PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA

Transkripsi

1 PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juni 2013 Roni Wijaya NIM G

4 ABSTRAK RONI WIJAYA. Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI. Statistika nonparametrik merupakan alternatif dari statistika parametrik ketika asumsi-asumsi yang mendasari dalam statistika parametrik tidak dapat terpenuhi, seperti tidak diketahuinya fungsi sebaran. Statistika nonparametrik sering disebut sebagai prosedur yang bebas distribusi (free-distibution procedures) karena tidak mengacu pada distribusi tertentu. Dalam karya ilmiah ini dibahas tentang pendugaan fungsi sebaran dalam model nonparametrik dan dititik beratkan pada keluarga nonparametrik. Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk mempelajari model pendugaan nonparametrik pada fungsi sebaran empiris, dinotasikan yang independent and identically distributed (iid) dan merupakan maximum likelihood untuk suatu fungsi sebaran yang tidak diketahui. merupakan penduga takbias terhadap dengan atau adalah uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) dan -konsisten untuk. Kata kunci: penduga nonparametrik, fungsi sebaran secara empiris, likelihood. ABSTRACT RONI WIJAYA. Estimation in Nonparametric Models. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI. Nonparametric statistics are alternative for parametric statistics whenever no assumptionis satisfied in parametric statistics, for example the distribution function is not identified. Nonparametric statistics are often referred as free distribution procedures, because they are not referred to any particular distribution. This paper discusses the estimation of the distribution function in nonparametric models. It emphasizes on nonparametric family. The objective of this research is tostudy nonparametric estimation models on the empirical distribution functions, denoted by that is independent and identically distributed (i.i.d.) and is maximum likelihood for unknown distribution function. is unbiased estimator of with or as an uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) and -consistent for. Keywords: nonparametric estimation, empirical distribution function, likelihood.

5 PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DALAM MODEL NONPARAMETRIK RONI WIJAYA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

6

7 Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik Nama : Roni Wijaya NIM : G Disetujui oleh Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I Drs Siswandi, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Dra Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih ialah pendugaan, dengan judul Pendugaan Fungsi Sebaran dalam Model Nonparametrik. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Bapak Drs Siswandi, MSi selaku pembimbing. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juni 2013 Roni Wijaya

9 DAFTAR ISI DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN Latar Belakang 1 Tujuan 1 LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran 3 Nilai Harapan, Ragam, dan Momen 3 Matriks 5 Multivariate Normal 6 Peubah Acak Bernoulli dan Binomial 6 Kekonvergenan Peubah Acak 7 Penduga dan Sifat-sifatnya 8 Beberapa Lema Teknis 9 HASIL DAN PEMBAHASAN Estimasi Parameter 11 Fungsi Sebaran dalam Kasusu iid Secara Empiris 15 Maximum Likelihood Estimator (MLE) di Model Nonparametrik 21 Metode Maximum Likelihoods 22 Contoh Penerapan 26 SIMPULAN 27 DAFTAR PUSTAKA 27 LAMPIRAN 29

10 DAFTAR LAMPIRAN 1. Bukti Lema 2.1 Pertaksamaan Markov Bukti Lema 2.2 Pertaksamaan Chebyshev Bukti Lema 2.4 Teorema Limit Pusat (CLT) 31

