#12 SIMULASI MONTE CARLO 12.1. Konsep Simulasi Metode evaluasi secara analitis sangat dimungkinkan untuk sistem dengan konfigurasi yang sederhana. Untuk sistem yang kompleks, Bridges [1974] menyarankan untuk menggunakan teknik simulasi yang dikenal dengan simulasi Monte Carlo yang terdiri dari sebuah model matematis yang di set di dalam program komputer dan dengan menggunakan random sampling dari distribusi kegagalan dan distribusi reparasi dari masing-masing komponen yang ada di dalam sistem, reliability dan availability dari sistem dapat diprediksi. Random sampling merupakan hasil dari random number generator. Random sampling ini kemudian dimanfaatkan untuk melakukan penilaian reliability dan availability atau parameter lain yang dikehendaki. Keuntungan dan kekurangan teknik simulasi bila dibandingkan dengan teknik analitis adalah sebagai berikut. Waktu yang diperlukan untuk solusi secara analitis umumnya relatif lebih singkat sedangkan untuk simulasi relatif lebih lama. Hal ini tidak menjadi masalah untuk simulasi yang dilakukan dengan komputer yang mempunyai kecepatan dan memori yang lebih besar. Pemodelan secara analitis akan selalu memberikan hasil numeric yang sama untuk sistem, model, dan satu set data yang sama, sedangkan hasil dari simulasi tergantung dari random number generator yang dipakai dan jumlah simulasi yang dilakukan. Hasil dari pendekatan secara analitis yang konsisten membangkitkan keyakinan bagi user tetapi mungkin juga menjadi tidak realistik. Model yang dipergunakan untuk pendekatan secara analitis biasanya merupakan penyederhanaan dari sebuah sistem, dan terkadang terlalu disederhanakan sehingga menjadi tidak realistik. Sedangkan teknik simulasi dapat melibatkan dan menyimulasikan semua karakteristik sistem yang diketahui. Teknik simulasi dapat memberikan output parameter dengan range yang sangat luas termasuk semua momen dan probability density function yang lengkap, sedangkan output dari metode analitis biasanya terbatas hanya pada expected value. Hal. 1 / 6
12.2. Random Number Generator Random number merupakan hal terpenting untuk semua teknik simulasi. Sebuah random number yang uniform mempunyai nilai yang terdistribusi secara uniform pada interval (0,1), yaitu variable dapat berniali sembarang antara 0 dan 1 dengan kemungkinan yang sama. Random number dapat diciptakan dengan sebuah computer digital dengan menggunakan algotima deterministik yang dikenal dengan random number generator. Karena random number dihasilkan mengikuti algoritma matematis tertentu, maka random number tersebut tidaklah benar-benar berupa random number dan oleh karena itu disebut dengan pseudo-random number. Random number generator harus memnuhi persyaratan minimal untuk dapat dipakai untuk menghasilkan random number. Berikut ini beberapa karakteristik yang harus dimiliki oleh random number generator. Random number yang dihasilkan harus terdistribusi secara uniform dan acak. Harus memiliki periode yang panjang sebelum urutan random number yang dihasilkan terulang kembali. Harus memiliki kemampuan reproduksi sehingga sequence yang sama dapat diulangi. Harus memiliki efisiensi dalam metode perhitungannya. Algoritma populer yang sering dipakai untuk menghasilkan random number adalah congruential generator dimana random number yang baru Xi+1 dalam satu urutan dihitung dari random number yang terdahulu Xi dengan menggunakan persamaan: X i+1 = AX i + C mod B (12.1) dengan: A = pengali (multiplier). B = modulus. C = pertambahan. Hal. 2 / 6
12.3. Konversi Uniform Random Number Serangkaian random number yang dihasilkan dari random number generator merupakan basis untuk data input yang diperlukan untuk simulasi Monte Carlo. Random number yang uniform terkadang dapat langsung dipakai untuk beberpa jenis simulasi. Untuk kasus simulasi evaluasi relibility, random number ini harus dikonversi ke distribusi non-uniform yang lain sebelum proses simulasi dapat dilakukan. Metode transformasi invers (inverse transformation method) merupakan salah satu metode yang dapat dipakai untuk mengkonversi uniform random number ke distribusi yang lain. Sedangkan distribusi dari fungsi invers yang diperoleh dari pengkonversian suatu distribusi tertentu, dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan T menyatakan variabel random dengan cumulative distribution function F T T, yang nilainya terus naik untuk semua t, sedemikian rupa sehingga F T y secara unik ditentukan oleh semua nilai y ε 0,1, dan lebih jauh Y = F T T. Maka cumulative distribution function F Y y dari Y dapat diperoleh dengan: F Y y = P Y y = P F T T y F Y y = P T F T y = F T F T y = y untuk 0 < y < 1 (12.1) Dari sini terlihat bahwa Y = F T T memiliki distribusi uniform antara (0,1). Ini menyatakan bahwa jika variabel Y memiliki distribusi uniform antara (0,1) maka T = F T y memiliki distribusi yang sama dengan fungsi distribusi F T T. 12.4. Algoritma Simulasi Untuk memberi ilustrasi bagaiman simulasi monte carlo dipakai utnuk menganalisa dan mendapatkan indeks keandalan sistem, berikut ini akan diberikan sebuah contoh sederhana tentang perbandingan bagaimana mengevaluasi indeks keandalan sebuah komponen dengan metode analitis dan simulasi. Hal. 3 / 6
