Pengantar Metode Numerik

Pengantar Metode Numerik Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika. Metode numerik menggunakan perhitungan aritmatika yang terkesan menjemukan. Namun, seiring dengan perkembangan teknologi metode numerik menjadi pilihan utama bagi mahasiswa matematika dalam menyelesaikan masalah teknik. Perhatikan ilustrasi berikut : Selesaikan integral berikut : Cara 1 : Metode Analitik ( ) ( ) Cara 2 : Metode Numerik Dengan memperhatikan grafik di atas, diperoleh nilai pendekatan I = p + q + r + s = 2(p+q) =2*[{f(-1)+f(-1/2)}*0,5/2+(f(-1/2)+f(0)}*0,5/2}] =0,5*[f(-1)+2f(-1/2)+f(0)] =0,5*[3+7,5+4] =7,25-2 -1-1/2 1/2 1 2 Tampak selisih hasil metode analitik dan numerik (error) adalah = 0,0833 Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 1

Perbedaan utama antara Metode Numerik dgn Metode Analitik terletak pada 2 hal: Pertama, solusi dengan menggunakan Metode Numerik selalu berbentuk angka. Bandingkan Metode Analitik yang biasanya menghasilkan solyusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numeric, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numeric dinamakan juga solusi hampiran (approximation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Sedangkan Metode Analitik, kita dapat menemukan solusi sejatinya dengan galat sebesar nol. Akan terlihat lebih jelas dengan permisalan berikut : 1. Selesaikan sistem persamaan linear (SPL) berikut : 8a + 4b + 2c + d = 3 343a + 49b + 8c + d = 6 512a + 64b + 8c + d = 14 1728a + 144b + 12c + d = 10 Bayangkan! Bagaimana jika SPL terdiri atas banyak parameter? 2. Tentukan akar dari polinomial : f(x) = Bagaimana dengan polinomial pangkat 10 atau lainnya yang lebih banyak? Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 2

KESALAHAN DALAM METODE NUMERIK Masalah yang diselesaikan menggunakan metode numerik pasti menghasilkan solusi berbentuk angka (numerik). Solusi dalam bentuk angka tersebut merupakan solusi hampiran atau pendekatan dan bukan merupakan solusi eksak/sebenarnya. Oleh karenanya, pasti terdapat kesalahan (error) terhadap solusi yang diperoleh. Terdapat 2 (dua) kesalahan/ error yang biasa digunakan dalam metode numerik, yaitu error mutlak dan error relatif. 1. Error Mutlak () Error mutlak adalah selisih nilai sebenarnya (hasil penyelesaian analitik) dengan nilai pendekatan (hasil penyelesaian numerik). Secara matematis : dimana : : error mutlak : nilai sebenarnya : nilai pendekatan 2. Error Relatif ( r ) Adalah persentase nilai error dibagi nilai sebenarnya, biasa disebut juga error fraksional Secara matematis : ( ) Error mutlak hanya menunjukkan besar kesalahan saja tidak bisa mengukur tingkat kesalahan, dalam praktek tingkat kesalahan sering digunakan. Besar tingkat kesalahan dapat diukur dengan error relatif. Contoh 1 : Diketahui panjang jembatan dan pensil sebenarnya (eksak) berturut-turut adalah 10 meter dan 10 cm. Jika jembatan dan pensil diukur dengan suatu alat ukur berturut-turut 999cm dan 9cm. Maka dapat dihitung error mutlak dan error relatif sebagai berikut : Jembatan - Error mutlak - Error Relatif ( ) ( ) Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 3

Pensil - Error mutlak - Error Relatif ( ) ( ) Tampak bahwa kesalahan mutlak jembatan dan pensil sama, yaitu : 1 cm. Tetapi kesalahan relatif pensil jauh lebih besar dibanding jembatan. Hal ini berarti, pengukuran jembatan memberikan hasil yang lebih memuaskan dibanding pengukuran pensil. Ada 2 (dua) sumber kesalahan/ error dalam metode numerik, yaitu : 1. Error pembulatan Kesalahan yang terjadi sebagai akibat tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan (diganti dengan angka 0) Contoh 2: = 3,1415926 dibulatkan menjadi 3,14 95231 dibulatkan menjadi 95000 2. Error Pemotongan Kesalahan yang terjadi sebagai akibat tdak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematika yang benar, misalkan suatu proses tak terhingga dihitung atau diganti dengan proses berhingga. Contoh 3: Misalkan : (penyelesaian eksak) : Dipotong Jadi error pemotongannya : atau ( ) Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 4

