ISOMORFISMA PADA GRAF P 4

ISOMORFISMA PADA GRAF P Eka Adhistiasari, I Ktut Budayasa 2 Jurusan Matmatika, Fakultas Martmatika dan Ilmu Pngtahuan Alam, UNESA Kampus Ktintang 6023,Surabaya Email : tias-adhis@yahoocoid, ktutbudayasa@yahoocom 2 ABSTRAK Dibrikan dua buah graf sdrhana dan trhubung, G dan G, dngan drajat minimum δ=3 dan minimal 5 titik Didfinisikan graf lintasan dari graf G dngan k titik, P k (G), adalah graf yang mmpunyai himpunan titik yang brupa himpunan lintasan dari graf G Jika graf G dan G mmnuhi salah satu dari dua kondisi : jika u adalah sbuah titik dari suatu sgitiga di G maka d(u), G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf maka akan dibahas mngnai sbarang isomorfisma dari graf lintasan P yaitu P (G) k P (G ) bisa dibangun olh sbuah isomorfisma(titik) dari G onto G srta hubungan isomorfisma suatu graf trhubung G dngan graf lintasannya atau G P (G) Kata kunci : Isomorfisma, isomorfisma(titik), hubungan isomorfisma IPENDAHULUAN Tori graf prtama kali diprknalkan olh Lonhard Eulr pada tahun 736 dalam mnylsaikan masalah jmbatan Konigsbrg, Rusia Walaupun graf tlah banyak diplajari sjak dulu, namun smakin majunya tknologi komputr, tlah mmbangkitkan minat baru untuk mmplajari graf dan mnjadikannya sbagai salah satu cabang matmatika yang akhir-akhir ini brkmbang psat Diantaranya adalah banyaknya pnmuanpnmuan baru mngnai graf Mulai jnis-jnis graf yang tlah banyak diknal sprti Complt graph, Bipartit, Complt Bipartit, Cycl, Path, Star, Catrpillar Pndfinisian graf lintasan (Path graph) prtama kali pada sbuah jurnal Matmatika yang brjudul Path Graphs olh Brorsma dan Hod, shingga jurnal trsbut sringkali dijadikan acuan dalam pngmbangannya Banyak ahli matmatika mmplajari tntang prluasan konsp trsbut Salah satunya pada jurnal matmatika yang brjudul Isomorphisms of P Graphs yang disusun olh Xuliang Li dari Northwstrn Poly tchnical Univrsity dan Biao Zhao dari Xinjiang Univrsity Brdasarkan jurnal trsbut, skripsi kali ini mmbahas mngnai isomorfisma suatu graf lintasan Tujuan pnulisan skripsi ini adalah untuk mngtahui bahwa suatu isomorfisma graf lintasan P, P(G) k P (G ), bisa dibangun olh suatu isomorfisma titik dari G k G srta hubungan isomorfik antara suatu graf G dngan graf lintasan P -nya Graf lintasan P k (G) dari sbuah graf G adalah graf yang titik-titiknya mrupakan himpunan k, dimana k adalah himpunan sluruh lintasan dari G dngan k titik (k ) Trkait dngan isomorfisma suatu graf, salah satu fungsinya adalah dalam bidang kimia yaitu untuk mngidnifikasi struktur kimia suatu atom Tulisan in mrupakan hasil rangkuman dan kolaborasi dari dfinisi-dfinisi srta torma-torma pada sumbr [], [2], [3], [], dan [5] 2 KAJIAN PUSTAKA 2 GRAF Dfinisi 2 Sbuah graf G brisikan dua himpunan yaitu himpunan brhingga tak kosong V(G) dari obykobyk yang disbut titik dan himpunan brhingga (mungkin kosong) E(G) yang lmn-lmnnya disbut sisi sdmikian hingga stiap lmn dalam E(G) mrupakan pasangan tak brurutan dari titik-titik v di V(G) Dngan kata lain, V(G) disbut himpunan titik G dan himpunan E(G) disbut himpunan sisi G Banyaknya lmn pada V(G) dan E(G) brturut-turut dinyatakan dngan V(G) dan E(G) Dfinisi 22 Misal G graf, k Misal k (G) adalah himpunan smua lintasan di G dngan k titik Didfinisikan graf lintasan dari G dan dinotasikan P k (G) adalah graf yang himpunan titiknya (G) dan himpunan sisi ε k (G)dngan sifat untuk sbarang H,K (G) dngan H= x x 2 x 3 x k dan K= y y 2 y 3 y k trdapat k k

