TINJAUAN ULANG EKSPANSI ASIMTOTIK UNTUK MASALAH BOUNDARY LAYER

TINJAUAN ULANG EKSPANSI ASIMTOTIK UNTUK MASALAH BOUNDARY LAYER HannaA Parhusip Cntr of Applid Mathmatics Program Studi Matmatika Industri dan Statistika Fakultas Sains dan Matmatika Univrsitas Kristn Sata Wacana Jl Dipongoro 5-6 Salatiga ABSTRAK Pada makalah ini akan ditunjukkan pngantar Ekspansi Asimtotik ang diindikasikan adana paramtr positif kcil (sbut ) sbagai paramtr asimtotik Paramtr ini muncul karna modl mmuat bsaran ang sangat brbda shingga diprlukan pnkalaan dimnsi Langkah awal adalah mngasumsikan bahwa pnlsaian dari masalah ang dikaji mrupakan drt dari Hal ini ditunjukkan trutama pada Prsamaan Difrnsial Biasa Ord nonlinar ang mmpunai singularitas (masalah boundar lar) Pada makalah ini ditunjukkan pula baik tidakna kspansi trsbut Kata kunci : kspansi, oprator intgral, pnlsaian luar, pnlsaian dalam, boundar lar PENDAHULUAN Pada masalah aplikasi banak dijumpai adana bsaran fisis ang mmpunai bbrapa skala ang jauh brbda antara paramtr atau lbih Misal pada kasus pnusunan hukum Darc sbagai aliran fluida minak antara pipa injksi dan pipa rsrvoar mmpunai jarak skitar m-m 4 Sdangkan bsarna jari-jari pori-pori pada mdia bbatuan brord m (Parhusip, 5, (a)) Untuk mnatakan prmiabilitas mdia ang muncul pada hukum Darc, diprlukan rasio kdua bsaran trsbut Aliran panas dngan konduktivitas ang mrupakan fungsi posisi mnbabkan prlu adana transformasi variabl shingga masalah transfr panas dapat disusun sbagai masalah transfr panas pada mdia homogn Rasio antara konsntrasi nzim ang digunakan dan konsntrasi substansi pada raksi kintik Michlis Mntn juga mnunjukkan bilangan kcil ang mnbabkan modl kintik dalam prsamaan difrnsial mrupakan masalah gangguan singular singular (singular prturbation problm) (Parhusip, 6) Ktiga kasus trsbut dislsaikan dngan kspansi trhadap paramtr kcil (sbut ) dngan mnganggap solusi sbagai kspansi trhadap paramtr trsbut Ekspansi asimtotik dapat mndkati masalah nonlinar mnjadi masalah linar Akan ttapi diprlukan studi lbih lanjut ktpatan solusi masalah linar (brkaitan dngan masalah uniformit pnlsaian) Hasil kspansi untuk hukum Carrau untuk fluida polimr mrupakan salah satu contoh tntang hal ini (Parhusip, 5, (b)) Dmikian pula kspansi asimtotik trgantung pula pada masalah ang dikaji khususna sifat pnlsaian pada batas-batas domain Ord prsamaan difrnsial dapat brubah Hal inilah ang akan ditunjukkan pada makalah ini aitu tata cara kspansi asimtotik pada prsamaan difrnsial ang dmikian ang disbut masalah boundar lar Makalah ini disusun sbagai brikut Karna masalah ang dikaji diutamakan brbntuk prsamaan difrnsial biasa (PDB), maka pada Bagian II akan ditunjukkan oprator intgral ang digunakan 655

