa jika A da B bebas maka peluag terjadiya kejadia A da B adalah hasil kali peluag A da B. Ekspektasi atau ilai harapa adalah hasil kali atara peluag da kejadiaya. Sebagai cotoh : Apabila kita melakuka udia dega melatuka sebuah uag logam, maka apabila mucul muka kita membayar Rp.. kepada lawa sedagka apabila mucul belakag kita tidak membayar apa-apa. Maka Ekspektasi dari kejadia tersebut adalah : E P(Muka) x - Rp.. +P(Belakag) x Rp.,-.5(Rp..) +.5(Rp.) - Rp. 5 QUIZ : Dalam satu buah katug terdapat 3 bola berwara hijau, 5 bola berwara putih bola berwara biru. Misalka dari katug tersebut dilakuka pegambila bola tiga kali tapa pegembalia, tetuka peluag terambil bola berwara hijau pada pegambila pertama, terambil bola berwara putih pada pegambila kedua da terambil bola berwara biru pada pegambila yag ketiga.
Peubah Acak (Radom Variable) Peubah acak adalah suatu fugsi berilai real yag hargaya ditetuka oleh tiap aggota dalam ruag sampel. Cotoh : Pada pelatua uag logam kita tahu bahwa peluag mucul muka da belakag masigmasig adalah ½. Misalya hasil dari percobaa kali percobaa pelatua uag logam diperoleh data sebagai berikut : Nampak Frekuesi Frekuesi Muka Sebearya diharapka 48 5 5 5 Secara teoritis, diguaka otasi x sebagai lambag dari kejadia da f (x) sebagai lambag utuk meyataka peluag bagi harga x yag bersagkuta. Maka diperoleh : x f (x) ½ ½ atau f ( x), x, Pada percobaa pelatua dadu, maka masig-masig sisi memiliki peluag yag sama yaitu /6. Maka percobaa pelatua dadu tersebut memiliki peubah acak : f ( x), x,,3,4,5, da 6 6 Latiha : coba tetuka peubah acak (radom variable) dari hasil percobaa pelatua uag logam sekaligus, pelatua 3 uag logam sekaligus, serta hasil percobaa pelatua satu uag logam bersamaa dega pelatua satu buah dadu!
Sifat peubah acak : f ( x) Jika suatu ruag sampel megadug titik yag berhigga bayakya atau suatu dereta aggota yag bayakya sama dega bayakya bilaga bulat, maka ruag sampel tersebut disebut ruag sampel diskret, da peubah acak yag didefiisika pada ruag sampel tersebut adalah peubah acak diskret, cotoh peubah acak distribusi biomial. Jika suatu ruag sampel megadug titik sampel yag tak berhigga bayakya da sama bayakya dega bayak titik pada sepotog garis maka ruag sampel itu disebut ruag sampel kotiu da peubah acak yag didefiisika di atasya disebut peubah acak kotiu, cotoh : peubah acak distribusi ormal. Distribusi Normal N~(, ) Satu diatara distribusi kotiyu adalah distribusi ormal atau distribusi Gauss, sebagai peghargaa kepada seorag matematikawa Carl Gauss yag telah berpera bayak meyelidiki hal ii pada akhir abad ke 8 di sampig peeliti pertama Piere de Laplace da Abraham de Moivre. Distribusi ormal disebut sebagai distribusi palig petig dalam statistika karea pada pekerjaa selajutya teryata bayak teori yag didasarka pada distribusi ormal. Persamaa distribusi ormal : f ( x) e π Keteraga : π ilai kosta yag besarya 3,46 e tetapa bilaga pokok logaritma atural,783 parameter, rata-rata distribusi ormal
parameter, simpaga baku (stadar deviasi) distribusi ormal peubah acak kotiu, hargaya < < + Distribusi ormal memiliki memiliki dua parameter yaki rata-rata da simpaga baku (stadar deviasi). Sehigga lambag umum utuk distribusi ormal adalah N(, ). Kedua parameter ii aka mempegaruhi betuk grafik distribusi ormal. Grafik distribusi ormal meyerupai geta/bel sehigga disebut dega Bell Curve. Gambar Bell Curve distribusi ormal N~(, ) Pegaruh besar kecilya simpaga baku alpa ( ): Grafik berwara merah (palig rucig) memiliki simpaga baku ( ) alpa palig besar sedagka grafik berwara biru memiliki simpaga baku alpa ( ) palig kecil. Pegaruh besar kecilya rata-rata ( ) :
Utuk meetuka peluag sebuah kejadia yag berdistribusi ormal secara teoritis, karea melibatka itegral yag kompleks jadi proses peghitugaya sagat sulit dilakuka. Tapi karea hasil perhituga itegral adalah sama dega dega meetuka luas dibawah kurva, berarti meetuka peluag sebuah kejadia sama saja dega dega meghitug luas daerah dibawah kurva distribusi ormal tersebut. Utuk meyederhaaka distribusi ormal, diguaka sebuah kosep yag disebut ditribusi ormal baku (ormal stadard) yaitu distribusi ormal yag memiliki rata-rata da simpaga baku. Hal ii dapat dilakuka megguaka trasformasi yag megubah peubah acak yag berdistribusi ormal ke dalam peubah acak Z yag berdistribusi ormal baku dega megguaka rumus : Z Apabila hal ii dilakuka maka persamaa distribusi ormal baku adalah : f ( z) e π z Secara grafis trasformasi dari N(, ) mejadi N(,) adalah sebagai berikut : Normal Umum Z Normal Baku
Tabel luas dibawah kurva ormal Z da pegguaaya : Lihat buku Sudjaa Jilid II halama 46 sampai 56. Cotoh : Bila merupaka peubah acak yag memiliki distribusi ormal dega rata-rata 4 da stadar deviasi, berapakah peluag (7,4<<58,8)? Jawab : Pegubaha peubah acak ormal 7,4 da 58,8 masigmasig ke dalam peubah acak ormal baku diperoleh : Z Z 7,4 4 58,8 4,55,9 Dega demikia P(7,4<<58,8) P(-,55<Z<,9) Dega megguaka tabel distribusi ormal diperoleh : P(-,55<Z<,9),998 -,9,769 atau 7,69 % Cotoh : Dari pegirima sebayak. rim kertas berat 6gram diketahui bahwa rata-rata tiap rimya terisi dega 45 lembar dega stadar deviasi lembar. Jika distribusi jumlah kertas per rim tersebut dapat didekati dega kurva ormal, berapa perse dari rim kertas diatas yag terisi dega 455 lembar atau lebih? Jawab : Dalam soal diatas diketahui bahwa rata-rata 45 da stadar deviasi. Trasformasi peubah acak ormal ke dalam peubah acak stadar memperoleh : Maka P(>455) P(Z>,5) dega megguaka tabel distribusi ormal diperoleh : P(Z>,5) P(-,695),385
Cotoh : Agka ujia statistik sebagia besar mahasiswa memiliki rata-rata 34 da simpaga baku/stadar deviasi 4. Jika distribusi agka-agka ujia tersebut medekati distribusi ormal, dibawah agka ujia statistik berapakah aka diperoleh perse teredah dari seluruh distribusi agka-agka tersebut? Jawab : Dalam soal diatas diketahui bahwa bahwa rata-rata 34 da stadar deviasi 4. Maka dega megguaka tabel distribusi ormal luas dibawah kurva ormal yag sesuai dega % adalah -,8, sehigga : 34,8 4 8,88 Jadi diperoleh keteraga bahwa % dari seluruh mahasiswa memperoleh ilai ujia statistik 8,8 atau kurag. Cotoh : Sebuah sampel mesi cuci memiliki diameter rata-rata sebesar,5m da stadar deviasi sebesar,5m. Mesi cuci yag demikia diaggap tidak memeuhi syarat jika memiliki spesifikasi diameter di luar,496m da,58m. Coba tetuka persetase mesi cuci yag tidak memeuhi syarat jika diketahui bahwa diameter mesi cuci tersebut memiliki distribusi ormal? Jawab : Dalam soal diatas diketahui bahwa bahwa rata-rata,5m da stadar deviasi,5m. Z Z,496,5,5,58,5,5 P(Z<-,),5,, P(Z>,)P(-,8849),5 Jadi persetase mesi cuci yag tidak memeuhi syarat adalah,5%+,5%3,%.
