BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 4. Sebaran Asimtotik,, Teorema 4. (Sebaran Normal Asimtotik,, ) Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.), (K.2), (K.3), 0,, ln, terbatas di s. (i) Jika / 0 maka untuk dan memiliki turunan kedua yang ln,, Normal0,, 4. untuk, dengan (ii) Jika / maka. ln /,, Normal,, 4.2 Bukti: untuk, dengan ". dan Teorema 4. akan dibuktikan setelah bukti Lema 4. dan Lema 4.2. Misalkan untuk sembarang bilangan bulat tak negatif k,. 4.3 Karena 0 jika, maka untuk nilai n yang cukup besar, peubah acak dan, dengan, adalah saling bebas. Sehingga,, pada (3.6) dapat ditulis sebagai jumlah peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta, yaitu
6,,. 4.4 Lema 4. Misalkan seperti (4.3). Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.), (K.2), (K.3), 0 untuk, maka untuk setiap k dengan 0,, dan untuk. Bukti: E, Var I( 0, Dari persamaan (4.3), E E E I( 0,. Dengan penggantian peubah, misalkan: ruas kanan 4.7 dapat ditulis I( 0,., 4.5 4.6 4.7,. Sehingga Karena fungsi intensitas memenuhi (3.2), persamaan di atas menjadi I( 0, I( 0,
7 I( 0, I( 0, I( 0,. Dengan penggantian peubah pada suku pertama 4.8, misal:, maka suku pertama ruas kanan 4.8 menjadi I( 0,. 4.8 Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, maka suku kedua ruas kanan 4.8 menjadi I( 0, I( 0, I( 0,. Karena K memenuhi (K.) dan 0 untuk, persamaan di atas menjadi, untuk. 4.9 Dengan menggunakan deret Taylor dan penggantian peubah pada suku kedua 4.8, misal:, maka persamaan di atas menjadi I( 0, I( 0, Karena K memenuhi (K.), persamaan di atas menjadi, 4.0 untuk. Dengan mensubstitusikan 4.9 dan 4.0 ke ruas kanan 4.8 diperoleh
8 E, untuk. Ragam peubah acak dapat diperoleh sebagai berikut 4. Var Var. Var. 4.2 Karena N adalah peubah acak Poisson, maka Var E sehingga 4.2 menjadi E I( 0,. Dengan penggantian peubah, misal:, diperoleh I( 0,. Karena fungsi intensitas memenuhi (3.2) maka I( 0, I( 0, I( 0, I( 0, I( 0,. 4.3
9 Dapat diperhatikan suku pertama ruas kanan persamaan 4.3. Dengan penggantian peubah, misal:,, suku pertama pada ruas kanan 4.3 dapat ditulis sebagai I( 0, Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, maka persamaan di atas menjadi I( 0, I( 0,. 4.4 Selanjutnya dapat diperhatikan suku kedua ruas kanan persamaan 4.3. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dan dengan penggantian peubah, misal:, ditulis sebagai, suku kedua ruas kanan persamaan 4.3 dapat I( 0, I( 0,. 4.5 Dengan demikian diperoleh nilai dari ruas kanan persamaan 4.3 yang merupakan nilai dari Var yaitu. Var I( 0, I( 0, I( 0,. Karena K memenuhi (K.3) maka Var I( 0, untuk.dengan demikian Lema 4. terbukti., 4.6
