BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang sering disebut sebagai induk dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Di antara beberapa disiplin ilmu, fisika dapat dikatakan mempunyai hubungan yang erat dengan matematika. Hal ini karena hampir di semua permasalahan-permasalahan fisika dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan matematika. Banyak permasalahan fisika yang dapat dimodelkan ke bentuk persamaan matematika antara lain akustik, panas, bunyi dan listrik. Akustik adalah salah satu ilmu fisika yang berkaitan dengan produksi, kontrol, transmisi, penerimaan dan efek suara. Suara yang dimaksudkan adalah suatu tekanan gelombang yang menyebar melalui suatu media tertentu, misalnya udara. Contoh dari masalah akustik diberikan sebagai berikut. Ada beberapa orang yang duduk berbaris-baris di dalam suatu ruangan tertutup kemudian diberikan suatu sumber suara misalkan suara speaker. Jika speaker tersebut dibunyikan, maka suara yang terdengar dari baris paling depan akan berbeda dengan suara yang didengar oleh orang yang berada di baris selanjutnya. Pada akustik ada berbagai hal yang dapat dihitung nilai-nilainya, salah satunya adalah tekanan akustik. Pada skripsi ini, untuk menghitung tekanan akustik, akustik dimodelkan dengan persamaan Helmholtz. Bentuk umum persamaan Helmholtz adalah 2 φ x + 2 φ + α (x, y) φ = g (x, y), 2 y2 dengan α dan g merupakan suatu fungsi dalam (x, y). Seperti halnya persamaanpersamaan diferensial pada umumnya, permasalahan berbentuk persamaan Helmholtz diikuti dengan masalah syarat batas. Selanjutnya, berdasarkan tekanan akustik 1
2 tersebut dibuat distribusi tekanan akustik pada suatu region. Permasalahan dalam bentuk persamaan Helmholtz yang dilengkapi dengan syarat batas memberikan tingkat kesulitan yang berbeda-beda dalam menentukan solusinya sesuai dengan syarat batas yang diberikan. Oleh karena itu, tidak semua solusi dapat ditentukan secara analitik, sehingga para ilmuwan banyak menggunakan metode numerik. Saat ini para ilmuwan juga banyak melakukan penelitian dalam mengembangkan metode numerik untuk mendapatkan pendekatan solusi analitiknya. Metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan Helmholtz adalah Metode Elemen Batas Dual Reciprocal (DRBEM). Metode ini merupakan perluasan dari Metode Elemen Batas biasa (BEM). Kedua metode ini mendiskritisasikan batas region menjadi beberapa elemen. Namun pada DRBEM, titik kolokasi pada region diikutsertakan dalam perhitungan. Selain itu DRBEM dapat menentukan nilai solusi dan nilai / n dari solusi pada semua titik di dalam region. Penghitungan dengan DRBEM tidak mudah dilakukan secara manual, karena untuk mendapatkan pendekatan solusi yang baik diperlukan waktu yang lama dan tingkat ketelitian yang tinggi. Oleh karena itu, para ilmuwan mengembangkan program-program komputer untuk membantu penghitungan dengan metode ini. Pada buku A Beginners Course in Boundary Element Method (Ang, 2007), digunakan bahasa pemrograman FORTRAN 77. Selain FORTRAN 77, terdapat bahasa pemrograman yang cukup banyak dipakai pada bidang matematika dalam melakukan perhitungan secara numerik yaitu MATLAB. Beberapa uraian yang telah disampaikan penulis inilah, yang melatar belakangi dalam penulisan skripsi mengenai DRBEM untuk menyelesaikan masalah akustik dengan waktu harmonik, khususnya dengan bantuan bahasa pemrograman MATLAB. 1.2. Perumusan Masalah Permasalahan yang dapat dirumuskan oleh penulis dalam skripsi ini adalah sebagai berikut :
3 1. Menentukan rumus umum, dari solusi persamaan Helmholtz yang dilengkapi dengan masalah syarat batas, menggunakan DRBEM. 2. Mengimplementasikan langkah-langkah penyelesaian persamaan Helmholtz dengan metode elemen batas ke dalam syntax program MATLAB. 3. Mendeskripsikan masalah akustik ke dalam bentuk persamaan Helmholtz. 4. Menentukan besar tekanan dari permasalahan akustik dengan menggunakan DRBEM disertai perbandingan solusinya dengan solusi eksaknya. 1.3. Batasan Masalah Permasalahan yang dibahas pada skripsi ini akan dibatasi pada implementasi DRBEM untuk menentukan solusi persamaan Helmholtz dengan syarat batas diketahui. Dalam penerapannya di masalah fisika, penulis mengimplementasikan DRBEM untuk menentukan tekanan pada dimensi dua dengan waktu harmonik. 