DISTRIBUSI BINOMIAL Suatu percobaa serig terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dega dua kemugkia dapat diberi ama sukses da gagal. Hal ii terjadi misalya pada pegujia barag hasil produksi dega tiap pegujia atau usaha dapat meujukka apakah suatu barag cacat atau tidak cacat. Kita dapat meetuka atau memilih salah satu hasil sebagai sukses. Percobaa seperti ii disebut percobaa biomial. Suatu percobaa biomial adalah :. Percobaa terdiri atas usaha yag berulag (tertetu).. Tiap usaha memberika haya jeis hasil yag dapat ditetuka dega sukses atau gagal. 3. Peluag sukses diyataka dega p, tidak berubah dari usaha yag satu ke yag berikutya. 4. Tiap usaha bebas dega usaha laiya (tidak dipegaruhi oleh usaha lai). Distribusi biomial : Bila suatu usaha biomial dapat meghasilka sukses dega peluag p da gagal dega peluag q p, maka distribusi peluag peubah acak biomial, yaitu bayakya sukses dalam usaha bebas adalah : b x x x x p p q ( ;, ), x,,,..., dega x! x!( x)! Cotoh : Hituglah peluag distribusi biomial utuk p¾, x, 4
Jawab : P() 3 4 3 b( ;4, ) 4 4 4 4!.!! 3 4 4 7, 8 Jadi peluag kita medapatka item sukses dari 4 item yag masig-masig memiliki peluag sukses ¾, adalah. Cotoh : Misalya kita melatuka dadu sebayak satu kali, berapa peluagya aka mucul tepat 8 kali muculya sisi mata dadu 6? Jawab : Diketahui p/6,, x8 P(8) 8 5 b 8;, 6 8 6 6 45 8 6 5 6,5 Cotoh : Sebuah mesi produksi meghasilka suatu produk dega peluag meghasilka produk cacat adalah 5%. Diambil secara acak dari produk mesi tersebut sebayak 3 buah utuk diselidiki. Berapa peluag dari produk yag diambil itu aka terdapat : a. Semuaya bagus (tidak cacat) b. Satu rusak c. Dua bagus
Jawab : a. Diketahui q,5 maka p,85, 3 da x3. Sehigga : 3 3 P(3) b( 3;3;,85 ) (,85) (,5 ), 76 Jadi peluag semua produk yag diambil sebayak 3 bagus semua (tidak ada yag cacat) adalah,76 b. Diketahui q,5, p,85, 3 da x9. Sehigga : 3 9 P(9) b( 3;9;,85 ) (,85) (,5 ), 44 Jadi peluag dari produk yag diambil sebayak 3 teryata haya yag rusak adalah,44. c. Diketahui p,85, 3 da x. Sehigga : 3 P() b( 3;;,85 ) (,85) (,5 ) Jadi peluag dari produk yag diambil sebayak 3 teryata haya yag rusak adalah. 3 9 8 Cotoh : Setelah diadaka peelitia terhadap suatu mesi fotocopy, maka diketahui bahwa pada setiap 45 lembar hasil fotocopy aka terjadi kerusaka sebayak 45 lembar. Apabila dilakuka fotocopy sebayak 5 lembar, berapakah peluag utuk meemuka,,,..., 5 lembar kerusaka?
Jawab : Misalka adalah kejadia meemuka lembar kertas tidak rusak 5, x5 q/ b 5 5 5 ( 5;5;,9 ) (,9) (, ), 5949 5, x4 q/ b 5 4 4 ( 4;5;,9 ) (,9) (, ), 385 5, x3, q/ b 5 3 3 ( 3;5;,9 ) (,9) (, ), 79 5, x, q/ b 5 3 ( ;5;,9 ) (,9) (, ), 8 5, x, q/ b 5 4 ( ;5;,9 ) (,9) (, ), 45 5, x, q/ b 5 5 ( ;5;,9 ) (,9) (, ), Cotoh : Seorag pederita peyakit darah yag jarag terjadi memiliki peluag,4 utuk sembuh. Bila diketahui ada 5 orag yag telah megidap peyakit tersebut, berapakah peluag : a. Palig sedikit aka sembuh b. Atara 3 sampai 8 yag sembuh c. Tepat 5 aka sembuh
Jawab : a. Misalya meujukka bayakya yag sembuh, maka peluag palig sedikit aka sembuh adalah : P()+P()+ P() + P(3)+ P(4)+ P(5) P( ) P( ) P( ) 9 x b( x;5;,4),966,338 Jadi peluag palig sedikit dari 5 orag pederita peyakit tersebut aka sembuh adalah,338 8 b. P(3 8) b( x;5;,4) b( x;5;,4) 8 x 3 x x b( x;5;,4),95,7,8779 Jadi peluag atara 3 sampai 8 dari 5 pederita peyakit tersebut aka sembuh adalah,8779 c. P( 5) b( x;5;,4) b( x;5;,4) 5 x 4 x b( x;5;,4),43,73,859 Jadi peluag tepat 5 orag dari 5 pederita peyakit tersebut aka sembuh adalah,859 PR: Utuk megelabui petugas pabea, seorag pelacog mearuh eam tablet arkotik dalam sebuah botol yag berisi sembila vitami yag sama betuk da waraya. Bila petugas pabea memeriksa tiga tablet secara acak utuk diaalisis, berapakah peluag pelacog tersebut aka ditaha karea membawa arkotik?
TUGAS : KERJAKAN SOAL-SOAL BAB II NOMOR 4, 6, 7, 3, 3, DAN 3 SAMPLING Populasi : Adalah kumpula keseluruha obyek yag diteliti. Sampel : Adalah sebagia dari populasi yag diambil dega megguaka cara-cara tertetu. Berdasarka bayak obyek yag ada di dalam populasi, populasi dapat dibedaka mejadi :. Populasi tak higga Yaitu populasi yag memiliki tak terhigga/tak terbatas bayak obyek. Sebagai cotoh : a. Volume air huja b. Volume udara/gas c. Kepuasa kosume d. Prestasi atau kierja karyawa. Populasi terhigga /terbatas Yaitu populasi yag memiliki terhigga/terbatas bayakya obyek. Sebagai cotoh : a. Bayakya perusahaa di suatu daerah b. Bayakya karyawa di suatu perusahaa c. Bayak pesaa sebuah perusahaa selama tahu terakhir d. Bayakya produksi dalam satu bula e. dll Statistika bertujua utuk megambil kesimpula dari populasi. Utuk itu diperluka data-data yag legkap megeai populasi tersebut. Cara megambil data dari populasi atara lai :. Sesus ; yaitu pegambila data populasi dari keseluruha obyek yag ada pada populasi tersebut.. Samplig ; yaitu pegambila sebagia data populasi dari obyek yag ada pada populasi tersebut.
