SISTEM PERSAMAAN LINEAR Persamaan Linear Pengertian Persamaan linear adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut. + + + Di mana:,,,, dan adalah konstanta-konstanta riil.,,,, adalah bilangan yang takdiketahui nilainya atau variabel. Berdasarkan bentuk umum dari persamaan linear tersebut, persamaanpersamaan berikut ini manakah yang merupakan persamaan linear. a. + 1 b. + 3 c. + + 1 d. + 10 e. + 1, f. cos2+cos3 1, g. ln2+ln2 1, + 1 a bukan persamaan linear karena ada perkalian dua variabel. b bukan persamaan linear karena pangkat tertinggi variabel adalah 2. c,d adalah persamaan linear. e bukan persamaan linear karena pangkat variabel tidak seragam. f bukan persamaan linear karena merupakan persamaan trigonometri. g bukan persamaan linear karena merupakan persamaan eksponensial. Sistem Persamaan Linear Pengertian Persamaan linear yang jumlahnya lebih dari satu dan membentuk suatu sistem disebut dengan sistem persamaan linear. Adapun bentuk umum dari sistem persamaan linear adalah sebagai berikut. + + + + + + + + + + + + By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 1
Di mana,,,, adalah koefisien-koefisien dari,,,, yang merupakan bilangan-bilangan yang takdiketahui nilainya (variabel), dan,,,, adalah konstanta-konstanta. a. 2+ + 5 + + 2 3 3+ 2+ 5 b. 2++ 10 ++3 3 c. 2+2 6 + 3 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Penyelesaian dari sistem persamaan linear mempunyai tiga kategori, yaitu mempunyai satu penyelesaian (konsisten), tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten), dan mempunyai banyak penyelesaian (konsisten). Metode yang biasa digunakan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear ada beberapa cara yaitu: 1. Metode Subtitusi Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan metode subtitusi. 2+3 12 4+ 8 Persamaan 1 : 2+3 12 Persamaan 2 : 4+ 8 8 4 Kemudian persamaan 2 disubtitusikan ke persamaan 1. 2+3$8 4%12 2+24 12 12 10+24 12 10 12 24 10 12 12 10 6 5 & disubtitusikan ke persamaan 2. ' 8 4 6 5 8 24 5 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 2
40 24 5 16 5 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah : & & dan ' ' 2. Metode Eliminasi Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini. + 10 2+5 20 Persamaan 1 : + 10 Persamaan 2 : 2+5 20 Langkah-langkah: 1. Pilih variabel yang akan dicari nilainya. 2. Lakukan operasi yang bersesuaian untuk menghilangkan variabel yang tidak dicari nilainya untuk dicari kemudian. Misal: pilih variabel yang akan dicari nilainya maka variabel akan dihilangkan. Kalikan 2 pada persamaan 1 dan kalikan 1 pada persamaan 2. + 10 $ 2% 2+6 20 $ 1% Maka 2+2 20 2+6 20 + 0+8 40 40 8 5 Kalikan 6 pada persamaan 1 dan kalikan 1 pada persamaan 2. + 10 $ 6% 2+6 20 $ 1% Maka 6+6 60 2+6 20 8+ 040 40 8 5 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 3
Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah 5 dan 5 3. Metode Eliminasi dan Subtitusi Metode ini adalah kombinasi antara metode eliminasi dan subtitusi. Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini. 3 2 2+3 5 Langkah-langkah: 1) Lakukan metode eliminasi. 3 2 $ 2% 6 2 4 2+3 5 $ 3% 6+9 15 0 11 11 11 11 1 2) Pilih salah satu persamaan dan lakukan metode subtitusi. 3 2 3 12 3 2+1 3 3 3 3 1 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah 1 dan 1 4. Metode Eliminasi Gaus/Gaus-Jordan Metode eliminasi Gaus/Gaus-Jordan dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah pada Operasi Baris Elementer (OBE). Sebelum melakukan OBE, bentuk umum dari sistem persamaan linear dirubah menjadi matriks yang diperbesar seperti berikut ini. + + + + + + + - + -. /. / + - + + + Sehingga diperoleh matriks 0. / yang disebut juga By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 4
dengan matriks koefisien, matriks 1. /, dan matriks 2 + - yang disebut juga dengan matriks konstanta. Jika matriks B ditambahkan pada kolom terakhir dari matriks A maka matriksnya menjadi + 3 4 - atau + - Matriks ini disebut dengan matriks yang diperbesar (augmented matrix). 7 898 :;<78 >8; 8 898 $?;>% >8@8 A9B>9AhD> Buatlah matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear berikut ini +2 + 5 2 +2 + 6 +2 +3 9 Dengan menyatakan terlebih dahulu ke dalam bentuk 01 2! +2 + 5 2 +2 + 6 +2 +3 9 +2 + 5 1 2 1 5 1 2 1 5 52 +2 + 6 566 52 2 165 6 566 52 2 1 66 +2 +3 9 1 2 3 9 1 2 3 9 Ada tiga langkah dalam melakukan Operasi Baris Elementer terhadap matriks yang diperbesar, yaitu: 1. Menukarkan baris. 2. Menjumlahkan hasil kali. 3. Mengalikan dengan invers perkalian. Perhatikan sistem persamaan linear berikut ini. 2+4 3 1 3+6 5 0 + +2 9 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 5
Lakukanlah Operasi baris linear elementer untuk mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut. Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah: 2 4 3 1 53 6 5 06 1 1 2 9 Langkah-langkah Operasi Baris Elementer sebagai berikut: Langkah 1: Tukarlah baris ke-1 dengan baris ke-3. 1 1 2 9 53 6 5 06 2 4 3 1 Langkah 2 : kalikan $ 3% pada baris ke-1 kemudian jumlahkan ke baris ke-2. 1 1 2 9 50 3 11 276 2 4 3 1 Langkah 3 : kalikan $ 2% pada baris ke-1 kemudian jumlahkan ke baris ke-3. 1 1 2 9 50 3 11 276 0 2 7 17 Langkah 4 : kalikan pada baris ke-2. 1 1 2 9 F. 0 1 9/ 0 2 7 17 Langkah 5 : kalikan $ 2% pada baris ke-2 kemudian jumlahkan ke baris ke-3. 2 9 1 1 F + 0 1 9-0 0 1 Langkah 6 : kalikan 3 pada baris ke-3. 1 1 2 9 F. 0 1 9/ 0 0 1 3 Langkah 7 : kalikan pada baris ke-3 kemudian jumlahkan ke baris ke- 2. 1 1 50 1 0 0 2 9 0 26 1 3 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 6
Langkah 8 : kalikan $ 2% pada baris ke-3 kemudian jumlahkan ke baris ke-1. 1 1 0 3 50 1 0 26 0 0 1 3 Langkah 9 : kalikan $ 1% pada baris ke-2 kemudian jumlahkan ke baris ke-1. 1 0 0 1 50 1 0 26 0 0 1 3 Hasil dari operasi baris tersebut kemudian dirubah kembali menjadi bentuk umum sistem persamaan linear. +0+0 1 0++0 2 0+0+ 3 Sistem persamaan linear yang diperoleh dapat ditulis sebagai berikut. 1 2 3 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah 1, 2, 3 Berhentinya proses dari operasi baris elementer pada matriks yang diperbesar ditentukan dari metode eliminasi yang digunakan. Metode eliminasi Gauss Matriks menghasilkan matriks bentuk eselon baris (rowechelon form). Metode eliminasi Gauss-Jordan menghasilkan matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form). Jika operasi baris menghasilkan salah satu dari kedua bentuk matriks tersebut maka operasi baris elementer dapat dihentikan. Berikut adalah contoh dari matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi. 1 0 0 5 1 4 3 7 1 1 0 50 1 0 26,50 1 6 26,50 1 06 0 0 1 4 0 0 1 5 0 0 0 (a) (b) (c) a. Matriks pada point a merupakan bentuk eselon baris tereduksi. b. Matriks pada point b dan c merupakan bentuk eselon baris Suatu matriks hasil operasi elementer dikatakan matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi, jika memenuhi sifat-sifat berikut ini. By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 7