Dalam metode numerik, nilai sejati hanya akan diketahui bilai kita berhadapan dengan fungsi-fungsi yang dapat diselesaikan secara analitik. Jenis demikian merupakan kejadian khusus (kasuistik), jika kita menyelediki perilaku teoritis suatu teknik tertentu. Tetapi dalam aplikasi dunia nyata, sebelumnya tentu saja kita tidak mengetahui jawaban sebenarnya. Untuk keadaan ini, suatu alternatif ialah menormalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran terbaik dari harga sebenarnya terhadap pendekatan (aproksimasi) itu sendiri, yaitu sebagai berikut : a kesalahan aproksimasi.100% aproksimasi di mana simbol a menandakan bahwa kesalahan tersebut dinormalisasikan terhadapa sebuah harga aproksimasi. Salah satu tantangan dari metode numerik adalah menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga sebenarnya. Misalnya metode numerik tertentu memakai pendekatan iterasi untuk menghitung jawaban. Dalam hal semacam itu, suatu aproksimasi dibuat berdasarkan suatu aproksimasi sebelumnya. Prosesn tersebut dilakukan berulangkali atau secara iterasi supaya dapat menghitung aproksimasi yang lebih baik dan semakin baik. Untuk hal demikian kesalahan seringkali ditaksir sebagai perbedaan antara aproksimasi sebelumnya dengan aproksimasi sekarang. Jadi, kesalahan relative ditentukan menurut: r aproksimasi sekarang - aproksimasi sebelumnya.100% aproksimasi sekarang Ada baiknya juga menghubungkan kesalahan-kesalahan ini dengan jumlah angka signifikan pada pendekatan. Kita dapat menjamin bahwa hasilnya adalah betul hingga sekurangkurangnya n angka signifikan. Contoh 4: Taksiran Kesalahan bagi Metode Iterasi s 2 (0,5 10 n )% Dalam matematika, fungsi-fungsi seringkali dapat dinyatakan oleh deret tak hingga, misalnya fungsi eksponensial dapat dihitung menggunakan : e 2 3 n x x x x 1 x 2! 3! n! Jadi, kalau lebih banyak suku ditambahkan ke dalam deret, aproksimasi menjadi taksiran yang jauh lebih baik daripada harga Deret Maclaurin. x e sebenarnya. Persamaan ini disebut dengan perluasan Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 5

Solusi : Pertama, menentukan kesalahan agar meyakinkan suatu hasil sampai sekurang-kurangnya tiga angka signifikan: s 23 (0,5 10 )% 0,05% Jadi, kita akan menambahkan suku-suku ke dalam deret sampat ea jatuh di bawah tingkat ini. Taksiran pertama = 1. Taksiran kedua kemudian dihasilkan dengan menambah suku kedua sebagai: x e 1 x Atau untuk x = 0,5 0,5 e 1 0,5 1,5 Untuk memberikan kesalahan relatif persen sebenarnya dari persamaan ini adalah : r 1,648721271 1,5.100% 9,02% 1, 648721271 Persamaan di atas dapat dipakai untuk menentukan suatu taksiran aproksimasi kesalahan sebagai: a 1,5 1.100% 33,3% 1,5 Karena a tidak lebih kecil dari harga yang dibutuhkan a, kita akan melanjutkan komputasi dengan menambahkan suku lainnya, x 2 /2!, dan mengulangi kalkulasi kesalahan. Proses itu berlanjut sampai a s. Komputasi keseluruhan dapat diringkaskan sebagai berikut: Suku Hasil % r 1 2 3 4 5 6 1 1,5 1,625 1,645833333 1,648437500 1,648697917 % 39,3 9,02 1,44 0,175 0,0172 0,00142 a 33,3 7,69 1,27 0,158 0,0158 Jadi, setelah enam suku dimasukkan, kesalahan taksiran jatuh di bawah s 0, 05% dan perhitungan dihentikan. Tetapi perhatikan bahwa ketimbang tiga angka signifikan, hasilnya akurat sampai lima. Hal ini dikarenakan persamaannya konservatif. Artinya meyakinkan bahwa hasil itu sekurang-kurangnya sebaik yang ditentukan. Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 6