Pegambila data secara samplig lebih bayak dilakuka dibadigka dega pegambila data secara sesus, karea berbagai alasa seperti berikut ii :. Faktor biaya da faktor ekoomis Data yag diambil secara samplig jumlahya kurag dari data yag diambil secara sesus sehigga lebih hemat. Faktor ketelitia dalam peelitia Karea pegambila data secara sesus melibatka obyek yag lebih bayak, sehigga memugkika timbul lebih bayak kesalaha dalam pecatata, pedokumetasia da pegolaha. 3. Faktor peghemata waktu Pegambila data secara sampel yag lebih sedikit, jelas aka mempercepat proses statistik. 4. Percobaa yag sifatya merusak Dalam beberapa cotoh kasus peelitia, pegambila data dilakuka dega cara merusak obyek yag diteliti. Sehigga lebih bayak obyek yag diteliti aka megakibatka lebih bayak obyek yag dirusak. 5. Populasi tak terhigga Pada populasi tak terhigga tidak mugki dilakuka pegambila data secara sesus. Beberapa tekik samplig Dalam pegambila sampel terdapat dua cara yag dapat dilakuka, yaitu : a. Pegambila data dega cara pegembalia (with replacemet) b. Pegambila data dega cara tapa pegembalia (without replacemet) Terdapat beberapa utuk melakuka pegambila data : a. Samplig seadaya b. Samplig dega pertimbaga c. Samplig peluag atau samplig acak Samplig acak dari populasi tak higga Samplig aca dari populasi terhigga
Kesalaha pada pegambila data Pegambila data secara statistik harus bebas dari kesalaha da keragu-ragua karea data-data tersebut aka mejadi baha pegambila kesimpula yag harus bisa dipertaggugjawabka. Beberapa kesalaha dalam pegambila data statistik atara lai :. Kesalaha samplig : Kesalaha megambil sampel/respode Jumlah sampel kurag. Kesalaha o-samplig: Ketidakjelasa populasi Pertayaa yag tidak tepat, membigugka, atau jawaba yag tidak legkap. DISTRIBUSI SAMPLING Distribusi yag telah dipelajari yaitu distribusi Biomial da distribusi Normal adalah distribusi teoritis yag dikembagka dari peurua rumus matematika. Sedagka distribusi yag lagsug diperoleh dari data aktual pada populasi yag aka diteliti adalah distribusi samplig. Jika iformasi yag dikumpulka dari data aktual itu adalah berupa rata-rata hitug utuk semua sampel yag mugki dapat diambil dari sebuah populasi, maka diperoleh distribusi samplig rata-rata hitug. Jika iformasi yag dikumpulka dari data aktual itu adalah berupa semua simpaga baku (stadar deviasi) utuk semua sampel yag mugki dapat diambil dari sebuah populasi aka diperoleh distribusi samplig simpaga baku. Parameter Populasi Statistik Sampel Rata-rata (mea) x Simpaga baku (stadar deviasi) s
Cara pegambila sampel Utuk melakuka pegambila data sampel dari populasi yag berukura N, dapat diguaka cara permutasi atau kombiasi data sehigga diperoleh kelompok-kelompok data sampel yag masig-masig berukura. Sebagai cotoh suatu populasi memiliki lima aggota yaitu A,B,C,D da E, maka kemugkia pegambila sampel adalah : Sampel terdiri dari obyek :. A,B. A,C 3. A,D 4. A,E 5. B,C 6. B,D 7. B,E 8. C,D 9. C,E. D,E Sampel terdiri dari 3 obyek :. A,B,C. A,B,D 3. A,B,E 4. A,C,D 5. A,C,E 6. A,D,E 7. B,C,D 8. B,C,E 9. B,D,E. C,D,E
Distribusi samplig rata-rata Jika terdapat sebuah populasi yag terhigga berukura N, memiliki parameter rata-rata da simpaga baku, dilakuka pegambila sampel secara acak yag masigmasig berukura sehigga memiliki kumpula rata-rata hitug x. Dalam hal ii kita telah membetuk distribusi samplig rata-rata x. PopulaPsi (rata-rata ) Sampel Sampel Sampel 3,,,,,, Rata-rata sampel Rata-rata sampel Rata-rata sampel 3 Sekelompok rata-rata sampel,, k Jadi distribusi samplig rata-rata hitug x adalah kumpula dari bilaga-bilaga yag masig-masig merupaka ratarata hitug. Hubuga atara rata-rata hitug sampel da rata-rata hitug populasi adalah :
x Artiya : rata-rata utuk distribusi samplig rata-rata sama dega rata-rata populasiya. Hubuga atara simpaga baku sampel dda simpaga baku populasi : N N, utuk sampel kecil atau terbatas : terbatas, utuk sampel besar atau tidak Kesimpula : Jika dari sebuah populasi yag memiliki rata-rata da simpaga baku, diambil sampel acak yag masigmasig berukura maka distribusi samplig rata-rata aka mempuyai rata-rata da simpaga baku N (jika sampel kecil) atau N sampel besar). (jika Kita dapat meetuka berapa ukura sampel palig sedikit apabila kita megharapka perbedaa ilai ratra-rata sampel yag satu da yag laiya ditetuka. Jika dikehedaki selisih rata-rata setiap dua sampel tidak lebih dari d, maka berlaku hubuga : d Sebagai cotoh : kita megigika perbedaa ilai ratarata setiap dua sampel sebesar d,5 maka dega 6 diperoleh : 6,5 atau 44
Teryata palig sedikit harus diambil 44 data utuk setiap sampel agar perbedaa ilai rata-rata setiap dua sampel sebesar d,5. Cotoh : Jika sebuah sampel acak sebesar dipilih dari populasi ormal sebesar N4 dega rata-rata 5,5 da stadar deviasi,955 berapakah rata-rata da stadar deviasi distribusi sampelya? 5,5,955 4 da, 8864 4 Cotoh : Diketahui bahwa distribusi kecepata maksimal dari. mobil Mazda memiliki rata-rata 48,km/jam dega stadar deviasi sebesar 5,4km/jam. Jika sebuah sampel yag terdiri dari uit mobil Mazda dipilih secara acak dari populasi diatas berapakah peluag kecepata rata-rata dari mobil tersebut lebih besar dari 49km/jam? Jawab : Dalam hal ii sampel diaggap terbatas dega N, da, rata-rata 48, da stadar deviasi 5,4. Maka kita peroleh : 48, 5,4 da, 55 49 48, Z,569756,55 Jadi P(>49)P(Z>,56),594 atau 5,94%6% Cotoh : Pelat baja yag diproduksi oleh sebuah pabrik memiliki daya regag rata-rata 5kg da stadar deviasi sebesar kg. Jika sampel acak yag terdiri dari pelat sedemikia dipilih dari populasi yag terdiri dari. pelat, berapakah rata-rata sampelya aka kurag dari 496 kg?
Jawab : Dalam hal ii N diaggap tidak terbatas da, ratarata 5 da stadar deviasi. Maka kita peroleh : 5 da 496 5 Z P(<496)P(Z<-),8,8% Suatu mesi miuma diatur sedemikia rupa sehigga bayakya miuma yag dikeluarka secara hampira berdistribusi ormal dega rata-rata 7ml da simpaga baku 5ml. Secara berkala, mesi diperiksa dega megambil sampel sembila buah da dihitug rata-rata isiya. Bila ratarata sampel jatuh pada selag 77 s.d 37 ml maka mesi diaggap bekerja dega baik. Jika tidak mesi harus di atur lagi. Tidaka apa yag seharusya diambil bila rata-rata sampel 9ml? Dalil Limit Pusat Apabila kita melakuka pemiliha sampel yag tidak berdistribusi ormal, bagaimaa peghitugaya? Secara matematis distribusi rata-rata sampel aka medekati distribusi ormal jika besarya sampel bertambah tapa batas, hal ii didasarka oleh suatu dalil matematis yag sagat terkeal da sagat bergua dalam aalisis statistik : Dalil limit pusat : Jika sampel acak dipilih dari populasi dega rata-rata da stadar deviasi da jika besarya sampel berukura besar maka rata-rata sampelya aka memiliki distribusi pemiliha sampel medekati distribusi ormal dega rata-rata da stadar deviasi. Jika populasiya terbatas maka rata-rata sampelya aka memiliki distribusi pemiliha sampel dega rata-rata N da stadar deviasi, jika populasiya N ormal maka distribusi pemiliha sampelya aka ormal.
