LIMIT FUNGSI Standar kompetensi : Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Tujuan Pembelajaran : Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dengan cerdas Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit. Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi. Bekerjasama dan saling peduli dalam mengerjakan soal limit secara berkelompok. Mengerjakan ulangan fungsi limit dengan jujur dan mandiri.
PETA KONSEP LIMIT FUNGSI LIMIT FUNGSI ALJABAR TEOREMA LIMIT SUBSTITUSI LANGSUNG BENTUK TERTENTU BENTUK TAK TENTU f x lim x a g x = 0 0 f x lim x g x = lim*f x x g x + = Faktorisasi Rasionalisasi bentuk aljabar Membagi dengan pangkat tertinggi f x dan g x Mengalikan dengan dalam bentuk sekawan 3
Pengantar Dalam kehidupan sehari-hari ada beberapa contoh kegiatan yang perhitungan menggunakan konsep limit fungsi diantaranya :. Kartu kredit yang digunakan orang dalam memenuhi kebutuhan sehari-hari.. Bola basket yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu kemudian memantul hingga berhenti (Panjang lintasan bola basket). A. Limit Fungsi Aljabar. Pengertian Limit Fungsi Aljabar adalah nilai pendekatan fungsi ketika nilai peubahnya mendekati suatu nilai. Notasi pendekatan / mendekati dalam istilah limit dinyatakan dengan arah panah ( ). Nilai peubah (x) mendekati nilai a ditulis : berikut :. Secara utuh, limit fungsi Aljabar ditulis sebagai lim f(x) = L x a Catatan : Nilai a dapat berupa :, 0, bilangan dan Nilai pendekatan ke dapat dipandang dari dua arah yaitu : a. Mendekati dari arah kiri ditulis : b. Mendekati dari arah kanan ditulis : Agar lebih jelas dalam menentukan limit fungsi aljabar maka dapat ditentukan secara numerik dan grafik. Contoh : lim (x + ). Tentukan nilai secara numerik dan grafik. x 4
a. Secara numerik Tabel : ( ) = +,,,,,,0,,,, ( ),,,,,,0,,,, b. Secara grafik f(x) f(x) = x + f(x). Tentukan nilai lim secara numerik Tabel : ( ) = + 0, 0, 0, 0, 0,,0,,,, ( ). Menentukan Limit Fungsi Aljabar a. Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk lim x a f(x) 5
Ada beberapa cara yang digunakan untuk mencari nilainya yaitu :. Substitusi Langsung lim f(x) = f(a) x a Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi fungsi berikut ini : a) lim ( + ) lim ( + ) = + = + = b) lim + c) lim ( ) f(x). Bentuk x a = 0 g(x) 0 Apabila bentuk limit nilainya maka penyelesaiannya ada cara yaitu : 6
a) Faktorisasi adalah memfaktorkan fungsi fungsi dalam limit contoh : Hitunglah nilai limit fungsi fungsi berikut ini : ) lim lim = lim = lim ( + ) = + = ( ) ( + ) ) lim + + 0 3) 4) lim + + 7
b) Merasionalkan Pembilang dan Penyebut Bentuk Akar adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan dalam bentuk sekawan. Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi fungsi berikut ini : ) lim + lim + ( ) = lim ( + + ) ( + ) = lim ( + + ) = lim ( + + ) = + + = + = ) lim 8
b. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Berbentuk lim x f(x) Limit fungsi aljabar untuk biasanya ditemukan dalam bentuk : f(x) lim x Apabila kita mensubsitusikan langsung nilai g(x) atau lim x *f(x) g(x)+ pada fungsi ( ) ( ) dan ( ) ( ), maka kita akan memperoleh bentuk dan yang merupakan bentuk bentuk tak tentu. Agar hasilnya menjadi tertentu, kita dapat menggunakan caracara berikut : ) Membagi dengan variabel pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebut. Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi fungsi berikut ini : a) lim + = lim + (dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu ) = lim + = lim + = 0 0 + 0 = 0 = 0 b) lim + + + 9
c) lim d) lim + + + + + + + ) Mengalikan dengan satu (), tetapi dalam bentuk sekawan. Hitunglah nilai limit fungsi fungsi berikut ini : a) lim ( + ) = lim ( + ) ( = lim ( ( + ) ( + ) + + ) = lim ( + ) ) 0
= lim + + ( ) 0 = + 0 + 0 = 0 + = 0 b) lim ( + + + ) Berdasarkan cara mengalikan dengan dalam bentuk sekawan, maka dapat dibuktikan bahwa : lim x ( ax + bx + c ax + px + q) = b p a