sbuah sisi HK ε k (G) jika dan hanya jika x i =y i+ atau y i = x i+ untuk i k- 22 ISOMORFISMA Dfinisi 22 Dua buah graf G dan H dikatakan isomorfik, bisa ditulis GH jika trdapat fungsi bijktif f : V(G) V(H) sdmikian hingga u, v V(G) jika dan hanya jika f u, f(v) V(H) brhubungan langsung Dfinisi 222 Isomorfisma titik dari G H adalah sbuah fungsi bijktif f : V(G) V(H) sdmikian hingga u, v V(G) brhubungan langsung jika dan hanya jika f u, f(v) V(H) brhubungan langsung Himpunan isomorfisma titik dari G H dinotasikan dngan ( GH, ) Dfinisi 223 Isomorfisma sisi dari G H adalah sbuah fungsi bijktif f : E(G) E(H) sdmikian hingga dua sisi trkait di G jika dan hanya jika pta(imags) dari kdua sisi trsbut juga trkait di H Jlas bahwa isomorfisma sisi dari dua graf adalah sbuah isomorfisma titik dari graf garisnya Himpunan isomorfisma sisi dari G H dinotasikan dngan ( GH, ) Slanjutnya akan disdrhanakan bahwa ( P ( G), P ( G')) ( G, G') dan disbut anggota-anggota isomorfisma P dari G k G 3 PEMBAHASAN Akan dibahas mngnai bbrapa kondisi yang mnunjukkan sbarang isomorfisma dari graf lintasan, yaitu P (G) k P (G ) bisa dibangun olh suatu isomorfisma titik dari G onto G srta hubungan isomorfisma suatu graf G k graf lintasan P -nya Pada pmbahasan brikut ini, graf yang dibahas hanya trbatas pada graf trhubung sdrhana dngan minimal 5 titik dan δ =3 Dfinisi 3 Nigborhood atau prskitaran dari suatu titik u pada graf dinotasikan N(u) adalah suatu himpunan yang didfinisikan sbagai N(u) ={ v V ( G) u v} Dfinisi 32 Dibrikan bilangan bulat tak ngatif d Himpunan dari smua graf dngan drajat minimum d dinotasikan G d Shingga bisa ditulis G d ={G δ(g) d} Dfinisi 33 Fungsi f ( GG, '), didfinisikan sbuah pmtaan f* yaitu f*(tuvw) = f(tu)f(uv)f(vw) untuk suatu lintasan P, tuvw di G dan f* mrupakan pmtaan yang dibangun olh f yang dinotasikan *( G, G') { f * f ( G, G')} Torma 3 Jika G,G G 3 maka, * ( G, G') ( G, G') 2 Fungsi T : * (, ') ( G, G ') G G yang dibrikan olh T(f) = f* mrupakan fungsi satu-satu Misal tuvw adalah sbuah lintasan P di G dan f ( GG, ') maka f(tu), f(uv), f(vw), E G Karna f mngawtkan ktrkaitan dan takktrkaitan, diktahui bahwa f(tu)f(uv)f(vw) mrupakan sbuah lintasan mpat titik di G Dngan kata lain f* mrupakan fungsi dari (G) (G ), shingga jlas bahwa f* adalah fungsi bijktif Karna f* mrupakan fungsi dari (G) (G ) dan dibangun olh fungsi f maka f* ( GG, ') Dngan kata lain diprolh * ( G, G') ( G, G') 2 Misal f, f 2 ( GG, ') dan f f 2 Maka ada sbuah sisi uv sdmikian hingga f (uv) f 2 (uv) Karna G G 3 maka bisa ditmukan suatu lintasan P, misal tuvw sdmikian hingga f *(tuvw) f 2 *(tuvw) Jadi, fungsi T adalah fungsi satu-satu Dfinisi 3 Misal tuvw mrupakan lintasan P Didfinisikan sisi uv adalah sisi tngah atau middl dg dari P dan tuvw = wvut (simtris) Dfinisi 35 S(uv) adalah himpunan dari smua lintasan P dngan sisi tngah brsama uv Sbarang subst dari S(uv) dinamakan doubl star (bintang ganda) pada sisi uv Pmtaan f : ( G) ( G') dinamakan mngawtkan doubl star (doubl star-prsrving) 2