Pada Bagian III akan ditunjukkan langkah-langkah kspansi asimtotik pada masalah boundar lar Slanjutna tata cara dan hasil asimtotik dan analisana ditunjukkan pada Bagian IV dan disimpulkan pada Bagian akhir makalah ini DASAR TEORI Dapat diktahui salah satu pnlsaian prsamaan difrnsial biasa (PDB) ord ang brbntuk d P( ) Q( ) scara umum adalah d P d P ( ) d Q ( ) ( ) ( ) d (a) Kita akan mngmbangkan pnggunaan (a) pada pnlsaian PDB ordr linar tak homogn dngan contoh Contoh Misal prlu dislsaikan (Holms, 995 hal) d d dngan () = () = (c) d d Kita susun bntuk PD ang difaktorkan dngan mnggunakan notasi D = d/d maka (c) dapat ditulis sbagai ( D D ) Prsamaan karaktristik adalah m m Mnggunakan rumus abc diprolh : Sbut m dan m (c) 4 4 Dngan (c) maka prsamaan (c) dapat ditulis dalam bntuk ( D m )( D m ) (c) Sbut u = D m ) maka dapat disusun ( D m ) u atau Du ( m ) u Shingga ( m m d md m m m m m u( ) d d C C m m m Untuk mndapatkan () maka digunakan ( D m ) = u atau D + (- m ) = u = C m Lagi, kita mnggunakan prsamaan (a) shingga dapat diprolh : P d m d P( ) d m d Q ( ) d u ( ) ( ) ( ) d = + m m C + C mm m m Jadi dngan mnggunakan prsamaan (c) dapat ditulis pnlsaian ksak aitu ()= m m + m m C m + m C = m m m m = C C C C 4 (c4) dngan m dan m (Ingat bahwa m m adalah prkalian akar-akar 4 4 dari prsamaan kuadrat m m ) Sarat batas aitu () = () = digunakan untuk mncari C dan C Untuk () = maka () = C C = shingga C C Dngan mnggunakan sarat batas () = diprolh m m C C (c5) 656

Olh karna itu mncari C dan C dapat dilakukan dnngan mnlsaikan sistm prsamaan linar atau dngan substitusi Diprolh m m C m m dan C (c6) m m Diprolh pnlsaian ksak aitu m m ( ) C C (s) dngan C dan C dinatakan pada prsamaan (c6) Pada Gambar (a) ditunjukkan pnlsaian ksak untuk brbagai Gambar Pnlsaian ksak untuk soal contoh d d dngan () = () = d d untuk nilai, dan Dari hasil ditunjukkan bahwa pada Gambar a untuk nilai, dan pnlsaian tidak mnunjukkan prbdaan Untuk slanjutna ditunjukkan cara mndapatkan pnlsaian asimtotik Tahap Kita akan mnggunakan asumsi bahwa pnlsaian brbntuk drt asimtotik trhadap aitu ( ) ( ) ( ) (c4) Dngan mnglompokkan tiap ord maka dapat disusun PDB tiap kasus misal pada O () dan O () aitu O () :, ( ) () (c4) O () : (c4) Tampak bahwa pnlsaian pada O () diprlukan untuk mndapatkan pnlsaian pada O ( ) Pnlsaian diprolh sbagai brikut PD pada prsamaan (c4) mrupakan PDB biasa tak homogn dngan akar-akar karaktristik adalah m dan m Disusun PDB dngan oprator D= d/d aitu ( D )( D ) dan tulis u ( D ) shingga PDB mnjadi ( D ) u atau Du ( ) u Gunakan oprator prsamaan (a) diprolh Karna u ( D ) atau ( ) d d u( ) d d D C C Dngan oprator intgral aitu 657

