BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur aljabar grup dan ring serta mengenai grup fuzzy. A. Himpunan Fuzzy Sebuah himpunan klasik didefinisikan sebagai kumpulan dari elemen atau objek x X yang dapat terbatas, berhingga ataupun tak terbatas atau tak berhingga. Menurut Klir (1995: 6) terdapat beberapa metode dasar untuk menentukan himpunan tersebut yang dapat didefinisikan secara umum dalam himpunan X: 1. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh penamaan semua anggotanya (metode pendataan). Metode ini dapat digunakan hanya untuk himpunan berhingga. Himpunan A dengan anggota a 1, a 2, a 3,, a n sering ditulis sebagai A = {a 1, a 2, a 3,, a n }. 2. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh sifat yang memenuhi dari tiap anggotanya (metode aturan). Notasi umum yang menggambarkan metode ini adalah A = {x P(x)}. Dengan simbol dinotasikan sebagai yang seperti, dan P(x) menunjuk proposisi dari bentuk x memiliki sifat P. 5

3. Sebuah himpunan yang didefinisikan oleh fungsi biasa disebut sebagai fungsi karakteristik yang menyatakan elemen dari X merupakan anggota dari himpunan tersebut atau tidak. Himpunan A didefinisikan oleh sebuah fungsi karakteristik μ A sebagai berikut: 1, untuk x A μ A = { 0, untuk x A. Fungsi karakteristik di atas memetakan elemen-elemen A ke anggota-anggota himpunan {0, 1}, secara formal dinyatakan sebagai, μ A : X [0,1]. Untuk x X, μ A (x) = 1, x anggota A; saat μ A (x) = 0, x bukan anggota A. Fungsi keanggotaan μ yang memetakan himpunan universal X yang merupakan himpunan klasik, ke interval bilangan riil [0,1] disebut himpunan fuzzy μ menurut Klir (1995: 11). Definisi 2.1.1. Klir (1995: 11) Misal X adalah himpunan dari objek tertentu, himpunan fuzzy μ dari himpunan X adalah pemetaan anggota-anggota X ke interval riil [0,1] dan dinotasikan sebagai berikut. μ X [0,1]. Untuk lebih jelas memahami definisi di atas, diberikan contoh himpunan fuzzy sebagai berikut: 6

Contoh 2.1.1. Suatu himpunan A didefinisikan sebagai bilangan riil R yang mendekati 10. Dari definisi himpunan fuzzy, A merupakan pemetaan dari bilanganbilangan riil R ke interval tertutup [0, 1], atau dapat ditulis sebagai A: R [0,1]. Selanjutnya himpunan A dapat digambarkan pada Gambar 2.1. berikut: A(x) Gambar 2.1. Bilangan riil R yang mendekati 10. B. Grup Grup merupakan salah satu struktur aljabar yang memuat suatu operasi biner beserta aksioma-aksiomanya. Berikut diberikan definisi dari grup. Definisi 2.2.1. Gallian (2010: 41) Misalkan G merupakan sebuah himpunan bersama dengan sebuah operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan pasangan berurutan (a, b) dari anggota-anggota G dengan setiap anggota dalam G dapat dinotasikan sebagai ab. G dikatakan sebagai grup atas operasi ini jika memenuhi tiga sifat berikut. i. Asosiatif. Operator ini bersifat asosiatif; memenuhi (ab)c = a(bc) untuk setiap a, b, c dalam G. 7

ii. Identitas. Terdapat elemen identitas e di dalam G sedemikian sehingga ae = ea = a untuk setiap a dalam G. iii. Invers. Untuk setiap elemen a dalam G, terdapat suatu elemen b dalam G (b disebut sebagai invers dari b) sedemikian sehingga ab = ba = e. Dari definisi di atas diberikan contoh grup berikut. Contoh 2.2.1. Himpunan bilangan bulat Z, himpunan bilangan rasional Q, dan himpunan bilangan rill R merupakan grup dengan penjumlahan biasa, yang mempunyai elemen identitas 0 dan invers dari elemennya adalah negatif dari elemen tersebut. Contoh 2.2.2. Himpunan bilangan rasional positif Q + merupakan suatu grup dengan perkalian biasa. Invers dari elemannya yakni 1/a = a -1. Jika suatu grup memiliki sifat a b = b a untuk setiap a, b G, maka grup tersebut disebut sebagai grup komutatif atau grup abelian (Gallian, 2010: 41). Berikut contoh grup abelian. Contoh 2.2.3. (Z, +), (Q, +), (R, +), dan (C, +) masing-masing merupakan grup abelian dengan elemen identitas 0 dan invers dari setiap elemennya adalah negatif dari elemen tersebut. Contoh 2.2.4. Jika n suatu bilangan bulat positif dan nz adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan n, maka (nz, +) merupakan suatu grup abelian. Hal ini ditunjukkan untuk nz = { kn k bilangan bulat}, dengan n suatu bilangan bulat positif. 8