jika himpunan f (S(uv)) adalah sbuah doubl star di G untuk stiap sisi uv dari G Torma 32 MisalG,G G 3 dan f : ( G) ( G') mrupakan pmtaan satu-satu atau fungsi bijktif Fungsi f adalah fungsi yang dibntuk olh isomorfisma sisi dari G k G jika dan hanya jika f f dan adalah isomorfisma P yang mngawtkan doubl star Fungsi f fungsi yang dibangun olh isomorfisma sisi dan f : ( G) ( G'),maka ada sbuah lintasan P, misal tuvw di G dan f (tu)f (uv)f (vw) mrupakan sbuah lintasan P di G Mnurut dfinisi 36, sisi uv mrupakan sisi tngah brsama shingga stiap diambil lintasan P lain di G maka sisi tngahnya ttap uv dan slalu trdapat pta yang lain juga di G, shingga trdapat S(uv) dan doubl star pada uv di G f ( GG, ') dan f(s(uv)) adalah sbuah doubl star dari G dngan kata lain f mrupakan isomorfisma P yang mngawtkan doubl star, karna f f mmiliki sifat yang sama dngan f, maka juga isomorfisma P yang mngawtkan doubl star f Misal f dan adalah isomorfisma P yang mngawtkan doubl star Jadi, untuk stiap sisi uv di G, trdapat sbuah sisi u v di G sdmikian hingga f ( S( uv)) S( u' v') Slain itu, u v scara tunggal ditntukan olh uv karna f fungsi bijktif (trdapat korspondnsi satu-satu) Jika f ( S( uv)) S( u' v') dan G G 3 maka f ( S( u ' v')) S( uv) Dapat disimpulkan bahwa fungsi f mnntukan fungsi yang didfinisikan dngan baik f : E( G) E( G') yang mana f ( S( uv)) S( f( uv)) Tidak sulit untuk mlihat bahwa f adalah fungsi bijktif Akan dibuktikan bahwa f mngawtkan ktrhubungan dan tak-ktrhubungan Faktanya, jika tuv adalah sbuah lintasan P 3 di G, maka ada sbuah lintasan P di S(tu) yang trhubung k suatu lintasan P di S(uv) Karna f adalah suatu isomorfisma P dan f ( S( tu)) S( f ( tu)) bolh dikatakan juga f ( S( uv)) S( f ( uv)), maka trdapat sbuah lintasan P di S( f( tu )) yang trhubung k suatu lintasan P di S( f( uv )) Ini brakibat bahwa f (tu) brhubungan langsung f dngan f (uv) di G Karna mmiliki sifat yang sama sprti f, maka f mngawtkan takktrhubungan Tahap akhir akan dibuktikan bahwa f dibangun olh f Misal tuvw sbuah lintasan P dan misal xtuv S tu Karna f mngawtkan doubl star, diktahui f(xtuv) f ( S( tu)) S( f ( tu)) dan f(xtuv) brhubungan langsung dngan f(tuvw) S( f( uv )) Maka f (tu) f (uv) adalah lintasan P 3 brsama dari f(xtuv) dan f(tuvw) Karna simtri, f (uv)f (vw) adalah lintasan P 3 lain dari f(tuvw) dan karna itu f(tuvw)= f (tu) f (uv) f (vw) Lmma 3 Misal G,G G 3 dan fungsi f mrupakan isomorfisma P dari G k G Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini : Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) 2 G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf maka f mrupakan