1) Jika baris tidak seluruhnya terdiri dari 0, maka bilangan taknol pertama pada baris tersebut adalah 1 atau disebut juga 1 utama. 2) Jika baris seluruhnya terdiri dari 0, maka baris tersebut ditempatkan pada urutan terakhir dari baris-baris yang ada pada matriks. 3) Untuk sembarang dua baris berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari 0, maka 1 utama pada baris lebih bawah diletakkan lebih ke kanan. 1 utama pada Baris ke-1 G 1 0 2 0 1 3 H 1 utama pada Baris ke-2 Atau 1 utama pada Baris ke-1 1 0 2 0. 0 0 1 3 / 0 0 0 1 0 0 0 0 4) Pada satu baris, setiap kolom yang memuat 1 utama maka kolom lainnya adalah nol. Matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 adalah bentuk eselon baris. Sedangkan matriks bentuk eselon baris terduksi memenuhi sifat 1, 2, 3, dan 4. Tunjukkan bahwa matriks yang diperbesar berikut ini adalah matriks bentuk eselon baris tereduksi. 1 0 0 $a%50 0 06, 0 0 1 1 0 0 0 $b%50 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 $c%50 1 0 26, 0 0 1 3 1 1 0 1 $d%. 0 0 0 1 / 0 0 1 0 0 0 0 0 3 46 1 Menjorok ke kanan Menjorok ke kanan 1 utama pada Baris ke-2 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 8
a adalah bukan matriks eselon baris tereduksi karena ada baris yang semua unsurnya nol tidak berada pada baris terakhir. b, c dan d adalah matriks eselon baris tereduksi. Tunjukkan bahwa matriks yang diperbesar berikut ini adalah matriks bentuk eselon baris. 1 2 3 1 1 0 $a%50 0 06,$b%50 1 06, 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 3 $c%50 1 26,$d%50 2 46 0 0 1 0 0 5 a,b,d adalah matriks bentuk eselon baris. c adalah matriks bentuk eselon baris terduksi. Penyelesaian dari sistem persamaan linear dapat diperoleh secara langsung jika matriks eselon baris tereduksi adalah hasil dari operasi baris elementer. Akan tetapi jika matriks eselon baris adalah hasil dari operasi baris elementer maka ada beberapa langkah lagi yang harus dilakukan agar penyelesaian dari sistem persamaan linear diperoleh. Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan. + 2 1 2 + 2 2 4 4 Metode Eliminasi Gauss 1 1 52 1 1 2 1 1 50 1 0 3 1 2 6 22 1 1 +2 50 3 2 4 4 +2 0 3 F ' L 0 6 32 1 1 +2 5 0 1 2 5 0 0 5 0 6 1 3 2 2 5 6 1 7 2 1 1. 0 1 7 5 0 0 F ' L 0 L 0 / F ' 1 ' L M Matriks eselon baris yang dihasilkan kemudian dirubah menjadi bentuk umum sistem persamaan linear. + 2 1 ' 0 ' M By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 9
Subtitusikan x x 5 5 3 7 2 2 25 x 2 0 0 25 Subtitusikan 5 5 x 3 ke x 2 x3 0 sehingga 7 3 25 x 2 dan 5 x3 ke + 2 1 sehingga 7 25 5 x1 + 2 1 7 25 10 x1 + 1 7 5 x1 1 5 26 x1 1+ Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah 26 x 1 Metode Eliminasi Gauss-Jordan 1 1 52 1 1 2 1 1 50 1 0 3 25 x 2 1 2 6 22 1 1 +2 50 3 2 4 4 +2 0 3 6 32 1 1 +2 5 0 1 2 5 0 0 F ' L 0 ' 2 1 1 +2. 0 1 0 0 0 ' L 1 ' L M 5 x 3 7 5 0 6 1 3 2 2 5 6 1 7 2 1 1. 0 1 7 5 0 0 F ' L 0 / 22 1 1 +2. 0 1 0 0 0 ML M 0 ' L 1 ' L M / 2 +2 L 0 / F ' 1 ' L M 1 0. 0 1 0 0 0 & L 0 ' L 1 ' L M / Matriks eselon baris tereduksi yang dihasilkan, kemudian dirubah menjadi bentuk umum dari sistem persamaan linear. By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 10
