Teori Dasar Gelombang Gravitasi

Bab 2 Teori Dasar Gelombang Gravitasi 2.1 Gravitasi terlinearisasi Gravitasi terlinearisasi merupakan pendekatan yang memadai ketika metrik ruang waktu, g ab, terdeviasi sedikit dari metrik datar, η ab [13]: g ab = η ab + h ab, h ab 1, (2.1) di mana, η ab = metrik diagonal ( 1, 1, 1, 1) h ab = besaran dari komponen tidak nol dari h ab. Kondisi h ab 1 membatasi medan gravitasi sebagai medan yang lemah, sehingga membatasi sistem koordinat menjadi sistem koordinat kartesian. h ab menggambarkan gelombang gravitasi, tetapi memiliki derajat kebebasan non-radiatif sehingga yang digunakan hanya suku linear pada h ab saja. Sebagai akibatnya, indeks dinaikkan dan diturunkan dengan menggunakan η ab. Metrik h ab bertransformasi sebagai tensor di bawah transformasi Lorentz, tapi tidak di bawah transformasi koordinat secara umum. Untuk menjelaskan gravitasi terlinearisasi, semua kuantitas yang diperlukan dihitung terlebih dahulu. Komponen Simbol Christoffel diberikan sebagai berikut: Γ a bc = 1 2 ηad ( c h db + b h dc d h bc ) = 1 2 ( ch a b + b h a c a h bc ). (2.2) Indeks bagian ruang dapat ditulis sebagai dinaikkan atau diturunkan tanpa mengubah kuantitasnya, sedangkan operasi menaikkan dan menurunkan indeks pada bagian waktu akan mengubah tanda. 7

2.1. GRAVITASI TERLINEARISASI 8 Tensor Riemann dapat dibangun sebagai berikut: R a bcd = c Γ a bd d Γ a bc = 1 2 ( c b h a d + d a h bc c a h bd d b h a c). (2.3) Persamaan (2.3) dapat digunakan untuk membangun Tensor Ricci: R ab = R c acb = 1 2 ( c b h c a + c a h bc h ab a b h), (2.4) di mana, h a a = h adalah trace dari metrik gangguan h ab dan c c = 2 t 2 = adalah operator gelombang Dari persamaan (2.4) dibangun skalar kurvatur: R = R a a = ( c a h c a h). (2.5) Kemudian persamaan (2.5) digunakan untuk membangun tensor Einstein: G ab = R ab 1 2 η abr = 1 2 ( c b h c a + c a h bc h ab a b h η ab c d h c d + η ab h ab ). (2.6) Persamaan (2.6) dapat disederhanakan dengan menggunakan gangguan trace reversed: h ab = h ab 1 2 η abh. (2.7) Dengan memasukkan persamaan (2.7) ke persamaan (2.6) diperoleh: G ab = 1 2 ( c b hc a + c a hbc h ab η ab c d hc d ). (2.8) Persamaan (2.8) dapat disederhanakan kembali dengan melakukan transformasi koordinat yang dikenal sebagai transformasi gauge. Transformasi koordinat infinitesimal dapat ditulis sebagai x a = x a + ξ a, di mana ξ a (x b ) merupakan medan vektor infinitesimal yang berubah-ubah. Transformasi ini mengubah metrik melalui, h ab = h ab 2 a ξ b, (2.9) sehingga metrik trace reversed menjadi h ab = h ab 1 2 η abh = h ab 2 < bξ a > +η ab c ξ c. (2.10)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 9 Untuk memenuhi radiasi, maka digunakan kondisi Lorentz gauge a h ab = 0. (2.11) Jika metrik gangguan tidak berada di bawah Lorentz gauge, maka perlu dicari metrik h ab yang baru di mana a h ab : a h ab = a hab a b ξ a ξ b + b c ξ c (2.12) = a hab ξ b. (2.13) Metrik gangguan h ab dapat dimasukkan ke dalam Lorentz gauge dengan menggunakan transformasi koordinat infinitesimal yang memenuhi a h ab = ξ b. (2.14) Dengan menemukan solusi dari persamaan gelombang (2.14), gauge Lorentz dapat dicari. Dengan memasukkan persamaan (2.11) ke persamaan (2.8), diperoleh: G ab = 1 2 h