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Statistika nonparametrik merupakan alternatif dari statistika parametrik ketika asumsi-asumsi yang mendasari dalam statistika parametrik tidak dapat terpenuhi seperti tidak diketahuinya fungsi sebaran. Pada umumnya, setelah data dikumpulkan, langkah selanjutnya adalah menduga nilai harapannya (mean) dan ragamnya (variance), kemudian dilakukan uji-z atau uji-t. Semua tindakan yang dilakukan di atas merupakan prosedur umum statistika parametrik yang mengacu pada suatu distribusi tertentu. Berbeda dengan statistika parametrik, statistika nonparametrik adalah prosedur statistika yang tidak mengacu pada distribusi tertentu. Itulah sebabnya, statistika nonparametrik sering disebut sebagai prosedur yang bebas distribusi (free-distibution procedures). Statistika nonparametrik digunakan bila distribusi dari data yang diamati tidak diketahui. Salah satu peran dan kegunaan statistika dalam ilmu pengetahuan adalah sebagai alat analisis dan interpretasi data kuantitatif ilmu pengetahuan, sehingga didapatkan suatu kesimpulan dari data tersebut. Dalam statistika dikenal sebuah istilah pendugaan. Istilah pendugaan yang sering didengar adalah terjemahan dari kata estimation. Pada dasarnya, metode pendugaan adalah suatu metode untuk memperkirakan kisaran nilai-nilai karakteristik suatu populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel. Nilai karakteristik populasi sering disebut dengan parameter populasi, sedangkan nilai-nilai sampel sering disebut dengan statistik sampel. Dalam metode estimasi, parameter populasi yang ingin diduga adalah berupa nilai harapan dari peubah acak yang diberi notasi dan simpangan baku dengan notasi. Teori pendugaan sendiri digolongkan menjadi pendugaan titik (point estimation) dan pendugaan selang (interval estimation). Misalkan diberikan data pengamatan peubah acak yang independent and identically distributed (i.i.d.) dan, dengan adalah ruang dimensi dan adalah bilangan bulat positif.. Untuk menentukan distribusi dari ekivalen dengan menentukan fungsi sebarannya. Untuk menduga fungsi sebaran F dapat dilakukan dengan dua pendekatan yaitu pendekatan parametrik dan non parametrik. Pendekatan parametrik dilakukan jika asumsi bentuk fungsi F diketahui dan tergantung pada suatu parameter, sehingga menduga fungsi F ekivalen dengan menduga parameternya. Sedangkan pendekatan nonparametrik dilakukan jika asumsi bentuk fungsi F tidak diketahui. Dalam hal ini diasumsikan bahwa fungsi F termuat dalam kelas fungsi mulus dalam arti mempunyai turunan yang kontinu. Dalam tulisan ini dibahas tentang pendugaan fungsi sebaran dalam model nonparametrik dan dititikberatkan pada keluarga nonparametrik. Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk: 1 Mempelajari model pendugaan nonparametrik pada fungsi sebaran empiris yang i.i.d. 2 Mempelajari metode maximum likelihoods dalam model nonparametrik. 3 Membuktian bahwa penduga fungsi sebaran adalah lebih efisien secara asimtotik dibandingkan dengan fungsi sebaran empirisnya.

12 LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Definisi 1 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 2 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 3 (Kejadian lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong. (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 4 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: jika, maka 3. jika maka. (Hogg et al. 2005) Jika adalah himpunan bilangan real, maka medan-σ disebut medan Borel. Anggota dari medan Borel disebut himpunan Borel. Definisi 5 (Ukuran peluang) Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan adalah medan-σ pada Ω. Suatu fungsi yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan real, atau disebut ukuran peluang jika: 1. tak negatif, yaitu untuk setiap,. 2. bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan, maka. 3. bernorma satu, yaitu. Pasangan disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. (Hogg et al. 2005) Definisi 6 (Kejadian saling bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:. Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika:

13 3 untuk setiap himpunan bagian J dari I, dengan adalah himpunan indeks. (Grimmett and Stirzaker 1992) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 (Peubah acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ke satu dan hanya satu bilangan real disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real yang dinotasikan. (Hogg et al. 2005) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital seperti X, Y, dan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti dan. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 8 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran suatu peubah acak X adalah oleh, yang didefinisikan (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 9 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg et al. 2005) Definisi 10 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi yang diberikan oleh:. (Hogg et al. 2005) Definisi 11 (Peubah acak kontinu) Suatu peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan sebagai: untuk suatu fungsi disebut fungsi kepekatan peluang. yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi (Grimmett and Stirzaker 1992) Nilai Harapan, Ragam, dan Momen Definisi 12 (Nilai harapan) Misalkan adalah peubah acak diskret dengan himpunan semua kemungkinan nilai X adalah A dan dengan fungsi massa peluang, maka nilai harapan (expected value) dari, dinotasikan dengan, adalah

