BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Riset Operasi Masalah pengoptimalan timbul sejak adanya usaha untuk menggunakan pendekatan ilmiah dalam memecahkan masalah manajemen suatu organisasi. Sebenarnya kegiatan yang disebut riset operasi (operation research) dimulai di kalangan militer pada awal Perang Dunia II, dimana sejumlah ilmuwan dari berbagai bidang keahlian bekerja sama dalam sebuah tim melakukan riset dalam operasi militer. Mereka berupaya menerapkan pendekatan ilmiah agar dapat mengalokasikan sumber-sumber atau input yang terbatas untuk melayani berbagai kegiatan secara efisien dan efektif sehingga diperoleh hasil operasi yang optimal. Didefinisikan riset operasi adalah riset sebuah tim tepadu yang menerapkan metode ilmiah untuk memecahkan permasalahan yang timbul dalam kegiatan operasi suatu sistem organisasi agar diperoleh pemecahan yang optimal.. Model Pengoptimalan Menurut Rardin () model pengoptimalan menampilkan pilihan masalah sebagai variabel keputusan dan mencari nilai yang maksimal atau minimal fungsi tujuan (fungsi objektif) pada variabel keputusan menurut batasan nilai variabel sesuai dengan alternatif keputusan yang mungkin. Model standar pada model pengoptimalan adalah sebagai berikut: minimalkan atau maksimalkan fungsi tujuan f x,..., x ), ( n dengan kendala g x,..., x ) (,, atau ) b, i,..., m, i ( n i dimana f, g,..., g adalah fungsi yang diberikan untuk variabel keputusan m x,...,,..., xn dan b b m adalah konstanta parameter yang telah ditentukan. Ketika riset operasi digunakan untuk memecahkan sebuah masalah organisasi, langkah prosedur pembentukan model berikut seharusnya diikuti, yaitu perumusan masalah, pengobservasian sistem,
perumusan sebuah model matematis untuk problem tersebut, pengujian model, pemilihan alternatif yang sesuai, penyajian hasil dan kesimpulan studi kepada organisasi, penerapan dan pengevaluasian rekomendasi. (Winston, ) Williams () mengemukakan bahwa tujuan pengoptimalan suatu organisasi bisa berupa pemaksimalan keuntungan, peminimalan biaya, pemaksimalan kegunaan,..., dan pemaksimalan kekuatan rencana operasi. Sebuah model pengoptimalan disebut linear programming (LP) jika memiliki sebuah fungsi tujuan, semua fungsi kendalanya linear, dan variabel keputusannya bernilai tidak negatif. Beberapa tipe kendala yang paling umum muncul dalam model LP diklasifikasikan sebagai berikut Kendala kapasitas produksi Ketersediaan bahan baku Permintaan pasar dan pembatasnya Kendala keseimbangan kesinambungan bahan.. Integer Programming Sebuah model pengoptimalan disebut integer programming (IP) jika variabel keputusan berupa bilangan bulat. Jika semua variabel adalah bilangan bulat, maka model itu disebut pure integer program, tapi jika tidak demikian maka disebut mixed-integer program. (Rardin ) Penyelesaian masalah IP berkaitan dengan LP-relaksasi. LP-relaksasi dari suatu IP merupakan LP yang diperoleh dari IP tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala - pada setiap variabelnya. (Winston, ) Untuk masalah pemaksimalan, nilai fungsi objektif yang optimal di LP-relaksasi lebih besar atau sama dengan nilai objektif optimal di IP, sedangkan untuk masalah peminimuman nilai fungsi objektif yang optimal di LP-relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai fungsi objektif yang optimal di IP.
Salah satu metode pemecahan masalah IP adalah metode Branch and Bound, dimana langkah awalnya dimulai dengan menyelesaikan LP-relaksasi pada IP. Prinsip dasar metode Branch and Bound adalah membagi daerah fisibel dari masalah LP-relaksasi dengan cara membuat subproblem-subproblem baru sehingga masalah IP terpecahkan. Daerah fisibel suatu LP adalah daerah yang memuat titik-titik yang dapat memenuhi kendala linear masalah LP. Menurut Taha (), berikut ini adalah langkah-langkah dalam metode Branch and Bound untuk masalah pemaksimalan. Ditetapkan batas bawah awal z = untuk nilai optimal dari fungsi objektif IP dan i =. Langkah (pem-fathom-an dan pembatasan). Memilih LP i sebagai subproblem untuk diteliti. LP i diselesaikan dan LP i difathom-kan dengan salah satu dari ketiga kondisi berikut: (a) Nilai optimal z dari LP i tidak lebih baik daripada batas bawah sekarang. (b) LP i menghasilkan solusi integer fisibel yang lebih baik daripada batas bawah sekarang. (c) LP i tidak memiliki solusi yang fisibel. Dua kasus akan muncul. (a) Jika LP i di-fathom-kan dan sebuah solusi yang lebih baik ditemui, batas bawah diperbarui. Jika semua subproblem sudah di-fathom-kan, berhenti, optimal dari IP dihubungkan dengan batas bawah sekarang, bila ada. Jika sebaliknya, ditentukan i = i +, dan langkah diulangi. (b) Jika LP i tidak di-fathom-kan, dilanjutkan ke langkah untuk melakukan pencabangan LP i. Langkah (pencabangan). * Memilih salah satu variabel x j yang nilai optimalnya adalah x j tidak memenuhi batasan integer dalam solusi LP i. Memisahkan bidang [x * j ] < x j < [x * j ] + (dengan [v] sebagai integer terbesar yang v) dengan membuat dua subproblem LP yang sesuai dengan x j [x * j ] dan x j [x * j ] + Menentukan i = i +, dan kembali ke langkah.
