GRAF BIPARTISI LENGKAP BERLABEL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN SKRIPSI RONAL GOMAR PURBA 040803061 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
GRAF BIPARTISI LENGKAP BERLABEL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains RONAL GOMAR PURBA 040803061 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
PERSETUJUAN Judul : GRAF BIPARTISI LENGKAP BERLABEL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN Kategori : SKRIPSI Nama : RONAL G PURBA Nomor Induk Mahasiswa : 040803061 Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen Fakultas : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Komisi Pembimbing: Diluluskan di Medan, Juni 2010 Pembimbing 2 Pembimbing 1 Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si Prof. Dr. Herman Mawengkang NIP. 19530303 198303 1 002 NIP. 19461128 1974403 1 001 Diketahui/ Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19640109 198803 1 004
PERNYATAAN GRAPH BIPARTISI LENGKAP BERLABEL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juni 2010 RONAL G PURBA NIM. 040803061
PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis ucapkan serta panjatkan keapda Tuhan Yang Maha Kuasa atas kasih, berkat dan karunianya sehingga penulis dapat menyelesaikan ini. Skripsi ini berjudul Graf Bipartisi Lengkap Berlabel dalam Menyelesaikan Masalah Penugasan diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana pada Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Dalam kesempatan ini Penulis juga didukung dan dibantu oleh orang-orang yang ada di sekitar penulis. Oleh sebab itu penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besanya kepada: 1. Ayahanda dan Ibunda yang tersayang dan tercinta, Alm. M. Purba dan D br. Silaban yang telah mengasuh dan membesarkan penulis dengan rasa kasih dan sayang tulus yang tak terbatas. 2. Keluarga tercinta, T. Purba, E br. Purba, H. Purba, D br. Purba, L br. Purba, R br. Purba, James Edison Purba dan Lustina br. Purba yang selalu memberikan dukungan dan dorongan di setiap kondisi dan keadaan apa pun. 3. Rasdi Sirait yang selalu menemani penulis dalam langkah dan hari-hari penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. 4. Bapak Prof. Herman Mawengkang dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku dosen pembimbing 1 dan dosen pembimbing 2 yang telah banyak memberikan masukan dan bantuan kepada penulis. 5. Bapak Drs. Djakaria Sebayang dan Bapak Drs. H Haluddin Panjaitan selaku dosen penguji buat penulis. 6. Teman-teman stambuk 2004 (Jekson, Golti, Jusian, Justinus, Darto, Domiatus, Halomoan, Mangasi, Lewin, Ukur Bangun, Hindra, Frans, Rista, Agnes, Kristin, Cani, Marta, Debo) dan lain-lain yang tidak dapat saya sebutkan satu per satu. Rekan-rekan stambuk 2005 khususnya Math 05 FC (Marco, Jo, Paul, Mama, Sahat, Nixon, Nico, Doni, Cahaya, Opung, Reynold, Paskah, Andre, Firiska) serta Meilinda, Ester, Trisna, Christen Cs. Dan seluruh adik-adik stambuk 2006, 2007, 2008, dan 2009 thanks for all. 7. Untuk The Master College (TMC), Mr. Doni, S.Si, Miss Putri S.T, Miss Elisabet, S.P, Mr. Nelson, S.P, dan seluruh anak TMC serta Bapak Ir. Wesley Siagian (Sutomo 1 Medan). Dalam penyusunan skripsi ini mungkin terdapat kekurangan dan kesalahan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca guna perbaikan skripsi ini. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat dan guna bagi para pembaca. Medan, Juni 2010 Penulis Ronal G Purba
ABSTRAK Pengambilan kebijakan dalam suatu perusahaan atau instansi membutuhkan metodemetode dalam penugasan n pekerja terhadap m penugasan. Dengan menggunakan matriks penugasan akan dihasilkan satu pekerja ditempatkan pada satu tugas. Diharapkan terbentuk penugasan yang akan memberikan total keuntungan maksimum. Akan tetapi, dengan menggunakan algoritma matching bobot maksimum dalam graf bipartisi lengkap berlabel dibutuhkan perulangan sebanyak jumlah verteks sampai berhenti ketika diperoleh Alternating Tree dengan Augmenting Path.
