Jurnal Barkng Vol 5 No Hal 33 39 (0) KAAKTEISASI ELEMEN IDEMPOTEN CENTAL HENY W M PATTY, ELVINUS ICHAD PESULESSY, UDI WOLTE MATAKUPAN 3,,3 Staf Jurusan Matmatika FMIPA UNPATTI Jl Ir M Putuhna, Kampus Unpatti, Poka-Ambon -mail: hnry_4t00@yahoocom, richardlvinus@yahoocom, rwmatakupan@yahoocom ABSTAK Elmn idmpotn dalam suatu ring dngan lmn satuan disbut idmpotnt cntral jika untuk sbarang r brlaku r r Slanjutnya dibntuk ring yang mrupakan subring dngan lmn satuan Dimotivasi dari struktur ring akan dislidiki sifat-sifat dalam ring modul diantaranya, indcomposabl, homomorfisma radikal Jacobson, dalam kaitannya dngan lmn idmpotnt cntral Dalam tulisan ini akan diplajari karaktrisasi Kata kunci: indcomposabl, homomorfisma, radikal Jacobson, idmpotn cntral PENDAHULUAN Dalam struktur ring yang komutatif, jika dipunyai suatu lmn idmpotn ring trsbut dapat didkomposisikan (dcomposabl) mnjadi hasil kali langsung dari ring ( ) Dilain pihak, trdapat ring yang tidak dapat dinyatakan sbagai hasil kali langsung dari dua ring yang tak nol ing ini disbut ring yang tidak dapat didkomposisikan (indcomposabl) Dalam ring yang indcomposabl ini, hanya 0 yang mrupakan lmn idmpotn atau sring disbut idmpotn trivial Sbaliknya dalam tori ring nonkomutatif, lmn idmpotn diknal dngan sbutan idmpotn cntral Hal ini brarti suatu ring yang tak nol disbut indcomposabl jika ring trsbut tidak mmiliki lmn idmpotn cntral yang nontrivial Slanjutnya untuk mmahami struktur ring indcomposabl ini, diprlukan pngtahuan tntang karaktristik lmn idmpotn cntral yang dalam prkmbangannya lbih banyak brpran dalam tori ring nonkomutatif dibandingkan dalam tori ring komutatif Olh karna itu dalam tulisan ini akan dibahas karaktristik lmn idmpotn khususnya lmn idmpotn cntral TINJAUAN PUSTAKA Untuk mmplajari karaktristik lmn idmpotn cntral ini diprlukan bbrapa pngtahuan dasar tntang ring modul diantaranya idal maksimal, homomorfisma, radikal Jacobson jumlah langsung (dirct sum) yang dikaji dari Malik (997) Fullr (99) Slanjutnya dalam bukunya yang brjudul A first Cours in Noncommutativ ings, Tsit Yun Lam (99) mnjlaskan bbrapa sifat lmn idmpotn cntral pranannya dalam struktur ring modul ing yang dibicarakan dalam tulisan ini adalah ring dngan lmn satuan Jadi, tidak harus komutatif trhadap oprasi prgandaan Brikut ini dibrikan bbrapa dfinisi sifat yang mlandasi karaktrisasi lmn idmpotn cntral Dfinisi Suatu lmn disbut lmn idmpotn jika Slanjutnya dibrikan bbrapa sifat dalam idal kanan ( ) dngan asumsi analog untuk idal kiri ( )