14 4 jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X adalah tidak ada. (Hogg et al. 2005) Definisi 13 (Ragam) Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan Maka ragam dari, dinotasikan dengan atau, adalah (Hogg et al. 2005) Definisi 14 (Momen ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau X adalah dari peubah acak (Hogg et al. 2005) Definisi 15 (Momen pusat ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau acak X adalah dari peubah (Hogg et al. 2005) Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X dan ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Definisi 16 (Fungsi pembangkit momen) Fungsi pembangkit momen (moment generating function) dari suatu peubah acak X, didefinisikan sebagai untuk. (Hogg et al. 2005) Jika adalah vektor peubah acak yang berukuran sedemikian rupa sehingga maka fungsi pembangkit momennya adalah dengan adalah vektor berukuran sehingga, untuk. Definisi 17 (Fungsi indikator),

15 5 Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi, yang diberikan oleh: (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 18 (Sebaran normal) Suatu peubah acak X disebut memunyai sebaran normal dengan nilai harapan dan ragam, ditulis X menyebar, jika fungsi kepekatan peluangnya adalah untuk. Matriks (Hogg et al. 2005) Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujur sangkar dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Secara umum matriks yang berukuran dapat ditulis dengan dengan adalah unsur matriks pada baris ke- dan kolom ke-, dan,. Matriks dapat ditulis dalam bentuk:. (Leon 2001) Definisi 19 (Matriks transpos) Transpos dari suatu matriks berukuran, ditulis adalah matriks berukuran yang diperoleh dengan mengganti setiap baris dari menjadi kolom dan sebaliknya, sehingga jika, maka. (Leon 2001) Definisi 20 (Matriks definit positif) Suatu matriks simetrik berukuran disebut matriks definit positif jika bentuk kuadrat, untuk semua taknol dalam. (Leon 2001) Contoh: Matriks merupakan matriks definit positif karena bentuk kuadrat

16 6 untuk. Multivariate Normal Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan merupakan nilai dari peubah acak dan adalah matriks koragam simetrik definit positif yang berukuran dan adalah vektor nilai harapan dari peubah acak yang berukuran. Didefinisikan dengan adalah transpos dari dan anggota himpunan bilangan real. Suatu vektor peubah acak yang berukuran sedemikian rupa sehingga disebut memunyai sebaran multivariate normal dengan vektor nilai harapan dan matriks koragam, ditulis X menyebar, jika fungsi kepekatan peluangnya adalah, untuk. (Hogg et al. 2005) Peubah Acak Bernoulli dan Binomial Suatu percobaan disebut percobaan Bernoulli jika hasilnya hanya ada dua kemungkinan, yaitu sukses dengan peluang atau gagal dengan peluang. Jika suatu peubah acak X hanya memiliki dua nilai, yaitu bernilai 0 jika hasil percobaan Bernoulli adalah gagal dan bernilai 1 jika hasil percobaan Bernoulli adalah sukses, maka peubah acak tersebut dinamakan peubah acak Bernoulli. Definisi 21 (Peubah acak Bernoulli) Peubah acak diskret X disebut peubah acak Bernoulli dengan parameter,, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh (Ghahramani 2005) Jika percobaan Bernoulli diulang secara bebas dan identik sebanyak kali serta menyatakan banyaknya sukses di antara ulangan tersebut, maka disebut memiliki sebaran Binomial dengan parameter. Definisi 22 (Peubah acak Binomial) Peubah acak diskret X disebut peubah acak Binomial dengan parameter, adalah bilangan bulat positif dan, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh (Ghahramani 2005) Teorema 1 Jika adalah peubah acak Binomial dengan parameter, maka, dan (Ghahramani 2005)

17 7 Bukti: lihat Ghahramani (2005). Kekonvergenan Peubah Acak Definisi 23 (Kekonvergenan dalam peluang) Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang ( ). Barisan peubah acak dikatakan konvergen ke X, dilambangkan, jika untuk setiap berlaku untuk (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 24 (Kekonvergenan dalam sebaran) Misalkan adalah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang peluang. Misalkan adalah fungsi sebaran untuk, dan adalah fungsi sebaran untuk. Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak, ditulis, jika dan hanya jika untuk setiap titik kontinu pada, (Shao 2007) Definisi 25 (Kekonvergenan almost surely (a.s)) Misalkan adalah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang peluang. Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen hampir pasti (almost surely (a.s)) ke peubah acak, ditulis, jika dan hanya jika (Shao 2007) Definisi 26 (Kekonvergenan dalam momen ke-p) Misalkan adalah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang peluang. Suatu barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam momen ke- ke peubah acak, ditulis, jika dan hanya jika Penduga dan Sifat-sifatnya (Shao 2007) Definisi 27 (Statistik) Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al. 2005) Contoh dari statistik adalah statistik kunjungan wisatawan ke Indonesia, statistik hotel, statistik restoran, dan lain-lain.