fungsi yang mngawtkan doubl-star jika dan hanya jika untuk stiap lintasan P 3, tuv, di G, f(x tuv),, f(x r tuv) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama dan f(tuvy ),, f(tuvy s ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama, dimana x i N(t) \{u,v} untuk i r dan y j N v \{u,v} untuk j s Fungsi f mrupakan fungsi yang mngawtkan doubl star, jadi uv E(G), u v E(G ) Jika tuv adalah sbuah lintasan P 3 di G, maka ada sbuah lintasan P, xtuv S(tu), yang trhubung langsung dngan lintasan P di S(uv), misal tuvy Karna f mngawtkan doubl star, f(xtuv) f(s(tu)), maka ada titik-titik x lain yang trkait dngan t atau x i N(t), shingga f(x tuv), f(x 2 tuv),, f(x r tuv) mmpunyai sisi tngah brsama Bgitu juga dngan titik-titik y lain yang trkait dngan v dngan kata lain y j N v, shingga f(tuvy ),f(tuvy 2 ),, f(tuvy s ) juga mmpunyai sisi tngah brsama Misal uv sbarang sisi dari G dan misal tuvw, t uvw adalah dua lintasan P di S(uv) Akan dibdakan dalam kasus yaitu : Kasus : mpat titik t,t,w dan w adalah pasangan titik brbda 3

Dari kondisi ini, diktahui bahwa f(tuvw) dan f(tuvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama dan f(tuvw ) dan f(t uvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama Maka f(tuvw) dan f(t uvw ) mmpunyai sisi tngah brsama Kasus 2 : t = t atau w = w Dari kondisi ini, diktahui bahwa f(tuvw) dan f(t uvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama Kasus 3 : t = w ttapi t w atau t = w ttapi t w Dngan pmbuktian yang sama dngan kasus, bisa ditunjukkan bahwa f(tuvw) dan f(t uvw ) mmpunyai sisi tngah brsama Kasus : t = w dan t = w Jika G dan G mmnuhi (), maka trdapat sbuah titik x N(u) \{t,v,t } Dari kondisi ini, diktahui bahwa f(tuvw) dan f(xuvw) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama, f(xuvw) dan f(xuvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama, dan f(xuvw ) dan f(t uvw ) mmpunyai sisi tngah brsama Maka f(tuvw) dan f(t uvw ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama Dngan mnjumlahkan kasus-kasus di atas, diktahui f(s(uv)) adalah sbuah doubl star dari G dngan kata lain fungsi f mrupakan fungsi yang mngawtkan doubl star Lmma 32 Misal f ( G, G') dan x tuv, x 2 tuv,tuvy srta tuvy 2 mrupakan mpat lintasan P dari G, maka f(x tuv) dan f(x 2 tuv) mmpunyai sisi tngah brsama jika dan hanya jika f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmpunyai sisi tngah brsama Diktahui bahwa x tuv, x 2 tuv, tuvy srta tuvy 2 mrupakan lintasan P di G dan f ( G, G') Fungsi f mrupakan fungsi bijktif, jlas bahwa f(x tuv) dan f(x 2 tuv) mmpunyai sisi tngah brsama Misal tuv adalah sbuah lintasan P 3 di G, shingga ada sbuah lintasan P, xtuv S(tu), yang trhubung langsung dngan lintasan P di S(uv), misal tuvy Shingga f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) juga mmpunyai sisi tngah brsama Bgitu juga sbaliknya Lmma 33 f ( G, G') dan x tuv, x 2 tuv,tuvy srta tuvy 2 mrupakan mpat lintasan P dari G Jika f(x tuv) dan f(x 2 tuv) tidak mmpunyai sisi tngah brsama maka f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mrupakan