ab. (2.15) Dengan demikian, dalam gauge Lorentz, tensor Einstein tereduksi menjadi operator gelombang yang bekerja pada metrik gangguan trace reversed (sampai dengan faktor 1 2 ). Persamaan Einstein yang terlinearisasi dengan demikian adalah h ab = 16πT ab. (2.16) 2.2 Perambatan Gelombang Gravitasi Dalam ruang vakum (T ab = 0),persamaan Einstein yang terlinearisasi (2.16) tereduksi menjadi [18]: h ab = 0. (2.17) Solusi persamaan di atas diberikan sebagai berikut: h ab = A ab exp(ik a x a ) (2.18)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 10 yang jika diturunkan akan memberikan hasil sebagai berikut: c h ab = k c hab. (2.19) Persamaan (2.17) akan mengambil bentuk yang sederhana jika diajukan kondisi gauge a hab = 0, (2.20) dari persamaan (2.19) dan (2.20) diperoleh A ab k a = 0. (2.21) Hal ini berarti bahwa A ab harus tegak lurus terhadap k. Dengan menggunakan kebebasan gauge lainnya, maka amplitudo gelombang gravitasi dapat dibatasi lebih jauh dengan mengganti gauge tanpa mengubah kelas Lorentz dengan menggunakan vector yang dapat menyelesaikan c c ξ a = 0, (2.22) yang solusinya adalah ξ a = B a exp(ik c x c ), (2.23) dimana B a adalah konstanta dan k c adalah null vector. ξ ini memberikan perubahan pada h ab menjadi h ab = h ab 2 <a ξ b> (2.24) dan h ab = h ab 2 <a ξ b> + η ab c ξ c. (2.25) Dengan mensubtitusi persamaan (2.23) ke persamaan (2.25) lalu menghilangkan semua faktor eksponensial yang sama diperoleh A ab = A ab ib a k b ib b k a + iη ab B c k c, (2.26) dan B a dapat dipilih sedemikian untuk membatasi A ab : A a a = 0, (2.27) dan A ab U b = 0, (2.28)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 11 di mana U merupakan kecepatan-4 tertentu, vektor unit timelike konstan yang hendak kita pilih. Persamaan (2.21), (2.27), dan (2.28) disebut sebagai kondisi gauge transverse traceless. Pada latar belakang transformasi Lorentz, di mana vektor U merupakan basis vektor U b = δ b 0, maka persamaan (2.28) mengimplikasikan bahwa A a0 = 0 untuk semua a. Dalam kerangka ini, dimisalkan gelombang merambat dalam arah z, k (ω, 0, 0, ω). Maka persamaan (2.21), (2.28) mengimplikasikan bahwa A ax = 0 untuk semua a. Kedua implikasi ini menunjukkan bahwa hanya komponen A xx, A yy, dan A xy = A yx yang tidak nol. Dari persamaan (2.27), maka didapat bahwa dalam bentuk matriks, kerangka ini dapat dituliskan sebagai berikut: A ab = 0 0 0 0 0 A xx A xy 0 0 A xy A xx 0 0 0 0 0. (2.29) Efek dari gelombang gravitasi adalah dapat mengubah jarak proper antara dua buah partikel. Pada ruang waktu datar, cahaya akan mengikuti lintasan garis lurus. Namun, pada ruang-waktu lengkung, lintasan lurus yang dilalui oleh cahaya akan mengalami deviasi dari koordinat pada ruang-waktu datar. Sebagai contoh, misalkan terdapat 2 buah massa yang berdekatan. Massa yang pertama terletak pada (0, 0, 0) dan massa yang kedua terletak pada (ɛ, 0, 0). Dengan menggunakan persamaan deviasi geodesik, d 2 dτ 2 ξa = R a cdbu c U d ξ b (2.30) dimana vektor ξ b menghubungkan kedua partikel dan U = d x dτ adalah vektor kecepatan-4 dari kedua partikel, di mana U (1, 0, 0, 0) dan pada awalnya, ξ (0, ɛ, 0, 0). Maka persamaan (2.30) tereduksi menjadi orde pertama h ab : d 2 dτ 2 ξa = 2 t ξ a = ɛr a 00x = ɛr a 0x0. (2.31)