Barkng Vol 5 No Hal 33 39 (0) Proposisi Misalkan lmn idmpotn dalam Suatu idal kanan ( ) dapat dinyatakan sbagai brikut ( ) ( ) r r r r Slanjutnya didfinisikan hasil tambah langsung (dirct sum) dari idal kanan ( ) sbagai brikut Dfinisi Misalkan ( ) idal kanan dalam disbut dirct sum dari idal kanan ( ), dinotasikan ( ), jika ( ) ( ) 0 Brikut ini dibrikan dfinisi bbrapa sifat dari idal kanan maksimal dalam suatu ring dngan asumsi bahwa dfinisi sifat-sifat trsbut juga brlaku untuk idal kiri maksimal Dfinisi 3 Idal kanan M disbut idal kanan maksimal jika M tidak trdapat suatu idal kanan I sdmikian shingga M I Slanjutnya, suatu idal kanan N disbut idal kanan minimal jika N 0 tidak trdapat idal kanan J sdmikan hingga 0 J N Brikut ini dibrikan pngrtian radikal Jacobson dari suatu ring dalam kaitannya dngan idal kanan maksimal dngan asumsi yang analog untuk idal kiri maksimal Dfinisi 4 adikal Jacobson dari suatu ring (dinotasikan Jac()) adalah irisan dari smua idal kanan maksimal dalam Jadi, ( ) M M idal kanan maksimal dalam Jac = Brdasarkan Dfinisi 3, dapat dipahami bahwa idal kanan M disbut idal kanan maksimal jika trdapat suatu idal kanan I yang mmnuhi sifat M I brlaku I M atau I Slanjutnya, suatu idal I disbut idal sjati jika I Slain itu radikal Jacobson dari suatu ring dapat dipahami dngan bantuan lmn unit dalam ring trsbut, sprti yang trmuat dalam sifat brikut ini Torma Jika y Jac( ) xy mrupakan unit kiri untuk stiap x Diambil sbarang y Jac( ) Akan ditunjukkan xy mrupakan unit kiri dalam Diandaikan trdapat xy yang bukan unit kiri dalam Artinya ( xy) ( xy) Karna idal 34 ( xy) trmuat dalam suatu idal maksimal M Akibatnya, xy M y M shingga diprolh M Timbul kontradiksi dngan M sbagai idal maksimal, xy mrupakan unit kiri dalam HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bagian ini akan dibahas bbrapa sifat lmn idmpotn cntral sbagai brikut Karaktrisasi Elmn Idmpotn Cntral Misalkan ring dngan lmn satuan Jika idal brturut-turut mrupakan idal kanan yang dibangun olh lmn idmpotn ring dapat dinyatakan sbagai dkomposisi dari, sprti yang dijlaskan dalam proposisi brikut ini Proposisi Misalkan ring dngan lmn satuan Elmn idmpotn di, brlaku: () idal kanan dalam () ( ) () Diambil sbarang r, r s Akan ditunjukkan idal kanan dalam Diprolh, r r ( r r ) r s ( rs) Trbukti mrupakan idal kanan dalam Analog untuk ( ) () Diambil sbarang a diktahui lmn idmpotn dalam Akan ditunjukkan ( ) Diprolh a a a a a a dngan a ( ) a ( ) Hal ini brarti ( ) Slanjutnya diambil sbarang b ( ) yang artinya b c b( ) d untuk suatu c, d Jika digandakan dngan akan diprolh b ( ) d dmikian b b 0 b c c b ( ) d ( ) d 0 Dngan atau ( ) 0 Trbukti ( ) Brdasarkan Proposisi dapat dinyatakan bahwa, suatu ring juga mrupakan jumlah langsung dari idalidal kiri dalam yang dibangun olh lmn idmpotn (dinotasikan ( ) ) Sgkan untuk ring 0 yang tidak dapat dinyatakan sbagai jumlah langsung dari sbarang dua idal yang tak nol disbut ring indcomposabl ing trsbut hanya mmiliki lmn idmpotn yang trivial yaitu 0