a. Terdapat x, y nz, maka x = an, y = bn, dengan a, b Z, sehingga x + y = an + bn = (a + b)n. Karena a, b Z, maka (a + b) Z, sehingga (a + b)n nz, yaitu (x + y) nz. Jadi operasi + pada nz merupakan operasi biner. b. Karena nz Z dan operasi + pada Z bersifat asosiatif dan komutatif, maka operasi + pada nz juga bersifat asosiatif dan komutatif. c. Elemen identitasnya adalah 0, sebab jika x nz, maka x + 0 = 0 + x = x. d. Invers dari setiap elemennya adalah negatif dari elemen tersebut yakni jika x nz maka inversnya adalah x nz, sehingga x + ( x) = ( x) + x = 0. 1. Subgrup Subgrup yang terdapat di dalam struktur grup didefinisikan oleh Gallian (2010: 58) sebagai berikut, Definisi 2.2.2. Gallian (2010: 58) Jika H subhimpunan dari suatu grup G sehingga H merupakan suatu grup dengan operasi yang bersesuaian dengan G, maka H disebut sebagai subgrup dari G. Untuk lebih jelas, diberikan contoh subgrup sebagai berikut. Contoh 2.2.5. Subgrup yaitu (Z, +) merupakan grup bilangan bulat dengan penjumlahan. Jika 5Z = {5n n Z}, yaitu himpunan semua bilangan bulat 9

kelipatan 5, maka (5Z, +) adalah suatu grup. Kerana 5Z Z, maka 5Z subgrup dari Z. 2. Sifat-Sifat Grup Merujuk pada tulisan Gallian (2010: 48-50), sifat-sifat dari struktur aljabar grup sebagai berikut. Pada Teorema 2.2.1. dinyatakan bahwa grup hanya memiliki satu elemen identitas. Teorema 2.2.1. Gallian (2010: 48) Dalam suatu grup G hanya ada satu elemen identitas. Diberikan teorema berikut yang menyatakan hukum kanselasi oleh Gallian (2010: 48). Teorema 2.2.2. Gallian (2010: 48) Dalam suatu grup G berlaku hukum kanselasi kiri dan kanan; yakni jika ba = ca maka b = c, jika ab = ac, maka b = c. Mengenai ketunggalan invers dari elemen-elemen dalam grup diberikan teorema berikut oleh Gallian (2010: 49). Teorema 2.2.3. Gallian (2010: 49) Untuk sebarang elemen a dalam grup G, terdapat elemen tunggal b dalam G sedemikian sehingga ab = ba = e. 3. Subgrup Normal Subgrup Normal didefinisikan menurut Gallian (2010: 178) sebagai berikut. 10

Definisi 2.2.3. Gallian (2010: 178) Subgrup H dari grup G disebut sebagai subgrup normal dari G jika ah = Ha, untuk setiap a G, yang dinotasikan oleh H G. Berdasarkan definisi diberikan contoh subgrup normal sebagai berikut. Contoh 2.2.6. Misalkan S 3 = { (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} merupakan grup simetri tingkat 3. N = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} adalah subgrup dari S 3. Untuk menunjukkan bahwa N merupakan subgrup normal dari S 3 maka harus memenuhi an = Na, untuk setiap a anggota S 3. (1)N = {(1 2), (1 3), (2 3)} (1 2)N = {(1 2), (2 3), (1 3)} (1 3)N = {(1 2), (2 3), (1 3)} (2 3)N = {(1 2), (2 3), (1 3)} (1 2 3)N = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} (1 3 2)N = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} N(1) = {(1 2), (1 3), (2 3)} N(1 2) = {(1 2), (2 3), (1 3)} N(1 3) = {(1 2), (2 3), (1 3)} N(2 3) = {(1 2), (2 3), (1 3)} N(1 2 3) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} N(1 3 2) = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} Jadi N merupakan subgrup normal dari S 3. 11

4. Grup Faktor Menurut Gallian (2010: 180) grup faktor didefinisikan berikut. Definisi 2.2.4. Gallian (2010: 180) Misalkan G grup dan H subgrup normal dari G. Himpunan G H = { ah a G} adalah grup atas operasi (ah)(bh) = abh. Berdasarkan Definisi 2.2.4. di atas, berikut diberikan contoh subgrup normal. Contoh 2.2.7. Misalkan U(11) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan modulo 11 adalah suatu grup abelian. N = {1, 10} suatu subgrup normal dari U(11). 1N = {1, 10} = N = 10N 2N = {2, 9} = 9N 3N = {3, 8} = 8N 4N = {4, 7} = 7N 5N = {5, 6} = 6N, Jadi grup faktor U(11) oleh N adalah U(11) N = { N1, N2, N3, N4, N5}. 5. Homomorfisme Grup Selain subgrup, terdapat pula homomorfisme pada struktur grup. Menurut Gallian (2010: 200) homomorfisme grup didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.2.5. Gallian (2010: 200) Suatu homomorfisme φ dari suatu grup G ke grup G merupakan pemetaan dari G ke G yang melanggengkan operasi grup. Hal tersebut menunjukkan bahwa φ(ab) = φ(a)φ(b), a, b G. 12