sbuah C di G x tuv, x 2 tuv,tuvy srta tuvy 2 mrupakan lintasan P di G Jlas bahwa x tuv, x 2 tuv mmpunyai sisi tngah brsama tu Jika pta dari kdua lintasan trsbut, f(x tuv) dan f(x 2 tuv) tidak mmpunyai sisi tngah brsama maka f tidak mngawtkan doubl star Mnurut Lmma 32, f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) juga tidak mmpunyai sisi tngah brsama Shingga bisa disimpulkan lintasan P trsbut mmbntuk sikl C Torma 33 Misal G,G G 3 Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini : Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) 2 G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf f ( G, G') jika dan hanya jika f mrupakan fungsi yang dibangun olh sbuah isomorfisma sisi dari G k G, dngan kata lain P (G) isomorfik k P (G ) jika dan hanya jika graf garis L(G) isomorfik k L(G ) Dari Torma 32, hanya prlu dibuktikan bahwa f dan f mngawtkan doubl star Karna G mmpunyai sifat yang sama sprti G, hanya prlu ditunjukkan bahwa f mngawtkan doubl star Bagian jika sudah jlas Maka akan dibuktikan bagian hanya jika Hanya prlu ditunjukkan bahwa f mmnuhi kondisi dari Lmma 3 Misal tuv adalah sbuah lintasan P 3 di G, x tuv,, x m tuv dan tuvy, tuvy n mnjadi lintasan P dari G, dngan x i N(t)\{u,v} untuk i m, y i N(v)\{u,t} untuk j n Jika G dan G mmnuhi kondisi (), maka m 2 dan n 2 Tanpa mnghilangkan prumuman, mngingat f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) Misal bahwa f(x tuv) dan f(x 2 tuv) tidak

mmiliki sisi tngah brsama Brdasarkan Lmma 33, f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmbntuk sbuah C di G (dinotasikan C = abcda), katakan f(x tuv)=abcd, f(x 2 tuv)=cdab, f(tuvy )=bcda dan f(tuvy 2 )=dabc Karna G dan G mmnuhi kondisi (), maka ada 2 titik p,q N(x ) dan sbuah titik z N(u)\{v} sdmikian hingga px tu, qx tu dan x tuz adalah lintasan P di G Jika f(x tuv) dan f(x tuz) mmpunyai sisi tngah brsama, dan kduanya f(x tuv) dan f(x tuz) trhubung langsung k f(px tu), diktahui bahwa f(x tuv) dan f(x tuz) mmpunyai lintasan P 3 brsama, katakan saja abc, dan f(x tuz) = abcd Jadi f(x tuz) trhubung langsung k f(tuvy 2 ), ttapi x tuz tidak trhubung langsung dngan tuvy 2 di G, sbuah kontradiksi untuk fakta bahwa f ( G, G') Jika f(x tuv) dan f(x tuz) tidak mmpunyai sisi tngah brsama, brdasarkan Lmma 33, f(x tuv), f(x tuz), f(px tu) dan f(qx tu) mmbntuk sbuah sikl C di G (dinotasikan dngan C ) Jlas bahwa, C = C, jadi didapat f(x tuz) = f(x tuv), sbuah kontradiksi Maka f(x tuv) dan f(x 2 tuv) mmpunyai sisi tngah brsama Dari Lmma 32, didapat bahwa f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama Jika G dan G mmnuhi kondisi (2), akan dibdakan mnjadi 3 kasus dibawah ini : m 2 dan n 2 Tanpa mnghilangkan prumuman, mngingat f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) Misalkan bahwa f(x tuv) dan f(x 2 tuv) tidak mmpunyai sisi tngah brsama Brdasarkan Lmma 33 f(x tuv), f(x 2 tuv), f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmbntuk sbuah C di G, trjadi kontradiksi Maka f(x tuv) dan f(x 2 