1.4. Manfaat dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan program Strata-1 (S1) program studi matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memberikan tambahan wawasan kepada pembaca mengenai DRBEM. DRBEM merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan permasalahan yang dimodelkan dengan persamaan Helmholtz. Lebih lanjut, manfaat skripsi ini adalah untuk mengimplementasikan DRBEM dalam menyelesaikan permasalahan pada bidang fisika, khususnya pada permasalahan akustik dengan waktu harmonik. 1.5. Tinjauan Pustaka DRBEM yang menjadi pembahasan utama dalam skripsi ini dijelaskan secara rinci oleh Ang (2007). Pada buku tersebut, diberikan juga penjelasan mengenai persamaan Helmholtz secara umum. Untuk implementasi dari DRBEM, yang dikhususkan pada masalah akustik, penulis menggabungkan beberapa teori berdasarkan hasil yang telah dilaporkan oleh Chandler-Wilde dan Langdon (2007) serta
4 hasil yang dilaporkan oleh Antoine (2015). Selanjutnya, di dalam pembahasan juga diberikan contoh-contoh permasalahan akustik dengan solusi numerik DRBEM berdasarkan tesis AL-Jawary (2012). Dalam pembahasan pada skripsi ini terdapat beberapa dasar teori yang terkait tentang persaman Helmholtz. Penjelasan mengenai turunan parsial dan deret Taylor, penulis mengacu pada buku karangan Taylor (1983). Kemudian dijelasan pula beberapa konsep mengenai vektor yang termuat dalam buku Spiegel (1959). Selanjutnya dijelaskan teori tentang fungsi basis radial berdasarkan Chen (2014) dan Kaennakham (2014). Selain beberapa dasar teori yang telah disebutkan, diberikan beberapa materi yang berkaitan erat dengan DRBEM. Di antaranya yaitu, teorema Green, Teorema Gauss Green, teorema divergensi Gauss dan fungsi Dirac Delta. Keseluruhan materi tersebut mengacu pada buku karangan Katsikadelis (2002). 1.6. Metodologi Penelitian Metode atau langkah-langkah yang dilakukan oleh penulis dalam penelitian ini, adalah sebagai berikut : 1. Mempelajari mengenai persamaan Helmholtz dan beberapa teorema yang menjadi dasar dalam menentukan solusi dengan metode elemen batas. 2. Mempelajari langkah-langkah dalam menentukan solusi persamaan Helmholtz dengan DRBEM yang mengacu pada buku karangan WT Ang yang berjudul A Beginners Course in Boundary Element Method. 3. Mencari suatu permasalahan dalam dunia nyata yang dapat dimodelkan ke bentuk permasalahan dengan persamaan Helmholtz yang dilengkapi dengan syarat batas dan beberapa titik interor tertentu. 4. Mempelajari mengenai langkah-langkah pemodelan permasalahan akustik menjadi bentuk persamaan Helmholtz. 5. Membuat syntax DRBEM dengan bahasa pemrograman MATLAB untuk menyelesaikan permasalahan akustik.
5 Selain langkah-langkah di atas, penulis juga melakukan konsultasi dengan dosen pembimbing skripsi pada setiap perkembangan materi. 1.7. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang permasalahan, tujuan penulisan, pembatasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini, serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi tentang uraian beberapa definisi dan teorema yang menjadi dasar pembahasan pada dua bab selanjutnya. BAB III METODE-METODE ELEMEN BATAS Bab ini menjelaskan mengenai langkah-langkah dalam menentukan penyelesaian persamaan Helmholtz menggunakan DRBEM, serta gambaran secara ringkas mengenai pembuatan syntax DRBEM dengan MATLAB BAB IV APLIKASI DRBEM PADA PERSAMAAN HELMHOLTZ UNTUK MASALAH AKUSTIK Pada bab ini, diuraikan mengenai pemodelan permasalahan akustik ke dalam bentuk persamaan matematika, khususnya ke bentuk persamaan Helmholtz. Selanjutnya, diberikan juga dua contoh masalah akustik dengan region persegi dan seperempat lingkaran beserta penyelesaiannya menggunakan DRBEM. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari seluruh pembahasan mengenai penyelesaian persamaan Helmholtz dengan DRBEM hingga implementasinya terhadap permasalahan akustik. Pada bagian ini, juga disertakan saran yang dapat dipertimbangkan untuk penelitian selanjutnya.