Distribusi Samplig Perbadiga (Proporsi) Misalka kita memiliki sebuah populasi berukura N dega perbadiga atau proporsi populasi utuk peristiwa tertetu sama dega p da simpaga baku p( p). Dari populasi tersebut kita ambil sampel berukura. Dari setiap sampel yag diperoleh hituglah perbadiga sampelya utuk peristiwa yag mejadi perhatia kita, perbadiga dari sampel-sampel yag diperoleh pada umumya aka berbeda-beda hargaya. Kumpula atau distribusi semua perbadiga sampel-sampel ii diamaka Distribusi samplig perbadiga atau Distribusi samplig perbadiga proporsi. Rata-rata da simpaga baku utuk distribusi samplig perbadiga masig-masig diberi simbol p da p. Bila diyataka dalam parameter populasi p adalah : p p p( p) p, (jika sampel besar yaitu > 5% ) N p( p) N p, (jika sampel kecil yaitu 5% ) N N Utuk meetuka peluag ilai perbadiga peristiwa yag dikehedaki dari sebuah sampel berukura terletak atara batas-batas tertetu, dapat berlaku dalil limit pusat asalka ukura sampel cukup besar. Jika ukura sampel acak cukup besar maka distribusi samplig perbadiga p x / teryata medekati distribusi ormal. Distribusi ormal yag didekati oleh distribusi samplig p x / ii mempuyai rata-rata p da p( p) simpaga baku p atau bergatug pada > 5% atau 5%. N N p p( p) N N Selajutya utuk meetuka bagia-bagia luas dari legkuga ormal stadar diguaka trasformasi : z atau x / p p( p) (jika sampel besar yaitu > 5% ) N z x / p p( p) N (jika sampel kecil yaitu 5% ) N N
Dari kekelirua baku perbadiga yaitu p kita dapat meetuka ilai miimum ukura sampel bila perbadiga tiap sampel yag diharapka terjadi diketahui. Nilai tersebut dihitug dari : p( p) d Cotoh : Dari suatu proses produksi semacam barag, teryata 9% dari produksi tapa cacat da % lagi dalam keadaa cacat. Setiap hari kerja, selama proses berlagsug diambil sampel acak terdiri dari barag. Tetuka : Jawab : a. Rata-rata persetase barag yag rusak da simpaga bakuya b. Peluag barag rusak dari sebuah sampel berukura palig kecil 5%. c. Berapa ukura sampel palig sedikit agar jika kita megambil sampel cukup bayak dega ukura tersebut, persetase kerusakaya diharapka aka berbeda tidak lebih dari %. Misalka kita defisika pproporsi barag yag rusak. Dari soal diatas dapat diketahui p,,, populasi diaggap tak higga. a. p p, p( p),(,) b. p, 3 z P(>5%) x / p 5 /,,67 p( p),3 P(>5%) P(Z>,67),475 jadi peluag aka memperoleh barag rusak palig sdkt 5% dari sampel berukura adalah,475 Utuk meetuka terkecil dega, p, d, p( p) d,(,), d 5
Dalil Limit Pusat Apabila kita melakuka pemiliha sampel yag tidak berdistribusi ormal, bagaimaa peghitugaya? Secara matematis distribusi rata-rata sampel aka medekati distribusi ormal jika besarya sampel bertambah tapa batas, hal ii didasarka oleh suatu dalil matematis yag sagat terkeal da sagat bergua dalam aalisis statistik : Dalil limit pusat : Jika sampel acak dipilih dari populasi dega rata-rata da varias da jika besarya sampel bertambah besar maka rata-rata sampelya aka memiliki distribusi pemiliha sampel medekati distribusi ormal dega rata-rata da stadar deviasi. Jika populasiya terbatas maka rata-rata sampelya aka memiliki distribusi pemiliha sampel dega rata-rata N da stadar deviasi, jika populasiya N ormal maka distribusi pemiliha sampelya aka ormal. Distribusi Samplig Selisih Rata-Rata Dalam peelitia kita serig igi ketahui apakah atara rata-rata dua sample mempuyai perbedaa yag berarti ataukah kita bisa megambil kesimpula bahwa kedua sample itu berasal dari populasi dega rata-rata sama. Misalka terdapat dua populasi yag berukura cukup besar memiliki rata-rata da sedagka simpaga bakuya da. Dari kedua populasi tersebut diambil sampel yag masig-masig berukura da. Dari setiap sampel yag diambil tetukalah rata-rataya, sehigga diperoleh x, x,, x, x, x,, x Misalka diperoleh rata-rata utuk sampel dari populasi pertama x da ratarata utuk sampel dari populasi kedua adalah x. Kumpula dari x da x diamaka dega distribusi samplig selisih rata-rata. Bila distribusi ii dicari rata-rataya diberi simbol da simpaga baku sr, maka : sr sr sr +
Jika ukura sample da cukup besar maka distribusi samplig selisih rata-rata aka medekati distribusi ormal dega rata-rata da simapga baku sr. Utuk membuatya mejadi ormal maka diperluka trasformasi : ( x x ) ( ) z Cotoh : + Misalka sebuah pabrik memproduksi dua jeis lampu pijar A da B masig-masig diperkiraka daya pakaiya mecapai rata-rata.4 jam da. jam, sedagka simpaga bakuya jam da jam. Jika dari tiap jeis diambil sampel acak masig-masig terdiri atas 5 lampu da kemudia diuji, berapakah peluag lampu jeis A aka mempuyai rata-rata daya pakai palig sedikit 5 jam lebihya dari rata-rata daya pakai lampu jeis B? Jawab : Misalka x A da x B adalah masig-masig rata-rata daya pakai dari lampu-lampu yag berada dalam sampel-sampel yag diambil dari populasi A da B. Maka yag diyataka adalah peluag ( x A - x B ) palig sedikit 5 jam. Jika diguaka ideks A da B yag sesuai maka diperoleh : sr sr + + 5 5 jam Sehigga z P(Z>,5),6% 5 (.4.) 5, 5 Besi baja yag diproduksi PT. A memiliki daya regag ratarata 4.5kg da simpaga baku kg. Sedagka besi baja yag diproduksi PT. B memiliki daya regag rata-rata 4.kg da simpaga baku 3kg. Adaika sampel acak sebesar 5 dipilih dari besi baja hasil produksi PT.A da sampel acak sebesar dipilih dari besi baja hasil produksi PT. B. Berapa peluag daya regag rata-rata besi baja perusahaa PT.A aka lebih besar 6kg dari pada daya regag rata-rata besi baja PT.B? Jawab : sr 4.5 4. 5 4. 9. + + 4, sr 5 3 kg