Barkng Vol 5 No Hal 33 39 (0) Slanjutnya, jika lmn idmpotn cntral ring r r mrupakan subring dngan lmn satuan Namun sblumnya dibrikan dfinisi lmn idmpotn cntral sbagai brikut Dfinisi 5 Suatu lmn idmpotn disbut cntral jika untuk sbarang r brlaku r r Himpunan smua lmn idmpotn cntral dinotasikan dngan C ( ) Proposisi 3 Jika ring dngan lmn idmpotn cntral r r mrupakan subring dngan lmn satuan Diambil sbarang x, x dngan x r x r, untuk suatu r, r Akan ditunjukkan mrupakan subring dngan lmn satuan x x r r ( r r ) (i) (ii) x x ( r )( r ) r r ( r r ) ( r r ) Dari (i) (ii) trbukti mrupakan subring Misalkan dngan untuk stiap x dngan x r diprolh x ( r) r r x x ( r) r r x Trbukti subring dngan lmn satuan Brdasarkan Proposisi 3 suatu ring f f dapat dinyatakan sbagai brikut (i) r r r r (ii) f f fr r rf r () dngan f brturut-turut mrupakan lmn idmpotn cntral skaligus mrupakan lmn satuan Slanjutnya, dibrikan proposisi tntang lmn idmpotn cntral yang ditinjau dari () Proposisi 4 Suatu lmn idmpotn mrupakan idmpotn cntral ( C( ) f f 0 ) jika hanya jika Diambil sbarang r dibrikan, f C( ) dngan f Akan ditunjukkan f f 0 Diprolh rf r( ) r r r r 0 fr ( ) r r r r r 0 Trbukti f 0 f Sbaliknya, dibrikan f f 0 35 Akan ditunjukkan untuk stiap r brlaku C( ) atau r r 0 Jika rf 0 dngan f brlaku r( ) 0 atau r r 0 Akibatnya, r r Slanjutnya, jika fr 0 brlaku ( ) r 0 atau r r 0 Akibatnya, r r Trbukti, r r r Dalam suatu ring yang mmiliki sbarang lmn idmpotn ', dapat ditntukan Hom (, ) sbagai homomorfisma dari k Brikut ini dibrikan suatu isomorfisma antara dngan suatu ring Proposisi 5 Jika dibrikan sbarang lmn idmpotn dalam suatu ring M modul kanan atas ring trdapat suatu isomorfisma grup aditif : Hom (, M ) M Dibrikan suatu homomorfisma modul, M Untuk stiap r dngan r diprolh : ( r) m sgkan untuk r juga diprolh ( ) m Karna lmn idmpotn () m shingga brlaku ( r) m ( ) Slanjutnya, didfinisikan suatu pmtaan : Hom (, M ) M ' dngan ( ) m, untuk stiap m M Jika () m diprolh m ( ) ( ) ( ) m atau dngan kata lain m m M, shingga brlaku ( ) m m ( ) Akan ditunjukkan isomorfisma grup aditif atau Hom (, M ) M (i) Akan ditunjukkan trdfinisi Diambil sbarang, Hom(, M) dngan Akan ditunjukkan ( ) ( ) Jika atau dngan kata lain 0 untuk suatu lmn idmpotn diprolh ( ) 0 Slanjutnya, karna suatu homomorfisma modul brlaku ( ) ( ) 0 atau ( ) ( ) Mngingat dfinisi ( ) ( ) untuk ( ) ( ) diprolh ( ) ( ) Trbukti, trdfinisi (ii) Akan ditunjukkan homomorfisma grup Diambil sbarang, Hom(, M) Diprolh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Trbukti, homomorfisma grup (iii) Akan ditunjukkan injktif