Misalkan (G, ) dan (G 1, 1 ) merupakan grup dan f merupakan fungsi yang memetakan G ke G 1. f disebut sebagai sebuah homomorfisme dari G ke G 1 jika untuk setiap a, b G, f(a b) = f(a) 1 f(b). Galian (2010: 200) mendefinisikan mengenai kernel dari suatu homomorfisme sebagai berikut. Definisi 2.2.6. Gallian (2010: 200) Kernel dari suatu homomorfisme φ dari grup G ke grup dengan elemen identitas e adalah himpunan {x G φ(x) = e}. Kernel dari φ dinotasikan sebagai Ker φ. Sifat-sifat dari homomorfisme suatu grup yang berkaitan dengan kernel ditunjukkan oleh (Gallian, 2010: 202) pada teorema berikut. Teorema 2.2.5. Gallian (2010: 202), Misalkan φ suatu homomorfisme dari grup G ke G dan terdapat g anggota dari G. Maka, 1. φ membawa identitas dari G ke G. 2. φ(g n ) = (φ(g)) n untuk setiap bilangan bulat n. 3. Jika g terbatas, maka φ(g) membagi habis g. 4. Ker φ adalah subgrup dari G. 5. φ(a) = φ(b), jika dan hanya jika a Ker φ = b Ker φ. 6. Jika φ(g) = g, maka φ 1 (g ) = {x G φ(x) = g } = g Ker φ. Untuk lebih jelas mengenai homomorfisme grup, diberikan contoh mengenai homomorfisme berikut. 13

Contoh 2.2.8. Misalkan (Z, +) adalah grup bilangan bulat dengan penjumlahan aritmetik dan Z n = {[0], [1], [2],, [n 1]} dengan penjumlahan (+) modulo n. Pemetaan φ: Z Z n didefinisikan oleh φ(m) = [m], m Z. Apabila m, r Z, maka φ(m) = [m], φ(r) = [r] dan (m + r) Z, sehingga φ(m + r) = [m + r] = [m] + [r] = φ(m) + φ(r). Jadi, φ merupakan suatu homomorfisme dari Z ke Z n. Teorema pertama isomorfisme grup menurut Gallian (2010: 207). Teorema 2.2.6. Gallian (2010: 207) Misalkan φ merupakan homomorfisme dari grup G ke G. Maka pemetaan dari G/Ker φ ke φ(g), diberikan oleh gker φ φ(g), adalah suatu isomorfisme yang ditulis sebagai, G Ker φ φ(g). C. Ring Ring merupakan salah satu struktur aljabar yang menyertakan dua operasi biner. Merujuk dari tulisan Gallian ring didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.3.1. Gallian (2010: 237) Suatu himpunan R tak kosong dengan dua operasi biner (penjumlahan + dan perkalian ), sedemikian sehingga untuk setiap a, b, c dalam R berlaku: 1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). 14

3. Terdapat identitas penjumlahan yang disebut 0. Sehingga memenuhi a + 0 = 0 + a = a untuk setiap a dalam R. 4. Terdapat elemen a dalam R sedemikian sehingga a + ( a) = 0. 5. a(bc) = (ab)c. 6. a(b + c) = ab + ac dan (b + c)a = ba + ca. Dari Definisi 2.3.1. di atas, diberikan beberapa contoh ring berikut. Contoh 2.3.1. Himpunan bilangan bulat (Z), himpunan bilangan rasional (Q), himpunan bilangan riil (R), dan himpunan bilangan komplek (C), dengan penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring. Contoh lain mengenai ring sebagai berikut. Contoh 2.3.2. Jika n Z, subhimpunan nz = {a Z: n membagi a} dari bilangan bulat merupakan operasi tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian, yang jelas memenuhi aksioma ring, sehingga membentuk sebuah ring terhadap dirinya sendiri. Contoh 2.3.3. Z 7 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]} yaitu himpunan semua kelas bilangan bulat modulo 7. Z 7 dengan penjumlahan modulo 7 dan perkalian modulo 7 adalah suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan [1]. Berikut ini tabel cayley penjumlahan dan perkalian dari Z 7. 15