6 5 Z,45.. 4,3 P(Z>,45),75% Distribusi Samplig Selisih Perbadiga Jika terdapat dua populasi, populasi pertama memiliki perbadiga p da simpaga baku p( p) da populasi kedua memiliki perbadiga p da simpaga baku p ). Kemudia diam ( p bil semua sampel acak yag masig-masig berukura da. Kemudia dibetuk semua selisih perbadiga sampel-sampelya : x x maka aka diperoleh distribusi samplig selisih perbadiga : sp sp p p p ( p) p ( p ) + Jika perbadiga dari kedua populasi tidak diketahui tetapi diaggap sama, jadi p p p maka diambil perbadiga gabuga : p sp x sehigga diperoleh simpaga bakuya : + + x p( p) + Jika sampel berukura besar maka distribusi selisih perbadiga iipu aka medekati distribusi ormal. Agka stadar yag diguaka utuk membuatya mejadi ormal stadar adalah : z Jika x x p( p) + ( p p ) p p p : p ( p ) z x x p( p) +
Cotoh : Ada semacam barag yag dihasilka oleh dua pegusaha A da B. Barag yag dihasilka oleh A biasa terjadi kerusaka 5% sedagka barag yag dihasilka B terjadi kerusaka 4%. Dari barag-barag yag dihasilka kedua pegusaha ii diambil sampel masig-masig barag. Berapakah peluag selisih perbadiga kerusaka barag yag dihasilka oleh A terhadap kerusaka barag yag dihasilka oleh B aka berbeda dalam iterval,5%? (halama 3, buku Sudjaa),5% ( 5% 4% ),5% z,76,437 5%( 5%) 4%( 4%),939 + PENDUGAAN SECARA STATISTIK DAN PENDUGAAN PARAMETER Pada umumya kita tidak melakuka observasi atau pegamata yag meyeluruh meliputi seluruh usur populasi, kita tidak aka tahu dega tepat ilai-ilai parameter rata-rata populasi da simpaga baku dari distribusi sampel yag kita pilih. Persoala yag petig adalah meetuka sampel yag harus kita guaka utuk meduga kuatitas populasi yag tidak diketahui tersebut. Kuatitas sampel yag kita perguaka utuk pegujia bagi tujua sedemikia itu diaggap sebagai peduga (estimator). Jadi fugsi ilai sampel yag diguaka utuk meduga parameter tertetu diamaka peduga parameter yag bersagkuta. Sedagka ilai-ilai yag diyataka dega agka da yag kita peroleh dega jala megevaluasi peduga di atas diamaka dugaa secara statistik (statistical estimate). Misalya rata-rata sampel merupaka peduga bagi rata-rata populasi, jika rata-rata sampel adalah maka kita kataka bahwa merupaka dugaa kita secara statistik tetag parameter. Dalam pemiliha secara alteratif terhadap berbagai kemugkia peduga yag dapat diaggap sebagai peduga parameter yag palig baik, kita perlu meeliti ciri-ciri dari berbagai distribusi pemiliha sampel khususya rata-rata da variasi. Ciri-ciri peduga yag baik :. Tidak bias (ubiased)
. Efisie 3. Kosiste Pedugaa parameter distribusi ormal Misalka,, 3,, meyataka usur-usur dari suatu sampel acak sebesar yag dipilih dari suatu populasi ormal dega rata-rata da variasi yag tidak diketahui. Peduga rata-rata populasi yag palig baik adalah rata-rata sampel yag dirumuska sebagai : i. i Rata-rata sampel ii bersifat tidak bias, efisie, da kosiste. Pedugaa variasi populasi dapat dilakuka dega variasi sampel yag dirumuska : s ( i ). Pedugaa iterval st Jika kita megigika suatu pegukura yag obyektif tetag derajat kepercayaa kita terhadap kepastia dugaa, maka sebaikya kita megguaka pedugaa iterval (iterval estimatio). Dega megguaka pedugaa iterval kita dapat meyataka berapa besar kepercayaa kita bahwa iterval di atas betul-betul mecakup parameter yag kita duga. Pedugaa iterval dapat dirumuska : st Z / st < parameter < st + Z / statistik sampel atau peduga st Z / stadar deviasi statistik sampel st koefisie yag sesuai dega iterval keyakia yag diguaka Pedugaa iterval sampel besar : Jika kita megguaka iterval keyakia 95% dega sudah diketahui maka iterval keyakiaya dapat diberika sebagai : Z,5 < < + Z, 5
,96 < < +,96 Utuk meggambarka luas dugaa itu secara peluag, iterval keyakia dapat diyataka sbb : P ( Z < < + Z ),5,5 P,96 < < +,96,95 Statistik z / disebut dega ukura kekelirua dari peaksira parameter rata-rata populasi yag ditaksir berdasarka. Utuk meetuka bayakya miimum sampel yag harus diambil agar memeuhi persamaa diatas dapat diguaka rumus : yag diigika. z /. dega k batas kekelirua k Cotoh : Sebuah biro pariwisata di Jakarta megadaka suatu peelitia tetag kepariwisataa di Idoesia da igi memperkiraka pegeluara rata-rata para wisatawa asig per kujugaya di Idoesia. Gua keperlua di atas dipilih sampel acak sebayak wisatawa asig utuk diwawacarai. Hasil wawacara dapat diketahui bahwa ratarata pegeluara per kujugaya adalah $8 per wisatawa. Jika stadar deviasi pegeluara semua wisatawa diaggap kosta sebesar $, maka buatlah iterval keyakia sebesar 95% gua meduga rata-rata pegeluara para wisatawa per kujugaya di Idoesia Jawab :, $8, $,,5,,95, Z,5, 96 Sehigga $ ( 8,96() < < 8 +,96() ), 95 P ( 776,48 < 83,53 ), 95 <
Jadi rata-rata pegeluara para wisatawa per orag per kujuga dalam selag kepercayaa 95% berkisar atara $776,48 higga $83,5.
