Syarif Abdullah (G551150381) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor e-mail: syarif_abdullah@apps.ipb.ac.id 25 Maret 2016 Ringkasan Kuliah ke-6 Analisis Numerik (16 Maret 2016) Materi : System Persamaan Linear Sistem Persamaan Linear Persamaan linear: c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n = k Sistem persamaan linear (SPL): SPL dapat ditulis dalam bentuk matriks: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Ax = b a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 b [ ] [ ] = [ 2 ] a m1 a m2 a mn x n b n A x b Kekonsistenan Sistem Persamaan Linear Pangkat(A) = pangkat(a b) = n SPL mempunyai solusi tunggal. Pangkat(A) pangkat(a b) SPL tidak mempunyai solusi.
Bila suatu SPL mempunyai solusi tunggal, maka terdapat banyak cara untuk mencari penyelesaian SPL tersebut, di antaranya adalah : x = A -1 b. Metode langsung yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian SPL antara lain: Metode substitusi langkah mundur & substitusi langkah maju, metode eliminasi Gauss, dan sebagainya. Bentuk Matriks Segitiga Atas dan Substitusi Langkah Mundur a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1,n 1 x n 1 + a 1n x n = b 1 a 22 x 2 + a 23 x 3 + + a 2,n 1 x n 1 + a 2n x n = b 2 [ a 33 x 3 + + a 3,n 1 x n 1 + a 3n x n = b 3 a 11 a 12 a 13 a 1,n 1 a 1n 0 a 22 a 23 a 2,n 1 a 2n 0 0 a 33 a 3,n 1 a 3n a n 1,n 1 x n 1 + a n 1,n x n = b n 1 0 0 0 a n 1,n 1 a nn 0 0 0 0 a nn ] [ a nn x n = b n x 1 x 2 x 3 x n 1 x n ] = [ b 1 b 2 b 3 b n 1 Andaikan Ax = b adalah sistem persamaan linear segitiga atas. Jika aii 0, untuk setiap i b n ] = 1, 2,, n, maka terdapat suatu penyelesaian tunggal bagi SPL tersebut. Untuk menyelesaikan Ax = b dengan metode substitusi langkah mundur, maka semua unsur pada diagonal utama haruslah tak nol. Mula-mula hitung: Kemudian gunakan aturan: n x n = b n a nn x i = b i j=i+1 a ij x j untuk i = n 1, n 2,,1. a ii
Bentuk Matriks Segitiga Bawah dan Substitusi Langkah Maju a 11 x 1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 a n 1,1 x 1 + a n 1,2 x 2 + a n 1,3 x 3 + + a n 1,n 1 x n 1 = b n 1 a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + + a nn x n = b n a 11 0 0 0 0 x 1 b 1 a 21 a 22 0 0 0 x 2 b 2 a 31 a 32 a 33 0 0 x 3 b = 3 a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 a n 1,n 1 0 x n 1 [ a n1 a n2 a n3 a n 1,n a nn ] [ b n 1 x n ] [ b n ] Andaikan Ax = b adalah sistem persamaan linear segitiga bawah. Jika aii 0 untuk setiap i = 1, 2,, n, maka terdapat suatu penyelesaian tunggal bagi SPL tersebut. Untuk menyelesaikan Ax = b menggunakan metode substitusi langkah maju, maka semua unsur pada diagonal utama haruslah tak nol. Mula-mula hitung: Kemudian gunakan aturan: x i = b i i 1 j=1 a ii x 1 = b 1 a 11 a ij x j untuk i = 2,3,, n.