18 8 Definisi 28 (Penduga) Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik yang digunakan untuk menduga fungsi parameter, dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi, dilambangkan oleh Bilamana nilai maka disebut sebagai dugaan (estimate) bagi (Hogg et al. 2005) Definisi 29 (Penduga takbias) (i). Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter, yaitu disebut penduga takbias bagi parameter. Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. (ii). Jika maka parameter disebut sebagai penduga takbias asimtotik bagi (Hogg et al. 2005) Definisi 30 (Penduga konsisten) Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter disebut penduga konsisten bagi (Hogg et al. 2005) Definisi 31 (O(.) dan o(.) ) Simbol-simbol ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi dan dengan menuju suatu limit L. (i). Notasi menyatakan bahwa terbatas, untuk. (ii). Notasi, menyatakan bahwa, untuk. (Serfling 1980) Definisi 32 (Konsistensi penduga titik) Misalkan adalah peubah acak dari populasi yang tidak diketahui, dengan adalah keluarga yang mengandung populasi yang menghasilkan data dan adalah penduga titik bagi suatu nilai untuk setiap. i) disebut konsisten terhadap jika dan hanya jika untuk setiap. ii) Misalkan adalah barisan konstanta positif yang divergen ke. disebut -konsisten terhadap jika dan hanya jika untuk setiap. iii) konsisten kuat terhadap jika dan hanya jika untuk setiap. iv) disebut -konsisten terhadap jika dan hanya jika untuk setiap dan.

19 9 Definisi 33 (MSE suatu penduga) Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter didefinisikan sebagai (Shao 2007) dengan. Definisi 34 (UMVUE suatu penduga) Misalkan adalah peubah acak dari populasi yang tidak diketahui dan adalah parameter yang terkait dengan,. Didefinisikan adalah penduga takbias terhadap jika dan hanya jika. Sebuah penduga takbias terhadap disebut uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) jika dan hanya jika untuk setiap dan setiap penduga takbias lain terhadap. (Shao 2007) Beberapa Lema Teknis Lema 1 (Pertaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak yang taknegatif, maka untuk setiap, Bukti: lihat Lampiran 1. Lema 2 (Pertaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam, maka untuk setiap k > 0, Bukti: lihat Lampiran 2. Lema 3 (Teorema deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) memenuhi persamaan Bukti: lihat Stewart (2001) (Stewart 2001). Lema 4 (Teorema Limit Pusat (CLT)) Jika adalah barisan peubah acak i.i.d. dengan dan, maka sebaran dari

20 10 konvergen ke sebaran normal baku, yaitu Bukti: lihat Lampiran 3 Lema 5 (Teorema kontinuitas) Misalkan adalah barisan peubah acak dengan fungsi pembangkit momen dan jika, maka Dengan kata lain, fungsi sebaran dari fungsi pembangkit momen dari sebaran normal. konvergen ke fungsi sebaran normal jika konvergen ke fungsi pembangkit momen (Grimmett and Welsh 1986) Misalkan adalah matiks koragam simetrik definit positif yang berukuran dan adalah 10ector nilai harapan yang berukuran. Jika adalah 10ector peubah acak yang berukuran dengan fungsi pembangkit momen dan jika, dengan adalah 10ector berukuran sehingga, untuk, maka Dengan kata lain, fungsi sebaran dari konvergen ke fungsi sebaran normal multivariate jika fungsi pembangkit momen dari konvergen ke fungsi pembangkit momen sebaran normal multivariate. Bukti: lihat Grimmett and Welsh (1986).

