Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 005 Nomor Soal: -30. Garis 5y 60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran L dibuat sedemikian, sehingga menyinggung sumbu X, sumbu Y, dan garis tersebut. Tentukanlah luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga. A. 34 B. 30 C. 6 D. 30 4 E. 30 4 Solusi: [E] Y Menurut Pythagoras: AB Setengah keliling OAB adalah s y y 8 7 0 di titik (3,) dengan sumbu X. A.,0 B.,0 C. 3,0 D.,0 E.,0 Solusi: [A] y y 36 8 6 7 36 6 y 6 4 45 Pusat lingkaran m 5 6 3 6, 4 m 4 3 6 (5 B(0, ) 3) 5 Luas OAB adalah L OAB 5 30 L 30 Jari-jari lingkaran dalam adalah r s 5 O A(5, 0) Luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga = luas segitiga luas lingaran 5 π() 30 4π. Tentukan titik potong persamaan garis singgung pada lingkaran Persamaan garis singgungnya adalah y 3 6, 4 m y 5y 60 3, m X Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 005
y 0 0 Koordinat titik potongnya adalah,0. 3. Jarak terdekat antara lingkaran-lingkaran + y + 6 y 5 = 0 dan + y 0 + 0y + 4 = 0 adalah... A. 5 B. 4 C. 3 D. E. Solusi: [D] + y + 6 y 5 = 0 ( + 3) + y = 5 + y 0 + 0y + 4 = 0 5 + y + 5 = Jarak kedua pusat lingkaran adalah 3 5 + + 5 = 0. Kurangkan dua jari-jari diperoleh 0 8 = 4. Persamaan lingkaran yang menyingung garis y = 0, = 0, dan 5y + 8 = 0 adalah... A. 4 + y 4y + 4 = 0 D. + y 4y + 6 = 0 B. + y = E. + y = C. + y y + = 0 Solusi: [C] Y 0 O X Garis 0y + = 40 memotong sumbu X dan sumbu Y di (,0) dan (0,0). Panjang sisi miringnya adalah 0 84. s 0 35. Setengah keliling segitiga adalah Luas segitiga adalah L 0 0. L 0 Jari-jari lingkaran dalamnya adalah r 6. s 35 Sehingga pusat lingkaran adalah (6,6). Jadi, persamaan lingkarannya adalah ( 6) + (y 6) = 36, yang disederhanakan menjadi + y y + 36 = 0 5. Persamaan lingkaran melalui titik-titik, dinyatakan sebagai y a by c, 4,, dan, 0. Tentukan nilai dari abc. Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 005
A..04 B. 5 C. 56 D. 8 E. 64 Solusi: [A], a b c 0 a b c 8. () 4, 4 a 4 b c 0 4a b c 0. (), a b c 0 a b c 8. (3) Persamaan () persamaan () menghasilkan 6a a Persamaan () persamaan (3) menghasilkan a 4b a 4b b a, b c 8 c 8 Jadi, nilai dari abc 8 3.04 6. Diberikan dua buah lingkaran. Lingkaran I: y Lingkaran II: 3 y 6 Persamaan tali busur dari persekutuan dua lingkaran adalah a by c. Tentukan ab c. A. 6 B. C. 4 D. E. 0 Solusi: [C] Titik-titik pada kedua lingkaran harus memenuhi suatu persamaan. Pengurangan kedua persamaan memberikan: 6 y y y 4y 46 8 6y = 4 3y = Persamaan tali busurnya adalah 4 3y =. Karena a = 4, b = 3, dan c =, maka a b c 7. Carilah persamaan lingkaran yang pusatnya di 3, 5 5y 4 0 adalah 3 Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 005 4 3 4 dan menyinggung garis y a by c 0. Nilai dari abc... A. 6 B. C. 5 D. 5 E. 65 Solusi: [D] Jarak titik 3, 5 ke garis 5y 4 0 adalah jari-jari lingkaran(r): r 3 5 5 5 4 65 6 65 5 3 Persamaan lingkaran yang diminta adalah r (3,5) 5y 4 0
a y b r 3 y 5 5 6 y y 0y 5 5 6 0y 0 Karenanya a 6, b 0,dan c, sehingga a b c 6 0 5. 8. Persamaan lingkaran yang menyinggung garis 3 y 0 di titik (, ) dan melalui titik (3, 5) adalah y ay by c 0. Nilai dari abc adalah. A. 3 B. C. 34 D. 4 E. 4 Solusi: [A] Lingkaran menyinggung garis 3 y 0 di titik (,) dan melalui titik (3,5), sehingga 3 a 5 b a b 6a a 50b b a a b b 8a 8b 3 0 a b 4 0 b 4 a. () (,) Gradien garis 3 y 0 adalah m 3. Gradien garis yang melalui titik (a,b) dan (,) adalah b b m a a m m b 3 a 3b 3 a. () Dari persamaan () dan () kita memperoleh: 3(4 a ) 3 a 3a 3 a 4a 8 a a b 4 a 4 Pusat lingkaran adalah (, ). 3 0 Jari-jari lingkaran adalah r 0 3 0 Persamaan lingkaran yang diminta adalah r r (a,b) (3,5) 3 y 0 4 Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 005
a y b r y 0 4 4 y y 4y 4 0 4y 4y 0 Karenanya a 4, b 4,dan c abc 4 4 3., sehingga. Tentukan jarak pusat dari kedua lingkaran kemudian hitung rasio luasnya L 3 3y 4y 7 0 dan L y 0 0y 5 0. A. : B. : 3 C. : 6 D. : 8 E. : Solusi: [E] L 3 3y 4y 7 0 4 7 y 3 3 y L L 4 6 L 3 0 7 7 3 3 3 5 Pusat lingkaran L adalah L y 0 0y 5 0 L 4 5 y 5 5 5 5 5 y 5 5 5 0, dan jari-jarinya adalah 3 r L Pusat lingkaran L adalah 5,5 dan jari-jarinya adalah r 5 5 Jarak pusat lingkaran L ke lingkaran L adalah L L 5 0 5 5 3 Luas lingkaran L : Luas lingkaran 8 54 54 3 L π : π5 5 5 3 5 5 : 5 : 3 30. Persamaan garis singgung lingkaran y 4 6y 0 di titik (5,) adalah... A. 3 4y 0 C. 4 3y 3 0 E. 3 4y 0 B. 3 4y 8 0 D. 3 4y 0 Solusi : [A] 5 Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 005
Jelaslah bahwa titik (5,) terletak pada lingkaran y 4 6y 0, karena: 5 45 6 0 adalah pernyataan yang bernilai benar. Persamaan garis singgungnya pada lingkaran y a by c 0 di titik, y adalah y y a b y y c 0 5 3 y 0 5 y 5 y 0 3y 3 0 3 4y 0, Solusi : [A] Persamaan lingkaran dengan titik pusat (5,) adalah 5 y 0 0 5 y y y 0 0 y 6 0 Persamaan garis singgung melalui titik (5, ) pada lingkaran pertama adalah: y 4 6y y 0 y 6 6 8y 38 0 3 4y 0 6 Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 005