2. Eliminasi Gauss Naïve Operasi OBE pada Matriks Segitiga Atas Langkah Substitusi Mundur Metode eliminasi Gauss naif merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi. Langkah penyelesaian: 1. Tulis SPL dalam bentuk matriks diperbesar 2. Ubah matriks tersebut menjadi matriks segitiga atas atau segitiga bawah dengan operasi baris elementer (OBE) Contoh soal: Diketahui SPL dengan 4 persamaan dan 4 variabel sebagai berikut: 6x 1 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 16 12x 1 8x 2 + 6x 3 + 10x 4 = 26 3x 1 13x 2 + 9x 3 + 3x 4 = 19 6x 1 + 4x 2 + x 3 18x 4 = 34 Tentukan penyelesaian SPL tersebut dengan eliminasi Gauss! Dengan substitusi mundur, diperoleh: x 1 = 3, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 1
VEKTOR ERROR DAN VEKTOR RESIDU Misalkan diberikan SPL sebagai berikut: Ax = b Vektor error dari SPL tersebut adalah e x - x dengan x : nilai hampiran x: nilai eksak Vektor residu dari SPL tersebut adalah r Ax b Secara verbal, vektor residu adalah sisa yang dihasilkan oleh suatu nilai hampiran x jika dimasukkan kembali ke SPL awal. r Ax b r Ax Ax r A( x x) r Ae 3. Eliminasi Gauss dengan Pivoting Partial Pivoting Langkah penyelesaian SPL dengan pivot parsial: 1) Tentukan r sehingga 2) Tukarkan baris i dengan baris r, jika i = r maka tidak ditukar 3) Buat nol elemen di bawah aii, i = 1, 2,, n-1. 4) Kembali ke langkah 1 hingga membentuk matriks segitiga atas 5) Lakukan substitusi mundur untuk memperoleh solusi Contoh SPL (1) dari ilustrasi: { ε x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 Dengan menggunakan pivot parsial akan diperoleh:
{ x 1 + x 2 = 2 ε x 1 + x 2 = 1 dan diperoleh solusi: x 2 = 1 2ε 1 ε 1, Scaled Partial Pivoting Langkah penyelesaian SPL dengan pivot parsial terskala: 1) Definisikan vektor indeks l = [l 1, l 2,, l n ] = [1,2,, n] Definisikan vektor skala s = [s 1, s 2,, s n ] dengan s i = max 1 j n a ij, 1 i n 2) Tentukan rasio masing-masing baris { a l i,1 s li ; 1 i n} 3) Pilih j, yaitu indeks dengan rasio maksimum. Baris j adalah pivot untuk iterasi k (k = 1, 2,, n-1). Jika banyaknya rasio maksimum lebih dari satu, maka pilih indeks terkecil. 4) Tukarkan lk dengan lk pada vektor indeks. 5) Tukarkan baris pada matriks sesuai dengan vektor indeks. 6) Buat nol elemen di bawah akk. 7) Kembali ke langkah 3. Vektor indeks yang digunakan adalah yang terbentuk pada langkah 5.
Contoh: Tentukan solusi dari SPL berikut menggunakan eliminasi Gauss dengan pivot parsial terskala! 1 2 2 [ 1 1 1] [ 1 4 2 1) Definisikan vektor indeks dan vektor skala x 1 x 2 5 ] = [ 2 ] x 3 1 l = [1,2,3] = [l 1, l 2, l 3 ] s = [2,1,4] = [s 1, s 2, s 3 ] 2) Untuk iterasi pertama (k = 1), tentukan j, yaitu indeks dengan rasio maksimum. Jika banyaknya rasio maksimum lebih dari satu, maka dipilih indeks terkecil. { a l i,1 ; i = 1,2,3} = { 1 s li 2, 2 2, 1 4 } = {0.5,1,0.25} 3) Diperoleh vektor indeks baru: [2,1,3] 4) Tukarkan baris pada matriks sesuai dengan vektor indeks. Diperoleh: 1 1 1 x 1 2 [ 1 2 2 ] [ x 2 ] = [ 5] 1 4 2 x 3 1 5) Buat nol elemen-elemen di bawah a11. Diperoleh: 1 1 1 x 1 2 [ 0 1 1 ] [ x 2 ] = [ 3] 0 3 1 x 3 3 6) Untuk iterasi kedua (k=2), vektor indeks dan vektor skala yang digunakan adalah: l = [2,1,3] = [l 1, l 2, l 3 ] s = [2,1,4] = [s 1, s 2, s 3 ] 7) Tentukan rasio baru dengan menggunakan vektor indeks dan vektor skala pada 6. Baris ketiga menjadi pivot untuk k=2. 