Tabel 2. 1 Tabel Cayley penjumlahan dari Z 7. +7 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [6] [1] [2] [3] [4] [5] [5] [6] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5] Tabel 2. 2 Tabel Cayley perkalian dari Z 7. 7 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1] Memperhatikan Tabel 2.1 dan Tabel 2.2, tampak sifat tertutup dari penjumlahan dan perkalian modulo 7 dipenuhi, dengan elemen identitasnya adalah [0], invers terhadap penjumlahan modulo 7 dari elemen-elemennya adalah negatifnya, yaitu [0] = [0], [1] = [6], [2] = [5], [3] = [3], [4] = [3], [5] = [2], [6] = [1]. Karena tabel simetris terhadap diagonal utama maka penjumlahan modulo 7 maupun perkalian modulo 7 pada Z 7 bersifat komutatif. Z 7 terhadap perkalian 16

modulo 7, bersifat tertutup dan invers dari setiap elemennya terhadap perkalian modulo 7, yaitu [1] 1 = [1], [2] 1 = [4], [3] 1 = [5], [6] 1 = [6]. Jadi Z 7 juga merupakan medan. Selain itu, terdapat juga ring komutatif seperti yang telah dicontohkan di atas, yakni suatu ring yang mempunyai sifat komutatif terhadap perkalian. Berikut didefinisikan oleh Musili (1992: 5) ring komutatif dan elemen satuan. Definisi 2.3.2. Musili (1992: 5) Suatu ring dikatakan sebagai ring komutatif jika semi-grup (R, ) adalah komutatif yaitu a. b = b. a untuk semua a, b R. Lebih lanjut mengenai ring, diberikan Definisi 2.3.3. oleh Musili (1992: 5) mengenai elemen identitas perkalian dari ring. Definisi 2.3.3. Musili (1992: 5) Jika semi-grup (R, ) mempunyai sebuah identitas yang tunggal dan dinotasikan sebagai 1R atau secara sederhana dilambangkan dengan 1 dan disebut sebagai elemen identitas perkalian atau unity dari R. Definisi berikut diberikan oleh Musili (1992: 5) menjelaskan mengenai invers pada ring. Definisi 2.3.4. Musili (1992: 5) Andaikan R merupakan ring dengan unity. Sebuah elemen u R dikatakan sebagai unit atau invertible jika terdapat v R sedemikian sehingga uv = vu = 1. Jika u adalah sebuah unit, terdapat v sedemikian uv = vu = 1 adalah tunggal dapat dinotasikan sebagai u 1 dan disebut sebagai invers perkalian dari u. 17

1. Sifat-sifat Ring Sifat-sifat ring yang terdapat pada Teorema 2.3.1. berikut membahas aturan perkalian pada ring. Teorema 2.3.1. Gallian (2010: 239). Andaikan a, b dan c elemen dari ring R. maka 1) a0 = 0a = 0 2) a( b) = ( a)b = (ab) 3) ( a)( b) = ab 4) A(b c) = ab ac dan (b c)a = ba ca. Selain itu, jika R memiliki elemen kesatuan 1, maka 5) ( 1)a = a 6) ( 1)( 1) = 1. Teorema 2.3.2. berikut ini menjelaskan tentang ketunggalan dari elemen kesatuan dan invers dari ring oleh Gallian (2010: 240). Teorema 2.3.2. Gallian (2010: 240). Jika suatu ring mempunyai elemen kesatuan, maka itu tunggal. Jika elemen suatu ring mempunyai invers perkalian, maka itu tunggal. 2. Subring Di dalam struktur grup terdapat subgrup sedangkan pada struktur ring juga terdapat analogi dari subgrup yakni subring, berikut didefinisikan subring menurut Gallian (2010: 240). 18

Definisi 2.3.5. Gallian (2010: 240) Sebuah subhimpunan S dari suatu ring R adalah subring dari R jika S itu sendiri merupkan ring dengan operasi pada R. Untuk menjamin suatu subring, diperlukan syarat cukup dan syarat perlu yang juga akan dipakai untuk membangun definisi dari ring fuzzy. Berikut ini teorema mengenai subring oleh Gallian (2010: 240). Teorema 2.3.3. Gallian (2010: 240) Subhimpunan tak kosong S dari ring R adalah subring jika tertutup atas pengurangan dan perkalian, yakni jika (a b) dan (ab) dalam S bilamana a dan b di dalam S. Mengenai definisi subring diberikan Contoh 2.3.4. sebagai berikut. Contoh 2.3.4. Misalkan Z merupakan ring bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik dan Z 2 adalah himpunan semua bilangan genap. Z 2 dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik merupakan suatu ring. Karena Z 2 subhimpunan dari Z maka Z 2 adalah subring dari Z. 3. Ideal Ring Ideal merupakan subring dengan sifat khusus seperti didefinisikan oleh Gallian (2010: 262). Definisi 2.3.6. Gallian (2010: 262) Suatu subring A dari ring R disebut ideal kiri dan kanan dari R jika untuk setiap r R dan setiap a A keduanya ra dan ra berada dalam A. 19