C ( ) C C Dngan sarat batas maka ( ) ( C ) d C Karna konstanta masih bbas maka pnlsaian dapat ditulis sbagai pnlsaian O ( ) dapat ditulis sbagai () C C atau C C Mnggunakan () C C atau C C Dngan mnlsaikan sistm prsamaan linar, diprolh C 579 dan C 46 Jadi pnlsaian O () : adalah ( ) 579 46 Untuk slanjutna akan dislsaikan PDB pada O () : aitu dan karna ( ) 579 46 maka masalah mnjadi 579 46 Sbagaimana pada contoh, sbut m = ( 5) dan m = ( 5) adalah akar-akar karaktristik PD homogn shingga dapat ditulis sbagai ( D m )( D m ) Q( ) dngan Q() = 579 46 Scara sama pula dimisalkan u = ( D m ) shingga diprolh ( D m ) u Q( ) Oprator intgral pada prsamaan (a) dapat digunakan aitu ( m ) d m d m u( ) Q( ) d = 579 46 C m m Slanjutna prlu dislsaikan u = ( D m) atau D + ( m) = u Yaitu ( m ) d m m d C ( 579 46 ) d m m Kita dapat mndrhanakan mnjadi 579( m ) 46 C m m C ( m )( m ) ( m )( m ) m m Slama ini kita langsung mnggunakan sarat batas pada O () Karna (), dan () kita dapat mmilih bahwa ( ) () Shingga sarat batas untuk ( ) haruslah () dan () Jadi kita dapat mncari C dan C dngan sarat batas trsbut Yaitu untuk () diprolh 579( m ) 46 C ( ) C ( m )( m ) ( m )( m ) m m dan 579( m ) 46 C m m () C ( m )( m ) ( m )( m ) m m Diprolh sistm prsamaan linar aitu m m m m Diprolh diprolh C 56 dan m m 579( m ) 46 C ( m )( m ) ( m )( m ) 579( m ) 46 C ( m )( m ) ( m )( m ) C 579 Shingga pnlsaian pada O ( ) pada masalah (c4) 579( m ) 46 56 (c4) m m 579 ( m )( m ) ( m )( m ) m m 658

dngan m = ( 5) dan m = ( 5) Jadi pnlsaian ksak untuk masalah (c) dngan pndkatan asimtotik adalah ) ( ) ( ) = 579 46 + ( 579( m ) 46 56 m m 579 (s) ( m )( m) ( m )( m ) m m Jadi pnlsaian asimtotik tlah diprolh untuk suku prtama ang akan dibandingkan dngan pnlsaian ksak (prsamaan (s)) Hal ini diilustrasikan pada Gambar b Dmikian pula untuk pnlsaian dngan dan ang digambarkan pada Gambar c Gambar b Ilustrasi pnlsaian asimtotik (ditandai dngan o, prsamaan (s) ) dan pnlsaian ksak (ditandai dngan *, prsamaan (s)) untuk kasus prsamaan (c) Gambar c Ilustrasi pnlsaian asimtotik untuk kasus prsamaan (c) untuk (ditandai dngan o ) dan untuk (ditandai dngan * ) Kita dapat pula mnlsaikan masalah prsamaan (c) dngan cara numrik Hal ini diprlukan bila problm scara umum tidak dapat dislsaikan scara analitik maka pnlsaian numrik dianggap sbagai pnlsaian ksak Untuk mnunjukkan mtod ini maka kasus (c) dikrjakan dngan cara numrik pula aitu dngan mtod Rung Kutta Pada masalah nonlinar sprti grak rokt mninggalkan bumi (Holms, 995, hal) ditunjukkan cara pnlsaian dngan kspansi asimtotik Paramtr kcil mnatakan rasio jarak ang ditmpuh trhadap jari-jari bumi Akan ttapi sjauh ini dapat disimpulkan scara sdrhana bahwa ktika ktaklinaran cukup dominan maka pndkatan asimtotik tidak cukup baik Dmikian pula pndkatan asimtotik brkmbang ktika trdapat sifat transisi pada batas- batas domain Hal ini ditunjukkan pada Bagian Analisa dan Pmbahasan untuk masalah singular prturbation problm pada PDB Ksingularan problm trjadi karna jika dipilih maka problm brubah drajat PDB-na Masalah khusus sbagai matri pmblajaran tntang hal ini adalah mnntukan pnlsaian (Holms, 995, hal 48 ) untuk, (m) dngan () = dan () = (m) 659