tuv) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama, dan f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmpunyai sbuah sisi tngah brsama 2 m= dan n 2 ( atau n= dan m 2) Jika m=, sisi tv harus lmn E(G) Karna G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf, trdapat dua titik p,q N(x ) dan titik z N(u)\ {t,v} sdmikian hingga px tu, qx tu dan x tuz adalah lintasan P di G Sbuah pmbuktian yang sama sprti kasus, yang mnunjukkan bahwa f(x tuv) dan f(x tuz) mmiliki sisi tngah brsama, dan f(px tu), f(qx tu) mmiliki sbuah sisi tngah brsama Misal f(x tuv)=abcd, f(px tu)=habc, f(qx tu)=kabc dan f(x tuz)=abc Karna kduanya f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) brhubungan langsung k f(x tuv) ttapi tidak dngan f(x tuz), maka f(tuvy )=bcdw dan f(tuvy 2 )=bcdw, dngan kata lain f(tuvy ) dan f(tuvy 2 ) mmpunyai sisi tngah brsama 3 m= dan n= Karna graf G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf, trdapat dua titik p,q N(x ) dan titik z N(u)\ {t,v} sdmikian hingga px tu, qx tu dan x tuz adalah lintasan P di G Sbuah pmbuktian yang sama sprti kasus, yang mnunjukkan bahwa f(x tuv) dan f(x tuz) mmiliki sisi tngah brsama, dan f(px tu), f(qx tu) mmiliki sbuah sisi tngah brsama Karna f(tuvy ) brhubungan langsung dngan f(x tuv) shingga kduanya mmiliki lintasan P 3 yang sama di G Jlas bahwa x tuv dan tuvy mmpunyai sisi tngah brsama Dngan mnjumlahkan kasus-kasus diatas, dapat dibuktikan bahwa f adalah fungsi yang mngawtkan doubl star Torma 3 Misal G,G G 3 Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini : Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) 2 G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf f ( G, G') jika dan hanya jika f mrupakan fungsi yang dibangun olh sbuah isomorfisma dari G k G, dngan kata lain P (G) isomorfik k P (G ) jika dan hanya jika G isomorfik k G Torma brikut mrupakan Torma 32 dalam Slctd Topics in Graph Thory [, 5

hal276] yang tlah dibuktikan olh R L Hmmingr dan L W Bink : G dan G graf trhubung, ttapi G dan G bukan graf sprti pada gambar yang ditunjukkan di bawah ini, stiap f adalah isomorfisma sisi dari G k G jika dan hanya dibangun olh sbuah isomorfisma dari G k G G G (i) Dari Torma 32 pada [], didapat bahwa stiap f isomorfisma dari G k G maka ada f yang mrupakan isomorfisma sisi dari G k G atau dngan kata lain jika GG maka L(G) L(G ) (ii) Dari Torma 33 didapat bahwa jika L(G) L(G ) maka P (G) P (G ) Shingga dari (i) dan (ii) didapat bahwa jika GG maka P (G) P (G ) (i) Dari Torma 33 didapat bahwa jika P (G) P (G ) maka L(G) L(G ) (ii) Dari torma 32 pada [], didapat bahwa stiap f yang mrupakan isomorfisma sisi maka f dibangun olh isomorfisma dari G k G atau dngan kata lain L(G) L(G ) maka GG Shingga dari (i) dan (ii) bisa disimpulkan bahwa jika P (G) P (G ) maka GG Akibat 3 Misal G,G G 3 Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini : Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) 2 G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf Maka pmtaan P mrupakan fungsi satusatu Dari Torma 