Jadi, suatu subring A dari R merupakan suatu ideal jika A menyerap elemen dari R yakni jika ra = {ra a A} A dan Ar = {ar a A} A untuk setiap r R. Diberikan teorema berikut yang menyatakan suatu ideal ring. Teorema 2.3.4. Gallian (2010: 262) Suatu subhimpunan tak kosong A dari ring R adalah suatu ideal dari R jika, 1. a b A untuk a, b A. 2. ra dan ar dalam A untuk a A dan r R. Dari Definisi 2.3.6. dan Teorema 2.3.4. diberikan contoh ideal ring berikut. Contoh 2.3.5. Misalkan Z merupakan ring bilangan bulat dan B adalah himpunan semua bilangan genap. B merupakan subring dari Z dan B adalah ideal kiri dan ideal kanan dari Z sehingga B adalah ideal dari Z. 4. Ring Faktor Selain ideal juga terdapat ring faktor yang merupakan analogi dengan grup faktor pada struktur aljabar grup, diberikan teorema oleh Gallian (2010: 264) sebagai berikut: Teorema 2.3.5. Gallian (2010: 264) Misalkan R ring dan A subring dari R. Himpunan dari koset {r + A r R} adalah ring atas operasi (s + A) + (t + A) = s + t + A dan (s + A)(t + A) = st + A jika dan hanya jika A adalah ideal dari R. 2.3.6. berikut. Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai ring faktor, diberikan Contoh 20

Contoh 2.3.6. Misalkan Z adalah ring bilangan bulat dan M adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5. M adalah ideal dari Z, sehingga koset-koset dari M dalam Z adalah: M + 1 = {, 9, 4, 1, 6, 11, } = M + 6 = M 4 = M + 2 = {, 8, 3, 2, 7, 12, } = M + 7 = M 3 = M + 3 = {, 7, 2, 3, 8, 13, } = M + 8 = M 2 = M + 4 = {, 6, 1, 4, 9, 14, } = M + 9 = M 1 = M + 0 = {, 10, 5, 0, 5, 10, } = M + 5 = M + 10 = Diperoleh, ring faktor dari M dalam Z adalah {M, M + 1, M + 2, M + 3, M + 4}. 5. Homomorfisme Ring Homomorfisme ring merupakan peluasan dari konsep homomorfisme grup yang didefinisikan oleh Gallian (2010: 280) sebagai berikut. Definisi 2.3.8. Gallian (2010: 280) Suatu homomorfisme ring φ dari ring R ke ring S adalah pemetaan dari R ke S yang melanggengkan dua operasi ring; yakni untuk setiap a, b dalam R, φ(a + b) = φ(a) + φ(b) dan φ(ab) = φ(a)φ(b). Homomorfisme ring yang keduanya bersifat satu-satu dan onto disebut isomorfisme ring. Diberikan Contoh 2.3.7. mengenai homomorfisme ring sebagai berikut. Contoh 2.3.7. Koresponden φ: x 5x dari Z 4 dan Z 10 merupakan homomorfisme ring ditunjukkan sebagai berikut. 21

x + y = 4q 1 + r 1 dan xy = 4q 2 + r 2. Dengan 0 r 1 < 4 dan 0 r 2 < 4. Maka, φ(x + y) = φ(r 1 ) = 5r 1 = 5(x + y 4q 1 ) = 5x + 5y 20q 1 = 5x + 5y Menggunakan 5. 5 = 5 dalam Z 10 diperoleh, = φ(x) + (y) dalam Z 10. φ(xy) = φ(r 2 ) = 5r 2 = 5(xy 4q 2 ) = 5xy 20q 2 = (5. 5)xy = 5x5y = φ(x)φ(y) dalam Z 10. D. Grup Fuzzy Merujuk pada tulisan Ajmal (1994), Kandasamy (2003) dan Karyati (2015) mengenai grup fuzzy dan semigrup fuzzy yang merupakan pemetaan dari suatu grup ke interval [0,1]. Didefinisikan grup fuzzy sebagai berikut. 22

Definisi 2.4.1. Ajmal (1994: 330) Misalkan G merupakan suatu grup. Subhimpunan fuzzy μ dari G disebut subgrup fuzzy dari G jika x, y G, i. μ(xy) min{μ(x), μ(y)}, ii. μ(x 1 ) μ(x). Untuk jelas mengenai Definisi 2.4.1. diberikan contoh grup fuzzy sebagai berikut. Contoh 2.4.1. Himpunan bilangan bulat modulo 6 (Z 6 ) terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan suatu grup yang ditunjukkan oleh tabel cayley 2.3 berikut. Tabel 2. 3 Tabel Cayley penjumlahan dari Z 6. + 6 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 Dari Tabel 2.3. disimpulkan bahwa: i. Operasi biner + 6 bersifat asosiatif karena memenuhi (a + b) + c = a + (b + c) untuk setiap a, b, c Z 6. ii. Elemen identitasnya yakni 0. 23