Contoh : Dengan memakai rumus di atas, hitunglah nilai limit fungsi fungsi berikut ini : a) lim ( + + + ) lim ( + + + ) = = ( ) = = = b) lim (( ) + ) c) lim ( ) B. Teorema Limit Selain cara-cara diatas, ada cara lain dalam menyelesaikan konsep limit yaitu dengan menggunakan Teorema Limit. Untuk setiap konstanta dan, jika dan merupakan fungsi fungsi yang mempunyai limit untuk berikut ini : maka berlaku teorema limit
TEOREMA LIMIT. lim x a k = k. lim x a x = a 3. lim x a *f(x) ± g(x)+ = lim x a f(x) ± lim x a g(x) 4. lim x a k f(x) = k lim x a f(x) 5. lim x a *f(x) g(x)+ = (lim x a f(x))(lim x a g(x)) 6. lim x a f(x) g(x) = lim x a f(x) lim x a g(x) 7. lim x a *f(x)+ n = *lim x a f(x)+ n n 8. lim x a f(x) genap. n = lim x a f(x), dengan lim x a f(x) 0 untuk n Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan teorema limit. ) lim ( ) lim ( ) = lim lim (teorema 3) = = = (teorema dan ) ) lim 3) lim ( + ) 4) lim + 3
Latihan Soal A. Pilihan Ganda lim x 4x. Nilai =. x 0 3x a. 4 c. 3 e. 3 4 b. 3 4 d. 3 x 8. Nilai lim = x x a. 8 c. e. 8 b. 4 d. 4 lim 3x 3. Nilai 8x 3... x 3 x 3 a. 6 c. 0 e. 9 b. 7 d. 7 4. Nilai dari x x 5 lim = x3 x 3 a. 8 c. 0 e. 8 b. d. lim 8x 4x 4 5. Nilai =. x x 4 a. 9 c. 0 e. 0 b. 7 d. 7 6. Nilai a. 5 b. 7 lim x 3 x x 3 =. 5x 3 c. 0 e. d. 7 5 4
lim 6 x 7. Nilai =. x 3 x 9x 9 a. c. 9 e. b. 3 d. 3 x 9 8. Nilai lim 3 = x x 5x 6 a. 6 c. 0 e. 6 b. 3 d. 3 x 8x 9. Nilai lim = x x 4 a. 4 c. 0 e. 4 b. d. 0. Nilai dari Limit x5 x 3x 35 x 5x =... a. 0 c. 3 5 e. 5 5 b. 5 d. 4 5 3x 4x 8. Nilai lim 4 = x x 3x 4 a. 4 c. e. 4 b. d.. Nilai 4x x lim = x 3x a. 4 3 c. 3 5 e. 0 b. 3 4 d. 5
x x 3. Nilai lim 3 = x x 6x a. c. 0 e. b. 3 d. 3 3 4. Nilai x x 5 lim = x 3 4x x a. c. 4 e. b. d. 4 3 5. Hasil dari lim x x x =.... a. c. 0 e. b. d. 6. Lim x 4 a. 3 3 3x x =... 4x 5 b. 4 d. 3 3 4 c. e. 0 0x 7 7. Nilai Lim x 4x 7x 6 =.... a. 5 c. e. 5 b. 4 d. 4 8. Nilai dari Limit x 3 4x 3x 3 (x ) =... a. c. e. b. 4 d. 9. Nilai lim x( x ) x = x a. c. e. 6
b. d. 0 0. Nilai lim x x x 3x = x a. 6 c. 3 e. b. 4 d.. Nilai dari Limit 6x x 7 6x 5x =.... x a. 6 c. 0 e. 3 6 b. 6 d. 6 6 Limit. Nilai 5x 9x 6 5x 3=. x ~ 39 9 a. c. e. 0 0 39 b. d. 0 0 3. Nilai dari Lim 3x 5x 3x 3 = x 5 5 a. 5 3 c. 3 e. 3 3 6 5 5 b. 3 d. 3 4 4. Nilai lim x 4x 3 x = x a. 6 c. 0 e. 6 b. d. 5. Nilai lim (5x ) 5x 5x 7 = x a. 3 c. e. 3 b. 3 d. 7
B. Essay. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a. lim + b. lim ( + ). Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a. lim + + b. lim ( ) c. lim d. lim e. lim ( ) 0 + 0 ( ) + + 3. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a. lim b. lim + c. lim + d. lim + 4. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a. lim + + 8
b. lim c. lim + + + + ( + ) + + d. lim + + e. lim + + 5. Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a. lim ( + + ) b. lim ( + ) + c. lim ( ( + )( + ) ( + )( + )) d. lim (( + ) + ) e. lim ( + ( + )) 9
Glosarium Bentuk Sekawan Bentuk tak tentu Pasangan bilangan atau bentuk aljabar yang memuat bentuk akar yang hasil kalinya bilangan rasional atau bentuk aljabar yang tidak memuat bentuk akar Contoh : ( + ) sekawan dengan ( ) Bentuk bentuk yang nilainya tidak tepat. Bentuk tak tentu diantaranya, dan 0,. Limit Kata kata batas, mendekati, hampir, sedikit lagi dan sebagainya dapat disamakan dengan pengertian limit dalam matematika. Limit Fungsi Limit fungsi ( ) = untuk mendekati ( ) ditulis lim ( ) = pengertiannya jika dekat dengan tetapi tidak sama dengan maka harga fungsi ( ) mendekati. Daftar Pustaka Suwah Sembiring dkk, 0, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung. Sukino, 004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Sartono Wirodikromo,004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Enung S dkk, 009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA, Erlangga. Rignan Wargiyanto dkk, 008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA Semester, Erlangga. 0