21 11 Lema 6 (Sifat fungsi pembangkit momen berdasarkan teorema Taylor) Jika, dengan dan, maka ada sebaran yang unik dengan fungsi pembangkit momen. Selanjutnya, Bukti: lihat Grimmett and Welsh (1986). (Grimmett and Welsh 1986) Teorema 2 (Bilangan sebagai suatu limit) Untuk sebarang, maka (Stewart 2001) Bukti: lihat Stewart (2001). HASIL DAN PEMBAHASAN Estimasi Parameter Kebanyakan model probabilitas, terutama yang cukup luas penggunaannya, tergantung dari beberapa konstanta yang dikenal dengan nama parameter. Jika parameter tidak diketahui, maka harus diduga dengan menggunakan data sampel. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi yang dinamakan statistik. Pendugaan adalah proses yang menggunakan statistik sampel untuk menduga atau menaksir nilai parameter populasi yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan sampel dari populasi. Dalam hal ini sampel random, yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Penduga (estimator) adalah contoh acak atau suatu statistik yang digunakan untuk menduga parameter atau fungsi parameter. Besaran sebagai hasil penerapan penduga terhadap data dari semua contoh disebut nilai dugaan (estimate). Sebuah nilai bagi suatu parameter disebut suatu nilai dugaan bagi parameter populasi. Statistik yang digunakan untuk memperoleh sebuah nilai dugaan disebut estimator atau fungsi keputusan. Sifat yang seharusnya dimiliki oleh estimator adalah menghasilkan nilai dugaan parameter yang bersifat takbias (unbiased estimator). Dalam kehidupan sehari-hari banyak kasus yang menggunakan pendugaan untuk menaksir parameter tertentu seperti suatu perusahaan elektronik menggunakan pendugaan nonparametrik untuk mengetahui jangka waktu pakai suatu jenis elektronik yang diproduksinya.

22 12 Berikut dibuktikan Proposisi 1 yang digunakan untuk menunjukkan distribusi asimtotik dari suatu fungsi sebaran yang tidak diketahui. Proposisi 1 (Multivariate CLT) Misalkan adalah vektor peubah acak yang i.i.d. dengan dan maka dengan merupakan ukuran vektor nilai harapan dan matriks koragam yang berukuran, yaitu, dan rata-ratanya adalah Bukti: Misalkan karena adalah peubah acak yang i.i.d. maka adalah peubah acak dari yang saling bebas dan mempunyai sebaran identik. Vektor nilai harapan dan matriks koragamnya adalah sebagai berikut: Karena, maka

23 13 dan memiliki fungsi pembangkit momen yang sama,, dengan adalah 13ector berukuran sehingga, untuk. Misalkan maka fungsi pembangkit momen dari adalah Karena identik maka adalah peubah acak yang saling bebas dan mempunyai sebaran Karena memiliki fungsi pembangkit momen yang sama misalkan didefinisikan dengan maka sehingga Berdasarkan Lema 3

24 14 Karena, maka Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2) dengan tetap, maka diperoleh Selanjutnya berdasarkan sehingga konvergen ke. Berdasarkan Lema 5 fungsi sebaran dari konvergen ke fungsi sebaran normal multivariate jika fungsi pembangkit momen dari konvergen ke fungsi pembangkit momen sebaran normal multivariate, akibatnya Dengan demikian Proposisi 1 terbukti. Fungsi Sebaran dalam Kasus i.i.d. Secara Empiris Misalkan adalah vektor peubah acak yang i.i.d. dengan dari fungsi sebaran yang tidak diketahui. Jika fungsi bukan dalam anggota keluarga parametrik, maka penduga nonparametrik dari adalah fungsi sebaran secara empiris yaitu: untuk setiap.

25 15 Karena dengan adalah i.i.d. peubah acak biner akibatnya peubah acak memiliki sebaran binomial. Karena memiliki sebaran binomial maka dan sehingga merupakan penduga takbias terhadap dan adalah uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE). Karena -konsisten untuk, untuk setiap m titik berbeda yang diketahui yaitu di maka berdasarkan Proposisi 1 dan (4) untuk dengan adalah matriks koragam yang berukuran dengan elemen adalah Hasil ini didapat tanpa ada asumsi untuk fungsi F. Perhatikan adalah suatu fungsi sebaran terhadap dan anggota, dengan adalah koleksi himpunan fungsi sebaran di Berikut ini akan diberikan Definisi 35 untuk menjukan jarak di koleksi himpunan fungsi sebaran pada. Definisi 35 i. Misalkan adalah himpunan bagian dari. Sebuah fungsi dari ke disebut jarak pada jika dan hanya jika, a) jika dan hanya jika, b), c). ii. Misalkan ada dari suatu ruang vektor dengan Norm pada didefinisikan sebagai fungsi dari ke yang memenuhi: a) jika dan hanya jika, b) dan, c)..

