NAMA : SISKA NUKE ENI PRADITA NIM : 125100301111044 KELAS : P TUGAS MATEMATIKA INDUSTRI APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI DAN KETEKNIKAN A. APLIKASI INTEGRAL DI BIDANG EKONOMI Diartikan geometris dari "kemiringan" dengan turunan dari fungsi. Sebaliknya, jika kita memiliki integral dari fungsi, katakanlah, maka kita memiliki kurva yang kemiringannya di titik-titik adalah nilainilai pada titik-titik. Misalnya, jika, maka Untuk setiap pilihan c, kita memiliki kurva yang diberikan oleh persamaan f (x) = x2 + c, dan 2x adalah kemiringan kurva ini pada titik Contoh 1. Kurva A memiliki kemiringan di setiap titik sama dengan dua kali koordinat x-pada saat itu. Titik (-1,3) terletak pada kurva. Tentukan persamaan kurva. Jika = kemiringan pada titik (x, y) = 2x
maka y = jika (-1,3) terletak pada kurva, dan c = 2. Oleh karena itu kurva B. APLIKASI INTEGRAL DIBIDANG KETEKNIKAN Luas Antara Kurva Menggunakan integral untuk mencari luas daerah yang terletak di antara grafik dua fungsi. Perhatikan daerah S yang terletak di antara dua kurva, dan dan di antara dua garis tegak, x = a dan x = b, dengan f dan g merupakan fungsi kontinu, untuk semua x dalam selang [a, b]. (lihat Gambar 1) y = f(x) S Gambar 1. S = a y = g(x) Bagi S menjadi n irisan dengan lebar yang sama dan selanjutnya kita hampiri irisan ke-i mengunakan persegi panjang beralas dan tinggi. Maka, secara intuitif, jumlah Riemann berikut
Merupakan hampiran dari luas S. Hampiran tampaknya menjadi semakin baik seraya. Oleh karena itu, didefinisikan bahwa Luas A dari S sebagai nilai limit dari jumlah luas persegi panjang penghampir ini 1) Diketahui limit (1) sebagai integral tentu f g. Oleh karena itu, rumus untuk menghitung luas, yaitu : 2) Luas A suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x), dan garis x = a, x = b, dengan f dan g kontinu dan untuk semua x pada selang [a, b] adalah Contoh 1. Carilah luas daerah dengan batas atas, dan kedua sisinya dibatasi oleh x = 0 dan x = 1, batas bawah y x = 1 1 y = x Gambar. 3 x = 0 0 1 x
PENYELESAIAN : Daerah yang dimaksud diperlihatkan pada Gambar 3. Batas atas kurva adalah dan batas bawah kurva y = x. Maka digunakn rumus (2) dengan,, a = 0 dan b = 1 Pada Gambar 3, digambarkan sebuah persegi panjang penghampir khas dengan lebar untuk mengingatkan kita pada prosedur yang mendefinisikan luas dalam (1). Secara umum, saat menyusun suatu integral untuk menghitung luas, akan sangat membantu apabila kita membuat sketsa daerahnya. Volume Dalam suatu upaya mencari volume suatu benda pejal kita akan menghadapi suatu masalah yang serupa dengan apa yang telah kita hadapi sewaktu menghitung luas. Secara intuitif, kita telah mengetahui apa yang di maksud dengan volume akan tetapi pengetahuan itu harus diwujudkan secara tepat dengan menggunakan kalkulus agar dapat menghasilkan definisi yang eksak. Dimulai dengan suatu bentuk sederhana yang disebut silinder (lebih tepatnya disebut silinder tegak). Silinder tersebut dibatasi oleh daerah datar, yang disebut alas, dan bidang lainnya yang kongruen secara parallel,. Silinder ini terdiri atas seluruh titik pada ruas garis yang tegak lurus terhadap alas yang menghubungkan dan. Jika luas alas adalah A dan tinggi silinder (jarak dan ) adalah h, maka volume V, silinder dapat didefinisikan sebagai : V = Ah Secara khusus, apabila alas silinder tersebut berupa lingkaran dengan jarijari r, maka silinder tersebut menjadi silinder melingkar dengan volume,, dan jika alasnya berupa persegi panjang dengan panjang l dan lebar w,
maka silinder tersebut menjadi kotak persegi (disebut juga paralelepipedum persegi panjang) dengan volume, V = lwh. Volume Memakai Kulit Silindris Beberapa permasalahan tentang volume sangat sulit untuk ditangani dengan metode yang telah dijelaskan pada materi sebelumnya. Sebagai contoh, masalah penentuan volume benda pejal yang diperoleh dari perputaran daerah yang dibatasi oleh dan y = 0 terhadap sumbu-y (lihat Gambar 1). y y = 1 xl =? xr =? Gambar 1 0 2 x Jika kita buat irisan yang tegak lurus terhadap sumbu-y, akan didapati bentuk cincin anulus. Tetapi dalam perhitungan jari-jari dalam dan jari-jari luarnya kita harus menyelesaikan persamaan pangkat tiga,, yang tidak mudah. Tetapi ada metode lain yang disebut metode kulit silindris, yang lebih mudah digunakan dengan jari-jari dalam, jari-jari luar, dan tinggi h. Volumenya V, dihitung dari volume silinder luar, dikurangi dengan volume silinder dalam : Jika dimisalkan = (ketebalan kulit) dan (rata-rata jari-jari sel), maka rumus volume kulit silindris ini menjadi
Dan bisa diingat sebagai V = [keliling][tinggi][tebal]
DAFTAR PUSTAKA Susila, I Nyoman; Hendra Gunawan. 2002. Kalkulus, Edisi Keempat, Jilid 1. Bandung: Erlangga Billye; Janet. 1969. Calculus. USA: Holt, Rinehart and Winston, Inc