Latihan Soal 1. Perluasan Deret Maclaurin untuk cos x adalah: 2 4 6 8 x x x x cos x 1... 2! 4! 6! 8! Mulai dengan versi paling sederhana cos x = 1, tambahkan satu suku setiap kali menaksir cos( / 3). Setelah setiap suku baru ditambahkan, hitung kesalahan relative persen aproksimasi dan sebenarnya. Pakailah kalkulator Anda untuk menentukan harga sebenarnya. Tambahkan suku-suku sampai harga absolut dari taksiran kesalahan aproksimasi jatuh di bawah kriteria kesalahan untuk memastikan sampai dua angka signifikan. 2. Lakukan perhitungan yang sama dalam soal nomor 1, tetapi gunakan perluasan Deret Maclaurin untuk: 3 5 7 x x x sin x x... 3! 5! 7! Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 7

AKAR PERSAMAAN NONLINEAR Akar sebuah persamaan f(x) adalah titik potong antara sumbu X dan kurva f(x). f(a) a b f(b) 2 Untuk persamaan polynomial derajat 2 (kuadrat) : ax bx c 0, akar-akarnya secara analitis dapat dicari dengan menggunakan rumus kuadrat. Bagaimana dengan polynomial 3, 4, atau persamaan nonlinear lainnya seperti persamaan eksponensial atau persamaan transendental? Jika cara analitik sangat sulit atau tidak bisa menyelesaikannya. Maka solusinya adalah dengan Metode Numerik. Beberapa metode yang bisa digunakan untuk mencari akar persamaan adalah : a. Metode Tertutup Mencari akar pada interval tertentu, dalam interval tersebut dipastikan ada satu akar dan hasil selalu konvergen. 1. Metode Tabel 2. Metode Setengah Interval (Bisection) 3. Metode Interpolasi Linear (False Posision) b. Metode Terbuka Dalam mencari akar diperlukan nilai awal (tebakan awal), misalkan x 0 : nilai inilah yang digunakan untuk mencari nilai selanjutnya x n, hasilnya bisa konvergen atau divergen. 1. Metode Iterasi Sederhana 2. Metode Newton Raphson 3. Metode Secan. Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 8

METODE TERTUTUP METODE TABEL x f(x) x 0 = a f(a) x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) x 3 f(x 3 ) x n = b f(b) Akar persamaan fungsi f(x) berada dalam interval x [a,b]. Untuk mendapatkan nilai akar persamaannnya, interval x [a,b] dibagi menjadi N bagian dan dihitung nilai f(x) untuk setiap bagian. Sehingga diperoleh tabel seperti disamping. a = Batas bawah (x bawah ) b = Batas atas (x atas ) Algortimanya: 1) Definisikan fungsi f(x) 2) Tentukan range untuk x yang berupa batas bawah dan batas atas. 3) Tentukan jumlah pembagian N 4) Hitung step pembagi h 5) Untuk I = 0 s/d N, hitung x i = x bawah + i.h y i = f(x i ) 6) Untuk I = 0 s/d N dicari k dimana Bila f(x k ) = 0 maka x k adalah penyelsaian Bila f(x k ).f(x k-1 ) < 0 maka : - Bila f(x k ) < f(x k-1 ) maka x k adalah penyelesaian - Bila tidak x k-1 adalah penyelsaian atau dapat dikatakan penyelesaian berada di antara x k dan x k-1 Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 9