Barkng Vol 5 No Hal 33 39 (0) Diambil sbarang ( ), ( ) M dngan ( ) ( ) Akan ditunjukkan Karna ( ) ( ) atau ( ) ( ) 0 untuk suatu homomorfisma diprolh ( ) 0 Slanjutnya, karna didfinisikan ( ) ( ) untuk ( ) 0 diprolh ( ) 0 atau ( ) ( ) 0 Akibatnya, ( ) ( ) atau Trbukti, injktif (iv) Akan ditunjukkan surjktif Diambil sbarang () M Akan ditunjukkan trdapat Hom (, M ) shingga brlaku ( ) ( ) Karna ( ) m m ( ) akan slalu ditmukan Hom (, M ) shingga ( ) ( ) Trbukti, surjktif Brdasarkan bukti (i)-(iv) trbukti bahwa Hom (, M ) M Brdasarkan Proposisi 5 diprolh suatu akibat sbagai brikut Akibat Jika dibrikan sbarang lmn idmpotn dalam suatu ring Hom (, ' ) ' Pada Proposisi 5 tlah dibuktikan bahwa trdapat suatu isomorfisma grup aditif : Hom (, M ) M atau Hom (, M ) M Dngan asumsi M, diprolh Hom (, ' ) ' Dari Akibat diprolh suatu akibat sbagai brikut Akibat Untuk suatu idmpotn trdapat suatu isomorfisma ring, End ( ) Diambil sbarang idmpotn ' dngan Akan ditunjukkan End ( ) Brdasarkan Akibat Hom (, ' ) ' Jika diasumsikan lmn idmpotn diprolh End ( ) Hom (, ) Slanjutnya untuk suatu pmtaan : dngan dfinisi ( r) r, r srta mngingat Proposisi 5 yaitu ( r) m m untuk suatu pmtaan : Hom(, ) diprolh ( ) r ( r) m m Dapat disimpulkan m yang artinya m m m Akan dibuktikan homomorfisma ring Diambil sbarang, End ( ) diprolh: (i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ii) ( ) ( ) ( m) ( m) ( ) m ( ) ( ) ' 36 Brikut ini didfinisikan lmn idmpotn yang saling ortogonal dibrikan bbrapa sifat indcomposabl dalam ring Dfinisi 6 Dua lmn idmpotn, dikatakan saling ortogonal jika 0 Dfinisi 7 Suatu ring disbut indcomposabl jika ring trsbut tidak mmiliki lmn idmpotn cntral yang nontrivial atau dngan kata lain hanya 0 yang mrupakan lmn idmpotn cntral dalam Dari sifat ring indcomposabl, idmpotn cntral idmpotn ortogonal, dapat didfinisikan lmn idmpotn yang primitif, namun sblumnya dibrikan suatu proposisi yang mndasari pndfinisian trsbut Proposisi 7 Untuk sbarang idmpotn yang tidak nol, bbrapa prnyataan brikut ini kuivaln indcomposabl sbagai -modul kanan indcomposabl sbagai -modul kiri ing tidak mmiliki idmpotn yang non trivial 3 Elmn tidak dapat didkomposisikan k dalam bntuk dcngan, adalah idmpotn tidak nol yang saling ortogonal () () Diktahui indcomposabl sbagai - modul kanan Akan ditunjukkan ring tidak mmiliki idmpotn yang nontrivial Brdasarkan Akibat End ( ) ring juga indcomposabl dngan kata lain ring tidak mmiliki idmpotn yang nontrivial Dngan asumsi yang sama dibuktikan untuk prnyataan indcomposabl sbagai -modul kiri () (3) Dibuktikan dngan kontradiksi Andaikan dngan idmpotn tak nol yang saling ortogonal diprolh ( ) 0 ( ) 0 Diprolh 0 kontradiksi dngan () karna mmuat idmpotn yang nontrivial Pngandaian diingkari, trbukti dngan dngan idmpotn tak nol yang saling ortogonal (3) () Dibuktikan dngan kontradiksi Diandaikan ring mmiliki idmpotn yang nontrivial shingga untuk suatu komplmn idmpotn dari yaitu dngan