2.2. PERAMBATAN GELOMBANG GRAVITASI 12 Dengan menggunakan persamaan (2.3) untuk menunjukkan, dalam gauge T T : R x 0x0 = R x0x0 = 1 2 2 0 hxx tt, R y 0x0 = R y0x0 = 1 2 2 0 hxy tt, (2.32) R y 0y0 = R y0y0 = 1 2 2 0 hyy tt, = Rx 0x0 dengan komponen independen lainnya menghilang. Hal ini berarti kedua partikel memiliki vektor pemisahan dalam arah x: 2 t ξ x = 1 2 ε 2 t h T T xx, 2 t ξ y = 1 2 ε 2 t h T T xy, (2.33) dan dalam arah y: 2 t ξ y 2 t ξ x = 1 2 ε 2 t h T T yy = 1 2 ε 2 t h T T xx, = 1 2 ε 2 t h T T xy. (2.34) Persamaan (2.34a) dan (2.34b) akan membantu dalam menjelaskan polarisasi gelombang gravitasi. Gambar 2.1 (a) Lingkaran partikel sebelum gelombang merambat melewati lingkaran tersebut dalam arah sumbu z. (b) distorsi yang dihasilkan oleh gelombang dengan polarisasi +. (c) Seperti (b) tapi dengan polarisasi x Karakteristik dari gelombang gravitasi akan lebih jelas terlihat dengan tidak hanya mempertimbangkan dua buah partikel saja, melainkan sejumlah partikel yang tersusun dalam bentuk lingkaran pada bidang x y pada z = 0

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 13 dengan sebuah massa lainnya pada bagian pusat. Misalkan lingkaran partikel tersebut pada awalnya diam (lihat Gambar 2.1a). Lalu gelombang gravitasi dengan h T T xx 0, h T T xy = 0 melewati lingkaran partikel ini, maka lingkaran partikel akan terdistorsi (jarak proper relatif terhadap massa pada pusat) seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.1b, awalnya masuk, lalu keluar, dimana gelombang berosilasi dan h xx berubah tanda. Jika partikel memiliki h T T xx 0 tetapi h T T xx = h T T yy = 0, maka lingkaran partikel tersebut akan berdistorsi seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1c. Karena h T T xx dan h T T xy tidak saling bergantung, maka Gambar 2.1b dan 2.1c merupakan gambaran dari dua buah polarisasi yang berbeda. Polarisasi gelombang memiliki pola seperti yang digambarkan pada Gambar 2.1 karena gravitasi direpresentasikan oleh tensor simetrik rank-2 h cd. 2.3 Pembangkitan Gelombang Gravitasi Persamaan medan lemah Einstein adalah h ab = 16πT ab. (2.35) Beberapa asumsi yang diambil untuk memecahkan masalah ini adalah: 1. Komponen riil yang bergantung waktu berosilasi secara sinusoidal dengan frekuensi Ω sebagai berikut: T ab = S ab (x i ) exp( iωt). (2.36) Daerah dimana S ab 0 lebih kecil dibandingkan dengan panjang gelombang dari gelombang gravitasi dengan frekuensi 2π/Ω. 2. Sumber bergerak lambat. Kecepatan khas di dalam daerah sumber harus lebih kecil dari 1. Hal ini dipenuhi oleh semua sumber gravitasi kecuali sumber yang sangat kuat. Solusi untuk h ab dari bentuk h ab = B ab (x i ) exp( iωt) (2.37)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 14 didapatkan dengan mensubtitusi persamaan (2.37) ke persamaan (2.35): ( 2 + Ω 2 )B ab = 16πT ab. (2.38) Untuk daerah di luar sumber diperlukan solusi dari persamaan (2.38) yang menunjukkan radiasi gelombang ke luar dan yang mendominasi di daerah gerak lambat. Didefinisikan r sebagai komponen radial koordinat polar dengan titik asalnya terletak di dalam sumber. Solusi dari persamaan (2.38) adalah: B ab = A ab r exp(iωr) + Z ab r exp( iωr) (2.39) Suku Z ab menyatakan gelombang yang merambat ke arah titik asal r = 0, sementara