Cotoh : Sebuah rumah maka igi meduga rata-rata pegeluara para kosumeya utuk maka siag yag dijual oleh rumah maka itu. Sebuah sampel acak dipilih dari populasi yag diaggap tidak terhigga. Dari ketiga puluh eam kosume, diketahui bahwa rata-rata pegeluaraya adalah Rp..,-. Adaika stadar deviasi diaggap kosta sebesar Rp..4,- buatlah iterval keyakia sebesar 95% utuk meduga rata-rata pegeluara seluruh kosume. Jawab : 36, $Rp.., $.4,,5,,95, Z,96,5 4 Sehigga 4 36 da P (,96(4) < < +,96(4) ), 95 ( 6 < 784), 95 < Jadi dapat diduga dega keyakia 95% bahwa pegeluara kosume di rumah maka tersebut sekitar Rp..6 da Rp..784. Pedugaa parameter populasi kecil/terbatas. Pada bahasa sebelumya telah diketahui bahwa utuk sampel yag terbatas rata-rata stadar deviasi dari sampel adalah N. N Nbayakya populasi bayakya sampel Dega keyakia sebesar 95% da diketahui maka iterval keyakia utuk sampel terbatas adalah : Cotoh : N N P,96,96 < < +,95 N N Sampel acak sebesar 64 da, 65dipilih dari populasi yag terbatas sebesar N3 da diketahui,, maka pedugaa secara parameter dega iterval keyakia 95,45% adalah sebagai berikut :
, 8 3 64 3, 8 36 99 (,65 (,34) < <,65 + (,34) ), 9545 P P,38 <,98, ( ) 9545 < Pedugaa parameter diketahui,34, dega tidak Apabila taksira dilakuka berdasarka pada sampel yag dega da tidak diketahui, pegguaa distribusi ormal aka megakibatka kekelirua yag cukup besar. Oleh karea itu diguaka pedekata distribusi t (atau distribusi studet). Secara umum pedugaa parameter jika tidak diketahui adalah dega sampel tidak terbatas adalah sebagai berikut : P s s t( /, d. f ) < < + t( /, d. f ) d.f. derajat kebebasa - pedugaa parameter jika tidak diketahui dega sampel terbatas adalah sebagai berikut : P Cotoh : s N s N t < < + ( /, d. f ) t( /, d. f ) N N Di suatu pabrik telah diukur 6 buah kayu utuk dasar peaksira pajag rata-rata tekstil. Dari 6 kayu yag diukur tadi teryata rata-rata pajagya 54,5m da simpaga bakuya,8m. Apabila sampel diaggap kecil, tetuka iterval kepercayaa pajag rata-rata yag sebearya utuk setiap kayu yag dihasilka dega 5%. Jawab : Diketahui 6, x 54,5m da s, 8 m Dega 5% da derajat kebebasa -6-5 maka dari tabel distribusi t diperoleh t,35.,8,8 P 54,5,35 < < 54,5 +,35 95% 6 6
P ( 54, < 54,9) 95% < Peaksira Perbadiga (Proporsi) Terdapat dua cara utuk meaksir perbadiga p, yaitu taksira titik da taksira iterval. Sebagai peaksir p diambil perbadiga dari sampel. Jika utuk sebuah sampel yag berukura terdapat peristiwa A sebayak x buah ( x ) da dalam populasiya terdapat perbadiga peristiwa itu sama dega p ( p belum diketahui), maka titik taksira p utuk peristiwa A adalah p x /. Kita ketahui bahwa jika terdapat sebuah populasi berukura N dega perbadiga populasi utuk peristiwa tertetu sama dega p p ( p) memiliki simpaga baku. Dari populasi tersebut kita ambil sampel berukura. Jika ukura sampel acak cukup besar maka distribusi samplig perbadiga p x / teryata medekati distribusi ormal. Peaksir iterval dari samplig perbadiga dirumuska sebagai berikut : p( p) p( p) P p Z < p < p + Z P x x x x x ( ) ( ) x Z < p < + Z Rata-rata da simpaga baku utuk distribusi samplig perbadiga: p p p( p) p, (jika sampel besar yaitu > 5% ) N p( p) N p, (jika sampel kecil yaitu 5% ) N N Selajutya utuk meetuka bagia-bagia luas dari legkuga ormal stadar diguaka trasformasi : Cotoh : Dias kesehata kota igi sekali meeliti persetase peduduk kota dewasa yag merokok palig tidak satu bugkus sehari. Sebuah sampel acak sebesar 3 dipilih dari populasi yag terdiri dari peduduk kota yag telah dewasa da teryata 36 orag merokok palig sedikit satu bugkus sehari. Buatlah
iterval keyakia sebesar 95% gua meduga proporsi peduduk kota dewasa yag merokok palig sedikit satu bugkus perhariya. Jawab : p/36/3,(,),(,) P,, Z 5% < p < + Z 5% 5% 3 3,(,),(,) P,,96,,96 < p < + 95% 3 3 P (,,37 < p <, +,37 ) 95% Jadi jika kita guaka iterval keyakia 95% maka dugaa bahwa proporsi peduduk dewasa yag merokok palig sedikit satu bugkus perhariya aka terletak atara 8,3% higga 5,7% Kita dapat meetuka ilai miimum ukura sampel bila perbadiga tiap sampel yag diharapka terjadi diketahui. Nilai tersebut dihitug dari : p( p) d.
PENGUJIAN HIPOTESIS Salah satu keguaa dari ilmu statistik adalah sebagai alat utuk pegambila kesimpula atau keputusa megeai suatu populasi. Pegambila kesimpula atau keputusa tersebut megguaka sifat-sifat atau karakteristik sampel yag diambil dari populasi. Pegambila keputusa dari suatu populasi tersebut hedakya dilakuka cukup alasa da dapat dipertaggugjawabka secara ilmiah. Dalam usaha utuk memperoleh kesimpula, biasaya didahului oleh adaya dugaa, atau pegadaia atau asumsi megeai populasi yag bersagkuta. Pegadaia ii mugki betul mugki juga tidak betul, disebut dega hipotesis statistik atau disigkat hipotesis. Hipotesis iilah yag aka diteliti kebearaya dega megguaka karakteristik sampel yag diambil dari populasi. Sehigga sampailah kita pada kesimpula meerima hipotesis (artiya hipotesisya bear) atau tidak meerima hipotesis (artiya hipotesisya salah). Apabila kita memiliki sebuah hipotesis megeai sebuah populasi, maka kita aka selalu memiliki sebuah hipotesis alteratif yag berlawaa dega hipotesis tadi. Hipotesis yag berlawaa tersebut disebut dega hipotesis tadiga. Pada pegambila kesimpula dari suatu populasi, yaitu dega cara meerima hipotesis atau meolak hipotesis tetu saja dapat terjadi pegambila kesimpula yag bear atau pegambila keputusa yag salah. Berikut ii adalah berbagai kemugkia yag dapat terjadi :. Jika hipotesis bear, da kita meerima hipotesis tersebut. Maka pegambila keputusa tersebut adalah lagkah bear.. Jika hipotesis yag dibuat adalah salah, da kita meolak hipotesis tersebut. Maka pegambila keputusa tersebut adalah lagkah yag bear. 3. Jika hipotesis yag dibuat adalah bear, tetapi berdasarka peelitia yag dilakuka kita meolakya. Maka pegambila keputusa tersebut adalah lagkah yag keliru. Kekelirua tersebut disebut dega kekelirua jeis I atau kekelirua. Jadi kekelirua adalah kekelirua yag terjadi waktu megambil kesimpula yag seharusya diterima tetapi kita meolakya.