20 Lema 4.2 Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.), (K.2), (K.3), 0, ln, untuk dan memiliki turunan kedua yang terbatas di s maka ln,,,, Normal0, untuk, dengan Bukti:. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri (4.7) dapat ditulis 4.7 ln Var,,,, E,,. Var,, Untuk membuktikan (4.7) cukup dibuktikan,, E,, Normal0,, Var,, 4.8 4.9 dan ln / Var,,. 4.20 Untuk membuktikan 4.9 dapat diterapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema A.2 (lihat lampiran). Misalkan seperti (4.3) dan Var. Karena,, dapat dituliskan sebagai jumlah peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta (lihat (4.4)), maka berdasarkan Lema A.2, untuk membuktikan (4.9) cukup diperlihatkan bahwa untuk setiap bilangan bulat tak negatif k, E, Var dan E E. 4.2 Berdasarkan Lema 4. diperoleh bahwa untuk setiap bilangan bulat tak negatif k, E dan Var untuk. Sehingga tinggal membuktikan 4.2. Untuk memverifikasi 4.2, pertama dihitung sebagai berikut
2 I( 0, I( 0, ln ln ln ln ln ln ln ln, untuk. ln Selanjutnya dengan pemisalan seperti pada 4.3 diperoleh E E E 4.22 E E
22 E E E E. 4.23 Karena adalah peubah acak Poisson dan berdasarkan Lema A.6 (lihat lampiran), maka ruas kanan 4.23 menjadi E 3 E 3 E E 3 E E 3 E
23 3 I( 0, 3 3 I( 0, I( 0, I( 0, I( 0,. 4.24 Dengan penggantian peubah, misal:,, dan dengan menggunakan deret Taylor maka suku pertama ruas kanan persamaan 4.24 dapat ditulis sebagai I( 0, I( 0,. Karena K memenuhi K. dan K.3, maka ruas kanan 4.25 menjadi. untuk. 4.25 4.26 Dengan penggantian peubah, misal:,, pada suku kedua ruas kanan persamaan 4.24 diperoleh
24 3 3 I( 0, I( 0, Dengan menggunakan deret Taylor maka 4.27 dapat ditulis sebagai 3 4.27 I( 0, 3 I( 0,. Karena K memenuhi K.3, maka ruas kanan 4.28 menjadi untuk., Selanjutnya, dengan penggantian peubah, misal: 4.28 4.29,, dan dengan menggunakan deret Taylor pada suku ketiga ruas kanan persamaan 4.24 diperoleh 3 3 I( 0, I( 0, 3 I( 0,
25 6 6. Karena K memenuhi K.3, maka ruas kanan 4.30 menjadi 6 untuk., Dengan mensubstitusikan 4.26 dan 4.29 pada 4.3 maka diperoleh E E 6 6. untuk. 4.30 4.3 4.32 Dengan membandingkan ruas kanan 4.22 dan ruas kanan 4.32, serta menggunakan asumsi bahwa ln jika, maka diperoleh E E, untuk, sehingga 4.9 terbukti. Selanjutnya dibuktikan 4.20. Dari persamaan 3.26 diperoleh ln / Var,, / ln ln ln
26 ln ln, ln untuk. Misalkan dan, dengan menggunakan deret Taylor diperoleh " 2! 2 4, untuk. Sehingga diperoleh / ln Var,,, 4.33 untuk. Maka (4.20) terbukti. Dengan demikian Lema 4.2 terbukti.
27 Bukti Teorema 4.: Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri (4.) dan (4.2) sebagai berikut: / ln,, ln /,, E,, ln / E,,. Dari Lema 4.2 diperoleh / ln,, E,, Normal0, 4.34 untuk, dengan Teorema 4. cukup dibuktikan jika / 0 maka untuk, dan ln / E,, 0, jika / maka ln / untuk. E,, " 2. Sehingga untuk membuktikan 4.35. 4.36 Untuk membuktikan 4.35 dan 4.36 dapat digunakan Teorema 3.2, sehingga diperoleh ln / E,, ln / " 2 ln / ln " 2 " 2. 4.37
28 Jika / 0 untuk, ruas kanan persamaan 4.37 menjadi " 2, untuk sehingga 4. terbukti. Jika / untuk, ruas kanan persamaan 4.37 menjadi " 2 " 2 untuk sehingga 4.2 terbukti. Dengan demikian Teorema 4. terbukti.