3, didapat bahwa pmtaan P mrupakan pmtaan bijktif, shingga jlas bahwa pmtaan trsbut juga pmtaan satu-satu G G Lmma 3 Graf P tidak mmuat sgitiga Brdasarkan dfinisi 3, graf lintasan mrupakan graf yang himpunan titiknya k (G) dan himpunan sisi ε k (G) dngan sifat untuk sbarang H,K k (G) dngan H = x x 2 x 3 x k dan K = y y 2 y 3 y k trdapat sbuah sisi HK ε k (G) jika dan hanya jika x i = y i+ atau y i = x i+ untuk i k- Shingga dua buah titik akan trhubung dngan sbuah sisi jika titik-titik trsbut mmpunyai slisih satu sisi dari lintasan yang mnjadi lmn titik trsbut Jadi jlas bahwa graf P tidak mmuat sgitiga Andaikan graf P mmuat sgitiga (*) Misal X,Y,Z P (G), maka X= x x 2 x 3 x,y= y y 2 y 3 y, Z=z z 2 z 3 z Jika X brhubungan langsung dngan Y maka X akan brgsr satu titik k kanan atau Y brgsr satu titik k kiri Jika Y brhubungan langsung dngan Z maka Y juga akan brgsr satu titik k kanan dan bgitu pula sbaliknya Shingga antara X dan Z trdapat slisih atau gap 2 titik, dan tidak mungkin X akan brhubungan langsung dngan Z (trjadi kontradiksi dngan (*)) Jadi bnar bahwa graf P tidak mmuat sgitiga Torma 35 Graf trhubung G dikatakan isomorfik k graf lintasan P -nya jika dan hanya jika G mrupakan sbuah sikl dngan panjang minimal Misal G mmpunyai n titik Maka P (G) harus mmpunyai n titik juga Jadi G harus mmpunyai tpat n subgraf P Karna G trhubung, maka G mmpunyai sbuah pohon rntang T (mnurut Torma 2) Misal sbuah lintasan trpanjang di T mnjadi x x 2 x r- x r (r ) Jika d(x r- ) = m 3, misal N(x r- )\ {x r-2, x r} = {x r+, x r+2, x r+m-2} Jika T mrupakan tranformasi kdalam sbuah pohon T* dngan mmindahkan sisi-sisi akhir x r- x i dari x r-, dan mnambahkan itu k titik akhir x i-, i = 6

(a) r+,, r+m-2, kmudian banyaknya lintasan P di T* lbih rndah daripada di T dngan (d(x r- ) - 2)(d(x r-2 ) - 2), yang tidak ngatif Jika d(x r- ) = 2, misal T s mnjadi sbuah pohon bagian gantung dari x j, 3 j r-2, dan misal x adalah nighbor dari x j di T s Jika T mrupakan transformasi kdalam sbuah pohon T* dngan mmindahkan pohon bagian gantung T s dari x j dan mnambahkannya k titik akhir x r dari pohon hasil, maka banyaknya lintasan P di T* lbih rndah daripada di T dngan (d(x)- )(d(x j )- 2) + d(x j- ) + d(x j+ )-3, yang positif Dngan mngulang dua prubahan diatas, stiap pohon T bisa brubah k P n yang mmpunyai n-3 subgraf P Jika T tidak mmpunyai lbih dari n subgraf P, maka itu tidak mmpunyai sbuah titik x i dngan drajat 6 atau lbih di lintasan trpanjang x x 2 x r- x r (r ), untuk 3 i r-2, sprti prubahan diatas bisa mmprolh T kdalam sbuah P n dngan sbuah prubahan paling sdikit pada banyaknya lintasan P dan T, dan maka G akan mmiliki paling sdikit (n-)+ = n+ subgraf P Dngan cara yang sama, T tidak mmpunyai dua atau lbih titik x i dngan drajat atau 5, atau atau lbih titik dngan drajat 3 dilintasan trpanjang x x 2 x r- x r (r ), untuk 3 i r-2 Dan misal u mnjadi sbuah nighbor dari x i, 3 i r-2, maka d(u) 3 Jika d(u)=3, maka hanya ada satu titik dngna drajat 3 di {x i 3 i r-2} Susunan yang mungkin trsisa dari pohon