PembangkitVariabelRandom

Transkripsi

1 PembangkitVariabelandom Slide: Tri Harsono 1

2 1. Pembangkitvariabelrandom diskrit variabel random: adalah nilai suatu variabel random yg mempunyai distribusitertentuutkmengambilvariabelrandom dari beberapa distribusi yg berbeda; fungsinya terlebih dahulu melalui distribusi CDF dari suatu variabel random. Pengambilan variabel random melalui CDF ini dinamakan inverse transformation method (metode ransformasi invers/balik)

3 1. Pembangkitvariabelrandom diskrit Metodeinimembangkitkanvariabelrandom dari: data distribusi yg aktual terjadi, atau melalui berbagai teori distribusi probabilitas. Untuk fungsi distribusi diskrit f(), prosedur membangkitkan variabel random dari f(): 3

4 Prosedurmembangkitkanvariabel random darif() 1. Plot f(), caricdf F() darivariabelrandom X,. Generate, bil. random idaripng (darikomp.) utk 0<i<1; i1,,.. 3. Tempatkanbil. random tsbpadasumbuf() dan memotong fungsi diskrit melalui garis horisontal, 4. Garis horisontal dari sumbu F() dapat memotong fungsi f(), 5. Turunkan garis dari titik potong pada f() thd sumbu shgdiperolehnilai adalahvariabel random dari F(). 4

5 Contoh Suatu variabel random dinyatakan dgn f() sbb: X demand f() P(X) 1/8 1/4 1/ 1/16 1/16 5

6 CDF-nya 16/16 15/16 7/8 F() 3/8 1/ X Gambar1. CDF darif() 6

7 Tabel 1: CDF fungsi demand X demand f()p(x) 1/8 1/4 1/ 1/16 1/16 F() 1/8 3/8 7/8 15/16 16/16 7

8 Pada saat membangkitkan bil. andom dari komputer, bilasalahsatunilairandom adalah1 8/16, makatitikpotongdapatdiperolehdi0 (gambar1). Dgn cara yg sama juga bisa menghasilkan bil.random , maka titik potong dapat diperoleh di X10. Kondisi ini dapat dilakukan terus-menerus menggunakan setiap bil.random yg diambil dr komp. 8

9 Bil.random yg dihasilkan dari komp. disusun dlm suatu tabel simulasi thd tabel distribusi diskrit Tabel Hasil dari kelima bil.random yg dibangkitkan, angka terbaik adalah 0 demand X 0 9

10 Tabel : Tabel simulasi dari tabel distribusi diskrit No.urut Demand F() Tag number Hasil bil.random di bil.random X komp

11 . Pembangkitvariabelrandom kontinu Sbgcontoh, bangkitkanvariabelrandom distribusi kontinu melalui fungsi: f ( ),0 < < 1 0, lainnya 11

12 Kumulatif (CDF) dari fungsi tersebut adalah: ( ) ydy y 0 0 F Sifat dari fungsi kumulatif adalah: Kontinu, Increasing/fungsi naik Gambar 1

13 Gambar : fungsi distribusi kontinu F() F() 1.0 F(b) F(a) 0 Xa Xb

14 BilaF(a) a; F(b) b, dana < < b, maka: F(b) F(a) b a Bila ingin membangkitkan variabel random utk nilai, maka fungsi F() di transformasi sbb: F( ) tidak diketahui dan harus diambil dari bil.randommelalui Pseudo NG (PNG). 14

15 Contoh Misal untuk membangkitkan PNG menggunakan aritmatik NG, dengan a 19; Z ; c 37; m 18 Z 1 (19* ) mod Z (19*1 + 37) mod

16 Z 3 (19* ) mod Z 5 (19* ) mod Z 4 (19* ) mod

17 Dengan ke-5 bil.random tsb, dapat dicari nilai -nya ; ; ; ; ; 17

18 Bila nilai 1 sd 5 dicari nilai rata-ratanya: n i i n Dengan demikian: dari generate variabel random untuk fungsi: F( ) Diperoleh * yang optimal yaitu * utk 0 < < 1 18

19 3. variabelrandom distribusi densitas Misal diket. Fungsi densitas: Kita akan lihat pada posisi mana, bilangan random berperan f ( ) a(1 ),0 1 0, untuk lainnya Distributif kumulatif-nya: F( ) a(1 y) dy 0 a( y 1 y 0 a 1 19

20 Mencari nilai a pada fungsi distribusi kumulatif: bahwanilaifungsidensitasf() 1 untuk0 1, Sehingga: 1 ( ) F a 1 Untuk 1 1 a 1 1 a 1 0

21 Untuk a, diperoleh variabel random nya F ± ) ( 1, Dengan menggunakan nilai bil.random pd arithmetic NG sebelumnya: a 19; Z ; c 37; m 18 diperoleh bil.random 1

22 , , , , Sehingga nilai untuk masing-masing bil.random i (1) (1) () (3) (4) (5) () (3) (4) (5) Ingat bahwa nilai berada pada interval positif 0 1 ternyata semua hasil di atas memang positif