METODE PENELITIAN Langkah-langkah pnlitian pada makalah ini ditunjukkan sbagai brikut Mnusun pnlsaian PDB Ord Linar dngan oprator intgral sbagai pnlsaian ksak Jika pnlsaian analitik tidak dimungkinkan, maka dicari pnlsaian numrik dngan mtod Rung Kutta dan dianggap sbagai pnlsaian ksak Mncari pnlsaian asimtotik 4 Mngilustrasikan pnlsaian ksak dan pnlsaian asimtotik srta mmbandingkan 5 Mnganalisa pnlsaian untuk brbagai nilai HASIL DAN PEMBAHASAN MASALAH BOUNDARY LAYER (m)-(m) Prhatikan bahwa problm (m)-(m) mnjadi PD ord untuk Hal ini mrupakan salah satu pnciri PDB mrupakan masalah boundar lar Tahapan pnlsaian brbda dngan sblumna Hal ini ditunjukkan sbagai brikut Dngan asumsi kspansi ang standart aitu ) ( ) ( ) (m) ( dan disubstitusikan pada (m) diprolh Shingga O () : (m4a) dan pnlsaian umumna adalah ( ) a (m4b) Pnlsaian ini hana mmuat konstan smbarang, padahal ada sarat ang batas pada (m) ang prlu digunakan Hal ini brarti bahwa pnlsaian (m4) dngan kspansi (m) tidak dapat mnjlaskan pnlsaian problm (m)-(m) pada intrval Dmikian pula kita tidak tahu sarat batas mana ang harus digunakan Cara mngatasi ditunjukkan pada tahap brikutna Mncari pnlsaian (m)-(m) untuk O() Stp Outr Solution Dianggap bahwa trdapat boundar lar pada = atau = shingga prlu pndkatan asimtotik ang brbda Pnlsaian pada hasil asimtotik pada skitar batas-batas intrval disbut outr solution Stp Boundar lar (innr lar) Akan ttapi dapat pula trjadi singularitas pada suatu = a dngan <a < Dngan asumsi ada boundar lar pada =, diprknalkan koordinat boundar lar aitu, (m5) dngan Prhatikan bahwa hal ini sprti transformasi ang mrgangkan (strtching transformation) variabl jika Dngan transformasi (m5) maka modl (m) prlu diubah dalam variabl ang baru, dmikian pula difrnsial juga brubah Dngan aturan rantai maka d d d d (m6) d d d d 66

Slanjutna kita prlu mnggunakan notasi baru untuk pnlsaian, sbutlah Y () shingga masalah (m) mnjadi d Y dy Y (m7) d d dan Y ( ) (m8) Pnlsaian Y () juga prlu dikspansi, misal dipilih Y ( ) Y ( ) Y ( ), (m9) Jika paramtr divariasi mndkati, maka variabl dibuat ttap Dngan mnsubstitusikan (m9) pada prsamaan (m7) diprolh d d Y Y Y (m) d d Kita akan mnsuaian tiap suku brdasarkan ordr psilon Ada bbrapa kmungkinan (i) Suku ksatu dan ktiga pada (m) pada ordr ang sama shingga dipilih / shingga / Hal ini brakibat suku kdua mnjadi O ( ) Hal ini mlanggar pada masalah awal (m) bahwa suku kdua brord psilon lbih tinggi Olh karna itu kmungkinan pnsuaian ini tidak tpat (ii) Suku ksatu dan suku kdua brord sama sdangkan suku ktiga pada ord ang lbih tinggi Shingga brlaku Jadi Jadi suku prtama dan suku kdua brord O ( ) shingga suku ktiga mnjadi O( ) O() Hal ini ssuai dngan masalah mula-mula shingga pnsuaian ini dianggap tpat Olh karna itu untuk pross slanjutna kita akan mnlsaikan masalah (m) dngan pndkatan asimtotik sbagaimana biasana sbagai brikut O ( ) : Y Y, untuk, Y ( ) (m) Pnlsaian umum brbntuk Y( ) A( ) (m) dngan A konstan smbarang Ekspansi (m9) diharapkan mmuat paling sdikit pnlsaian outr lar pada prsamaan (m4a) Yang brarti outr solution harus mmnuhi sarat batas = Dari (m4a) dan (m4b) harus mmnuhi sarat batas = Diprolh ( ) (m) Langkah slanjutna adalah mnntukan konstan A pada (m) Stp Pncocokan (matching) Outr solution and innr solution adalah pndkatan untuk fungsi ang sama Olh karna itu pada darah transisi antara outr solution dan innr solution harus mmbrikan pnlsaian ang sama Hal ini diatur dngan cara bahwa nilai Y pada boundar lar (untuk ) sama dngan nilai ang muncul (untuk ) Hal ini brarti Y ( ) = () Shingga diprolh A = Shingga (m) mnjadi Y ( ) (m4) Ilustrasi dari pnlsaian pada (m) dan (m4) ditunjukkan pada Gambar Langkah slanjutna adalah mlakukan pnggabungan kspansi asimtotik Masalah pncocokan dapat diilustrasikan pada Gambar 66