26 16 Norm mengartikan suatu jarak yang diberikan oleh. Jarak yang paling umum digunakan adalah sup-norm jarak, yaitu jarak yang disebabkan oleh sup-norm Lema 7 (Pertaksamaan Dvoretzky, Kiefer, and Wolfowitz (DKW) ) Misalkan adalah fungsi sebaran empiris dari peubah acak yang i.i.d. dengan dari suatu sebaran. i. Ketika maka ada C konstanta positif yang tidak bergantung dengan F, sehingga (8) untuk ii. Ketika untuk setiap maka positif yang konstan dan tidak tergantung pada F, sehingga (9) untuk Bukti : Misalkan sebaran merupakan fungsi yang terdistribusi secara empirik dari fungsi Misalkan. Karena sehingga, maka ada sehingga untuk setiap, akibatnya Berdasarkan Definisi 35 pertaksamaan di atas dapat ditulis dengan C konstanta positif yang tidak bergantung dengan F. Berikut ini diberikan Teorema 3 dan Lema 7 untuk menunjukkan bahwa penduga konvergen dalam peluang ke untuk.

27 17 Teorema 3 Misalkan adalah barisan peubah acak yang i.i.d. dari sebaran. Jika merupakan fungsi distribusi empirik dari F, maka i). (10) ii). (11) Bukti : i) Dari pertaksamaan DKW untuk setiap, maka akibatnya sehingga. ii) Dengan menggunakan pertaksamaan DKW, dengan Jadi Teorema 3 terbukti. Teorema 4 (Hukum Kuat bilangan besar (SLLN)) Jika adalah barisan peubah acak i.i.d. dengan dan, maka berlaku jika, sehingga

28 18 Bukti: Karena identik maka adalah peubah acak yang saling bebas dan mempunyai sebaran Selanjutnya kita dapat menunjukkan bahwa dan sehingga Berdasarkan Lema 1 dengan, diperoleh Jika, maka Akibatnya

29 19 Jadi Teorema 4 terbukti. Dari hasil tersebut dapat dikatakan bahwa memenuhi SLLN jika sehingga Teorema 3(i) menunjukkan bahwa penduga (a.s.) ke seragam untuk setiap, konvergen sangat kuat, sehingga penduga konsisten. Teorema 3(ii) menunjukkan bahwa yang lebih kuat dibandingkan dengan dari adalah hasil konsistensi Misalkan dan, yang merupakan himpunan bagian dari fungsi sebaran di yang memiliki momen. Didefinisikan jarak antara dengan di adalah sebagai berikut: Misalkan, maka selama jika dan hanya jika dan untuk setiap, kontinu. Berdasarkan Teorema 3 dan SLLN bahwa jika. Ketika, jarak yang lain digunakan untuk mengukur kedekatan antara dengan adalah jarak, yaitu: dengan. Teorema 5 Misalkan barisan peubah acak i.i.d. dari fungsi sebaran. Jika merupakan fungsi distribusi secara empiris dari, maka i) (12) ii), dan atau jika. (13).,

30 20 Bukti : i) Karena dan dari Teorema 3 untuk, maka Misalkan dan, maka adalah peubah acak yang i.i.d. yang terbatas untuk. Berdasarkan SLLN didapat (14) Karena dan berdasarkan Teorema 3 sehingga Hasil (15) di atas setara dengan ii) Untuk,

31 21 Jadi Teorema 5 terbukti. Maximum Likelihood Estimator (MLE) di Model Nonparametrik Misalkan barisan peubah acak i.i.d. dan adalah ukuran peluang untuk. Diberikan, fungsi nonparametric likelihood dari ke didefinisikan sebagai berikut: Maka jika untuk setidaknya satu i. Hasil ini menunjukkan bahwa fungsi sebaran secara empiris adalah maximum likelihood estimate (MLE) nonparametrik dari F. Teorema 6 Misalkan adalah peubah acak i.i.d. dengan dan adalah fungsi nonparametric likelihood dari ke yang didefinisikan pada (18), maka fungsi sebaran empiris akan memaksimumkan dengan Bukti: Kita hanya perlu mempertimbangkan sehingga Misalkan dan adalah himpunan bagian dari yang berisi, dan. Didefinisikan dengan adalah pengganda Lagrange. Himpunan Solusinya adalah,, dan adalah solusi maksimum dengan. Hal ini menunjukan bahwa (18) dimaksimumkan di untuk tetap, sehingga untuk.