iii. Setiap elemen Z 6 mempunyai invers di dalamnya. 0 1 = 0, 1 1 = 5, 2 1 = 4, 3 1 = 3, 4 1 = 2, 5 1 = 1. Kemudian didefinisikan pemetaan μ terhadap Z 6 yakni, μ(x) = { 2 3 3 4, untuk x = 1, 3, 5,, untuk x = 0, 2, 4. Terlihat bahwa setiap elemen Z 6 dipetakan tepat satu elemen pada interval [0,1]. Sehingga μ merupakan pemetaan. Akan ditunjukkan bahwa μ grup fuzzy dari Z 6 yaitu memenuhi aksioma berikut: i. μ(xy) min{μ(x), μ(y)}, Untuk membuktikan aksioma ini, maka harus ditunjukkan berlaku untuk setiap x, y Z 6, sehingga harus diuji berlaku untuk setiap kemungkiunan yang terjadi. Kemungkinan Misalkan P = {0, 2, 4} dan Q = {1, 3, 5}, kemungkinankemungkinan yang terjadi sebagai berikut: a. Untuk sebarang x P dan y Q maka, min{μ(x), μ(y)} = min { 3, 2 } = 2. 4 3 3 Karena (xy) Q dan (xy) P μ(xy) = 2 dan μ(xy) = 3. 3 4 Dengan demikian dipenuhi μ(xy) min{μ(x), μ(y)}. b. Untuk sebarang x Q dan y P maka, min{μ(x), μ(y)} = min { 2, 3 } = 2. 3 4 3 Karena (xy) Q dan (xy) P 24

μ(xy) = 2 dan μ(xy) = 3. 3 4 Dengan demikian dipenuhi μ(xy) min{μ(x), μ(y)}. c. Untuk sebarang x, y P maka, min{μ(x), μ(y)} = min { 3, 3 } = 3. 4 4 4 Karena (xy) P μ(xy) = 3. 4 Dengan demikian dipenuhi μ(xy) min{μ(x), μ(y)}. d. Untuk sebarang x, y Q maka, min{μ(x), μ(y)} = min { 2, 2 } = 2. 3 3 3 Karena (xy) P μ(xy) = 3. 4 Dengan demikian dipenuhi μ(xy) min{μ(x), μ(y)}. Berdasarkan bukti di atas, dipenuhi aksioma pertama grup fuzzy sehingga μ merupakan grup fuzzy dari Z 6. ii. μ(x 1 ) μ(x). Bukti aksioma kedua ditunjukkan sebagai berikut: a. Untuk x = 0 maka, μ(0 1 ) = μ(0) = 3 = μ(0). 4 Dengan demikian dipenuhi μ(0 1 ) μ(0). b. Untuk x = 1 maka, 25

μ(1 1 ) = μ(5) = 2 = μ(1). 3 Dengan demikian dipenuhi μ(1 1 ) μ(1). c. Untuk x = 2 maka, μ(2 1 ) = μ(4) = 3 = μ(2). 4 Dengan demikian dipenuhi μ(2 1 ) μ(2). d. Untuk x = 3 maka, μ(3 1 ) = μ(3) = 2 = μ(3). 3 Dengan demikian dipenuhi μ(3 1 ) μ(3). e. Untuk x = 4 maka, μ(4 1 ) = μ(2) = 3 = μ(4). 4 Dengan demikian dipenuhi μ(4 1 ) μ(4). f. Untuk x = 5 maka, μ(5 1 ) = μ(1) = 2 = μ(5). 3 Dengan demikian dipenuhi μ(5 1 ) μ(5). Berdasarkan bukti di atas, dipenuhi aksioma kedua grup fuzzy sehingga μ merupakan grup fuzzy dari Z 6. Struktur aljabar grup mengenal istilah subgrup normal, pada grup fuzzy diberikan definisi normal grup fuzzy sebagai berikut. Definisi 2.4.2. Kandasamy (2003: 11) Misalkan G Grup. Suatu subgrup fuzzy μ dari G disebut normal jika μ(x) = μ(y 1 xy) untuk setiap x, y G. 26