Gambar Ilustrasi pnlsaian innr dan outr Gambar mnunjukkan bahwa untuk pnlsaian outr mmnuhi sarat batas () = sdangkan sarat batas () = tidak dipnuhi Sdangkan sbalikna pnlsaian outr tidak mmnuhi sarat batas pada () =, ttapi mmnuhi sarat batas pada () = Olh karna itu kdua pnlsaian prlu digabungkan Langkah slanjutna adalah mlakukan pnggabungan kspansi asimtotik Masalah pncocokan dapat diilustrasikan pada Gambar Id dari pncocokan dan pnggabungan kspansi sbagai brikut Kita prlu mmprknalkan variabl antara aitu / ( ) ang diposisikan diantara koordinat ang O () aitu koordinat pada outr lar dan O ( ) koordinat pada innr lar Variabl antara ini ditmpatkan pada darah transisi atau domain ang trcampur (ovrlap) sbagaimana ditunjukkan pada Gambar Untuk itu diharapkan ( ) mmnuhi Kondisi ang tpat scara ksplisit untuk prosdur pncocokan sbagai brikut : Gambar Skma darah validitas kspansi dalam dan luar pada pross pncocokan (i) Ubah variabl pada kspansi Outr (dari mnjadi ) untuk mmprolh outr Diasumsikan bahwa trdapat ( ) ( ) (ii) Ubah variabl pada kspansi Innr (dari k ) untuk mmprolh innr Dianggap trdapat ( ) shingga dipnuhi ( ) (iii) Diasumsikan bahwa domain validitas kspansi outr dan innr ovrlap shingga Pada domain ovrlap ini kspansi dicocokkan dan prlu bahwa suku prtama outr dan innr sama Untuk mnggunakan prosdur trsbut, maka prlu diprknalkan variabl antara aitu = (m5) ( ) 66

dngan Intrval ini ada karna prluna pnkalaan untuk variabl antara brada pada skala outr aitu pada O () dan pada skala innr aitu O ( ) Dari (m9) dan (m) / mnjadi A( ) = A + Pnlsaian outr dari prsamaan (m) dan innr (m) dapat disusun outr = + Karna suku prtama harus cocok maka dipilih A = Untuk tahap slanjutna kita prlu mnggabungkan pnlsaian Stp 4 Ekspansi gabungan (Composit Epansion) Pnggabungan dilakukan dngan mmilih / ( ) Y( ) () (m6) ang mrupakan pnlsaian O() pada masalah (m)-(m) dngan kspansi asimtotik Hasil pnggabungan ditunjukkan pada Gambar 4 Gambar 4 Hasil pnggabungan kspansi untuk masalah (m)-(m) dngan sumbu vrtikal mmnuhi prsamaan (m6) Hasil pnggabungan mnunjukkan adana hasil ang tpat untuk pnlsaian pada sarat batas () = sdangkan pada sarat batas () = dipnuhi scara asimtotik (tidak tpat bnar) Kita akan mncari suku kdua hasil kspansi trhadap psilon aitu O ( ) Mncari pnlsaian O ( ) untuk masalah (m)-(m) Problm ang diprolh sbb O ( ) : dngan () (m7a) Pnlsaian masalah ini dapat diprolh dngan mnggunakan pnlsaian (m) dan diffrnsialkan kali srta mlakukan prosdur ang sama sbagaimana pada cara mnlsaikan PDB ord linar tak homogn (lihat prsamaan (a)) Diprolh dngan () (m7b) Sarat batas () karna pada masalah mula-mula ( ) sdangkan ( ) ( ) () Padahal tlah digunakan ( ) = shingga haruslah ( ) Dngan prsamaan (a) diprolh () d ( d ) ( ) d 66