32 22 Bukti alternatif: Kita cukup menunjukan bahwa untuk setiap. Misalkan adalah peubah acak yang mengambil nilai dengan kemungkinan, maka yang hasinya tetap, sehingga fungsi sebaran empiris dengan memaksimalkan Jadi Teorema 6 terbukti. Metode Empirical Likelihoods Metode empirical likelihoods ini berasal dari fungsi sebaran F yang dapat diperluas untuk berbagai situasi dengan beberapa modifikasi dari fungsi nonparametric likelihood dan kendala. Modifikasi dari likelihood ini disebut dengan empirical likelihood. Estimator yang diperoleh dengan memaksimumkan kemungkinan empiris ini disebut dengan maximum empirical likelihood estimator (MELE). Dari Teorema 6, fungsi sebaran empiris adalah maximum likelihood dengan fungsi nonparametric likelihood dari ke yang didefinisikan sebagai berikut: untuk setiap, dengan. Dalam beberapa kasus, banyak estimasi fungsi sebaran F dengan informasi tambahan

33 23 tentang F dan dari ke sehingga barisan peubah acak i.i.d. Misalkan ada fungsi Borel (misalnya rata-rata dari beberapa komponen F adalah 0). Karena fungsi penduga dari fungsi sebaran, maka berdasarkan (20) adalah Namun hal ini tidak berlaku untuk fungsi sebaran empiris yang didefinisikan di (4) meskipun nilai harapan, karena Menggunakan metode empirical likelihoods, solusi alami didapat dengan menempatkan kendala yang lain dalam proses memaksimumkan kemungkinan. Maka kita dapat memaksimumkan yang didefinisikan di (19) dengan kendala dan, untuk. Dengan menggunakan pengganda Lagrange dan argumen yang mirip dengan pembuktian Teorema 6, dapat ditunjukkan bahwa MELE dari fungsi sebaran adalah dengan dan adalah pengganda Lagrange yang memenuhi Perhatikan bahwa penduga fungsi sebaran tereduksi ke jika Dapat dilihat bahwa persamaan (25) memiliki solusi asimtotik, dengan catatan bahwa dan

34 24 yang merupakan definit negatif jika adalah definit positif. Jadi, Oleh karena itu, dengan menggunakan argumen yang sama seperti dalam bukti Teorema 6, kita dapat menunjukkan bahwa ada urutan yang unik dari sehingga untuk. Teorema 7 Misalkan adalah peubah acak i.i.d. dengan dan adalah fungsi Borel di seperti yang didefinisikan di (20) dan adalah MELE dari yang diberikan di (23). Andaikan adalah definit positif dan di dan adalah konstanta bilangan real, maka dengan (27) adalah matriks koragam yang elemen dari adalah, Bukti: Misalkan,. Berdasarkan (25), (26) dan ekspansi deret Taylor Dengan SLLN dan CLT,

35 25 Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dan SLLN kembali, kita dapat Jadi, Hasil ini berdasarkan CLT dan fakta bahwa, Berdasarkan (27) dan (7) jika dibandingkan, kita dapat menyimpulkan bahwa penduga fungsi sebaran adalah lebih efisien secara asimtotik dibandingkan dengan. Contoh Penerapan Metode ini dapat diaplikasikan dalam masalah penyensoran data yang diperkenalkan oleh Kaplan-Meier (1958) dalam masalah product-limit estimator. Misalkan adalah peubah acak yang i.i.d. dengan merupakan waktu kelangsungan hidup yang nonnegatif, dan adalah variabel acak yang i.i.d

36 26 dengan merupakan banyaknya penyensoran yang bebas terhadap. Model sensor acaknya adalah: hidup F. Dalam hal ini hanya dipertimbangkan estimasi sebaran kelangsungan Sebuah MELE dari F dapat diturunkan dengan memisalkan adalah nilai urutan dari dan adalah nilai yang terkait dengan. Didefinisikan sebuah fungsi sebaran kontinu yang memberikan massa pada titik dan interval Misalkan dan maka sebuah MELE dari diperoleh dengan memaksimumkan dengan kendala Sehingga MELE dari adalah: dengan merupakan statistik order dan SIMPULAN Pada tulisan ini dikaji suatu pendugaan di model nonparametrik dari sebaran empirik yaitu: dengan. Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:

