DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS Uniform Bernoulli Binomial Poisson Distribusi Lainnya: Multinomial Hipergeometrik Geometrik Binomial Negatif BI5106 Analisis Biostatistika 27 September 2012
Distribusi uniform (seragam) 2 Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x 1, x 2,, x k ) memiliki peluang yang sama. Distribusi peluang X : Rataan : 1 PX ( x ), x x1, x2,..., xk k 1 k xi k i Variansi : 1 2 1 k xi k i1 2
Contoh 1 3 Pelantunan sebuah dadu. 1 P ( X x ), x1, 2,3, 4,5,6 6 0.18 1 2 3 4 5 6 0.175 35 3,5 0.17 6 P(X=x) 1 2 3 4 5 6 6 15.1717 12.2525 2.92 2 2 2 2 2 2 2 2 3.5 0.165 0.16 1 2 3 4 5 6 x
Percobaan Bernoulli 4 Percobaan terdiri dari 1 usaha Sukses Usaha Gagal Peluang sukses p Peluang gagal 1-p Misalkan 1, jika terjadi sukses X 0, jika terjadi tidak sukses (gagal)
Distribusi Bernoulli 5 XX berdistribusi ib i Bernoulli, x 1 x p (1 p), x 0,1 PX ( x) berxp ( ; ) 0, x lainnya Rataan : E[X] = µ x = p Variansi : Var(X)= x 2 = p(1-p)
Percobaan Binomial 6 n usaha yang berulang. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal. Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. Tiap usaha saling bebas.
Distribusi Binomial 7 Distribusi binomial, parameter n dan p Notasi X ~ B(n,p) F.m.p: Koefisien binomial : o Rataan o Variansi n x PX ( x) bxnp ( ;, ) p(1 p) x n n! x x!( n x)! : E[X] = µ x = np untuk x = 0,1,, n : var(x)= X 2 = np(1-p) nx n! = n.(n-1).(n-2) 1
Contoh 2 8 Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?
Jawab 9 Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya y penduduk percaya obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya a. Maka X~B(5, 0.7) Yang ingini dicarii adalah P(X 3). P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 5 3 2 5 4 1 5 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 5 0.3 0 3 4 5 5! 5! 5! (0,343)(0, 09) (0, 240)(0,30) (0,168)(1) 2!3! 1!4! 0!5! 0,309 0,360 0,168 edited 2011 0,837 by UM
Percobaan Poisson 10 Memiliki 2 keluaran a hasil : SUKSES S S dan GAGAL. G Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial) Panjang selang waktu Luas daerah/area Contoh : - Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US - Banyak batu Apung ditemukan di setiap 2 meter panjang sungai A - Banyak tikus yang ditemukan dalam 1 ha persawahan
Proses Poisson 11 Selang waktu atau daerahnya saling bebas. Peluang pada Proses Poisson tergantung pada selang waktu dan besarnya daerah. Peluang untuk selang yang pendek atau daerah g g y g p yang sempit dapat diabaikan.
Distribusi Poisson 12 Peubah acak X berdistribusi Poisson X~P(t) F.m.p : t e t PX ( x), x0,1, 2,... x!! x e = tetapan Euler (2.71828 ) o o Rataan : E[X] = X = t Variansi : var(x)= 2 X2 = t
Contoh 3 13 Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7. a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu. b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan.
Jawab 14 Jenis kasus Kasus Diskrit Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah Distribusi Poisson Satuan Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1 Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4 Paramete r distribusi Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4 Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = 7 Jika t = 4 (dalam a minggu) maka a X ~ P (7), dengan rata-rata a aa = t = (7/4)(4) ) = 7 Pertanya an a. Pertanya an b. t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) =... t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) =... t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka =... t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka =...
... Ingat definisi: sehingga a. t e t P ( X x ), x0,1,, 2,... x! PX ( 2) 1 2 P X 1P X 0 P X 1 P X 2 x 3,5 3,5 3,5 3,5 0 3,5 1 3,5 2 t0,5 e e e 1 0! 1! 2! 10.030 0,106 0,370 0,494 15 b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.
16 Hubungan distribusi Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal Misalkan p.a X Distribusiib i Bernoulli X ~ Ber (1, p) n >1 Distribusi Normal X ~ N(μ, σ 2 ) μ= np, σ 2 = np(1- p) μ=, σ 2 = n >>> Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p) n >>>, p <<< n >>> DLP Distribusi Poisson X ~ POI (t) = np = np(1- p)
Beberapa distribusi diskrit lainnya 17 Distribusi Multinomial Ditib DistribusiHipergeometrik ik Distribusi Binomial Negatif Ditib DistribusiGeometri
Distribusi Multinomial 18 Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E 1, E 2,, E k dengan peluang p 1, p 2,, p k, maka distribusi peluang peubah acak X 1, X 2,, X k yang menyatakan banyak terjadinya E 1 1, E 2 2,,, E k dalam n usaha bebas ialah, n PX x X x X x x, x,..., x x1 x2 x (,,..., ) p p p k 1 1 2 2 k k 1 2 k 1 2 k dengan, k x n dan p 1 i i1 i1 k i Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.
Contoh 4 19 Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta. Jawab: Misalkan X i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta. 9 3 3 1 2 PX ( 1 3, X2 3, X3 1, X4 2) 0.4 0.2 0.3 0.1 3,3,1, 2 9! 5 0.0640.080.30.0125201.53610 0, 038702 3!3!1!2!
Distribusi Hipergeometrik 20 X ~ h(n, n, k) X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal. kn k x n x PX ( x) hxnnk ( ;,, ), x0,1, 2,..., n N n Rataan : nk N Variansi : N n k k N 1 n N N 2 1
21 Contoh 5 Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran! Jawab : Misalkan X : banyak gedung g yang dipilih mempunyai kode pelanggaran. X ~ h(50, 10, 12) 1238 3 7 22012620256 PX ( 3) h(3;50,10,12) 0.2703 50 10272278170 10
22 Kaitannya dengan distribusi Binomial Percobaan binomial maupun hipergeometrik samasama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal. Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dl k dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian. Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N,, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/n.
Distribusi Geometrik 23 X ~ g(p) atau X ~ Geom(p) X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). P X x g x p p p x x1 ( ) ( ; ) (1 ), 1, 2,... Rataan : Variansi : 1 p 2 1 p 2 p
24 Contoh 6 Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama! Jawab : X ~ Geom(0.2) PX 2 ( 3) g (3;0.2) 0.2(0.8) 0.128
Distribusi Binomial Negatif 25 X ~ b*(k, p) X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usahausaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). x 1 k xk PX ( x) b*( xkp ;, ) p(1 p), xkk, 1, k2... k 1 Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acakpeubah acak Geometrik. X = Y 1 + Y 2 +... + Y k dimana Y 1, Y 2,..., Y k adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p). k 2 k(1 p) Rataan : Variansi : 2 p p
Contoh 7 26 Perhatikan Contoh 6. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama! Jawab : PX 7 2 3 5 ( 8) b*(8;3, 0.2) (0.2) (0.8) 0.05505 05505
Referensi 27 Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.