Pnlsaian umum brbntuk ( ) d d C Dngan kata lain aitu ( ) C Dngan sarat batas () diprolh () () C Shingga C atau C = - Diprolh ( ) Pnlsaian masalah boudar lar dngan cara mnggunakan kspansi (m9) pada (m7) dan karna harus pada O ( ) maka dipilih Masalah boundar lar brbntuk Y Y Y with Y () Dngan oprator intgral (prsamaan a), pnlsaian umum dapat diprolh dngan trlbih mnusun prsamaan karaktristik aitu m m Shingga m dan m Ambil u D m Y shingga PDB dapat ditulis mnjadi D( D m ) Y Y atau Du Y = ( ) Shingga u d C Karna u D m Y atau DY ( m ) Y C Dngan oprator intgral kita dapat mmprolh Y ( m ) d 4 C d = = ( ) C C Dngan sarat batas Y () diprolh Y ( ) C, shingga C Shingga Y B dngan B adalah konstan smbarang Untuk mlakukan pncocokan, kita prgunakan variabl antara aitu mnggunakan prsamaan (m5) = shingga pnlsaian outr brbntuk Dngan mntapkan outr (m8) / kspansi boundar lar mnjadi innr B( ) B( ) B (m9) Dngan mncocokkan antara prsamaan (m8) dan (m9) diprolh B (prhatikan bahwa B brada pada O ( ) ) Akan ttapi prhatikan pada prsamaan (m8) bahwa O ( ) adalah Suku kdua tidak trdapat pada prsamaan (m9) Mngapa hal ini trjadi? Prhatikan bahwa kdua kspansi mnghasilkan O ( ) ang tidak mmuat konstan smbarang Jika kduana tidak sama (pada (m8) dan (m9)) jlas tidak bisa dicocokkan Pada kspansi 664

outr, suku ang O ( ) muncul pada O() dan pada masalah boundar lar (innr solution) muncul pada dari pnlsaian O ( ) Pada akhirna kita dapat mnggabungkan hasil kspansi aitu dngan mnambahkan dan mngurangkan hasil kspansi ang sama Yaitu Y Y / ( ) / Gambar 6 Hasil pnlsaian masalah prsamaan (m)-(m) dngan dan KESIMPULAN Pada makalah ini tlah ditunjukkan cara mnggunakan kspansi asimtotik khususna pada Prsamaan Diffrnsial Biasa ang mmpunai sifat pnlsaian sangat brbda di skitar prbatasan domain (masalah singular) shingga diprlukan kspansi asimtotik ang brbda pada skitar batas intrval domain DAFTAR PUSTAKA [] Holms, M H 995 Introduction to Prturbation Mthods, Springr Vrlag [] Parhusip, H A 5 (a) Darc's law and Prmabilit for Non-Nwtonian Fluids in Porous Mdia with Two Scal Asmptotic Epansion, dissrtation, Institut Tknologi Bandung, Indonsia [] Parhusip, H A, 5 (b) Uniformit of th asmptotic pansion of Carrau's law for polmr flows, Prosiding Sminar Nasional Matmatika Jurusan Matmatika, FMIPA - UNDIP, ISBN,979-74-8-X, E5, hal-5 [4] Parhusip, H A 6 Studi Ulang tntang Raksi Kintik Michalis Mntn dngan Mtod Gangguan, Prosiding Sminar Nasional SPMIPA- 6, ISBN : 9797447, hal 49-55 665