BAB 3 PERANCANGAN SISEM 3. Perancangan Pengendal PDC pada Sstem ruk-raler Model lnear fuzzy -S untuk sstem truk dengan tga traler telah dmodelkan sebelumnya, yakn sesua persamaan (.44), yatu = { A x B u} x& h ( x) + (3.) = dmana terdapat dua aturan (rule) yang berlaku. Maka pada pengendal fuzzy PDC juga terdapat dua aturan sehngga persamaan (.8) dan (.9) dapat dtulskan menjad = = j= ) h j ( x) ( A B F ) x& h ( x x (3.) x& = h ( x ) h ( x ) G x + ( x ) h j ( x j j Gj + G j h ) < x (3.3) Dsan pengendal PDC dapat dlakukan dengan beberapa metode. Jka menggunakan eorema atau konds (.) dan (.), maka terlebh dahulu dtentukan letak pole yang dngnkan atau closed-loop egenvalues yang dngnkan untuk masng-masng model aturan pertama dan kedua. Matrks feedback closed-loop F dan F dcar dengan menggunakan metode penempatan kutub. Kemudan matrks postf defnt P dtentukan dengan algortma optmsas LMI. Metode yang lan yatu dengan desan pengendal dmana matrks feedback gan F dan F bersama-sama dengan matrks P dtentukan dengan algortma optmsas LMI. Untuk memudahkan perancangan, pada tess n dgunakan LMI Lab dan untuk menyelesakan solus numerk dar konds LMI dan graphcal user nterface (GUI) lmedt untuk menetapkan konds maupun persyaratan sstem dalam formulas LMI. Langkah-langkah mplementas LMI Lab pada dsan kendal fuzzy dperlhatkan pada gambar 3. berkut n. Fungs-fungs LMI Lab dgunakan pada proses-proses deskrps matrks varabel, formulas konds LMI, representas 6 Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
7 nternal, penentuan solus LMI, evaluas dan valdas maupun untuk mendapatkan nfo mengena sstem LMI yang dbuat. Fungs-fungs LMI solver dgunakan tergantung pada metoda optmsas, sepert feasp dgunakan untuk masalah feasblty, gevp dgunakan untuk masalah generalzed egenvalue mnmzaton problem (GEVP), mncx dgunakan untuk masalah mnmas obyektf lnear (lnear objectve mnmzaton). Identfkas problem dsan kendal Deskrps matrks varabel setlms lmvar lmnfo lmnbr matnbr Informas LMI Formulas LMI lmterm LMI LAB functon Representas nternal getlms LMI solver feasp gevp mncx decmat Evaluas dan Valdas evallm showlm eg Gambar 3. Implementas LMI Lab pada dsan kendal fuzzy 3. Dsan : Pengendal Stabl Pada perancangan pengendal stabl, konds-konds yang dsyaratkan dalam eorema perlu dnyatakan dalam P dan F dan F. Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
8 Sesua defens sebelumnya, G G G = A B F = A BF = A BF G = A F B G = A F B G = A F B G = A BF G = A F B dan dengan mendefenskan matrks varabel baru X = P -, dan mengalkan ruas kr dan kanan pada pertdaksamaan (.) dan (.) dengan X, maka dapat dtuls ulang sebaga berkut, XA XA A X + XF B + BF X > A X + XF B + BF X >,, XA A X XA A X + XF B + B F X + XF B + B F X, Dengan mendefenskan M = F X dan M = F X sehngga untuk X >, dapat dperoleh F = M X - dan F = M X -. Substtus ke dalam pertdaksamaan datas menghaslkan maka syarat konds eorema dapat dnyatakan dalam formulas LMI sepert berkut, emukan matrks X, M dan M yang memenuh X > (3.4) XA XA A X + M B + BM > A X + M B + BM >, (3.5), (3.6) XA A X XA A X + M B + B M + M B + B M (3.7) dmana X = P -, M = F X, M = F X Feedback gans F dan F dan matrks bersama P dapat dperoleh dar P = X -, F = M X -, F = M X - (3.8) Sstem LMI d atas dapat dnyatakan dengan LMI edtor dengan perncan sebaga berkut [3]: Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