Contoh: Misalkan diberikan masalah IP sebagai berikut: Maksimalkan z = x + x terhadap x + x x + x x, x, x, x integer. () Solusi optimal dari LP-relaksasi contoh tersebut (LP ) adalah z =,, x =,, dan x =,. Daerah fisibel LP-relaksasi dari masalah di atas dapat dilihat pada Gambar. Menurut metode Branch and Bound, karena solusi optimal LPrelaksasi tersebut tidak memenuhi syarat integer, maka harus dibuat subproblem baru. Dipilih sembarang variabel x i optimal yang tidak memenuhi syarat integer, misalnya x =,, sehingga bidang x bukan daerah fisibel bagi masalah IP dan harus dipisahkan. Ruang LP semula diganti dengan dua ruang LP yakni LP dan LP yang didefinisikan sebagai berikut: Ruang LP = ruang LP + kendala (x ). Ruang LP = ruang LP + kendala (x ). Ruang LP dan LP dapat dilihat pada Gambar.
x Solusi optimal LP x =, x =, x Gambar Daerah Fisibel LP. x LP LP x Gambar Grafik ruang LP dan LP. Dari gambar di atas terlihat batasan baru LP dan LP tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, sehingga LP dan LP harus ditangani sebagai LP yang
berbeda. Masalah LP dan LP diselesaikan satu per satu. Misalkan LP dipilih pertama kali untuk diselesaikan, sehingga permasalahan menjadi Maksimalkan z = x + x terhadap x + x x + x x x, x. () Diperoleh solusi optimal untuk masalah LP di atas, yaitu z =, x = dan x =,. Karena solusi optimal LP bukan solusi integer, berarti LP tidak difathom-kan, maka dilakukan pencabangan di LP menjadi subproblem, yakni LP dan LP. Ruang LP dan LP didefinisikan sebagai berikut: Ruang LP = ruang LP + kendala (x ) + kendala (x ) = ruang LP + kendala (x ). Ruang LP = ruang LP + kendala (x ) + kendala (x ) = ruang LP + kendala (x ). Berikutnya akan dipecahkan LP. Ternyata tidak ada solusi fisibel untuk LP, berarti LP di-fathom-kan. Dilanjutkan dengan menyelesaikan LP. Diperoleh solusi optimal z =,, x =,, dan x =. LP tidak di-fathom-kan, sehingga dibuat pencabangan di LP, menjadi LP dan LP, dengan Ruang LP = ruang LP + kendala (x ). Ruang LP = ruang LP + kendala (x ). Solusi optimal dari LP adalah x = dan x =, dengan z =. Karena solusi LP integer, maka LP di-fathom-kan. Nilai z = sebagai batas bawah calon solusi optimal IP. Solusi optimal dari LP adalah x = dan x =, dengan z =. Karena solusi LP juga integer, maka LP di-fathom-kan. Nilai z = melebihi batas bawah sebelumnya (z = ), sehingga solusi LP bukan solusi optimal IP. Calon batas bawah untuk solusi optimal IP adalah z =. Tinggal LP yang belum terselesaikan. Dari penghitungan diperoleh solusi optimal LP z =, x =, dan x =, yang berupa solusi integer, sehingga LP di-fathom-kan. Nilai z = tidak melebihi batas bawah terakhir (z = ), sehingga solusi LP bukan solusi optimal IP.
Karena semua subproblem sudah di-fathom-kan, maka pencabangan berhenti. Diperoleh solusi optimal z = dari penyelesaian LP dengan x =, dan x =. Penggunaan metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah IP pada contoh di atas dapat dilihat pada Gambar. Penghitungan nilai-nilai variabel dilakukan dengan bantuan software Lingo dapat dilihat pada Lampiran. LP z =,, x =,, dan x =, x x LP LP z =, x =, dan x =, z =, x =, dan x = x x LP LP Tanpa solusi z =,, x =,, dan x = x x LP LP z =, x =, dan x = batas bawah (optimal) z =, x =, dan x = Gambar Pencabangan dengan metode Branch and Bound untuk menemukan solusi IP.