Contoh 5: Diketahui persamaan nonlinear f(x) = x + e x. Tentukan akar persamaan nonlinear tersebut dalam interval x[-1,0]. Dengan membagi interval x[-1,0] menjadi 10 bagian, maka diperoleh 11 nilai x = {-1,0,-0.9,-0.8,,-0.1,0.0}. Kemudian dicari nilai f(x)nya. Misalkan : f(-0.5) = -0.5 + e -0.5 = 0,10653. Dari tabel di atas, akar persamaan sebenarnya terletak antara interval x[-0.6,-0.5]. Dari 2 nilai tersebut dapat dipilih nilai pendekatan akar persamaannya, yaitu: -0.6, karena f(-0.6) = -0.05119, f(-0.5) = 0.10653. x f(x) -1.0-0.63212-0.9-0.49343-0.8-0.35067-0.7-0.20341-0.6-0.05119-0.5 0.10653-0.4 0.27032-0.3 0.44082-0.2 0.61873-0.1 0.80484 0.0 1.00000 Latihan Soal 1. Dengan membagi interval x [-0.6,-0.5] menjadi 5 bagian. Dengan menggunakan x Metode Tabel tentukan akar persamaan nonlinear f x x e. 3 2. Tentukan akar persamaan f x x x 2 3 x 3 pada interval x[1,2]. Metode tabel cenderung memberikan hasil yang kurang teliti (memberikan error yang kebih besar) disbanding metode lainnya. Tetapi metode ini dapat digunakan untuk menentukan taksiran nilai awal sebelum menggunakan metode selanjutnya. METODE TERTUTUP METODE SETENGAH INTERVAL (BISECTION) Ide awal metode ini adalah metode tabel, dimana daerah/ interval dibagi menjadi N bagian. Pada metode Bisection membagi interval menjadi 2 bagian, yaitu bagian yang mengandung akar (bagian ini dibagi menjadi 2 bagian lagi) dan bagian lainnya dibuang. Demikian seterusnya sampai diperoleh akar persamaannya. Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 10

Ilustrasi : a C 1 C 2 C 3 b Dimana : a b 1 2 1, c b 2, dan c c c c b 3 2 2 2 Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 11

Algoritmanya Mulai Hitung nilai fungsi pada interval x sehingga diperoleh 2 nilai dengan tanda yang berbeda (+ atau -). Misalkan : f(a 1 ) dan f(a 2 ) Hitung : x t a n +b n f(a n ) dan f(x t ) bertanda sama f(a n )f(x t ) > 0 Ya! a n+ x t b n+ b n Tidak Proses Pengulangan a n+ b n+ a n x t Tidak f(a n+1 )f(b n+1 ) > 0 Selesai Solusi :biasanya x t a n+1 atau b n+1 yang nilai f(x) nya mendekati nol Jika f a n dan f b n tandanya sama maka tidak ada akar dalam interval x a0, b0 Idealnya f a f b n 1 n 1 0., tetapi sering kali untuk mencapainya diperlukan proses perulangan (iterasi) yang tak hingga jumlahnya. Agar proses selesai, maka perlu pembatasan baik dari segi jumlah iterasi (n) maksimum yang terjadi atau target error ( ) yang ingin dicapai. a x x t _ baru t _ lama x t _ baru x100% Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 12

Contoh : Tentukan salah satu akar persamaan 3 2 x[1,2]. Jawab : Langkah 1 f x x x 3 x 3 yang terletak pada interval f 1 dan 2 interval x[1,2]. { f mempunyai tanda yang berbeda, jadi ada akar persamaan dalam Langkah 2 Karena f a f x 1 1,5 0 a 2 x t 1,5 dan b2 b1 2 1 1 Baca, akar terletak dalam interval Karena f 1.5 1,875 0 maka dilakukan perulangan (langkah 2) f 1,5 1,875 dan f 2 3 x t a2 b2 1,5 2 1,75 3 2 f 1,75 1,75 1,75 3 1,75 3 0,17187 2 2 f a2 1.5 f x t 1.75 0 a 3 a 2 1,5 dan b3 x t 1,75 Karena Baca, akar terletak dalam interval Karena f(1.75) = 0.17187 0 maka dilakukan perulangan kembali sampai diperoleh f b f an 1 n 1 0 Perhitungan silakan dilanjutkan hingga mendapatkan jawaban yang diinginkan. Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 13

