MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 1 / 25

BAB 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 1 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 2 / 25

BAB 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 1 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal 2 10.2 Titik Stasioner HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 2 / 25

BAB 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 1 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal 2 10.2 Titik Stasioner 3 10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 2 / 25

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x) f(c) untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal ini disebut sebagai titik maksimum lokal. Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 3 / 25

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 4 / 25

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah puncak di x = c. Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah lembah di x = c. Jika f(c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka tentunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar, nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 5 / 25

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Contoh 1. Misalkan f : R R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai { x + 2, x < 1, f(x) = x, x 1. Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di 1, namun f( 1) = 1 bukan merupakan nilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0, namun f(0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 6 / 25

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f (c) = 0. Bukti. Menurut definisi turunan, f(x) f(c) f (c) x c untuk x c. Misalkan f (c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga f(x) f(c) > 0 (1) x c untuk x (c δ, c + δ), x c. Akibatnya, jika x (c, c + δ), maka f(x) f(c) > 0 atau f(x) > f(c), dan jika x (c δ, c), maka f(x) f(c) < 0 atau f(x) < f(c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c. Hal serupa terjadi ketika f (c) < 0. Jadi, jika f (c) 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 7 / 25

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f (c) = 0, belum tentu f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. SOAL 1 Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada ( 2, 2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi f(1) bukan merupakan nilai maksimum f pada ( 2, 2). 2 Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 8 / 25

10.2 Titik Stasioner Titik c dengan f (c) = 0 disebut titik stasioner f. Sebagaimana telah dicatat sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum lokal. Sebagai contoh, jika f(x) = x 3, maka f (x) = 3x 2, sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f. (Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f, yaitu titik terjadinya perubahan kecekungan grafik fungsi f.) HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 9 / 25

10.2 Titik Stasioner Gambar 10.2 Grafik fungsi f(x) = x 3 HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 10 / 25

10.2 Titik Stasioner Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi { x f(x) = 2 sin 1, x 0, x 0, x = 0 mempunyai turunan di 0, yaitu f (0) = 0, tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi. Fungsi yang lebih ekstrim dapat ditemukan di literatur, anda mungkin tertarik mencarinya. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 11 / 25

10.2 Titik Stasioner Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Jika f(a) = f(b), maka f (c) = 0 untuk suatu c (a, b). Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurut sifat kekontinuan f mencapai nilai maksimum M di suatu c 1 [a, b] dan mencapai nilai minimum m di suatu c 2 [a, b]. Misalkan c 1 dan c 2 adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena f(a) = f(b), maka m = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f (c) = 0 untuk setiap c (a, b). Jika c 1 bukan titik ujung [a, b], maka c 1 (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c 1. Menurut Teorema 2, f (c 1 ) = 0. Hal serupa terjadi bila c 2 bukan titik ujung [a, b]. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 12 / 25

10.2 Titik Stasioner Gambar 10.3 Teorema Rolle menjamin adanya garis singgung dengan gradien 0. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 13 / 25

10.2 Titik Stasioner Gambar 10.4 Michel Rolle (1652-1719) adalah adalah matematikawan Perancis yang terkenal dengan Teorema Rolle, yang diperlukan dalam pembuktian Teorema Nilai Rata-rata dan uraian deret Taylor. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 14 / 25

10.2 Titik Stasioner SOAL 1 Diketahui f(x) = x x, x R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner. Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0. 2 Beri contoh sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan f(a) = f(b), namun tidak ada c (a, b) dengan f (c) = 0. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 15 / 25

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Gambar 10.5 Brook Taylor (1685-1731) adalah matematikawan Inggris yang terkenal dengan Teorema Taylor (untuk fungsi yang mempunyai turunan ke-k) dan deret Taylor untuk fungsi yang dapat diturunkan tak terhingga kali. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 16 / 25

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka f (c) = f(b) f(a) b a untuk suatu c (a, b). HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 17 / 25

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Catatan. Nilai f(b) f(a) disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. b a Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik (c, f(c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Secara fisis, jika y = f(t) menyatakan posisi suatu partikel yang bergerak (sepanjang garis lurus) pada saat t, maka f (t) menyatakan kecepatan sesaat pada saat t dan f(b) f(a) menyatakan kecepatan b a rata-rata partikel tersebut pada interval waktu [a, b]. Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa partikel tersebut akan mencapai kecepatan rata-ratanya pada suatu saat c (a, b). HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 18 / 25

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai F (x) = f(x) hx dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni f(b) f(a) h =. b a Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F (c) = 0 untuk suatu c (a, b). Namun sehingga teorema pun terbukti. F (c) = f (c) h = 0, HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 19 / 25

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Jika f mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (c, f(c)) adalah y = f(c) + (x c)f (c). Untuk x dekat c, nilai f(c) + (x c)f (c) merupakan hampiran yang baik untuk f(x). Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini? HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 20 / 25

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Lebih jauh, misalkan f mempunyai turunan ke-(n 1) di c. Maka polinom P (x) = f(c)+(x c)f (c)+ (x c)2 f (x c)n 1 (c)+ + f (n 1) (c) 2! (n 1)! mempunyai turunan ke-k, k = 0, 1,..., n 1, yang sama dengan turunan ke-k dari f. Karena itu masuk akal untuk menghampiri f(x) dengan P (x) untuk x di sekitar c. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini. Teorema Taylor (pada halaman berikut) menjawab pertanyaan tersebut. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 21 / 25

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunan ke-n pada interval terbuka I yang memuat titik c. Maka, untuk setiap x I, berlaku f(x) = f(c) + (x c)f (x c)2 (c) + f (c) + 2! (x c)n 1 + f (n 1) (c) + E n (n 1)! dengan E n = 1 n! (x c)n f (n) (ξ) untuk suatu ξ di antara x dan c. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 22 / 25

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Bukti. Untuk t di antara x dan c, definisikan F (t) = f(x) f(t) (x t)f (t) Perhatikan bahwa Sekarang definisikan F (t) = G(t) = F (t) (x t)n 1 f (n) (t). (n 1)! ( x t ) nf (c). x c (x t)n 1 f (n 1) (t). (n 1)! Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x dan c sedemikian sehingga G (ξ) = 0. HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 23 / 25

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor Tetapi G (ξ) = F n(x ξ)n 1 (ξ) + F (c) (x c) n (x ξ)n 1 = f (n) n(x ξ)n 1 (ξ) + F (c). (n 1)! (x c) n Dari sini kita peroleh dan teorema pun terbukti. F (c) = (x c)n f (n) (ξ) n! HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 24 / 25

SOAL 10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor 1 Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikan jika f (x) = 0 untuk setiap x (a, b), maka f konstan pada [a, b]. 2 Misalkan f : R R mempunyai turunan di setiap titik dan f (x) = x 2 untuk setiap x R. Buktikan bahwa f(x) = 1 3 x3 + C, dengan C suatu konstanta. 3 Diketahui f : R R memenuhi ketaksamaan f(x) f(y) C x y p, x, y R, untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan. 4 Misalkan c R dan n N. Buktikan dengan menggunakan Teorema Taylor bahwa (1 + c) n = 1 + nc + (Petunjuk. Tinjau f(x) = x n.) n(n 1) c 2 + + c n. 2! HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 13 March 2017 25 / 25