4. Jika hipotesis yag dibuat adalah salah, tetapi berdasarka peelitia yag dilakuka kita meerimaya. Maka pegambila keputusa tersebut adalah lagkah yag keliru. Kekelirua tersebut disebut dega kekelirua jeis II atau kekelirua beta. Jadi kekelirua beta adalah kekelirua yag terjadi pada waktu kita meolak sesuatu yag seharusya diterima. Kesimpula Keadaa sebearya Hipotesis bear Hipotesis salah Hipotesis diterima Kesimpula bear Kekelirua jeis II Hipotesis ditolak Kekelirua jeis I Kesimpula bear Jadi utuk melakuka pegujia hipotesis harus dilakuka dega perecaaa sedemikia rupa sehigga kekelirua-kekelirua da β dapat diteka higga sekecil mugki utuk meghidari kesalaha pegambila keputusa. Besar kecilya risiko membuat kekelirua ( atau β ) biasaya diyataka dalam betuk peluag. Peluag melakuka kekelirua jeis I (yaitu peluag peluag meolak hipotesis bear) diamaka taraf sigifika atau taraf yata atau taraf arti, peluag ii serig diyataka dega. Arti dari ilai adalah kita merasa yaki sebesar (- )% bahwa kita telah membuat kesimpula yag bear. Nilai dapat ditetuka sebelum peelitia dilakuka. Salah satu tahap yag petig dalam prosedur pegujia hipotesis adalah meetuka kriteria meerima atau meolak hipotesis (yaitu meetuka ilai statistik sampel yag diaggap sebagai alasa dasar gua meerima atau meolak hipotesis). Nilai statistik demikia itu disebut dega daerah kritis (critical regio). Daerah peerimaa H Daerah peolaka H s Titik kritis
Daerah kritis Salah satu tahap yag petig dalam prosedur pegujia hipotesis adalah meetuka kriteria meerima atau meolak H (meetuka ilai statistik sampel yag diaggap sebagai alasa dasar gua meerima atau meolak H di atas). Nilai statistik demikia itu disebut dega daerah kritis (critical regio). Lagkah-lagkah yag harus dipersiapka dalam melakuka pegujia hipotesis adalah :. Merumuska hipotesis da hipotesis alteratif Hipotesis statistik adalah suatu peryataa atau dugaa megeai satu atau dua populasi. a. Hipotesis yag megadug pegertia sama : H o : H : b. Hipotesis yag megadug pegertia maksimum : H o : H : > c. Hipotesis yag megadug pegertia miimum : H o : H : <. Meetuka alat uji hipotesis z x / t x s / Uji z diguaka apabila simpaga baku populasi (sigma) ketahui Uji t diguaka apabila simpaga baku sample (s) diketahui
3. Meetuka kriteria peerimaa atau peolaka hipotesis, termasuk didalamya meetuka taraf sigifika. Taraf sigifikasi dari pegujia hipotesis statistik adalah peluag dari kekelirua jeis I, yaitu peluag meolak hipotesis ol yag bear. / / 4. Melakuka pearika kesimpula Meguji rata-rata Cotoh : Dari pegalama yag cukup meyakika teryata pada umumya masa pakai semacam lampu pijar sekitar 8 jam. Akhir-akhir ii timbul dugaa bahwa masa pakai lampu itu telah megalami perubaha (belum diketahui apakah mejadi lebih baik atau mejadi lebih buruk). Utuk meetuka apakah memag kualitas telah berubah atau masih sama seperti yag lalu, pegusaha meguji sebayak 5 buah lampu. Kelima puluh buah lampu tersebut diyalaka terus meerus higga mati kemudia utuk setiap lampu dicatat berapa lama bisa meyala, da akhirya ditetuka rata-rataya. Adaika diperoleh utuk kelima puluh buah lampu yag dicoba tadi rata-rata masa pakaiya 79 jam da simpaga baku utuk populasi lampu itu 6 jam. Apabila pegujia dugaa ii risiko 5%, ambilah kesimpula bahwa kualitas lampu tersebut masih tetap atau sudah berubah.
Cotoh : Sebuah ikla megataka bahwa siglet merek A yag dihasilka oleh suatu pabrik cukup awet utuk dipakai selama tempo 8 hari. Utuk meguji kebeara peryataa ikla tersebut, diambil sampel sebayak 36 sampel utuk diguaka (sebagaimaa keadaa lazim) higga rusak. Adaika dari 36 sampel tersebut diperoleh rata-rata rusak pada hari ke 74, jika simpaga baku ditaksir hari da utuk pegujia hipotesis ii diguaka 5%. Tetukalah apakah peelitia yag dilakuka berhasil memperlihatka bahwa siglet ii cukup awet sesuai dega peryataa ikla? Uji meyagkut rata-rata da variasi H Uji Statistik H Daerah kritis, / Z diketahui > < / / z da Z z Z z Z z Z > < > <, / v s T tidak diketahui > < / / t dat t T t T t T > < > < d ; ) / ( ) / ( ) ( d Z +, diketahui d d d > < / / z da Z z Z z Z z Z > < > < d, ; ) (/ ) (/ / ) ( + + v S d T p ) ( ) ( + + s s S p, tidak diketahui d d d > < / / t T da t T t T t T > < > < D d ; / v s d D T tidak diketahui d d d D D D > < / / t dat t T t T t T > < > <
p p Z x p p p ) / ( p < p > p p p p Z < z Z > z Z < z da Z > z / / p p d Z x x d p ( p ) p ( p ) + d d d < d > d d Z < z Z > z Z < z da Z > z / / χ ( ) S, v < > χ χ χ < χ > χ < χ / da χ > χ / Prosedur umum utuk melakuka pegujia hipotesis adalah sebagai berikut :. Nyataka hipotesis ol serta hipotesis tadigaya.. Pilih taraf keberartia (level of sigificace) tertetu yag diigika serta tetuka besar sampel. 3. Pilih uji statistik yag sesuai sebagai dasar bagi prosedur pegujia. 4. Tetuka daerah kritis. Hal tersebut bergatug kepada hipotesis tadigaya (H ). 5. Kumpulka data sampel da hitug statistik sampel serta ubah ke dalam variabel Z atau T. 6. Jika statistik yag dihitug dega cara demikia itu terletak dalam daerah peolaka, kita harus meolak hipotesis ol (H ). Cotoh : Sebuah pabrik memproduksi pelat baja dega pajag rata-rata 8cm dega stadar deviasi 7 cm. Setelah sekia tahu mesi yag memproduksi baja tersebut diraguka keakurata ukuraya dalam memproduksi pelat baja tersebut. Utuk itu diambil sampel acak sebayak uit pelat baja, setelah diukur pajag rata-rataya 83cm da stadar deviasiya tidak berubah. Apakah masih diraguka bahwa rata-rata pajag pelat baja yag dihasilka pabrik tersebut tidak sama dega 8cm? Ujilah dega taraf keberartia 5%. Jawab :
. H H : 8 : 8. 5% 3. Z, diketahui / 4. Daerah kritis : / / -,96,96 Cotoh : 83 8 5. Z 4, 857 7 / 6. Karea Z>,96 berarti Z jatuh pada daerah peolaka H. Maka H harus ditolak dega resiko kesalaha meolak H yag bear 5%. Rata-rata waktu yag diperluka calo mahasiswa pada saat pedaftara di sebuah pergurua tiggi adalah 5 meit dega stadar deviasi meit. Suatu cara pedaftara baru dega megguaka komputer caggih sedag diujicobaka. Bila sampel acak dega mahasiswa membutuhka waktu medaftarka diri 4 meit dega simpaga baku,9 meit megguaka cara baru ii, ujilah hipotesis bahwa rataa populasi sekarag lebih kecil dari 5 dega taraf keberartia () 5% () %. Aggaplah populasi waktu medaftar berdistribusi ormal.
Jawab :. H H : 5meit : < 5meit. 5% ; 3. T, v s / 4. Daerah kritis : () T<-,; () T<-3,58 Cotoh : 4 5 5. T, 33,9 / 6. Kesimpula : Tolak H pada taraf keberartia 5%. Artiya pada taraf keberartia 5% cara pedaftara dega megguaka komputer caggih tersebut diaggap mampu meuruka waktu yag dipakai saat pedaftara ; tetapi terima H pada taraf keberartia %, yag berarti cara pedaftara baru dega megguaka komputer caggih tidak mampu meuruka waktu saat pedaftara. a. Sebuah ikla megataka bahwa siglet merek A yag dihasilka oleh suatu pabrik cukup awet utuk dipakai selama tempo 8 hari. Utuk meguji kebeara peryataa ikla tersebut, diambil sampel sebayak 36 sampel utuk diguaka (sebagaimaa keadaa lazim) higga rusak. Adaika dari 36 sampel tersebut diperoleh rata-rata rusak pada hari ke 74, jika simpaga baku ditaksir hari da utuk pegujia hipotesis ii diguaka 5%. Tetukalah apakah peelitia yag dilakuka berhasil memperlihatka bahwa siglet ii cukup awet sesuai dega peryataa ikla?