Barkng Vol 5 No Hal 33 39 (0), akan dipunyai suatu dkomposisi dari idmpotn yang ortogonal yaitu Akibatnya timbul kontradiksi dngan prnyataan (3), shingga ring tidak mmpunyai lmn idmpotn yang nontrivial Brdasarkan Proposisi 7 didfinisikan suatu idmpotn primitif sbagai brikut Dfinisi 8 Suatu lmn idmpotn 0 disbut idmpotn primitif dari, jika mmnuhi salah satu dari kondisi brikut ini indcomposabl sbagai -modul kanan sgkan indcomposabl sbagai -modul kiri ing tidak mmiliki idmpotn yang non trivial 3 Elmn tidak dapat didkomposisikan k dalam bntuk dcngan, adalah idmpotn tak nol yang saling ortogonal Slanjutnya, struktur Jac ( ) dapat dipahami dngan mmanfaatkan torma homomorfisma ring Torma Dibrikan suatu lmn idmpotnt dalam J Jac( ) Diprolh Jac ( ) J ( ) J / Jac ( ) Dibrikan lmn idmpotn J Jac( ) Akan ditunjukkan: Jac ( ) J ( ) J / Jac ( ) Akan ditunjukkan Jac ( ) J ( ) J Dibuktikan dngan bbrapa tahapan sbagai brikut: (i) rjac ( ) r J, (ii) rj ( ) r J, (iii) r J r Jac ( ) Pmbuktian sprti brikut: (i) Diambil sbarang r Jac ( ) Akan ditunjukkan r J Brdasarkan Torma jika rj Jac( ) yr unit dalam, untuk stiap y Dngan asumsi yang sama untuk stiap r Jac ( ) y brlaku y r yang mrupakan unit dalam Artinya untuk suatu b brlaku b( y r), akibatnya b( y r) Karna b b b b shingga brlaku b( yr) Mngingat y diprolh b( yr) Di lain pihak, jika digandakan dngan yr dari ruas kiri pada 37 b( yr) diprolh yrb( yr) yr yr akibatnya yrb yrb yr yr Dibrikan ( yrb), ( yr) brlaku ( yrb)( yr) ( yr) yrb( yr) yr yr Trbukti bahwa trdapat yrb shingga brlaku ( yrb )( yr) atau dngan kata lain yr unit dalam (ii) Diambil sbarang r J Akan ditunjukkan r J Jika r J yang artinya r J r brlaku r r Sgkan di lain pihak tlah diktahui bahwa r J mngingat bahwa J diprolh r r J (iii) Diambil sbarang r J J Akan ditunjukkan r Jac ( ) Brdasarkan Torma yaitu untuk stiap y yr mrupakan unit dalam Di lain pihak karna r J J Jac( ) yr mrupakan unit dalam, yang artinya trdapat suatu x shingga brlaku x( yr) Diprolh x( yr) x( yr) x( yr) x( yr) x( yr) Dngan kata lain x adalah invrs kiri dari yr atau yr unit di Akan ditunjukkan / Jac ( ) Dibrikan suatu pmtaan : yang trdfinisi dngan ( r) r Suatu pmtaan mrupakan homomorfisma ring dari k, yakni untuk sbarang r, r diprolh : ( r r ) ( ( r r ) ) ( r r ) (i) (ii) ( r r ) r r ( r ) ( r ) ( r r ) ( r r ) ( r r ) Di lain pihak ( r r ) ( r r ) ( r r ) r r ( r ) ( r ) : juga mrupakan suatu pimorfisma karna untuk stiap r dngan masing-masing r adalah bayangan dari r shingga brlaku r ( J)( r J)( J) r J Hal ini brarti untuk stiap r dapat ditmukan r shingga brlaku
Barkng Vol 5 No Hal 33 39 (0) ( r) r Diprolh, untuk stiap r brlaku Im( ) r ( r) r Kr ( ) r ( r) 0 r r 0 r r J 0 J Jika J r rj Slanjutnya, mngingat bukti (i) (ii), jika J ( ) J rj Kr ( ) J rad ( ) Dngan mngingat torma utama homomorfisma ring diprolh / Kr ( ) Im( ) Trbukti / Jac ( ) Brikut ini dibrikan proposisi yang mndasari dfinisi isomorfisma antara dua lmn idmpotn dalam suatu ring Proposisi 8 Dibrikan lmn idmpotn, f, prnyataanprnyataan