ABSTRACT Decision making on the companies or institutions needs methods for assignment of n worker for m assignments. Using assignment matrices will be found the result a worker for an assignment. The form of the assignment will give the total of maximum profit. But by using maximum weight matching algorithm of labelling complete bipartition graph needed repeating as much the vertex amount until stoping when gotten Alternating tree and Augmenting Path.
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR i ii iii iv v vi viii ix BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 2 1.3 Batasan Masalah 2 1.4 Tujuan Penelitian 2 1.5 Manfaat Penelitian 3 1.6 Metodologi Penelitian 3 1.7 Tinjauan Pustaka 3 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel 7 2.1.1 Loop Dan Edge Paralel 7 2.1.2 Graf Sederhana (Simple Graf) 7 2.1.3 Ketetanggaan (Adjacent) 8 2.1.4 Bersisian (Incident) 8 2.1.5 Simpul Terpencil (Isolated Vertex) 8 2.1.6 Graf Kosong (Null Graf) 9 2.1.7 Derajat (Degree) 2.3 Jenis-JenisGraf 9 2.4 Defenisi Dan Teori Matching Dalam Graf Bipartisi 13 2.5 Penyajian Masalah Penugasan Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel 19
BAB 3 PEMBAHASAN 3.1 Penyelesaian Masalah Penugasan Secara Klasik 26 3.2 Algoritma Untuk Mencari Matching Bobot Maksimum 26 3.3 Penyelesaian Masalah Penugasan dengan Menggunakan Algoritma Matching Bobot Maksimum dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel 28 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan 40 4.2 Saran 40 DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 2.1 Matched edge, Unmatched edge, Matched Vertex dan Single Vertex 16 Tabel 2.2 Bobot 22 Tabel 3.1 Matriks Permutasi 24 Tabel 3.2 Matriks Permutasi Berderajat 3 Untuk Mencari Enam Kemungkinan Penugasan 23 Tabel 3.3 Kemungkinan Penugasan 25
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Matriks Penugasan 4 Gambar 2.2 Simple Graf 8 Gambar 2.3 Graf Kosong 8 Gambar 2.4 Graf Berarah dan Graf Ganda Berarah 10 Gambar 2.5 Graf Lengkap 10 Gambar 2.6 Graf Lingkaran 10 Gambar 2.7 Graf Bipartite 11 Gambar 2.8 Graf Bipartisi Lengkap 11 Gambar 2.9 Graf Bipartisi Dan Bipartisi Lengkap 12 Gambar 2.10 Graf Bipartisi Berlabel 13 Gambar 2.11 Matching M 1 13 Gambar 2.12 Matching M 1 14 Gambar 2.13 Matching Sempurna 15 Gambar 2.14 Matching Bobot Maksimum 15 Gambar 2.15a Augmenting M sepanjang P 17 Gambar 2.15b Augmenting M sepanjang P 18 Gambar 2.16 Graf Bipartisi Tanpa Komplit Matching dari V 1 ke V 2 19 Gambar 2.17 Graph Lengkap Berlabel dari Masalah Penugasan 20 Gambar 3.1 Matching Awal M 1 ={v 1 v 5,v 2 v 7 } 29 Gambar 3.2 Alternating Tree tanpa Augmenting Path 31 Gambar 3.3 Alternating Tree Tanpa Augmenting Path 32 Gambar 3.4 Alternating Tree dengan Augmenting Path 33 Gambar 3.5 Alternating Tree tanpa Augmenting Path 35 Gambar 3.6 Alternating Tree tanpa Augmenting Path 36 Gambar 3.7 Alternating Tree dengan Augmenting Path 38 Gambar 3.8 Matching Maksimum M = {v 1 v 6, v 2 v 8, v 3 v 5, v 4 v 7 } 39