26 x1 + 0x2 + 0x3 25 0x1 + x2 + 0x3 5 0x1 + 0x2 + x3 7 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah 26 x 1 25 x 2 5 x 3 7 Jenis-jenis Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Ada tiga jenis penyelesaian dari sistem persamaan linear, yaitu: 1. Satu penyelesaian Tinjaulah sistem persamaan linear berikut ini: 2+ + 5 + + 2 3 3+ 2+ 5 Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah 2 1 51 1 3 2 2 5 1 1 0 1 0 1 1 1. 0 1 0 0 1 5 2 36 2 1 1 2 5 2 1 1 5 3 2 2 3 3 1 6 2 1 1 +2 5 0 1 5 4 0 0 2 3 3 1 1 3 / 32 1 1 2 +2 5 0 1 0 L 2 0 0 1 2 1 1 5 51 1 2 36 3 2 1 5 2 3 1 56 22 1 1 +2 50 1 32 1 5 +2 0 1 2 3 3 1 6 1 2 2 2 3 3 ML L 2 3 3 16 5 4 6 0 2 +2. 0 1 0 0 0 1 L ML L / 22 +2. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ML ML L / Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah 7 2 7 2 3 2 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 11
2. Banyak penyelesaian Tinjaulah sistem persamaan berikut ini: 2++ 10 ++3 3 Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah G 2 1 1 10 1 1 3 3 H G 2 1 1 10 1 1 3 3 H2 2 G 1 1 3 3 2 1 1 10 H 22 +2 G 1 1 3 3 0 1 5 4 H 2 G 1 1 3 3 0 1 5 4 H 2 +2 G 1 0 2 7 0 1 5 4 H Bentuk sistem persamaan linearnya adalah 7 +5 4 Maka penyelesaiannya adalah 7+ +5 4 4 5 Misalkan N sehingga 7+ 7+N 4 5 4 5N Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah 7+N 4 5N N Untuk N R 3. Tidak ada penyelesaian Tinjaulah sistem persamaan linear berikut ini 2+2 6 + 3 Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut adalah G 2 2 6 1 1 3 H2 2 G 1 1 3 2 2 6 H 22 +2 G 1 1 3 0 0 0 H Bentuk sistem persamaan linearnya adalah + 3 0+0 0 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 12
Maka penyelesaiannya tidak ada karena persamaan satu memperlihatkan ada nilai dari dan, hal ini kontradiksi dengan persamaan dua yang memperlihatkan tidak ada nilai dari dan. Kesimpulan : 1. Sistem persamaan linear yang mempunyai satu penyelesaian, jumlah persamaan dan variabel adalah sama. 2. Sistem persamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, jumlah persamaan lebih kecil dari pada jumlah variabel. 3. Sistem persamaan linear yang tidak mempunyai penyelesaian, ada persamaan yang n dari persamaan yang lain. 4. Sistem persamaan linear yang konsisten adalah sistem yang mempunyai satu penyelesaian dan banyak penyelesaian. 5. Sistem persamaan linear yang tidak konsisten adalah sistem yang tidak mempunyai penyelesaian. SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN Sistem persamaan linear homogen merupakan salah satu dari bagian sistem persamaan linear. Perbedaannya terletak pada konstanta setelah tanda pada sistem persamaan linear homogen semuanya adalah nol. Adapun bentuk umum dari sistem persamaan linear homogen adalah sebagai berikut. + + + 0 + + + 0 + + + 0 + + + 0 Di mana,,,, adalah konstanta-konstanta dan,,,, adalah bilangan-bilangan yang takdiketahui nilainya (variabel). Perhatikan sistem-sistem persamaan linear pada contoh berikut ini. Tinjaulah sistem-sistem persamaan linear berikut ini. a. 8+3+4 0 6+2+5 1 7+ +3 0 b. 3+2 0 2+ 0 c. 3+2 0 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 13