Berikut ini beberapa buah contoh permasalahan simulasi keandalan sistem, berikut algoritma untuk menyimulasikan system yang terdiri dari dua komponen dengan konfigurasi seri, paralel dan standby. Sedangkan untuk sistem yang lebih kompleks, algoritma simulasi dapat dikembangkan dari algoritma yang akan dibahas berikut ini. 12.4.1. Algoritma Konfigurasi Seri Untuk Sistem Non-Repairable System Langkah3: Generate dua buah random number, yang pertama untuk komponen 1 dan yang kedua unutk komponen kedua. Konversi random number menjadi variabel random waktu, T, untuk masing-masing komponen. Jika salah satu waktu ini kurang dari waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu misi, hitung event ini sebagai event kegagalan. Sebaliknya, jika kedua waktu ini sama atau lebih besar dari waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu misi, hitung event ini sebagai event sukses. Ulangi lagkah 1 3, jumlahkan semua kegagalan dan kesuksesan, dan lanjutkan untuk jumlah simulasi yang dikehendaki. Evaluasi reliability sistem sebagai jumlah kesuksesan dibagi dengan jumlah simulasi. 12.4.2. Algoritma Konfigurasi Paralel Untuk Sistem Non-Repairable System Langkah 3: Hal. 4 / 6 Generate dua buah random number, yang pertama untuk komponen 1 dan yang kedua unutk komponen kedua. Konversi random number menjadi variabel random waktu, T, untuk masing-masing komponen. Jika salah satu waktu ini lebih dari waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu misi, hitung event ini sebagai event sukses. Jika kedua waktu ini kurang dari waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu misi, hitung event ini sebagai event kegagalan.
Ulangi lagkah 1 3, jumlahkan semua kegagalan dan kesuksesan, dan lanjutkan untuk jumlah simulasi yang dikehendaki. Evaluasi reliability sistem sebagai jumlah kesuksesan dibagi dengan jumlah simulasi. 12.4.3. Algoritma Konfigurasi Paralel Repairable System Langkah 3: Generate sebuah random number. Konversi random number menjadi variabel random waktu, T, yang merupakan waktu pengoperasian komponen. Generate sebuah random number yang baru. Konversi random number menjadi variabel random waktu, T, yang merupakan waktu yang diperlukan untuk mereparasi komponen. Ulangi langkah 1 4 untuk satu periode yang sama atau lebih besar dari waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu misi. Langkah 6: Ulangi langkah 1 5. Langkah 7: Langkah 8: Bandingkan urutan dari masing-masing komponen. Jika selama misinya tidak terjadi reparasi yang overlap, misi dari sistem dapat dianggap sebagai sukses. Sebaliknya, jika terjaadi reparasi yang overlap, misi dari sistem dapat dianggap gagal. Ulangi langkah 1 7 untuk jumlah simulasi yang diinginkan. 12.4.4. Algoritma Konfigurasi Standby System Hal. 5 / 6 Buat urutan pengoperasian, dalam hal ini time to failure (TTF) dari komponen dipakai sebagai acuan, untuk komponen A. Komponen B akan langsung dioperasikan bila komponen A mengalami kegagalan. Buat urutan kedua yang berhubungan dengan waktu reparasi (TTR time to repair) yang dimulai pad saat komponen A mengalami kegagalan. Masing-masing elemen berikutnya dari urutan ini dimulai jika komponen yang sedang beroperasi mengalami kegagalan.
Langkah 3: Jika waktu reparasi TTR dari sebuah komponen lebih besar dari waktu pengoperasian TTF untuk komponen yang sedang disimulasikan, maaka sistem akan mengalami kegagalan. Ulangi lagkah 1 3 sampai waktu simulasi total sama dengan atau lebih besar dari waktu yang diperlukan untuk satu misi. Ulangi langkah 1 4 untuk jumlah simulasi yang diinginkan. Untuk sistem yang kompleks algoritma di atas dapat dipakai sebagai referensi untuk taylor-made program. 12.5. Referensi dan Bibliografi Priyanta. Dwi, [2000], Keandalan dan Perawatan, Institut Teknologi Sepuluh Nopemeber, Surabaya Billinton, R. and Ronald N. Allan, [1992], Reliability Evaluation of Engineering Systems: Concepts and Techniques, 2nd edition, Plenum Press, New York and London Bridgees, D.C., [1974], The Application of Reliability to the Design of Ships Machinery, Transaction IMarE, Vol. 86. Henley, E.J. and Hiromitsu Kumamoto, [1992], Probabilistic Risk Assessment: reliability Engineering, Design, and Analysis, IEEE Press, New York Hoyland, Arnljot and Marvin Rausand, [1994], System Reliability Theory Models And Statistical Methods, John Willey & Sons, Inc. Press, W. H., Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, and Brian P. Flannery, [1992], Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd edition, Cambridge University Press, New York. Hal. 6 / 6