Latihan Soal 1. Diketahui persamaan nonlinear f(x) = x + e x. Tentukan akar persamaan nonlinear tersebut dalam interval x[-1,0] dengan menggunakan metode biseksi sampai dengan 5 iterasi, kemudian hitung nilai ԑ a nya. 2. Menggunakan metode biseksi. Tentukan akar persamaan ln x = x 2 3 pada interval x[1,2] dengan target errornya ԑ a = 10%. METODE REGULA FALSI/ FALSE POSITION Metode ini memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari 2 titik batas range untuk mencari nilai akar persamaan suatu fungsi. Metode ini dianggap lebih cepat memberikan nilai akar dibanding metode biseksi. Ilustrasi : a c c* b Dimana : slope = f b f a f c f a b a c a, f c 0 b a c a f a f b f a Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 14

b a c a f a f b f a Dengan mengganti c dengan x t, maka diperoleh : b a a. f b b. f a xt a f a f b f a f b f a Algortimanya : Mulai Hitung nilai fungsi pada interval x sehingga diperoleh 2 nilai dengan tanda yang berbeda (+ atau -). Misalkan : f(a 1 ) dan f(b 1 ) x t a n f b n f b n b n f a n f a n f(a n )f(x t ) > 0 Ya! a n+ x t b n+ b n Tidak Proses Perulangan a n+ b n+ a n x t Tidak f(a n+1 )f(b n+1 ) = 0 Selesai Solusi :biasanya x t a n+1 atau b n+1 yang nilai f(x) nya mendekati nol Jika f(a n ) dan f(b n ) tandanya sama maka tidak ada akar dalam interval x[a 0, b 0 ]. Idealnya f(a n+1 )f(b n+1 ) = 0, tetapi sering kali untuk mencapainya diperlukan proses perulangan (iterasi) yang tak hingga jumlahnya. Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 15

Agar proses selesai, maka perlu pembatasan baik dari segi jumlah iterasi (n) maksimum yang terjadi atau target error ( ) yang ingin dicapai. Contoh : Tentukan salah satu akar persamaan f(x) = x 3 + x 2 3x 3 yang terletak pada interval x[1, 2] dengan ԑ a maksimum 0.5%. Jawab : Langkah 1 f(x) = x 3 + x 2 3x 3 { f(1) dan f(2) mempunyai tanda yang berbeda, jadi ada akar persamaan dalam interval x [1, 2]. Karena f(a 1 = 1)f(x t =1.57142) > 0 a 2 = x t = 1.57142 dan b 2 = b 1 = 2 baca : akar terletak dalam interval x[1.57142, 2] Karena f(1.57142) = -1.36449 0 dan error belum dapat dihitung maka dilakukan perulangan (langkah 2) Langkah 2 f(1.57142) = -1.36449 dan f(2) = 3 Karena f(a 2 = 1.57142)f(x t = ) > 0 a 3 = x t = 1.70540 dan b 3 = b 2 = 2 Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 16

baca : akar terletak dalam interval x[1.70540, 2] Karena f(1.70540) = -0.24784 0 dan maka dilakukan perulangan kembali (langkah 3) Langkah 3 Silahkan dilanjutkan sampai dengan Latihan Soal 1. Diketahui persamaan nonlinear f(x) = e x x 2. Tentukan akar persamaan nonlinear tersebut dalam interval x[-2.4, -1.6] dengan menggunakan metode interpolasi linear sampai dengan 3 iterasi, kemudian hitung nilai nya. 2. Menggunakan metode regula falsi. Tentukan akar persamaan ln x = x 2 3 pada interval x[1, 2] dengan target errornya maksimal = 1% atau iterasi maksimum 5 kali. Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 17

Referensi Steven C. Chapra & Raymond P. Canale. 2007. Metode Numerik untuk Teknik Dengan Penerapan pada Komputer Pribadi. Jakarta: UI Press. Mohammad Farhan Q. (2010). Modul Praktikum Metode Numerik (Hand Out). UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. Muhammad Istiqlal, M.Pd. Metode Numerik 18