DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF TESIS Oleh RINA WIDYASARI 107021009/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF T E S I S Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh RINA WIDYASARI 107021009/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Judul Tesis : DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF Nama Mahasiswa : Rina Widyasari Nomor Pokok : 107021009 Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 17 Desember 2012
Telah diuji pada Tanggal 17 Desember 2012 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Prof. Dr. Opim Salim S., M.Sc 3. Dr. Yulita Molliq, M.Sc
PERNYATAAN DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF T E S I S Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya. Medan, 17 Desember 2012 Penulis, Rina Widyasari i
ABSTRAK Salah satu cara untuk memperoleh suatu distribusi peubah acak adalah dengan mendefinisikan distribusi peubah acak dengan kejadian acak yang membentuk rantai Markov. Penelitian tesis ini melakukan pengulasan kejadian-kejadian ber-distribusi binomial negatif dan membentuk suatu rantai Markov. Andaikan X n adalah barisan percobaan {0,1} yaitu percobaan kombinasi sukses atau gagal, dan S n menghitung jumlah sukses, maka kejadian pada percobaan ke-n selanjutnya didefinisikan sebagai percobaan yang membentuk rantai Markov berdistribusi binomial. Jika suatu peubah acak Nb(s) menyatakan nilai ketetapan muncul sukses ke-s pada percobaan ke-n dan merupakan penjumlahan kejadian berdistribusi geometri maka apabila sukses muncul perhitungan rantai Markov akan berulang kembali. Namun, karena barisan membentuk rantai Markov, tetap mempertimbangkan state awal, state ke-n 1, dan state ke-n apakah muncul 0 atau 1. Tujuan penelitian ini adalah memodelkan fungsi massa peluang (fmp), fungsi ekspektasi dan fungsi varians peubah acak Nb(s) berdistribusi Markov-binomial negatif. Selain itu, peneliti juga memodelkan diagram kontrol dalam quality control sebagai salah satu terapan distribusi Markov-binomial negatif. Kata kunci: Distribusi binomial negatif, Rantai Markov, Distribusi Markov-binomial, Distribusi Markov-binomial negatif ii
ABSTRACT The way to find a new distribution of random variables is defining the distribution which associated with Markov chain. In this research, researcher defines all the random variables identically independent distributed negative binomial distribution and form a Markov chain. Suppose that X n is a sequence of Bernoulli trials that if 1 occurs means success and 0 occurs means failure. Nb(s) defined as random variables s th success in n trials. Each trial form a Markov chain, in note that if we consider that Nb(k) are total geometrically even, then if success occurs, then Markov chain must be counted from the beginner. But, if we look X n as a sequence in {0, 1} combination, then we must look beginner state condition 0 or 1, also consider (n 1) th and n th state in 0 or 1. Therefore, researcher try to model pmf and varians of a random variables iid negative binomial associated with Markov chain then called it by Negative Binomial Distribution for Markov Process with two conditions and mode a control diagram as its application in quality control. Keywords: Negative binomial distribution, Markov chain, Markov-binomial distribution. iii
KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayah yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: DIS- TRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembimbing I, dan banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA sekaligus pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA. Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembanding-I yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Ibu Dr. Yulita Molliq, M.Sc, Pembanding-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. iv
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2010 genap (Aghni, Dhia, Lena, Novi, Kak Vivi, Amin, Agusmanto, Bang Zul, Bang Hindra dan Bang Ronal) yang telah memberikan bantuan moril dan motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Sulastri dan ayahanda Junaidi serta adikadik, Irmayati, A.Md, Rizky Ayu Lestari, Fajar Fathurrahman dan Nabila Azzuhra juga Mas Sentot Budi Santoso, SP yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendoakan dan memberikan semangat kepada penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih. Medan, Desember 2012 Penulis, Rina Widyasari v
RIWAYAT HIDUP Rina Widyasari dilahirkan di Medan pada tanggal 18 Juli 1988 dari pasangan Bapak Junaidi & Ibu Sulastri. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar Negeri 060927 Medan tahun 2000, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 2 Medan tahun 2003, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 2 Medan tahun 2006. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu (S-1) dan lulus tahun 2010. Pada tahun 2011, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika. Sejak April 2011, penulis dipercaya sebagai asisten dosen di jurusan matematika program studi D3 Statistika sampai sekarang. Kemudian pada Desember 2011 - Juli 2012, penulis dipercayakan sebagai asisten dosen Dr. Sutarman, M.Sc mata kuliah Biostatistika Magister Kesehatan Masyarakat STIKes Helvetia. Kemudian, Februari 2012, penulis menjadi dosen tamu di Akademi Analis Kesehatan Yayasan Dr. Rusdi Medan sampai sekarang. vi
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI i ii iii iv vi vii BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 1.5 Metode Penelitian 4 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB 3 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN RANTAI MARKOV 8 3.1 Distribusi Bernoulli 8 3.2 Distribusi Binomial 8 3.3 Distribusi Geometri 9 3.4 Distribusi Binomial Negatif 10 3.5 Rantai Markov 11 3.5.1 Proses Markov 11 3.5.2 Matriks peluang transisi suatu rantai Markov 14 3.6 Rantai Markov Khusus 15 vii
3.6.1 Rantai Markov dua state 15 3.6.2 Rantai Markov berkaitan dengan peubah acak yang terdistribusi identik dan independen 20 3.6.3 Rantai Markov pada percobaan muncul sukses 21 3.7 Distribusi Geometri yang Berkaitan dengan Rantai Markov 22 3.7.1 Definisi 23 BAB 4 DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF 24 4.1 Distribusi Markov-Binomial 24 4.2 Distribusi Markov-Binomial Negatif 27 4.2.1 Fungsi pembangkit momen distribusi Markov-binomial negatif 31 4.2.2 Model distribusi Markov-binomial negatif dalam quality control 33 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 35 5.1 Kesimpulan 35 5.2 Saran 36 DAFTAR PUSTAKA 37 viii