brikut ini kuivaln f sbagai -modul kanan f sbagai -modul kiri Trdapat lmn a f b f sdmikian shingga ab f ba 3 Trdapat lmn a, b sdmikian shingga ab f ba Dibrikan f sbagai modul kanan atas Akan ditunjukkan ab f ba Brdasarkan Proposisi 5, untuk sbarang lmn idmpotn f, dngan f dapat ditmukan suatu isomorfisma : f atau Hom (, f ) f dngan dfinisi () b f Sbaliknya untuk suatu pmtaan invrs : f atau Hom ( f, ) f didfinisikan ( f ) a f Karna b f dngan f, yang juga mrupakan lmn satuan brlaku fb b b untuk stiap a f brlaku a a af diprolh ( ( )) ( )( ) ( b) ( f) b ab, ( fb) ( ( f )) ( a) ( a) () a ba Dari hasil komposisi, lmn diptakan k ab lmn f diptakan k ba Karna trbukti =ab f=ba 38 Bukti f sbagai -modul kiri dikrjakan scara analog dngan asumsi f sbagai modul kiri atas 3 Prnyataan 3 adalah prnyataan yang trivial 3 Dibrikan a, b dngan ab f ba Akan ditunjukkan f sbagai modul kanan atas Dipunyai b b( ab) ( ba) b fb f af a( ba) ( ab) a a Slanjutnya, didfinisikan : f dngan () b f shingga untuk stiap x diprolh ( x) ( x) () x bx f Didfinisikan juga : f dngan ( f ) a shingga untuk stiap y brlaku ( y) ( fy) Karna () b fb b ( f ) a a af ( f) y ay diprolh () ( ( )) ( b) a( b) ( ab) ( f ) ( ( f )) ( af ) b( af ) ( ba) f ff f f Karna, trbukti f Brdasarkan Proposisi 8 dapat didfinisikan isomorfisma antara dua lmn idmpotn dalam sbagai brikut Dfinisi 9 Elmn idmpotn dikatakan saling isomorfisma dngan idmpotn f (dinotasikan f ) jika mmnuhi salah satu dari kondisi brikut ini f f sbagai modul kanan atas sgkan sbagai modul kiri atas Trdapat lmn af b f sdmikian shingga ab f ba 3 Trdapat lmn a, b sdmikian shingga ab f ba KESIMPULAN Brdasarkan pmbahasan dapat disimpulkan bahwa bbrapa karaktristik dari lmn idmpotnt cntral adalah sbagai brikut: Syarat prlu cukup suatu lmn idmpotn mrupakan idmpotn cntral adalah f f 0
Barkng Vol 5 No Hal 33 39 (0) 39 Jika dibrikan sbarang lmn idmpotn dalam suatu ring M modul kanan atas ring trdapat suatu isomorfisma grup aditif : Hom (, M ) M 4 Untuk sbarang idmpotn yang tidak nol, bbrapa prnyataan brikut ini kuivaln yaitu ( ) indcomposabl sbagai -modul kanan (modul kiri), ring tidak mmiliki idmpotn yang non trivial, lmn tidak dapat didkomposisikan k dalam bntuk dcngan, adalah idmpotn tidak nol yang saling ortogonal 5 Jika dibrikan suatu lmn idmpotn dalam J Jac( ) diprolh Jac ( ) J ( ) J / Jac ( ) 6 Untuk sbarang lmn idmpotn, f, bbrapa prnyataan brikut ini kuivaln yaitu: f ( f ) sbagai -modul kanan (-modul kiri), trdapat lmn a f b f sdmikian shingga ab lmn a, b shingga ab f ba, trdapat f ba DAFTA PUSTAKA Andrson, W Fullr, K, 99, ing and Catgoris of Moduls, Springr Vrlag, Nw York Lam, TY, 99, A First Cours in Noncommutativ ings, Springr Vrlag, Nw York Malik, DS, Mordson, J M, Sn, M K, 997, Fundamntals of Abstract Algbra, Th McGraw- Hill Companis, Inc, NwYork