9 () entukan dmens dan struktur setap matrks varabel. Dalam hal n matrks varabel 6 6 X R smetrs, matrks varabel 6 M M R. () Nyatakan setap sstem LMI dalam bentuk pernyataan matrks smbols (MALAB expressons)., Gambar 3. memperlhatkan graphcal user nterface (GUI) LMI Edtor untuk menyatakan sstem LMI (3.4) (3.7) dalam ekspres smbol matrks atau expres MALAB. Dengan mengetkkan lmedt pada Command Wndow MALAB, akan tampl GUI LMI Edtor dengan beberapa area pengedtan untuk mendeklaraskan nama matrks varabel (varable name), struktur (type, structure) untuk menyatakan tpe dan dmens matrks varabel. Setelah sstem LMI dnyatakan ddeskrpskan secara lengkap pada LMI Edtor, beberapa hal dapat dlakukan dengan menekan/meng-klk tombol yang bersesuaan, yatu [3]: Menamplkan deskrps sstem LMI dalam fungs LMI Lab, ( vew command buttons) atau sebalknya, sstem yang dnyatakan secara khusus dalam fungs LMI Lab dapat dtamplkan dalam ekspres smbol matrks dengan meng-klk tombol descrbe.... Nyatakan setap sstem LMI dalam bentuk pernyataan matrks smbols (MALAB expressons). Menympan ekspres smbolk dar sstem LMI dalam format strng ( save button). Membaca fle LMI yang telah ada sebelunya ( read button). Menghaslkan representas nternal dengan menekan tombol create. Haslnya dtuls dalam MALAB varabel sesua dengan nama sstem LMI. Semua data LMI yang terkat akan dsmpan dalam workspace MALAB. Representas nternal n dapat darahkan langsung pada LMI solver ataupun fungs LMI Lab lannya. Dengan LMI solver untuk mencar solus feasble sstem LMI (3.4) (3.7), dgunakan fungs feasp dengan format sebag berkut: Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
3 [tmn,xfeas]=feasp(sys) Xf=decmat(sys,xfeas,X) Mf=decmat(sys,xfeas,M) Mf=decmat(sys,xfeas,M) Matrks Xf, Mf, dan Mf masng-masng bersesuan dengan matrks varabel X, M, dan M, sehngga dapat dperoleh matrks defnt postf P dan feedback gans F dan F menurut persamaan (3.8) Gambar 3. GUI LMI edtor Penyelesaan sstem LMI (3.4) (3.7) menghaslkan:.499 F =,.666.796.65.89. F =.734.8.66.74.499.5, dan Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
3.35.95.48.83.669.95.5.6..34.48.6.5.867.87 P = >.83..867.549.44.875.669.34.87.44.4 Untuk konds relaxed stablty sesua eorema 3, formulas LMI dapat dnyatakan sepert berkut, emukan matrks X, Y, M dan M yang memenuh X > (3.9) Y (3.) XA A X + M B + BM ( s ) Y > XA A X + M B + BM ( s ) Y > Y XA A X XA A X, (3.), (3.) + M M B + BM + M B + B (3.3) dmana X = P -, M = F X, M = F X, Y = XQX Feedback gans F dan F dan matrks bersama P dan Q dapat dperoleh dar P = X -, F = M X -, F = M X - Q = PYP (3.4) 3.3 Dsan : Pengendal Stabl dengan Constrant pada Input Dalam mendesan pengendal, terdapat batasan-batasan (constrants) yang perlu dperhatkan dalam hal nput pengendal ataupun keluaran model. Sebaga contoh, dalam perancangan pengendal fuzzy untuk truk dengan 3 traler, dterapkan constrant untuk nput sudut kemud, besarnya tdak melebh 3 o. Sedangkan constrant untuk keluaran selsh sudut antara truk dan traler ataupun antar traler besarnya tdak melebh 9 o. Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