b. Diduga bahwa pemuda-pemuda yag gemar melakuka atletik pada umumya lebih tiggi badaya. Kemudia diambil sampel masig-masig 5 pemuda dari kelompok gemar atletik da tidak gemar atletik utuk diukur tiggiya diperoleh rata-rata 63,5cm utuk kelompok gemar atletik da 6cm utuk kelompok yag tidak gemar atletik. Bearkah pemuda yag gemar atletik lebih tiggi badaya dibadigka dega yag tidak gemar atletik? Ambil simpaga baku 7cm utuk masig-masig populasi. c. Berdasarka hasil survey sekitar 3% saja dari oragorag yag datag ke sebuah toko kemudia berbelaja disitu, selebihya haya melihat-lihat saja. Akhir-akhir ii si empuya toko memperkiraka bahwa saat ii telah megalami perubaha. Lalu diadaka survey terhadap 4 orag yag datag ke toko tersebut, terdapat 3 orag yag datag da berbelaja. Buatlah kesimpula dari hasil peelitia yag dilakuka oleh si pemilik toko tersebut dega taraf yata 5%! d. Dari lampu pijar yag dihasilka pegusaha A dicoba sebayak buah sedagka dari pegusaha B dicoba 8 buah. Dari peelitia diperoleh bahwa ratarata masa pakai lampu A 87 jam sedagka masa pakai B adalah 8 jam dega simpaga baku sama yaitu 8 jam. Ujilah dega dega taraf yata 5% utuk membuktika bahwa kekuata lampu itu sama atau berbeda? e. Seorag produse meyataka bahwa 95% dari barag yag dihasilka tergolog pada kualitas yag memuaska. Pemeriksaa terhadap barag yag dihasilka teryata 8 di ataraya tidak diseagi oleh kosume karea cacat. Selidikilah peryataa produse tadi dega taraf yata %. f. Kita ketahui bahwa dalam satu rim kertas terdiri dari 5 lembar. Akhir-akhir ii setiap pembeli megeluh karea jarag sekali diperoleh rim kertas yag peuh. Dari peelitia diperoleh bahwa dari 6 rim kertas yag diambil secara bebas dipasara rata-rata berisi 49 lembar, simpaga baku 4 lembar. Dega taraf yata %, apakah peelitia ii memperkuat keluha kosume? g. Peelitia yag dilakuka di suatu kota teryata dari kaum ibu ada 68 orag yag lebih meyeagi
tepug A apabila dibadigka dega 3 ibu ibu yag meyeagi tepug B. Peelitia di kota lai meghasilka 6 orag dari 3 kaum ibu teryata meyeagi tepug A sedagka sisaya meyeagi tepug B. Guaka taraf yata 5% utuk meguji perbedaa yag yata ataukah tidak megeai kaum ibu yag meyeagi tepug A di kedua kota itu? UJI CHI-KUADRAT Pada bahasa sebelumya kita telah pelajari pegujia hipotesis yag meyagkut uji rata-rata, uji proporsi, uji selisih rata-rata da uji selisih proporsi. Utuk melakuka pegujia hipotesis yag meyagkut pegujia simpaga baku (sigma) terlebih dahulu harus dipelajari sebuah distribusi yag disebut dega distriubsi Chi-Kuadrat disigkat dega χ. Sekedar utuk megetahui hasil peelaaha matematis, maka distribusi Chi-Kuadrat disigkat dega χ memiliki persamaa : y y e χ Dimaa : ( χ ) ( v ) χ merupaka variabel kotiu yag hargaya dibatasi oleh χ v derajat kebebasa yag ilaiya (-) y bilaga tetap yag membuat luas di bawah grafik da di atas sumbu datar sama dega satu uit persegi. Meaksir Simpaga Baku Pada bahasa sebelumya telah dipelajari cara meaksir rata-rata, meaksir proporsi, meaksir selisih rata-rata da meaksir selisih proporsi, berupa taksira titik serta taksira iterval. Utuk taksira iterval dari simpaga baku sigma diguaka rumus sbb : s χ Cotoh : s χ Seorag ahli ekoomi meeliti sampel yag terdiri atas pasar tradisioal di suatu daerah utuk meetuka berapa besar variasi yag mugki megeai harga dagig sapi. Diperoleh jeis harga dagig sapi dega rata-rata Rp.
95,- dega simpaga baku Rp. 3,-. tetuka batas-batas variasi harga dega koefisie kepercayaa 95%.
Jawab : Yag ditayaka tidak lai adalah batas-batas sigma utuk s3,, alpa5%. Kita misalka populasi berdistribusi ormal. Jika harga-harga ii disubstitusika ke rumus diatas, utuk χ,975 8, 9655 da χ,5 3, 853 (masig-masig dega d.k.-9), maka diperoleh :,8 4,38 Meguji Simpaga Baku 3 3 atau 3,853 8,9565 Lagkah-lagkah utuk pegujia hipotesis meyagkut sigma : Cotoh :. Tetuka hipotesis H serta H. Tetuka 3. Tetuka alat uji hipotesis chi kuadrat : ( ) S χ, v 4. Tetuka daerah kritis : 5. Tetuka ilai statistik dari uji chi kuadrat sampel 6. Buat kesimpula Suatu pegusaha pembuat baterei HP meyataka umur bateraiya berdistribusi hampir ormal dega stadar deviasi,9 tahu. Bila sampel acak sebesar baterai mempuyai stadar deviasi, tahu, apakah >, 9? Jawab :. H H : :,8 >,8. 5% ( ) S 3. χ, v
4. Daerah kritis : χ >6,99; Cotoh : ( )(,),8 5. χ 6, 6. Kesimpula : Terima H pada taraf keberartia 5% da disimpulka bahwa tidak ada alasa bahwa stadar deviasi lebih dari,9 tahu. Diketahui bahwa simpaga baku utuk volume air mium dalam kemasa botol merek tertetu adalah,5cc. Akhirakhir ii diduga bahwa mesi telah berjala tidak sebagaimaa mestiya. Oleh karea variasi isi botol diduga telah membesar. Utuk meetuka apakah perlu atau tidak set up ulag terhadap mesi, diteliti sebayak botol dega simpaga baku s,3cc. Tetuka, apakah mesi itu teryata perlu di set up ulag dega taraf yata 5%? Jawab :. H H :,5 : >,5. 5% ( ) S 3. χ, v 4. Daerah kritis : χ >3,44; ( )(,3) 5. χ 3, 96 (,5)
6. Kesimpula : Tolak H pada taraf keberartia 5% da disimpulka bahwa simpaga baku volume air mium dalam kemasa botol tersebut melebihi,5cc sehigga mesi harus di set up ulag. Uji Chi-Kuadrat utuk data Multiomial Pada bahasa sebelumya telah kita pelajari data biomial, yaitu jeis data yag dapat di bedaka mejadi dua kategori. Sedagka apabila data yag dapat dibedaka lebih dari dua kategori disebut dega data mutiomial. Agar perumusa lebih mudah, k buah kategori diberi omor urut,,...,k. Frekuesi yag terjadi berdasarka hasil percobaa atau pegamata disebut f i sedagka frekuesi yag diperoleh berdasarka teori yag berlaku diamaka F i.... K Pegamata (fi) f f... f k Teoritis (F i ) F F... F k Utuk meguji kesesuaia atara fi da Fi diguaka statistik : χ k i ( f F ) i F i i, dega d.k. (k-) Lagkah-lagkah Uji Chi Kuadrat utuk data pegujia hipotesis meyagkut data multiomial :. Tetuka hipotesis H :... k sedagaka utuk H : palig sedikit satu tada sama dega tidak berlaku. Tetuka 3. Tetuka alat uji hipotesis chi kuadrat k ( f i Fi ) mutliomial : χ, dega d.k. (k-) F i 4. Tetuka daerah kritis : 5. Tetuka ilai statistik dari uji chi kuadrat sampel 6. Buat kesimpula i