suku A ab menyatakan gelombang yang merambat ke luar dari sumber. Karena solusi yang dicari adalah gelombang yang diemisikan ke luar oleh sumber, maka Z ab = 0. Pendekatan yang dilakukan untuk menentukan di dalam sumber adalah bahwa sumber bernilai tidak nol hanya di dalam bola dengan radius: ε 2π/Ω. Integrasi komponen waktu dari ruas kiri persamaan (2.38) sepanjang bagian dalam bola adalah Ω 2 B ab d 3 x Ω 2 B ab max 4πε 3 /3. (2.40) Dengan menggunakan teorema Gauss, maka integrasi komponen ruang dari suku bagian kiri persamaan (2.38) adalah 2 B ab d 3 x = n B ab ds, (2.41) namun karena integral permukaan berada di luar sumber, dimana diberikan oleh persamaan (2.39), yang simetris secara sferis: n B ab ds = 4πε 2 ( d dr B ab) r=ε 4πA ab, (2.42) dimana integral dari ruas kanan persamaan (2.38) didefinisikan sebagai: J ab = S ab d 3 x. (2.43) Dengan membatasi hasil-hasil di atas dalam limit ε 0, maka diperoleh A ab = 4J ab (2.44) h ab = 4J ab exp(iω(r t)/r) (2.45)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 15 Persamaaan (2.44) dan (2.45) merupakan pernyataan untuk gelombang gravitasi yang dibangkitkan oleh sumber, dimana suku dengan orde r 2 dan suku r 1 dengan orde yang lebih tinggi dari orde εω diabaikan. Persamaan di atas dapat disederhanakan dengan memanfaatkan kenyataan bahwa {h ab } merupakan komponen dari tensor tunggal. Dari persamaan (2.43) didapatkan dengan konsekuensi: J ab exp( iωt) = iωj ab exp( iωt) = T ab d 3 x, (2.46) t T at d 3 x. (2.47) Dari hukum kekekalan untuk T ab, a T ab = 0, (2.48) disimpulkan bahwa t T at = k T ak. (2.49) Sehingga iωj at exp( iωt) = k T ak d 3 x = T ak n k ds, (2.50) dimana Teorema Gauss kembali digunakan. Hal ini berarti bahwa T ab = 0 pada permukaan yang melingkupi volume ini, sehingga ruas kanan dari persamaan (2.50) menghilang. Jika Ω 0, maka Pernyataan J ij juga dapat dituliskan sebagai berikut: J ab = 0, hab = 0. (2.51) d 2 dt 2 T 00 x l x m d 3 x, (2.52) dimana integral pada ruas kanan dari persamaan (2.52) merupakan tensor momen quadrupol dari distribusi massa, I lm = T 00 x l x m d 3 x (2.53) = D lm exp( iωt), (2.54)

2.3. PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI 16 sehingga h jk = 2Ω 2 D jk exp(iω(r t)). (2.55) Persamaan (2.55) sering disebut sebagai pendekatan quadrupol untuk gelombang gravitasi. Persamaan (2.21) dapat dilengkapi dengan memilih kondisi dimana gelombang merambat dalam arah z, dan dalam gauge T T sehingga didapatkan bentuk paling sederhana dari gelombang: dimana h T T zi = 0 (2.56) h T T xx = h T T yy = Ω 2 (ł xx ł yy ) exp(iωr/r) (2.57) h T T xx = 2Ω 2 ł xy exp(iωr/r)) (2.58) ł jk = I jk 1 3 δ jki l l (2.59) disebut sebagai tensor trace-free atau tensor momen quadrupole tereduksi. Solusi untuk radiasi gravitasi yang teremisi pada persamaan (2.35) untuk nilai yang berubah-ubah diberikan oleh integral retarded h ab (t, x i τab (t R, y i ) ) = 4 d 3 x, (2.60) R dimana integral dilakukan melewati kerucut cahaya masa lalu (t, x i ) dimana h ab dihitung. Misalkan titik asal berada di dalam sumber dan dimisalkan bahwa titik medan x i terletak jauh sekali: x i r y i y (2.61) sehingga turunan komponen waktu dari T ab sangat kecil, maka, di dalam integral dari persamaan (2.60), kontribusi yang dominan berasal dari pertukaran R oleh r: h ab (t, x i ) 4 r T ab (t r, y i )d 3 x. (2.62) Persamaan (2.62) merupakan generalisasi dari dari persamaan (2.45). Dengan memanfaatkan hukum kekekalan a T ab = 0, (2.63)