rntang G: (d) Pada kasus (a), banyaknya subgraf P adalah sama dngan banyaknya titik P (G) mmuat titik trasing jika dua titik brhubungan langsung dari sbuah sisi yang trkait dngan dua sisi trakhir Dngan dasar dari graf P, bisa dilihat bahwa G tidak bisa mnjadi sbuah pohon Pada kasus (b) dan (c), sbuah sisi harus ditambahkan dngan sdikitnya n lintasan dngan panjang 3 untuk mndapatkan sbuah graf Akan ttapi, pada Lmma 3, maka sdikitnya ada 3 subgraf P yang ditambahkan n- atau n-2 titik yang ditunjukkan pada pohon rntang T dan P (G) mmpunyai sdikitnya n+ titik Pada kasus (d), pnambahan dari sbuah sisi utama pada sbuah graf tunggal G, karna sbaliknya itu trmasuk dalam kasus (b) atau (c) Ktika α 2 atau β 2, maka sdikitnya subgraf P yang ditambahkan n- 3 titik yang ditunjukkan pada pohon rntang T dan P (G) mmpunyai sdikitnya n+ titik Ktika α = dan β =, jika banyaknya titik yang brdrajat 3 adalah dua maka G mmuat n+3 subgraf P, dan jika banyaknya titik yang brdrajat 3 trsbut adalah satu maka G mmuat n+ subgraf P Satu kmungkinan yang trsisa adalah dngan mnambahkan satu sisi yang brhubungan langsung dngan dua titik akhir dari T, dan G adalah sbuah sikl dngan panjang minimal (b) Misalkan G = C n, n dngan V(C n ) = {v 0,v,v 2,v 3,, v n- } Untuk stiap i,0 i n,maka : X i = v i v i+ v i+2 v i+3 V(P C n ) dngan indks v diambil modulo n Karna 0 i n, maka V(P C n ) = n (c) Titik X i di P C n hanya brhubungan langsung dngan titik-titik : 7

X i+ = v i+ v i+2 v i+3 v i+ dan X i = v i v i v i+ v i+2 sdmikian shingga d P (C n ) X i = 2 ; i, 0 i n Dngan dmikian bisa disimpulkan P C n = C n Shingga didapat P (G) G 2 SARAN Dalam mmplajari lbih mndalam mngnai graf lintasan, P k (G) graf lintasan dngan k titik, k bsrta aplikasi yang trkait dapat mnjadi suatu inspirasi PENUTUP SIMPULAN Brdasarkan pmbahasan sblumnya, diprolh ksimpulan sbagai brikut : Misal G,G G 3 Asumsikan G dan G mmnuhi salah satu kondisi dibawah ini: i Jika u adalah titik dari suatu sgitiga di G, maka d(u) ii G dan G tidak mmuat sbarang C sbagai subgraf maka, a P (G) isomorfik k P (G ) jika dan hanya jika graf garis L(G) isomorfik k L(G ) b P (G) isomorfik k P (G ) jika dan hanya jika G isomorfik k G c Pmtaan P mrupakan fungsi satusatu 2 Jika G sbuah graf maka P (G) tidak mmuat sgitiga 3 Hubungan isomorfis suatu graf G dan graf lintasan P (G) diprolh bahwa, G P (G) jika dan hanya jika graf G mrupakan sikl dngan panjang minimal DAFTAR PUSTAKA [] Budayasa, I Ktut, PhD(2007) Tori Graph dan Aplikasinya Surabaya Univrsity Prss, Univrsitas Ngri Surabaya [2] HJBrorsma and C Hod (989)Path graph J Graph Thory 3(2), pp27- [3] Li,Xuliang and Zhao B(997) Isomorphisms of P-graphs Australasian Journal of Combinatorics 5, pp35-3 [] R L Hmmingr and L W Bink(978) Lin graphs and lin digraphs, in: Slctd Topics in Graph Thory (Eds L W Bink and R J Wilson), pp27-305 Acadmic prss, London [5] Witno,Amin(2006)Graph Thory WON Sris in Discrt Mathmatics and Modrn Algbra vol [Onlin] http://wwwphiladlphiadujo/math/witno/no ts/wonpdf) [Diakss: 2 Mi 202] 8