3 eorema 4. Asumskan bahwa konds awal x() dketahu. Batasan nput kendal u(t) < µ dpenuh sepanjang waktu t > jka syarat LMI x() x() X, (3.5) X M M, (3.6) µ I dapat terpenuh, dmana X = P - dan M = F X. Untuk desan pengendal dengan menambahkan batasan atau constrant pada nput pengendal, yakn u(t) < µ, dalam hal n µ = 3 o maka konds LMI (3.9) (3.3) dmodfkas dengan penambahan konds (3.5) dan (3.6), yatu: emukan matrks X, Y, M dan M yang memenuh X > (3.7) Y (3.8) XA A X + M B + BM ( s ) Y > XA A X + M B + BM ( s ) Y > Y XA A X XA A X, (3.9), (3.) + M M B + BM + M B + B (3.) x() X M x() X, (3.) M, (3.3) µ I X M M µ I (3.4) Penerapan algortma optmsas LMI dengan cara yang sama pada sub bab 3.3, dperoleh :.4....37. F =,.74..... Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
33.....83. F =,.898....3.38.47.....45..6.4.....4.56.8.. P = >...8.46.........45..... 3.4 Dsan 3: Pengenal Stabl dengan Constrant pada Input dan Output eorema 5. Asumskan bahwa konds awal x() y(t) < λ dpenuh sepanjang waktu t > jka syarat LMI dketahu. Batasan output x() x() X, (3.5) X XC, (3.6) C X λ I dapat terpenuh, dmana X = P - dan M = F X. Untuk desan pengendal dengan menambahkan batasan atau constrant pada ouput pengendal, yakn u(t) < λ, dalam hal n λ = 9 o dan dplh x, x 3, dan x 4 sebaga output maka matrks keluaran C adalah C = C = C = Konds LMI (3.7) (3.4) dtambahkan konds (3.6) yatu: X CX XC, (3.7) λ I Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
34 Dengan penerapan algortma optmsas LMI cara yang sama, dperoleh: F.98 = 5.3.88.78.99.9...494..9.,.7.5.4... F =,.36.64.3.93..3.56.7.7.69...7.59..88..6.7..544.63..6 P = >.69.8.63.499..6........6.6.6...8.378.368.356...378.69.44.896..3.368.44.549.65..3 Q = 3.356.896.65.4889..3........3.3.3.. 3.5 Dsan 4: Pengenal Stabl dengan Intal State Independent Salah satu kelemahan dar desan pengendal dengan batasan nput dan output adalah ketergantungan pada nla awal sstem []. In berart bahwa feedback gans F harus dtentukan kembal jka nla awal varabel keadaan mengalam perubahan. Agar tdak perlu selalu menghtung F setap kal terjad perubahan nla awal varabel keadaan, maka LMI dengan constarnt pada nput ataupun output dapat dmodfkas, dmana nla awal x() tdak perlu dketahu tetap batas atas Φ dar x() dketahu, yatu x() < Φ. Batas Φ dapat dset cukup besar agar dapat mencakup lebh banyak nla awal varabel keadaan bahkan jka nla x() tdak dketahu. Modfkas dar LMI constrant dapat dselesakan sebaga berkut: Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
35 eorema 6. Asumskan bahwa konds awal x() < Φ dmana x() tdak dketahu tetap batas atas Φ dketahu. Maka x () X - x() <, (3.8) jka Φ I < X, (3.9) Dmana X = P - Dapat dlhat bahwa pertdaksamaan (3.8) ekuvalen dengan (3.5) dan (3.5). konds (3.9) dapat dgunakan dalam modfkas LMI sebaga gant dar (3.5) ataupun (3.5). Dsan pengendal dengan konds nla awal varabel keadaan yang ndependen dbuat dengan menambahkan eorema 6 dalam perancangan konds LMI, dalam hal n batas atas dar nla awal dtentukan, yatu Φ =. dan dengan algortma LMI yang sama, dperoleh feedback gan F dan F serta matrks postf defnt P sebaga berkut : F =.45.6.5.4.33.367 F =.65..4.4.444.49..7.7.7..7.....7..5.. P = >.7..........6 Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
