MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ] Pelabelan matriks menggunakan huruf kapital. A m n = ( a 11 a 12 a 13... a 21 a 31 a 22 a 23... a m1 a 32 a m2 a 33... a m3... a 1n a 2n a 3n a mn ) baris ke-1 baris ke-2 baris ke-3 baris ke-m kolom ke-n kolom ke-2 kolom ke-1 kolom ke-3 Ordo (ukuran atau dimensi) suatu matriks adalah bilangan asli yang menyatakan banyaknya baris dan kolom. Misalkan matriks A terdiri atas m baris dan n kolom, maka matriks A dikatakan berordo m n dan ditulis A m n b. Jenis-Jenis Matriks Matriks Baris Suatu matriks dikatakan matriks baris jika terdiri dari satu baris saja. Matriks Kolom Suatu matriks dikatakan matriks kolom jika terdiri dari kolom saja. Matriks Persegipanjang Matriks persegipanjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo m n Matriks Persegi Sebuah matriks dinamakan matriks persegi jika banyaknya baris dan banyaknya kolom sama. Jika banyak baris matriks persegi adalah n maka banyaknya kolom juga n, sehingga ordo matriks A adalah n n. Sering kali matriks disebut dengan matriks ordo-n.
a 11 a 12 a 13 A = ( a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 ) a 33 diagonal samping diagonal utama Matriks Segitiga Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya 0 dan elemen yang lainnya selain 0. Contoh: 6 2 10 T = ( 0 3 4 ) 0 0 1 Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya 0 dan elemen yang lainnya selain 0, contoh: 2 0 0 S = ( 10 4 0) 3 2 5 Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan elemen-elemen diagonal utamanya tidak nol dan semua elemen lainnya nol. Contoh: K = ( 4 0 11 0 0 0 10 ) atau L = ( 0 1 0) 0 0 7 Matriks Identitas Matriks identitas atau matriks satuan adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen lain semuanya 0. I = ( 1 0 1 0 0 0 1 ) atau I = ( 0 1 0) 0 0 1 Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya adalah bilangan nol. c. Transpose Matriks Transpose dari suatu matriks A = (a ij ) m n dilambangkan dengan A T atau A adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks A m n dengan menukarkan letak baris dan kolom dari matriks tersebut. Contoh:
d. Kesamaan Matriks 4 3 D = ( 7 0 ) D T = ( 4 7 5 3 0 9 ) 5 9 Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika syarat berikut dipenuhi : 1. Matriks A dan B mempunyai ordo yang sama 2. Setiap elemen yang seletak pada matriks A dan B adalah sama e. Operasi Aljabar pada Matriks Penjumlahan Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo sama. Jumlah dari A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang berordo yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen matriks yang seletak. Pengurangan Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berordo sama. Selisih A dan B ditulis A B adalah jumlah dari matriks A dengan lawan dari matriks B. A B = A + ( B) Lawan suatu matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengambil lawan bilangan dari setiap elemen matriks. Lawan dari matriks A m n = (a ij ) adalah A m n = ( a ij ) Untuk setiap matriks A, B, dan C yang berordo sama berlaku: 1. A + B = B + A sifat komutatif 2. A + (B + C) = (A + B) + C sifat asosiatif 3. A + 0 = 0 + A = A sifat matriks 0 4. Untuk setiap matriks A terdapat matriks B yang berordo sama, sehingga A + B = 0 dengan 0 adalah matriks nol yang berord sama dengan matriks A. Matriks B ditulis sebagai B = A, dengan elemen-elemen matriks B m n = (b ij ) 5. A B = A + ( B) 6. A + ( A) = ( A) + A = 0 sifat lawan matriks A 7. Terdapat matriks X sedemikian sehingga A + X = B X = B A 8. Jika A T adalah transpose matriks A dan B T adalah transpose Perkalian skalar/bilangan matriks B, maka real : terhadap Matriks a. (A + B) T = A T + B T b. (A B) T = A T B T
Perkalian bilangan real atau skalar k dengan matriks, ditulis ka adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen di A dengan bilangan real atau skalar k Sifat-sifat perkalian bilangan real terhadap matriks Untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan untuk setiap bilangan-bilangan k 1 dan k 2 berlaku: 1. (k 1 k 2 )A = k 1 ( k 2 B) = k 2 (k 1 A) 2. k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B sifat distributif 3. (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A sifat distributif 4. 0. A = 0 (matriks nol) 5. 1. A = A 6. (-1) A = -A 7. A + A = 2A A + A + A = 3A Perkalian Dua Matriks Misalnya A adalah matriks berordo A dan B adalah m p matriks p n (banyak kolom matriks A = banyak baris matriks B). Hasilkali dari A dan B ditulis AB adalah suatu matriks berordo m n Sifat-sifat perkalian matriks terhadap matriks Jika penjumlahan dan perkalian dari setiap matriks berikut ter, maka: 1. (AB )C = A(BC) sifat asosiatif 2. A(B + C) = AB + AC sifat distributif kiri 3. (B + C)A = BA + CA sifat distributif kanan 4. k(ab) = (ka)b = A(kB) dengan k skalar 5. Jika A adalah suatu matriks persegi berordo n n dan I adalah matriks identitas n n, maka A I = I A = A 6. Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif. AB BA (kecuali matriks-matriks khusus) 7. a. Jika AB = 0 belum tentuk A = 0 atau B = 0 b. Jika AB = AC, belum tentu B = C 8. Jika A T dan B T berturut-turut adalah transpose dari matriks A dan B, maka (AB) T = B T A T 9. Jika 0 adalah matriks nol berordo sama dengan matriks A, maka A 0 = 0 A = 0
Perpangkatan A 2 = A. A A 3 = A 2. A A 4 = A 3. A. dst A n = A n 1. A = A. A n 1