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA 17 maka akan diperoleh T ta d 3 y = const. (2.64) Bagian r 1 dari h ta tidak ber-gantung waktu sehingga tidak akan berkontribusi pada bidang gelombang manapun. Hal ini akan menghasilkan persamaan (2.51). Lalu, dengan menggunakan persamaan (2.52), maka didapatkan persamaan generalisasi dari persamaan (2.55): h jk (t, x i ) = 2 r 2 t I jk (t r). (2.65) Dengan menggunakan gauge T T, maka diperoleh h T T xx = 1 r [ 2 t ł xx (t r) 2 t ł yy (t r)]. (2.66) h T T xy = 2 r 2 t ł xy (t r) 2.4 Radiasi Gravitasi Sistem Bintang Ganda Salah satu sumber gravitasi yang sangat umum adalah sistem 2 bintang yang mengorbit mengitari titik pusat massanya di bawah pengaruh gravitasi masingmasing bintang. Dari seluruh sistem bintang di alam semesta ini, kurang lebih 2/3 nya merupakan sistem bintang ganda [14]. Pendekatan untuk sumber yang bergerak lambat seperti yang dilakukan pada bagian 2.3 cukup memadai untuk diterapkan pada sistem bintang ganda. Kasus yang akan ditinjau ditunjukkan pada Gambar 2.2. Dengan mengasumsikan bahwa Hukum Newton cukup akurat, maka dengan memanfaatkan Hukum Newton (gaya gravitasi = gaya sentrifugal) dan mengambil G = 1: dimana ω merupakan kecepatan sudut orbit. M 2 ( ) 1 V 4R 2 = 2 Mω2 R : ω =, (2.67) R Dari Gambar 2.2 geometri untuk kasus yang ditinjau adalah: x 1 (t) = R cos(ωt), y 1 (t) = R sin(ωt), z 1 (t) = 0 x 2 (t) = x 1 (t), y 2 (t) = y 1 (t), z 2 (t) = 0. (2.68)

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA 18 Gambar 2.2 sistem bintang ganda yang mengitari titik pusat massa nya akibat pengaruh gravitasi masing-masing bintang. Kedua bintang memiliki massa yang sama M, dan bergerak dengan kecepatan sudut ω Komponen tensor momen quadrupol untuk kedua bintang dapat dihitung dari persamaan (2.53): I xx I yy I xy = 2MR 2 cos 2 (ωt) = MR 2 (1 + cos(2ωt)), = 2MR 2 sin 2 (ωt) = MR 2 (1 cos(2ωt)), = 2MR 2 sin(ωt) cos(ωt) = MR 2 sin(2ωt). (2.69) Tensor momen quadrupol tereduksinya adalah: ł xx ł yy = ł yy = MR 2 exp( 2iωt), = MR 2 exp( 2iωt). (2.70) Dengan memasukkan persamaan (2.70) ke persamaan (2.56-2.58): h xx = h yy = 8ω2 MR 2 r exp( 2iω(r t)/r), h xy = h yy = 8iω2 MR 2 r exp( 2iω(r t)/r). (2.71) Dari persamaan (2.71) dapat dilihat bahwa frekuensi dari radiasi yang teremisi adalah dua kali frekuensi orbit (Ω = 2ω) yang mengimplikasikan bahwa polarisasi gelombang yang diemisikan sistem bintang ganda ini merupakan polarisasi melingkar dimana partikel-partikel dengan elips yang tegak lurus, seperti

2.4. RADIASI GRAVITASI SISTEM BINTANG GANDA 19 yang ditunjukkan oleh Gambar 2.1, berotasi dengan frekuensi sudut 2ω terhadap gelombang. Sedangkan untuk radiasi gelombang gravitasi yang merambat dalam arah sumbu x ditunjukkan oleh persamaan (2.71), namun tidak dalam gauge transverse traceless-nya. Dengan menghilangkan komponen longitudinal xx dan xy dari h ij dan mengurangi trace, maka diperoleh: h yy = h xx = 4ω2 MR 2 exp( 2iω(r t)/r). (2.72) r Persamaan (2.72) merupakan polarisasi linear yang sejajar dengan bidang orbit.