36 3.6 Valdas Hasl Optmsas LMI Kesemua matrks P yang dperoleh datas adalah matrks smetrs defnt postf. Dmens dan deskrps berbaga matrks yang dgunakan dalam dsan kendal n dapat dlahat pada tabel 3.. Matrks P adalah matrks defnt postf jka dan hanya jka semua egenvalue matrks P adalah postf, hal n benar jka dan hanya jka semua leadng prncpal mnors (determnan dar leadng prncpal submatrces) dar matrks P adalah postf. Matrks Q adalah matrks semdefnt postf jka dan hanya jka semua egenvalue matrks P adalah non-negatf, hal n benar jka dan hanya jka semua leadng prncpal mnors (determnan dar leadng prncpal submatrces) dar matrks Q adalah non-negatf. abel 3. Dmens matrks Matrks Dmens Deskrps A, A 6 6 Matrks state aturan dan B, B 6 Matrks nput aturan dan F, F 6 Matrks feedback gans P 6 6 Matrks smetrs defnt postf X 6 6 X = P -, smetrs defnt postf Q 6 6 Matrks smetrs semdefnt postf M, M 6 M = F X Jka P adalah matrks n n, maka leadng prncpal submatrx orde-m (P m ) dar P adalah matrks yang dbentuk dengan menghapus n m bars dan kolom terakhr dar P. Matrks P 6 = P. 6 6 P R memlk enam leadng prncpal submatrx, dan Matrks S adalah negatf jka S adalah postf. Mengalkan sebuah matrks dengan sama dengan mengalkan determnan matrks tersebut dengan ( ) n. Dengan demkan matrks S adalah matrks negatf defnte jka prncpal mnor matrks S bergantan tanda negatf atau postf, dengan tanda negatf jka jumlah Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
37 bars (kolom) submatrks adalah ganjl, sebalknya postf jka jumlah bars (kolom) submatrks adalah genap [,3]. Sebaga contoh valdas untuk desgn terakhr, akan dbuktkan bahwa {} P >, {} A B F ) P + P( A B F ) ( < {3} A B F ) P + P( A B F ) ( < Gj + G j Gj + G j {4} + P P dmana, G = A BF G = A F B G = A BF G = A F B abel 3. Nla egen matrks {} {} {3} {4}.5 -.38 -.38 -.38. -.5 -.8 -.7. -.84 -.7 -.78. -.58 -.55 -.57.4 -.9 -.9 -.9. -.8-3.7-5 -.5 abel 3.3 Nla determnan leadng prncpal submatrx {} {} {3} {4}. -7.9685-3 -6.659-3 -7.338-3.3.569-4.378-4.4389-4.5-5 -.3868-6 -.9893-6 -.88-6.7-6 3.69-8.597-8.7633-8.4-9 -.3434 - -9.3384-3 -.55 -.37 -.8-4 7.8-6.77-4 Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,
38 abel 3. menunjukkan nla egen matrks dar masng-masng syarat konds kestablan, dan abel 3.3 menunjukkan determnan dar leadng prncpal submatrces yang bersesuaan untuk masng-masng syarat konds. Kolom {} pada kedua tabel membuktkan bahwa matrks bersama P adalah defnt postf. Hal yang sama dtunjukkan pada kolom {} dan {3} dar masng-masng tabel bahwa matrks yang bersesuaan untuk syarat konds kestablan adalah defnt negatf. Syarat kestablan {4} mencukupkan bahwa matrks yang bersesuaan mnmal defnt semnegatf, sedangkan hasl yang dtunjukkan pada kolom {4} dar masng-masng tabel menunjukkan bahwa matrks yang bersangkutan adalah defnt negatf. Hasl n menunjukkan bahwa model fuzzy dan pengendal fuzzy PDC yang drancang memenuh syarat kestablan yang dtentukan. Perancangan dan..., Ahyar M., F UI,