D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli D ln = D t dt =, > 0 Lebih umumnya, Jika u = f > 0 dan f terdifferensialkan, maka: Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page
D ln u = u. D u = u u, > 0 Contoh: Hitunglah 3. D ln. D ln D ln =, 0 Integral Logaritma Asli Dari contoh, mengimplikasikan bahwa: d = ln + C, 0 atau lebih umumnya jika u = f > 0, Contoh: u du = ln u + C, u 0. +4 d. ln d 3. 3 0 d Teorema: Sifat-sifat Logaritma Asli Jika a dan b bilangan positif dan r bil. rasional, maka (i). ln = 0 Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page
(ii). ln ab = ln a + ln b (iii). ln a b = ln a ln b (iv). ln a r = r ln a Contoh: 3. Tentukan turunan dari y = ln + 5, >. Pendifferensialan Logaritma Menghitung turunan yang melibatkan hasil kali, hasil bagi, pemangkatan suatu fungsi dapat dibantu dgn menerpakan fs. Logaritma asli & sifatnya. Metode ini disebut dgn Pendifferensialan Logaritma. Contoh: Tentukan dy d utk y = +3 /3 Grafik Logaritma Asli Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 3
7.. Fungsi Balikan dan Turunannya 3 A B A B f f - y y y 3 3 y y y 3 Misal f fungsi dari himpunan ke himpunan B, adalah f - fungsi balikan dari f. Contoh. Diketahui f() =, fungsi balikan dari f yaitu f - () =. Contoh. Diketahui f() =, fungsi balikan dari f yaitu... Kriteria bahwa suatu fungsi memiliki balikan adalah fungsi tersebut harus monoton murni, atau fungsi tersebut pada daerah asalnya berupa fungsi naik atau Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 4
fungsi turun. Suatu fungsi f dikatakan monoton murni jika f () > 0. Pada contoh, f() = adalah fungsi monoton murni sehingga fungsi f memiliki fungsi balikan. Jika f mempunyai fungsi balikan yaitu f -, maka f - juga memiliki balikan yaitu f. f(f - (y)) = y f - (f()) = Gambar Gambar Langkah langkah untuk mencari rumus untuk f - () yaitu. Selesaikan persamaan y = f() untuk dalam y. Gunakan f - (y) untuk menamai ekspresi yang dihasilkan dalam y Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 5
3. Gantikan yang untuk mendapatkan rumus untuk f - () Contoh 3. Carilah f - () jika f() =. 3 y = y( 3) = y 3y = y = 3y 3 3y =. Diperoleh f - () = y 3. 7.3. Fungsi Eksponen Asli Definisi Balikan dari fungsi ln disebut fungsi fungsi eksponen asli (ep). = ep y y = ln Gambar Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 6
Dari definisi di atas diperoleh. ep (ln ) = ep (y) = ; > 0. ln (ep y) = ln () = y; untuk semua y Definisi Huruf e adalah bilangan real positif yang bersifat ln e = dengan,78888459045 e. ln e = ln = 0 Dapat diperlihatkan jika r bilangan rasional, ep r identik dengan e r. e r = ep (ln e r ) = ep (r ln e) = ep r Dan jika bilangan real, maka e = ep Sifat Sifat Fungsi Eksponen Asli (i). e a. e b = e a+b (ii). e e a b e ab Turunan dari fungsi eksponen asli adalah D e = e. Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 7
Bukti: y = e ln y = ln e = ln e = ln y, sehingga D = D (ln y) dy = y d dy y = e. Terbukti D e = e. d Hal ini dapat dikombinasikan dengan aturan rantai. Jika u = f() dan jika f terdeferensialkan, maka D e u = e u D u. Contoh. Carilah D ( e ) Misalkan u = +, maka D u =. Diperoleh D ( e ) = D (e u ) = e u D u = e. Dari setiap rumus turunan selalu terdapat rumus e pengintegralan yang berpadanan. Diperoleh D e d e d e c e d, atau dengan u menggantikan e c u u e du. 7.4. Fungsi Eksponen Umum Misal r bilangan rasional maka r = p, q 0. q a r = ep (ln a r ) = ep ( r ln a) = e r ln a (i). Untuk bilangan real, a = ep (ln a ) = ep ( ln a) = e ln a (ii). ln (a ) = ln (e ln a ) = ln a ln e = ln a Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 8