37 27 1. merupakan penduga takbias terhadap dengan atau adalah uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) dan -konsisten untuk, untuk setiap m berbeda yang diketahui dan di. 2. adalah maximum likelihood dengan fungsi nonparametric likelihood dari ke adalah untuk setiap, dan. 3. penduga fungsi sebaran adalah lebih efisien secara asimtotik dibandingkan dengan jika menggunakan informasi. DAFTAR PUSTAKA Ghahramani S Fundamentals of Probability. Third Ed. Prentice Hall. New Jersey. Grimmett GR, Stirzaker DR Probability and Random Processes. Second Ed. Oxford (US): Clarendon Press. Grimmett GR, Welsh D Probability: An Introduction. Oxford University Press. USA. Hogg RV, Craig AT, McKean JW Introduction to Mathematical Statistics. Sixth Ed. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey. Kaplan EL, Meier P Nonparametric estimation from incomplete observation. J. Amer. Statist. Assoc., 53: Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed. Ke-5. Bondan A, alih bahasa: Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Application. Serfling RJ Aproximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons. New York (US): Springer. Shao J Mathematical Statistics. Second Ed. New York (US): Springer. Stewart, J Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Susila, I Nyoman dan Gunawan, Hendra, alih bahasa: Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Calculus.

38 28 LAMPIRAN

39 29 Lampiran 1 (Pembuktian Lema 1) Lema 1 (Pertaksamaan Markov) Jika X adalah peubah acak yang taknegatif, maka untuk setiap, Bukti: Jika X kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f, maka Untuk kasus X diskret, dapat dibuktikan dengan cara serupa, yaitu dengan mengganti integral dengan notasi penjumlahan serta fungsi kepekatan peluang dengan fungsi kerapatan peluang. Jadi Sehingga dapat ditulis Jadi pertaksamaan Markov terbukti. Lampiran 2 (Pembuktian Lema 2) Lema 2 (Pertaksamaan Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam, maka untuk setiap k > 0, Bukti: Untuk membuktikan pertaksamaan Chebyshev menggunakan Lema 1.

40 30 Jadi Lema 2 terbukti. Lampiran 3 ( Pembuktian Lema 4) Lema 4 (Teorema Limit Pusat (CLT)) Jika adalah barisan peubah acak i.i.d. dengan dan, maka sebaran dari konvergen ke sebaran normal baku, yaitu Bukti: Berdasarkan Lema 5, untuk membuktikan Lema 4 cukup dibuktikan konvergen ke, yaitu pembangkit momen peubah acak normal baku. Misalkan maka adalah peubah acak yang saling bebas dan mempunyai sebaran identik dengan nilai harapan dan ragam yang diberikan sebagai berikut: dan Diketahui dari adalah memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, maka fungsi pembangkit momen

41 31 Persamaan di atas dapat ditulis sebagai : ruas kanan adalah fungsi sebaran normal dengan nilai harapan 0 dan ragam 1. Untuk menyelesaikan bukti Lema 4, digunakan Lema 3, sehingga diperoleh Substitusi persamaan (34) ke persamaan (33) dengan dan tetap, maka diperoleh Selanjutnya, dicari limit dari sebagai berikut Sehingga konvergen ke, yaitu pembangkit momen peubah acak normal baku. Dengan demikian Lema 4 terbukti.

42 32 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Padang Bintungan pada tanggal 08 Desember 1989 dari ayah Aly Fikri dan Ibu Suparni. Penulis adalah putra keempat dari empat bersaudara. Tahun 2008 penulis lulus SMA Negri 1 Sitiung dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten dosen mata kuliah Pemrograman Linear pada tahun ajaran 2010/2011 dan 2011/2012, asisten praktikum Analisis Numerik pada tahun ajaran semester pendek Penulis juga aktif mengajar privat matematika di bimbingan belajar dan privat Gumatika. Penulis juga aktif sebagai Badan Pengawas Gumatika. Penulis juga aktif berwira usaha sebagai produsen bakpau.