5+3 0 Sistem pada point a adalah sistem persamaan linear sedangkan sistem pada point b dan c merupakan sistem persamaan linear homogen. Sistem persamaan linear homogen merupakan sistem yang konsisten sehingga mempunyai dua jenis penyelesaian yaitu: 1. Penyelesaian trivial Penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen adalah nol. +2 0 2+ 0 2+3+ 0 Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear homogen tersebut adalah 1 2 0 5 1 6 2 3 1 1 2 0 2 +2 1 2 0 5 1 6 50 0 16 2 1 2 0 2 5 0 1 16 2 0 5 0 1 16 22 2 3 1 +2 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 +2 1 2 0 5 0 1 06 22 1 0 0 +2 5 0 1 06 0 0 1 0 0 1 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear homogen adalah 0 0 0 2. Penyelesaian nontrivial Penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen tidak hanya nol tetapi ada penyelesaian lainnya. Tinjaulah sistem persamaan linear homogen berikut ini. +6 2 0 2 4+ 0 Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear homogen adalah G 1 6 2 2 4 1 H G 1 6 2 2 4 1 H 22 +2 G 1 6 2 0 16 5 H & 2 1 6 2 Q 0 1 ' R 62 +2 & By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 14
5 1 0 S 0 1 ' 6 & Bentuk sistem persamaan linear homogen adalah S 0 ' & 0 Maka penyelesaiannya adalah S 0 S ' & 0 ' & Misalkan 9 sehingga S 9 ' & Jadi penyelesaian sistem persamaan linear homogen tersebut adalah S 9 ' & 9 9 Untuk 9 R LATIHAN 1. Manakah dari persamaan dibawah ini yang merupakan persamaan linier? a. 2+4 3 1 b. 3 2+5 2 c. + F 3 5 d. 2. Bentuklah sistem persamaan linear berikut ini menjadi matriks yang diperbesar. a. 2 0 3+4 1 2 3 b. 2+ 3+1 2+20 c. 1 2 3 3. Di antara matriks yang diperbesar berikut ini, mana yang merupakan matriks bentuk eselon baris tereduksi. By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 15
1 0 0 a. 50 0 06 0 0 1 b. G 1 0 3 4 0 1 2 3 H 1 0 0 5 c. 50 0 1 36 0 1 0 4 1 0 0 0 1 d.. 0 1 0 0 2 / 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 4. Temukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari matriks berikut ini dengan menggunakan operasi baris elementer. a. G 0 1 3 4 1 0 2 3 H 1 0 0 b. 50 2 06 0 0 3 c. G 0 0 0 2 4 0 H 5. Pecahkan sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan eliminasi Gauss. a. 2 3 2 2 + 1 3 +2 1 b. 3 +2 15 5 +3 + 2 0 3 + + 3 11 11 + 7 30 c. 4 8 12 3 6 9 2 +4 6 6. Temukanlah penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini menggunakan eliminasi Gauss-Jordan. a. + +2 8 2 +3 1 3 7 +4 10 b. + + 2 2+3 8 8 By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 16
7. Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear berikut ini merupakan sistem yang konsisten jika dan hanya jika 2 3 dan selesaikan sistem pada kasus ini. 2 + 3 3+ 5 5 5+ 8. Periksa apakah sistem persamaan linear homogen berikut ini mempunyai penyelesaian trivial atau tidak. a. 5 +2 +6 0 2 + +3 0 b. 2 + +3 0 +2 0 + 0 c. +6 2 0 2 4+ 0 d. +2 +3 0 +4 0 5 0 9. Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut ini. 3 + + + T 0 3 + + T 0 + 3 + T 0 Selamat Bekerja By : Mia Fitria, S.Si, M.Pd 17