Sifat Sifat Fungsi Eksponen Umum Misal: a > 0, b > 0,, y, bilangan real (i). a. a y = a +y (ii). a a y a y (iii). (a ) y = a y (iv). (ab) = a b y (v). a ( ) b a b Turunan fungsi pangkat f() = a adalah D a = a a, dan turunan fungsi g() = a yaitu D a = a ln a Bukti: D (a ) = D (e ln a ) = e ln a D ( ln a) = e ln a ln a = a ln a. Dan pengintegralan untuk f() = a yaitu Da d a ln a d a c ln a a d, diperoleh a d a c, a atau dengan u menggantikan maka ln a u a a d c, a ln a u. 7.5. Fungsi Logaritma Umum Definisi Jika a > 0, a, y = a log = a y e log = ln Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 9
D ( a log ) = y = a log = a y ln = ln a y ln = y ln a y = ln, sehingga ln a dy = d ln a = ln a. Jadi D ( a log ) = ln a + c. Contoh. D ( 5 log 5) = 5ln 5 + c. Contoh. D ( ) = D (e ln ) = e ln D ( ln ) = e ln ( + ln ). 7.6. Fungsi Balikan Trigonometri Kriteria suatu fungsi y = f() mempunyai invers adalah a. merupakan fungsi satu satu; jika maka f( ) f( ) b. tiap garis datar memotong grafik tersebut pada paling banyak titik c. f monoton murni, yaitu fungsi naik pada interval I atau turun pada I d. f () > 0 atau f () < 0 Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 0
Agar suatu fungsi yang tak memiliki balikan dalam daerah asal alaminya, mempunyai suatu balikan (invers), maka daerah asal fungsi (D f ) dapat dibatasi (sehingga fungsi tersebut naik atau turun saja), dan range fungsi (R f ) dapat dipertahankan seluas mungkin. Contoh: f() = y = sin = sin y atau f () = sin y = arc sin y Jika peran diganti dengan y, maka grafik dari f () indentik dengan grafik f(), yaitu pencerminan dari grafik f() terhadap garis y =. Definisi Untuk memperoleh balikan dari sinus, daerah asal fungsi dapat dibatasi pada selang [, ], sehingga = sin y y = sin dan. Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page
Hal ini juga berlaku pada fungsi fungsi trigonometri lainnya, fungsi cosinus, tan, sec, cosec, dan cot, dengan selang terbatas yang pastinya juga berbeda, yaitu (a). = cos y y = cos dan 0. (b). = tan y y = tan dan. Contoh: (c). = sec y y = sec dan 0,.. cos = 4. sin (sin 3 ) = 3. arcsin( ) = 5. cos (cos 0,6) = 3. tan ( 3 ) = 6. sec () = Empat kesamaan yang berguna (i). sin(cos ) = (ii). cos(sin ) = Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page
(iii). sec(tan ) = (iv). tan(sec ) = 7.7. Fungsi Trigonometri : Turunan Ingat kembali, tan = sin cos cot = cos sin sec = cos cosec =, sin turunan dari masing-masing fungsi tersebut dapat dicari, yaitu: Contoh. D cot = D cos sin = sin ( sin ) cos cos sin = sin = csc. Dapat diperoleh turunan dari masing masing fungsi tersebut: D sin = cos D cos = sin D tan = sec D cot = csc Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 3
D sec = sec tan D cosec = csc cot Jika u = f(), maka D sin u = cos u D (Aturan Rantai). Hal ini berlaku pula pada fungsi fungsi yang lainnya (cos, tan, dan lain lain). Contoh. D sin (3 + 4) = Ambil u = 3 + 4, diperoleh D u = 6 Jadi D sin (3 + 4) = D sin u = cos u D u = cos (3 + 4) 6. Contoh. Carilah turunan fungsi y = cot sec Contoh 3. y = tan, maka D y = Turunan Fungsi Balikan Trigonometri (i). y = arc sin = sin = sin y y) = sin y d dy dy d d dy Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 4
.., < < (ii). y = cos = cos y y).., < < y = sin D (sin ) = = cos y y = cos d dy dy d y = cos D (cos ) = (iii). y = tan D (tan ) =.. (iv). y = sec D (sec ) =.., > Contoh. Carilah D arc cos ( ) Ambil u =, maka D ( ) =. D arc cos ( ) = D arc cos u = Contoh. D tan = D u =. Dari sebelumnya, diperoleh: (i). (ii). d d = sin + c = cos + c (iii). d = sec + c Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 5
Nur Insani (nurinsani@uny.ac.id) Page 6