23 Tugas Distribusi data ada jenis yaitu: distribusi diskrit dan distribusi kontinu. Sebutkan beserta contohnya, masing-masing jenis distribusi tersebut. Apakahadametodelain untuk membangkitkan bilangan random semu (pseudo random) selain Linear Congruential Method (LCM) dan Multiplicative Method. 3

24 4 Simulasi pada permainan Suatu permainan dapat juga dilakukan dengan menggunakan simulasi. Contoh: simulasi pd permainan pelemparan mata uang simulasi pd permainan pelemparan dadu 4

25 Pelemparan mata uang Sisi mata uang adalah Hhead dan Ttail, Peluang munculnya H dan T sama, yaitu 0.5, Dengan menggunakan random number generator dari distribusi uniform untuk interval (0,1), maka aturan permainan dapat ditentukan, yaitu: Bila maka hasilnya H, Bila 0.5< 1 maka hasilnya T. Misal dilakukan pengambilan 10 kali random number dgn pembangkitan random number menggunakan pseudo NG multiplicative. 5

26 Pelemparan mata uang a 7; Z ; c 0; m 17 Z n +1 ( a n Z n m * Z n ) mod m 6

27 Pelemparan mata uang Z 1 a * Z ) mod m ( 0 7*1357 mod Muncul H Z 3 a * Z ) mod m ( 7*4 mod Muncul T Z ( a * Z 7*3mod ) mod m Muncul H Z 4 4 ( a * Z 7*11mod ) mod m Muncul T 7

28 Pelemparan mata uang Z 5 a * Z ) mod m ( 4 7*9mod Muncul T Z 7 a * Z ) mod m ( 6 7*16mod Muncul T Z 6 6 ( a * Z 7*1mod ) mod m Muncul T Z 8 8 ( a * Z 7*10mod ) mod m Muncul H 8

29 Pelemparan mata uang Z Z a* Z ) mod m ( 8 7* mod ( a * Z ) mod m 7*3mod Muncul H Muncul H 9

30 Pelemparan mata uang Kesimpulan Untuk pembangkitan random number sebanyak 10 kali gambar H muncul 5 kali gambar T muncul 5 kali Tidak menutup kemungkinan untuk pembangkitan yang lebih dari 10 kali, hasil random number gambar H lebih besar dari gambar T atau sebaliknya. 30

31 Pelemparan dadu Ada 6 mata dadu, Tentukan pembagian distribusi dari output pelemparan dadu sehingga dapat digunakan untuk menentukan mata dadu menggunakan random number, Bila dilakukan 10 kali pelemparan dadu (atau 10 kali penarikan random number), bagaimana hasilnya? 31

32 Pelemparan dadu Jawab: Pelemparan dadu dengan 6 mata dadu, mempunyai probabilitasdan distribusisebagaimana tabel di bawah ini: X f() P() 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 F() 1/6 1/3 1/ /3 5/6 1 CDF 3

33 Pelemparandadu Dari distribusi tersebut dapat dinyatakan relasi mata dadu dgn distribusinya: 1 0 F() 1/6, 1/6 F() 1/3, 3 1/3 F() 1/, 4 1/ F() /3, 5 /3 F() 5/6, 6 5/6 F() 1. F() dicari dari pembangkitan random numberf(). 1 0 F() , F() , F() , F() , F() , F() 1. 33

34 Pelemparan dadu Misal: untuk pembangkitan random number digunakan dari hasil pembangkitan random number pada pelemparan mata uang, Berarti kita mempunyai 10 random number, Konversi 10 random number tersebut ke dalam mata dadu adalah: 34

35 Pelemparan dadu (mata dadu ), (mata dadu ), (mata dadu 4), (mata dadu 4), (mata dadu 5), (mata dadu 6), (mata dadu 4), (mata dadu 1), (mata dadu ), (mata dadu ), 35

36 Pelemparan dadu Kesimpulan Dari hasil konversi pembangkitan random number ke dalam mata dadu sebanyak 10 kali, mata dadu (angka ) yang banyak muncul, Tidak menutup kemungkinan untuk pembangkitan yang lebih dari 10 kali, maka mata dadu selain (selain angka ) yang lebih banyak muncul. 36

37 Soal 1. Diketahui fungsi densitas distribusi kontinu sbb: f ( ) 5,0 < < 1 0, < 0 Tentukan fungsi distribusi kumlatif Formulasikan pembangkit variabel random-nya 37

38 Soal. Diketahui fungsi densitas distribusi kontinu sbb: f1( ) 1 + a 0,0 1, lainnya Tentukan fungsi distribusi kumlatif dari kedua fungsi tersebut. Hitunglah nilai a dari kedua fungsi densitas tersebut. Simulasikanvariabelrandom untuk mendapatkan nilai f ( ) asin 0,0 π, lainnya 38

39 eference Tri Harsono, Bahanajar modeling and simulation,