Untuk memperjelas Definisi 2.4.2. tersebut, diberikan contoh sebagai berikut: Contoh 2.4.2. Diberikan grup Z 6 dan pemetaan μ seperti dalam Contoh 2.4.1.. Akan ditunjukkan μ merupakan normal fuzzy untuk setiap x, y Z 6 dengan memperhatikan setiap kemungkinan yang terjadi, yaitu: i. Untuk x = 0 sehingga μ(x) = μ(0) = 3, akan ditunjukkan μ(x) = 4 μ(y 1 xy). y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ(5 + 0 + 1) = μ(0) = 3 4 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ(4 + 0 + 2) = μ(0) = 3 4 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ(3 + 0 + 3) = μ(0) = 3 4 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ(2 + 0 + 4) = μ(0) = 3 4 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ(1 + 0 + 5) = μ(0) = 3 4 = μ(x). ii. Untuk x = 1 sehingga μ(x) = μ(1) = 2 3, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ(0 + 1 + 0) = μ(1) = 2 3 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ(4 + 1 + 2) = μ(1) = 2 3 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ(3 + 1 + 3) = μ(1) = 2 3 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ(2 + 1 + 4) = μ(1) = 2 3 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ(1 + 1 + 5) = μ(1) = 2 3 = μ(x). iii. Untuk x = 2 sehingga μ(x) = μ(2) = 3 4, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ(0 + 2 + 0) = μ(2) = 3 4 = μ(x). 27

y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ(5 + 2 + 1) = μ(2) = 3 4 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ(3 + 2 + 3) = μ(2) = 3 4 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ(2 + 2 + 4) = μ(2) = 3 4 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ(1 + 2 + 5) = μ(2) = 3 4 = μ(x). iv. Untuk x = 3 sehingga μ(x) = μ(3) = 2 3, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ(0 + 3 + 0) = μ(3) = 2 3 = μ(x). y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ(5 + 3 + 1) = μ(3) = 2 3 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ(4 + 3 + 2) = μ(3) = 2 3 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ(2 + 3 + 4) = μ(3) = 2 3 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ(1 + 3 + 5) = μ(3) = 2 3 = μ(x). v. Untuk x = 4 sehingga μ(x) = μ(4) = 3 4, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ(0 + 4 + 0) = μ(4) = 3 4 = μ(x). y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ(5 + 4 + 1) = μ(4) = 3 4 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ(4 + 4 + 2) = μ(4) = 3 4 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ(3 + 4 + 3) = μ(4) = 3 4 = μ(x). y = 5 berlaku μ(y 1 xy) = μ(1 + 4 + 5) = μ(4) = 3 4 = μ(x). vi. Untuk x = 5 sehingga μ(x) = μ(5) = 2 3, akan ditunjukkan μ(x) = μ(y 1 xy). y = 0 berlaku μ(y 1 xy) = μ(0 + 5 + 0) = μ(5) = 2 3 = μ(x). 28

y = 1 berlaku μ(y 1 xy) = μ(5 + 5 + 1) = μ(5) = 2 3 = μ(x). y = 2 berlaku μ(y 1 xy) = μ(4 + 5 + 2) = μ(5) = 2 3 = μ(x). y = 3 berlaku μ(y 1 xy) = μ(3 + 5 + 3) = μ(5) = 2 3 = μ(x). y = 4 berlaku μ(y 1 xy) = μ(2 + 5 + 4) = μ(5) = 2 3 = μ(x). Berdasarkan bukti di atas untuk setiap x, y Z 6 memenuhi μ(x) = μ(y 1 xy) sehingga μ merupakan normal. Lebih lanjut secara sederhana dijelaskan oleh Ajmal (1994: 330) mengenai normal. Misalkan elemen identitas dari G adalah e, jika μ(e) = t, dan μ disebut normal jika μ(xy) = μ(yx) untuk setiap x, y G. Selain itu, pada penelitian ini juga digunakan konsep pembuktian menggunakan subhimpunan level μ t maupun > subhimpunan level kuat μ t yang didefinisikan oleh Ajmal (1993: 330) sebagai berikut. Definisi 2.4.3. Ajmal (1994: 330) Misalkan μ merupakan himpunan fuzzy dalam himpunan S dan t [0,1]. Maka, subhimpunan level (μ t ) dan subhimpunan level kuat (μ > t ) dari μ didefinisikan, i. μ t = {x S μ(x) t}, ii. μ > t = {x S μ(x) > t}. Guna memperjelas Definisi 2.4.3. diberikan contoh subhimpunan level dan subhimpunan level kuat sebagai berikut: 29

Contoh 2.4.3. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan fuzzy μ memetakan A ke interval [0, 1] yang didefinisikan sebagai μ(x) = 2x untuk setiap x A. Sehingga diperoleh derajat keanggotaan dari elemen-elemen A sebagai berikut: i. Untuk x = 1, diperoleh μ(1) = 2.1 10 = 2 10. ii. Untuk x = 2, diperoleh μ(1) = 2.2 10 = 4 10. iii. Untuk x = 3, diperoleh μ(1) = 2.3 10 = 6 10. iv. Untuk x = 4, diperoleh μ(1) = 2.4 10 = 8 10. v. Untuk x = 5, diperoleh μ(1) = 2.5 10 = 10 10 = 1. Ditunjukkan subhimpunan level μ t dan subhimpunan level kuat μ t > dari himpunan fuzzy μ dengan t = 4, yaitu μ 10 4 = {x A μ(x) 4 } = {2, 3, 4, 5} subhimpunan 10 10 10 level, sedangkan subhimpunan level kuat μ > 4 = {x A μ(x) > 4 } = {3, 4, 5}. 10 10 Dalam hal ini berlaku μ 4 μ 4. 10 10 Penyelidikan mengenai sifat-sifat ring fuzzy juga dilakukan dengan memanfaatkan peta dan pra-peta homomorfisme. Definisi mengenai pemetaan yang digunakan oleh Ajmal (1994: 330) dalam grup fuzzy tidak jauh berbeda dengan yang akan digunakan pada penelitian ring fuzzy, yakni hanya pada struktur yang digunakan. 30