8) Diperoleh vektor indeks { a l i,2 ; i = 2,3} = { 1 s li 2, 3 } = {0.5, 0.75} 4 [2,3,1] 9) Tukarkan baris pada matriks sesuai dengan vektor indeks (tukarkan baris kedua dan ketiga), diperoleh: 1 1 1 x 1 2 [ 0 3 1 ] [ x 2 ] = [ 3 ] 0 1 1 x 3 3 10) Buat nol elemen di bawah a22, diperoleh:
11) Dengan substitusi mundur, diperoleh: 1 2 3 1 1 1 2 [ 0 3 1 ] [ x 2 ] = [ 3 ] 0 0 x 3 4 x 1, x 3, x 6 2 3 x 1 4. Sistem Tridiagonal dan Sistem Banded Kestabilan Numerik Eliminasi Gauss dikatakan stabil secara numerik jika matriks koefisien A dari SPL yang diberikan adalah dominan secara diagonal (strictly diagonally dominant), atau merupakan matriks simetris definit positif. Sistem Tridiagonal Sebuah matriks berukuran n x n disebut mempunyai struktur banded jika terdapat bilangan bulat k (k n) sehingga aij = 0 ketika i j k. Suatu sistem yang direpresentasikan dengan matriks yang memenuhi: 1. Terdapat 3 diagonal, yaitu diagonal utama, superdiagonal, dan subdiagonal. 2. Elemen-elemen aij 0 jika i j 1 dan aij=0 jika i j 2. d1 c1 x1 b1 a d c x b 1 2 2 2 2 a2 d3 c 3 x 3 b 3............... ai di c i x i b i............... a d c x b n2 n1 n1 n1 n1 an 1 dn xn bn Langkah penyelesaian sistem tridiagonal dengan metode eliminasi Gauss: Buat nol elemen-elemen a1, a2,, an-1, dengan
Nilai di dan bi akan berubah menjadi: i = 1,2,,n-1 Dengan metode substitusi mundur, diperoleh solusi untuk x1, x2,, xn. Matriks A = (aij)nxn adalah strictly diagonally dominant, jika: Dalam kasus tridiagonal sistem, dengan asumsi: a0 = an = 0
Sistem Pentadiagonal Suatu sistem yang direpresentasikan dengan matriks yang memenuhi: 1.Terdapat 5 diagonal, yaitu diagonal utama, 2 super-diagonal, dan 2 subdiagonal. 2.Elemen-elemen aij 0 jika i j 2 dan aij = 0 jika i j 3, untuk setiap i, j. Langkah penyelesaian sistem pentadiagonal dengan metode eliminasi Gauss: 1Buat a1=0, dengan cara: 2Nilai d2, c2, dan b2 akan berubah menjadi: 3Buat e1=0, dengan cara: 4Elemen-elemen a2, d3, dan b3 akan berubah menjadi:
5Buat nol elemen ai, dengan: 6Elemen-elemen di+1, ci+1, dan bi+1 akan berubah menjadi: 7Buat nol elemen ei, dengan: 8Elemen-elemen ai+1, di+2, dan bi+2 juga akan berubah menjadi: Solusi yang diperoleh dengan metode eliminasi Gauss: Dengan substitusi mundur, diperoleh solusi untuk x1, x2,, xn:
Block Pentadiagonal Di mana: Contoh: Tentukan solusi dari SPL berikut:
Jawab: Dengan substitusi mundur, diperoleh: KESIMPULAN SPL adalah kumpulan dari m persamaan linear dengan n variabel, yang secara umum dapat dituliskan ke dalam bentuk:
Metode untuk menyelesaikan SPL: 1. Metode eliminasi Gauss (tanpa pivot) 2. Metode eliminasi Gauss dengan pivot Sistem tridiagonal dan pentadiagonal dapat diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss (tanpa pivot). Sumber : 1. Cheney, Ward and David Kingaid, Numerical Mathematics and Computing, Sixth Edition, The Thomson Corporation, 2008. 2. Munir, Rinaldi, Metode Numerik, Revisi Ketiga, Informatika, Bandung, 2013.