Definisi 2.4.4. Ajmal (1994: 330) Misalkan f pemetaan dari grup G ke grup G, μ dan η masing-masing merupakan himpunan fuzzy dari grup G dan grup G. Peta homomorfis f(μ) didefinisikan untuk setiap y G berlaku: f(μ)(y) = { sup x f 1 (y) μ(x) jika f 1 (y) 0, 0 jika f 1 (y) = 0, Prapeta dari f 1 (η) didefinisikan untuk setiap x G berlaku: f 1 (η)(x) = η(f(x)), untuk x G. berikut: Guna memperjelas definisi Definisi 2.4.4. di atas, diberikan contoh sebagai Contoh 2.4.4. Misalkan dibentuk pemetaan f: Z 4 Z 4 yang didefinisikan sebagai f(x) = 2x. Didefinisikan α subhimpunan fuzzy dari Z 4 sebagai berikut: α = { 3 4, x = 1 4 5, x = 2 5 6, x = 0,3, dengan demikian yang dimaksud dengan f(α)(x) adalah: a. Untuk y = 0, berlaku f(α)(1) = sup x f 1 {μ(x)}, = sup {0,2} f 1 {μ(0), μ(2)} = sup {0,2} f 1 { 5 6, 4 5 } = 5 6. 31

b. Untuk y = 1, berlaku f(α)(1) = 0 karena f 1 (1) =. c. Untuk y = 2, berlaku f(α)(2) = sup x f 1 {μ(x)}, = sup {1,3} f 1 {μ(1), μ(3)} = sup {1,3} f 1 { 3 4, 5 6 } = 5 6. d. Untuk y = 3, berlaku f(α)(3) = 0 karena f 1 (1) =. Selanjutnya didefinisikan β subhimpunan fuzzy dari Z 4 sebagai berikut: β = { 3 7 5 6, x = 0, 3, x = 1,2 Sehingga untuk f 1 (β)(y) = β(f(x)) diperoleh sebagai berikut: a. Untuk x = 0, berlaku: b. Untuk x = 1, berlaku: c. Untuk x = 2, berlaku: d. Untuk x = 3, berlaku: f 1 (β)(0) = β(f(0)) = β(0) = 3 7. f 1 (β)(1) = β(f(1)) = β(2) = 5 6. f 1 (β)(2) = β(f(2)) = β(0) = 3 7. f 1 (β)(3) = β(f(3)) = β(2) = 5 6. 32

Beberapa sifat-sifat dalam grup fuzzy yang telah dibuktikan oleh Ajmal (1993: 331). Proposisi 2.4.1. dibuktikan oleh Ajmal (1994: 331) dengan memanfaatkan subhimpunan level. Proposisi 2.4.1. Ajmal (1994: 331) Misalkan μ merupakan himpunan fuzzy dalam grup G. Maka, μ adalah subgrup fuzzy dari G jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level tak kosong dari μ adalah subgrup dari G. Sebagai akibat dari Proposisi 2.4.1. diperoleh Proposisi 2.4.2. yang dibuktikan oleh Ajmal (1994: 331) dengan menggunakan definisi subhimpunan level. Proposisi 2.4.2. Ajmal (1994: 331) Misalkan μ merupakan himpunan fuzzy dalam grup G. Maka, μ adalah subgrup fuzzy dari G jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level μ t untuk t Im μ adalah subgrup dari G. Selain sifat pada grup fuzzy, Ajmal (1994: 332) juga menyelidiki mengenai sifat dari subgrup normal fuzzy, sehingga diperoleh Proposisi 2.4.3.. Pembuktian yang dilakukan juga dengan memanfaatkan sifat dari subhimpunan level. Proposisi 2.4.3. Ajmal (1994: 332) Subgrup fuzzy μ dari G adalah suatu normal jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level tak kosong μ t adalah subgrup normal dari G. Proposisi 2.4.3. memberikan akibat pada Proposisi 2.4.4. sehingga berlaku sebagai berikut: 33

Proposisi 2.4.4. Ajmal (1994: 332) Subgrup fuzzy μ dari G adalah normal fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan level μ t untuk t Im μ adalah subgrup normal dari G. 34